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第13 讲方程与等式的性质
内容导航
01 预习航标→析目标·明方向：预习导航精准定向
02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理
03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解
题型1 判断各式是否是方程
题型2 列方程
题型3 判断是否是一元一次方程
题型4 根据一元一次方程求参数的值
题型5 判断是否是一元一次方程的解
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
题型8 等式的基本性质
04 过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固
关键词
学习目标导航
方程、等式、性质1、
性质2、变形、化归、
等量关系。
1. 理解方程的概念（含有未知数的等式），能区分方程与等式、代数式的区
别。
2. 掌握等式的两个基本性质：性质1（两边同加减同一数或整式，仍相等）；
性质2（两边同乘或除以同一不为0 的数，仍相等）。
3. 能运用等式的性质对等式进行变形，解释变形依据，初步体会化归思想。
4. 能根据实际问题中的等量关系列出方程，感受方程作为刻画数量关系的工
具价值。
学习重点：方程的概念，等式的两条基本性质，以及运用性质进行等式变形。
学习难点：理解等式性质2 中“除以同一个不为0 的数”的必要性，以及运用性质变形时符号和运算
的正确处理（如除以一个数时注意符号变化）。
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知｜识｜框｜架
知｜识｜精｜讲
知识点01 方程的有关概念
定义：含有未知数的等式叫做方程.
【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数．
【易错提醒】
方程概念易错警示：含有未知数的等式。注意：必须同时满足“等式”和“含未知数”两个条件。如2x+3（不
含等号）不是方程，3+5=8（不含未知数）也不是方程。方程的解需代入验证。
即时即练1．已知下列式子：
2
1
8
312
3
1
2
13
10 2
5
7
1
0
1
3
x
x
x
y
x
x
a
x
x
；
；
；
；
；
；
；
．其中
方程的个数为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查的是方程的定义，根据方程的定义对各选项进行逐一分析即可．
【详解】解：12
x
不是等式，所以它不是方程；
2
5
7
是等式，但其中不含未知数，所以它不是方程；
1
0
x
不是等式，所以它不是方程；
2
1
8
3
3
1
2
1 3
10
1
3
x
x
y
x
x
a
x
，
，
，
，
都具备方程的两个条件，所以都是方程．
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故选：C．
知识点02 一元一次方程的概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数．
【易错提醒】
一元一次方程概念易错警示：必须同时满足：整式、一个未知数、未知数次数为1、且未知数系数不为0。
如x2-1=0 是二次，
ͳ
ݔ=1 是分式，0×x=5 无解，均不是。化简后判断。
即时即练1．下列式子：①9
2
x
；②
1
2
x
；③(1
)(1
)
3
x
x
；④3
0
x
；⑤1
5
3
y
；
⑥1
1
1 (
3)
3
5
2
x
x
x
中，一元一次方程共有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查的是一元一次方程的定义，熟知只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的
方程叫一元一次方程是解题的关键．
根据一元一次方程的定义进行分析即可．
【详解】解：①9
2
x
是代数式，不是方程，不合题意，
②
1
2
x
是不等式，不合题意，
③(1
)(1
)
3
x
x
，去括号为
2
1
3
x
，未知数的次数是2，不合题意，
④3
0
x
是一元一次方程，符合题意，
⑤1
5
3
y
是一元一次方程，符合题意；
⑥1
1
1 (
3)
3
5
2
x
x
x
是一元一次方程，符合题意；
故选：C
2．已知关于x 的方程
| |
(
1)
2
3
m
m
x
m
是一元一次方程，则实数m 的取值是（
）
A．1
B．1
C．1 或1
D．0
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据含有一个未知数并且未知数的次数为1 的整式方程，据此
即可作答．
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熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x 的方程
| |
(
1)
2
3
m
m
x
m
是一元一次方程，
1
0
1
m
m
①
②，
由①得
1
m ，
由②得
1
m ，
综上，
1
m ．
故选：B．
知识点03 方程的解、解方程
1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
2.解方程：求方程的解的过程.
