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第15讲 第三章 一元函数的导数及其应用（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2023春·北京通州·高二通州区运河中学校考阶段练习）设函数 ，则
（ ）
A．5 B． C．2 D．
【答案】A
【详解】
故选：A
2．（2023春·河南·高二校联考期末）已知函数 满足 （ 为 的导函数），
则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【详解】 ，
当 时， ，解得 ，
故 ，所以 .
故选：D
3．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数
形结合百般好，隔裂分家万事休”，在数学的学习和研究中，常用函数的图像研究函数的性质，也常用函
数的解析式来琢磨函数图像特征，则函数 的图像大致是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，所以函数 为偶函数，其图象关于 轴对
称，故排除 ；
当 时， ， ，由 ，得 ，令 ，得 ，所以函数
在 上递减，在 上递增，故排除 、 ；
故选：D
4．（2023春·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）曲线 在 处的切线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】 ，所以 ，因此切线的斜率为 ，
又 ，由点斜式可得切线方程为 ，
故选：B
5．（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考阶段练习）函数 在区间 上单调递减，
则实数k的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】 ， 函数 在区间 上单调递减，
∴ 在区间 上恒成立，即 在区间 上恒成立，
而 在区间 上单调递减， ，∴k的取值范围是 ，
故选：B．
6．（2023春·重庆江北·高二字水中学校考阶段练习）若函数 满足 在 上恒成立，
且 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由 ，
设 ，则 ，
所以 在 上是增函数，
又 ，所以 ，即 ，
故选：B.
7．（2023春·四川泸州·高二泸州老窖天府中学校考阶段练习）已知函数 有两个极值点求
的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题意，令 ，即 有两个左右异号的实根，
所以 在 上有两个交点，
令 ，记 在 上单调递减，且 ，
当 时 ， ，所以 在 上单调递增；
当 时 ， ，所以 在 上单调递减，
所以 ，当 趋向于 时 趋向 ；当 趋向于 时 趋向 ，
综上，当 ，即 时 在 上有两个交点.
故选：A
8．（2023·吉林长春·校联考一模）已知函数 ，若关于x的方程
有且仅有四个相异实根，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．【答案】D
【详解】
， ，
关于 的方程 有且仅有四个相异实根，
根据对称性知， 时， 有且仅有两个相异实根，
即 在 上有两个不相等的实数根，
化简得： .
令 ， ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
在 为减函数， 为增函数，
又 时， ，
时， ， 的简图如图所示：
直线 恒过点 ， ， ，
时，此时直线 相切，直线 与曲线 只有一个公共点， 此时方
程 在 上有一个实数根，不符合题意；
由图可知当 或 时，直线 与 均有两个公共点，
即方程 在 上有两个不相等的实数根，
∴关于 的方程 有且仅有四个相异实根时， 的取值范围为 .
故选：D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023春·河北邯郸·高二武安市第三中学校考阶段练习）已知函数 ，则函数
在下列区间上单调递增的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】因为 的定义域为R，
，
令 得： 或 ，
所以 在区间 ， 上单调递增．
故选：AC．
10．（2023春·湖北随州·高二随州市曾都区第一中学校考阶段练习）函数 ，则下列说法正确的是
（ ）
A． 在 处有最小值
B．1是 的一个极值点
C．当 时，方程 有两异根
D．当 时，方程 有一根
【答案】BC
【详解】对AB， ，则 ，
故 在 处有唯一极大值，即最大值，B对A错；
对CD， ，又 ， .
故当 时， 图象与 图象有两个交点，即方程 有两异根；
当 ， 图象与 图象无交点，即方程 无根，C对D错.
故选：BC
11．（2023·全国·模拟预测）对函数 ， 公共定义域内的任意x，若存在常数 ，使得
恒成立，则称 和 是 伴侣函数，则下列说法正确的是（ ）
A．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数B．存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
C． 与 是 伴侣函数
D．若 ，则存在常数 ，使得 与 是 伴侣函数
【答案】AD
【详解】A选项：由题意得 ，
故存在 ，使得 恒成立，故A正确；
B选项：由题意得 ，
由于 为单调递增函数，且值域为 ，
因此不存在 ，使得 恒成立，故B错误；
C选项：由题意得 ，
令函数 ，则 ，
易知 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，不满足 ，故C错误；
D选项：令 ，则 ，
所以 为常函数，（点拨：若两个函数的导函数相同，则两个函数相差一个常数）
不妨令 ，故存在 ，使得 恒成立，故D正确.
故选：AD
12．（2023春·广东东莞·高二校考阶段练习）若 为正实数，且 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】解：对于A选项，因为函数 在 上单调递减，故当 时， ，故A选项错
误；
对于B选项，由于函数 在 上单调递增，故当 时， ，故B选项正确；
对于C选项，令 ，则 ，
故当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
所以 与 大小不定，故C选项错误；
对于D选项，令 ，则 在 上恒成立，故函数 在 上单调递增，
所以，当 时， ，即 ，故D选项正确.
故选：BD
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2023春·广东佛山·高二南海中学校考阶段练习）已知函数 的图象在点 处的切线
方程是 ，则 ___．
【答案】
【详解】由已知得 ， ，
.
故答案为： .
14．（2023春·山东青岛·高二青岛二中校考开学考试）若曲线 在点 处
的切线与直线 垂直，则实数 ________.
【答案】 ##
【详解】 ， ，
在 处的切线与 垂直， ，解得： .
故答案为： .
