文档文本内容
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第12 讲整式的加法和减法
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 同类项的判断
题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
题型3 合并同类项
题型4 去括号
题型5 添括号
题型6 整式的加减运算
题型7 整式的加减中化简求值
题型8 整式的加减中的无关型问题
题型9 整式的加减的应用
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
同类项、合并同类项、
去括号、系数相加、添
括号、整式加减。
1. 理解同类项的概念，能准确判断同类项（所含字母相同，相同字母的指数
也相同）。
2. 掌握合并同类项的法则，能熟练进行合并同类项运算，并体会“系数相加，
字母和指数不变”的算理。
3. 掌握去括号法则，能正确运用去括号法则进行整式的加减运算。
4. 能进行简单的整式加减混合运算（如求几个整式的和或差），并规范书写
计算过程。
学习重点：同类项的判别与合并同类项的法则，去括号法则及其在整式加减中的应用。
学习难点：准确识别同类项（特别是字母顺序不同或系数含负号时），以及去括号时符号变化的处理
（括号前是负号时各项都要变号）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 同类项、合并同类项
1.同类项概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式是同类项.
2.合并同类项法则：系数相加，字母与字母的指数不变.
【易错提醒】
同类项易错警示：所含字母相同且相同字母指数相同。合并时系数相加，字母及指数不变。注意：常数项
是同类项，合并时要带符号（如-3+5=2）。勿将不是同类项的强行合并（如x2 与x 不能合并）。
即时即练1．下列各式中，与
2
2xy
是同类项的是（
）
A．
2
5x y
B．12xy
C．
2
13yx
D．
2y x
2．下列各题中，运算结果正确的是（
）
A．2
3
5
a
b
ab
B．
2
2
2
3
2
x
x
x
C．
2
7
7
a
a
a
D．
2
2
2
ab
ab
a
3．若单项式
1
2
m
a
b
与
2
1
5
n
a b 的和仍是单项式，则
m
n 的值是（
）
A．3
B．6
C．8
D．9
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知识点02 去（添）括号法则
1. 若括号前边是“+”号，括号里的各项都不变号；
2. 若括号前边是“-”号，括号里的各项都要变号.
【注意】：（1）要注意括号前面的符号,它是去括号后括号内各项是否变号的依据；
（2）去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉；
（3）括号前面是“-”时,去掉括号后,括号内的各项均要改变符号,不能只改变括号内第一项或前几项的符号,
而忘记改变其余的符号；
（4）括号前是数字因数时,要将数与括号内的各项分别相乘,不能只乘括号里的第一项；
（5）遇到多层括号一般由里到外,逐层去括号.
【易错提醒】
去括号易错警示：括号前是“+”，各项不变号；括号前是“-”，各项**全变号**。添括号时，括号前是“-”，
括内各项全变号。注意：勿只变第一项，括号内所有项都要处理。且乘以系数时每项都要乘。
即时即练1．下列去括号或添括号正确的是（
）
A．
2
2
x
y
x
y
B．
1
1
x
y
x
y
C．
1
1
x
y
x
y
D．
1
1
x
y
x
y
2．下列等式中，正确的是（
）
A．
2
2
m
n
m
m
B．
2
2
2
2
m
n
m
n
C．
5
1
5
5
m
n
m
n
D．
3
2
3
6
m
n
m
n
知识点03 整式的加法与减法
1.整式的加减
（1）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．几个整式相加
减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（2）几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
（3）运算结果，常将多项式的某个字母的降幂（升幂）排列.
2.整式加减的一般步骤
（1）如果有括号，那么先去括号；（2）观察有无同类项；（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
（4）合并同类项.
【易错提醒】
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整式加减易错警示：实质是合并同类项。去括号时注意符号（括号前是负号全变号）。先找同类项，系数
相加减，字母及指数不变。结果按某一字母降幂排列，且不含同类项。勿漏项或抄错符号。
即时即练1．化简：
(1)3
4
2
5
ab
a
ab
a
；
(2)
2
2
2
2
3 3
a
ab
a
ab
．
2．先化简，再求值
2
2
2
2
2
3
3
x y
xy
x y
xy
x y
，其中
2 ,
2
5
x
y
．
3．已知
2
3
4
A
x
x
xy
，
2
2
B
x
y
xy
．
(1)化简：2
3
A
B
；
(2)若2
3
A
B
的值与y 的取值无关，求此时2
3
A
B
的值．
题型1 同类项的判断
【例1】下列各组代数式中，不是
．．同类项的是（
）
A．2 与2
B．
2
5xy
与
2
3xy
C．3t
与t
D．
2
2a b 与
2
b a
【例2】下列单项式中，与
2
ab 是同类项的是（
）
A．2ab
B．
2
2a b
C．
2
ab
D．
2
3
a b
【技巧归纳】
同类项：所含字母相同，且相同字母的指数相同。系数可不同。判断时只关注字母和指数，不关注顺序（如
3x²y 与-yx²是同类项）。常数项都是同类项。注意先化简再判断，如2xy 与x²y 不是同类项。
【变式1-1】下列各组式子中，属于同类项的是（
）
A．a 和2b
B．x 和
2
2x
C．
2x y和
2
2xy
D．1 和2
【变式1-2】下列各组式子中为同类项的是（
）
A．x 与y
B．4x 与
2
4x
C．
2
3x y
与
2
1
3 yx
D．
3
4
6x y 与
3
4
6x z
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题型2 已知同类项求指数中字母或代数式的值
【例3】若2
m
x y
与
2x y 是同类项，则m 的值是
．
【例4】已知单项式
4
3xy
与
2
a
b
x y
的和是单项式，则ab
．
【技巧归纳】
根据同类项条件：相同字母指数相等，列方程。如3xa+1y 与-2x3yb 同类，则a+1=3 得a=2，b=1。若系数含
字母，系数可以不同但字母指数对应相等。解出参数，代入代数式求值即可。注意检验。
【变式2-1】如果单项式
4
2
ax y
与
3
8
b
x y 是同类项，那么b
a
．
【变式2-2】已知
1
2
2
3
m
m
x
y
与
3
3
n
x y 是同类项，则m
n
的值为
．
题型3 合并同类项
【例5】下列运算正确的是（
）
A．
2
2
4
x
x
x
B．
2
2
2
4
9
5
y
y
y
C．9
2
7
z
z
D．
2x
x
x
【例6】下列计算正确的是（
）
A．5
2
3
a
a
a
B．
2
a
a
a
C．2
3
5
ab
ba
ab
D．
2
2
7
7
0
x y
xy
【技巧归纳】
合并同类项：系数相加（带符号），字母和指数不变。如3x²-2x²=(3-2)x²=x²。找同类项时圈出，分别合并，
注意符号。结果中同类项只剩一项。常数项合并为常数。合并后检查是否最简，不再有同类项。
【变式3-1】下面计算正确的是（
）
A．
2
2
2
3
5
2
a b
a b
a b
B．
2
2
4
a
a
a
C．
2
3
5
3
2
5
a
a
a
D．6
5
1
a
a
【变式3-2】下列计算正确的是（
）
A．3
2
a
a
B．3
2
1
ab
ab
C．
2
2
2
2
3
5
a b
ba
a b
D．8
3
11
x
y
xy
题型4 去括号
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【例7】去括号：
2
3
a
b
．
【例8】化简：
3
5
x
y
．
【技巧归纳】
括号前是“+”：去括号后各项不变号；是“-”：去括号后各项变号。多重括号从内到外逐层去。注意分
配律：括号前有系数，先乘系数再去括号，或去括号后再乘。如-2(x-1)=-2x+2。移项时也适用。
【变式4-1】化简：
2
3
a
b
c
．
【变式4-2】化简
2
x
x
y
的结果是
．
题型5 添括号
【例9】下列各式左右两边相等的是（
）
A．
(
)
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
c
a
b