15．（2023春·广东揭阳·高三校联考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数 ，如果存
在点 ，使得 ，那么我们称函数 为“不动点”函数，而称 为该函数的不动点．类比给出
新定义：若不动点 满足 ，则称 为 的双重不动点．则下列函数中，① ；
② ；③ 具有双重不动点的函数为_______________．（将你认为正确的函数
的代号填在横线上）
【答案】①③
【详解】对于①， ， ，所以 ，又 ， ，则 是 的双重不动点；
对于②， ， ， ，令 ，
当 时，由基本初等函数图象易知 ，所以 ，当 时， 显然成立，
所以不存在 ，使得 ，故函数 不是具有双重不动点的函数；
对于③， ， ，则 ，又 ， ，所
以 是函数 的双重不动点；
综上，具有双重不动点的函数是①③.
故答案为：①③.
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则函数 的最大值为_________；若关于x的方
程 恰有3个不同的实数解，则实数t的取值范围为____________.
【答案】 ##
【详解】①定义域为 ， ，当 时， 单调递增，当
时， 单调递减，
故 是函数的极大值也是最大值；
②当 时， ，当 时， ，当 时， ，
由 即 ，解得 或 ，显然
只有一个解，
所以方程 有两个不同的解，所以 ，解得 ，故t的取值范围为 .故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知函数 在 处取得极值 ．
(1)求 ， 的值；
(2)求曲线 在点 处的切线方程．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：由函数 ，可得 ，
因为 在 处取得极值 ，可得 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
经检验，当 时， ，
令 ，解得 或 ；令 解得 ，
所以 在 单调递增， 单调递减， 单调递增，
所以 在 处取得极值，且
符合题意，所以 .
（2）解：由（1）得，函数 且 ，
则 ，即切线的斜率为 且 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
18．（2023春·河南·高二襄城高中校联考阶段练习）已知函数 .
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1） .
则曲线 在点 处的切线方程为 ，
即 .（2） ，即 .
令 ，由条件可知， 对任意的 恒成立.
因为 ，所以 在 上单调递增.
因为 ，所以当 时， ，所以 .
故实数 的取值范围为 .
19．（2023春·天津武清·高二天津市武清区城关中学校联考阶段练习）已知 ，函数
， .
(1)当 时，求函数 在点 处的切线方程；
(2)若函数 的减区间是 ，求a的值；
(3)若函数 在 上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)4
(3)
【详解】（1） ，
当 时， ，
，
在点 处的切线方程为 ，即
（2） 函数 的减区间是(-1，4)，
而
令 ，当 时， ， 单调递减， ，
当 时， ， 单调递减，不符合题意，
当 ， 无实数解，不符合题意,
故 .
（3） =
令 ，所以 ，
令 得 ，当 时， ；当 时，
故 在 上递减；在 上递增
所以 ，即 ，
所以 ，
实数 的取值范围是 .
20．（2023春·安徽亳州·高三校考阶段练习）已知函数 ，且 ．
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)若函数 在区间 上有三个零点，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）∵ ，∴ ，解得： ，
∴ ，则 ，
∴ 在点 处的切线方程为： ，
即 ．
（2）由（1）知： ，则 ，
∴当 时， ；
当 时， ；
∴ 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
又 ， ， ， ，
∴ ， ，
由 ，有 ，即函数 与 的图像有三个交点，
则有实数m的取值范围为 ．
21．（2023·北京房山·统考一模）已知函数 .
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；(2)若 在 处取得极值，求 的单调区间；
(3)求证：当 时，关于x的不等式 在区间 上无解.
【答案】(1)
(2) 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为
(3)证明见解析
【详解】（1）由 可得 ，
当 时， ， ，
在点 处的切线方程为 ；
（2）因为 在 处取得极值，所以 ，解得 ，
检验如下：
令 ，解得 或 ，
若 或 时，则 ；若 ，则 .
所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
故 在 处取得极小值，满足题意，
故 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；
（3）由（1）知 ，由 时，得 ，因 ，
当 时，当 时， ，即函数 在 上单调递减，则 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解；
当 时，当 时， ，当 时， ，即 在 上递减，在 上
递增，
于是得 在 上的最大值为 或 ，而 ， ，
，即 ，
因此不等式 不成立，即不等式 在区间 上无解，
所以当 时，关于 的不等式 在区间 上无解.
22．（2023·北京海淀·校考模拟预测）设函数 ，其中 ．函数 是函数 的导函数．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)证明：当 时，函数 有且仅有一个零点 ，且 ；
(3)若 ，讨论函数 的零点个数（直接写出结论）．
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
(3)①当 时， 有1个零点；②当 时， 有2个零点.
【详解】（1）当 时， ，
则 ， ，
所以 ，
所以 ，即： ，
所以 在点 处的切线方程为 .
（2）证明：∵ 的定义域为 ， ， ，
则 （ ），
令 （ ），
则 ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ， ， ，
∴ ， ，即： ，
∴ ， ，
∴ 在 上有唯一零点 ，且 ，
即： 有且仅有一个零点 ，且 .（3）①当 时， 的定义域为 ，则 ，
∴由零点存在性定理知， 在 上单调递增，
又∵ ， ，
∴ 在 上有唯一零点.
②当 时，由（2）知， 在 上单调递减，且 有且仅有一个零点 ， ，
∴ ，即： ，
∴ ， ，
∴ 在 上单调递增 ，在 上单调递减，
∴ ，
又∵ ， ，
令 （ ），
则 ，
∴ 在 上单调递减，
又∵ ，
∴ ，即： ，
∴由零点存在性定理知， 在 上有2个零点.
综述：①当 时， 有1个零点；
②当 时， 有2个零点.