c
C．
2(
)
2
c
a
b
c
a
b
D．
a
b
c
d
a
d
b
c
【例10】下列式子变形正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
2
2
2
a
b
a
b
C．
3
2 2
1
3
4
1
a
b
a
b
D．
a
b
a
b
【技巧归纳】
添括号法则：括号前添“+”，各项不变；添“-”，各项变号。常用技巧：为凑平方、提公因式或降次。
如a-b+c = a-(b-c)。添加时注意检验去掉括号后能否还原。与去括号互为逆运算，可互验。
【变式5-1】下列去括号或添括号的变形中，正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
c
a
b
c
C．
a
b
c
a
b
c
D．
a
b
c
a
b
c
【变式5-2】下列式子变形正确的是（
）
A．
a
b
c
a
b
c
B．
a
b
a
b
C．
3
2 2
1
3
4
1
a
b
a
b
D．
2
2
2
a
b
a
b
题型6 整式的加减运算
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【例11】计算：
(1)
2
2
2
6
5
5
x
x
x
x
(2)
2
2
3 2
3
5
4
3
x
xy
x
xy
【例12】合并同类项：
(1)9
4
3
2
a
a
b
b
；
(2)
8
2
5
2
a
b
a
b
；
(3)
2
2
2 2
3
4
x
xy
x
xy
；
【技巧归纳】
先去括号，再合并同类项。去括号时注意符号变化。合并后检查是否最简。若含多个字母，按某字母降幂
排列书写。运算结果不含同类项，分母无字母。计算时步骤清晰，避免跳步造成符号错误。
【变式6-1】化简：
(1)
2
2
2
5
4
2
6
3
m n
mn
mn
m n
mn
；
(2)
8
5
2 3
x
y
y
x
；
(3)
2
2
2
2
2 2
3
2 5
4
ab
a b
ab
a b
．
【变式6-2】计算：
(1)
2
2
3
6
9
6
4
7
x
x
x
x
；
(2)
2
2
2
2
2
3
2
3 2
3
2
a b
ab
a
a b
a
a b
ab
；
(3)
2
2
1
3
2
6
4
8
2
2
x
xy
xy
x
xy
．
题型7 整式的加减中化简求值
【例13】先化简，再求值，
2
2
2
]
5
(
6
3
2
[
)
4
2
x
x
x
x
x
，其中
5
x
．
【例14】先化简，再求代数式
2
2
2
2
2
4
3
x
xy
x
xy
x
的值，其中
1
x ，
2
y ．
【技巧归纳】
先化简（去括号、合并同类项），再将字母值代入化简后的式子。注意负数代入加括号，分数代入可先化
简。如果已知整体值，用整体代入法。化简后计算更简便，减少错误。结果化为最简形式。
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【变式7-1】化简求值：
2
2
1
1
3
1
2
2
3
2
3
x
x
y
x
y
，其中
2
3
x
，
3
y
【变式7-2】已知
2
1
|
2 |
0
2
a
b
，求
2
2
2
2
2
3
2 2
a b
ab
a b
ab
a b
的值
题型8 整式的加减中的无关型问题
【例15】小刚在做一道题“已知两个多项式A，B，计算A
B
”时，误将A
B
看成A
B
，求得的结果是
5
4
2
x
mx
，已知
1
B
mx
x
．
(1)求整式A；
(2)若
2
A
B
的值与x 无关，求m 的值．
【例16】已知代数式．
2
2
2
2
2
1
A
x
xy
y
B
x
xy
x
，
，若代数式2A
B
中不含x 的项．
(1)求y 的值；
(2)求代数式
2
4
4
y
y
的值．
【技巧归纳】
若结果与某字母无关，则合并后该字母的系数为0。先化简整式，合并含该字母的项，令其系数和为0，解
参数。如结果与x 无关，则所有含x 项的系数之和为0。注意常数项不影响无关性。代入验证。
【变式8-1】已知：
2
2
3
2
1
A
a
ab
a
，
2
1
B
a
ab
(1)化简：A
B
；
(2)若
2
A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值．
【变式8-2】已知
4
2
3
2
A
a
ab
b
，
15
6
B
a
b
ab
．
(1)当
3
2
a
b
ab
，
时，求2A
B
的值；
(2)若2A
B
的值与a 的取值无关，求b 的值，并求2A
B
的值．
题型9 整式的加减的应用
【例17】如图，在一个长方形小广场上，有两块大小相同的正方形空地供人们休息（有关线段的长如图所
示），留下一个“T”型的图形（阴影部分）．（单位：米）
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(1)用含x
y
，的式子表示“T”型图形的周长并化简；
(2)若
5
10
x
y
，
，要给“T”型区域围上价格为30 元/米的围栏，请计算围栏的造价．
【例18】项目式学习．
【项目主题】校园分布图制作．
【项目背景】为了让初一新生更快熟悉校园生活，善思小组成员准备为初一新生制作简易版校园分布图．
【实践操作】操作一：善思小组根据校园的活动区域分布，将校园分布图分为教学区、操场、学生活动中
心、图书馆四个主要区域；
操作二：根据小组成员的实际测量与记录，绘制如图所示的校园总体分布图（单位：m ）．
【项目思考】
(1)用整式表示这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积；
(2)若|
| 150
a
，b 的倒数是1
40 ，求这个学校的操场和学生活动中心一共占地多少面积．
【技巧归纳】
应用如求周长、面积、利润等。先设未知数，列代数式（整式），再加减化简。注意单位统一。实际问题
中化简后可能还需代入具体值。利用整式表示数量关系，通过运算简化表达式，便于进一步求解。
【变式9-1】某小区的一块长方形绿地的造型如图所示（单位：m），其中两个扇形表示绿地，两块绿地用
五彩石隔开．
(1)绿地的面积为_____平方米；（用含有a，b，π的式子表示）
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(2)若
1
2
b
a
，
①若铺设五彩石费用为每平方米160元，种草的费用为每平方米80元，则美化这块长方形区域共需多少元？
（用含有a，π的式子表示）
②若要求绿地面积大于这块地总面积的3
5 ，试问该设计方案是否合乎要求？请说明理由．
【变式9-2】如图，长为60cm，宽为
cm
x
的大长方形被分割成7 小块，除阴影A ，B 外，其余5 块是形状、
大小完全相同的小长方形．其较短一边长为
cm
y
．
(1)从图中可知，这5 块完全相同的小长方形中，每块小长方形较长边的长是_______cm（用含y 的代数式表
示）．
(2)分别计算阴影A ，B 的周长（用含x ，y 的代数式表示）．
(3)阴影A 与阴影B 的周长差会不会随着x 的变化而变化？请说明理由．
一、单选题
1．下面不是同类项的是（
）
A．3
与4
B．
2
2a b
与
2
a b
C．
2
2
x y
与
2
2
6x y
D．2m 与2n
2．下面的计算正确的是（
）．
A．
2
2
a
b
a
b
B．
2
3
a
a
a
C．
m
n
m
n
D．3
2
a
a
a
3．若
2
5
a
b
x
与
2
1
4 x
为同类项，则4
10
6
a
b
的值为（
）
A．8
B．10
C．12
D．14
4．已知
2
3
a
b
，则代数式
3
6
2
2
4
a
b
a
b
的值是（
）
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A．19
B．20
C．21
D．22
5．如图，长为
cm
y
，宽为
cm
x
的大长方形被分割为7 小块，除阴影A ，B 外，其余5块是形状、大
小完全相同的小长方形，其较短的边长为5cm ，下列说法中正确的是（
）
①小长方形的较长边为
15
y
；②阴影A 的较短边和阴影B 的较短边之和为
5
x
y
；③阴影A 和阴影B 的
周长之和与y 值无关．
A．①③
B．①②③
C．①②
D．②③
二、填空题
6．化简：
2
3
2
a
b
a
b
-
______．
7．若
3
5
n
x y 与
2
m
x y
是同类项，则mn 的值为______．
8．已知
2
3
a
b
，则
2 2
10
4
a
b
b
_____．
9．已知
2
3
8
1
A
x
x
，
2
2
2
3
B
a x
b
x
．若
+
A B 的值与x 的取值无关，则a
b
___．
10．如图所示，圆圈中分别填入0 到9 这10 个数，且每个正方形顶点上的四个数之和都是18，则中间两个
数A 与B 的和是________．
三、解答题
11．化简：
(1)
2
x
x
．
(2)
2
3
3
2
3
2
2
4
3
x y
y x
x y
．
(3)
4
7
2 3
2
x
x
．
(4)
2
2
3
4
2
5
x
x
x
x
．
(5)
2
2
2
4
2
3
x y
x y
y
x y
xy
．
(6)
2
2
5
3
2 2
3
7
x
x
x
x
．
12．先化简，再求值：
2
2
2
2
3
4
2
5
x
xy
x
xy
x
xy
，其中
1
x ，
2
y
．
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13．以下是一道习题及嘉嘉的解答过程：
计算：
2
2
5
2
1
4 3
2
a
a
a
a
．
解：原式
2
2
5
2
1 12
8
a
a
a
a
……第一步
2
2
5
2
8
1 12
a
a
a
a
……第二步
2
6
10
13
a
a
．……第三步
(1)上述解答过程，嘉嘉是从第______步开始出错的，请你给出正确的解答过程；
(2)当
1
a 时，求此代数式的值．
14．如图，某小区有一块长为
2
3
a
米、宽为3b 米的长方形空地，小区管理部门在空地的一角规划了一个
长为
2
a
米、宽为b 米的小长方形花园．
(1)请用含a，b 的式子表示图中阴影部分的面积S．（用代数式表示并化简）
(2)小区管理部门打算在剩余空地（图中阴影部分）铺上地砖，若
8
a
，
4
b
，预计每平方米地砖的价格是
50 元，求购买所需地砖的费用．
15．已知代数式
2
2
3
5
7
3,
2
A
x
xy
y
B
x
xy
．
(1)化简：
3
2
3
A
A
B
；
(2)若
2
|
1|
3
0
x
y
，求
3
2
3
A
A
B
的值；
(3)若
3
2
3
A
A
B
的值与y 的取值无关，求x 的值．
16．已知有理数a，b，c 在数轴上的位置如图所示．
(1)填空：A 和B 之间的距离为______（用含a，b 的式子表示），若点C 表示1.5
，则点C 和1 之间的距
离为______；将A 移动5 个单位长度所得点为______．
(2)化简：
1
1
1
a
b
c
．
17．为了加强体育运动，提高学生身体素质，学校准备购买40 个足球和一些毽球．甲、乙两个商店每个足
球的定价都为70 元，每个毽球的定价都为10 元．
甲商店优惠方案：买一个足球送一个毽球．
乙商店优惠方案：足球和毽球都按定价九折出售．
设学校准备购买毽球x 个
40
x
．
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(1)①若在甲商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
②若在乙商店购买，所需总费用为______________元（用含x 的式子表示）．
(2)当
80
x
时，解答下列问题．
①若只能在甲、乙两个商店中选择一家购买，通过计算说明在哪家商店购买更优惠
②若可以在甲、乙两个商店中选择一家购买，也可以在甲、乙两个商店中分别购买，请写出最优惠的购买
方案及其所需总费用．
18．数学活动-探究日历中的数字规律：如图1 是2025 年1 月份的日历，小乐在其中画出一个3 3
的方框（粗
线框），框住九个数，计算其中位置如图2 所示的四个数“
b
c
a
d
”的值．探索其运算结果的规律．
(1)初步分析：计算图1 中
10
22
8
24
的结果为；将3 3
的方框移动到图1 中的其他位置，通过计算
可以发现
b
c
a
d
的值均为；
(2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整．
解：设a
x
，则
2
b
x
，
14
c
x
，d ，
可得b
c
，a
d
，
则
b
c
a
d
；
(3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1 中的日历，继续进行如下探究．请从下列A、B 两题中任
选一题作答．
A．在日历中用“Z 型框”框住位置如图3 所示的四个数，探究“
b
c
a
d
”的值的规律，写出你的结论，
并说明理由；
B．在日历中用“Y 型框”框住位置如图4 所示的四个数，探究“
b
c
a
d
”的值的规律，写出你的结论，
并说明理由．
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