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．下列方程中，解为
2
x
的方程是（
）
A．
6
2
x
x
B．
4
2
1
1
x
C．3
2
3
x
D．1
1
0
2 x
【答案】A
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，使方程左右两边相等的未知数的值即为方程的解，把
2
x
代
入各个选项中，比较方程左右两边的值，即可作答．
【详解】解：A、把
2
x
代入，则
6
2
6
4 2
2
4
x
，
，左右两边相等，故该选项是正确的；
B、把
2
x
代入，则
4
2
1
4
2
2 1
2
1
x
，左右两边不相等，故该选项是错误的；
C、把
2
x
代入，则3
2
3 2
2
4
3
x
，左右两边不相等，故该选项是错误的；
D、把
2
x
代入，则1
2 1
2
0
2
，左右两边不相等，故该选项是错误的；
故选：A
知识点04 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
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性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【易错提醒】
方程的解与解方程易错警示：方程的解是使等式成立的未知数的值（具体数）；解方程是求这个值的过程。
注意：代入检验时要两边同时计算，必须使左右相等。勿将化简过程误认为解。
即时即练1．下面利用等式性质对等式进行变形，错误的是（
）
A．若
5
a
，则
2
5
a
a
B．bm
bn
，则m
n
C．若m
n
b
b
，则m
n
D．若
8
2
x
，则
16
x
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：①等式的两边都加（或减）
同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不
等于0 的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、若
5
a
，则
2
5
a
a
，正确，不符合题意；
B、bm
bn
，则m
n
，前提是
0
b
，选项错误，符合题意；
C、若m
n
b
b
，则m
n
，正确，不符合题意；
D、若
8
2
x
，则
16
x
，正确，不符合题意；
故选：B．
2．运用等式性质进行的变形，下列正确的是（
）
A．如果
2
2
ac
bc
，那么a
b
B．如果a
c
b
c
，那么a
b
C．如果a
b
，那么a
b
c
c
D．如果
5
5
a
b
，那么a
b
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】根据等式的性质，等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两
边同时乘以（或除以）同一个不为0 数（或字母），等式仍成立．本题主要考查了等式的基本性质，等式
的两边同时加上（或减去）同一个数（或字母），等式仍成立；等式的两边同时乘以（或除以）同一个不
为0 数（或字母），等式仍成立．
【详解】解：A．若
0
c
，则结论正确，故A 错误，不符合题意；
B．根据等式的基本性质：等式两边同减一个相等的式或数，等式仍然成立，故B 错误，不符合题意；
C．若
0
c
，则结论正确，故C 错误，不符合题意；
D．如果
5
5
a
b
，那么
5
5
5
5
a
b
，即a
b
，故D 正确，符合题意；
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故选：D．
题型1 判断各式是否是方程
【例1】下列式子中，方程的个数是（
）
①3 3 1
5 2
；②
2
2
0
y
；③3
1
5
x
y
；④
1
7
1
4
2
x
x
；⑤x
y
z
；
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键．
根据方程的定义求解即可．
【详解】解：①3 3 1
5 2
中不含有未知数，不是方程；
②
2
2
0
y
不是等式，不是方程；
③3
1
5
x
y
、④
1
7
1
4
2
x
x
符合方程的定义；
⑤x
y
z
是代数式，不是等式，不是方程；
综上，方程有2 个．
故本题选：A．
【例2】在13
5
23
b＋>
；
2.4
30
x
x
；42
3
126
；1.5
70
m
；8
3.6
n
中，方程有（
）个．
A．2
B．3
C．4
【答案】A
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键．
含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可．
【详解】解：方程有：
2.4
30
x
x
，1.5
70
m
，共2 个，
故选：A．
【技巧归纳】
方程：含有未知数的等式。判断要点：有等号“=”，且含有字母（未知数）。如2x+1=0 是方程，2+3=5
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不是（无未知数），2x>1 不是（不等式）。注意等式两边可有代数式。有时含参数，需要区分已知数和未
知数。直接找“=”和字母。
【变式1-1】下列各式3
2
x
，2
1
m
n
，
a
b
b
a （a，b 为已知数），
0
y
，
2
3
2
0
x
x
中，方程
有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程．根据方程的定义可以解答．
【详解】解：2
1
m
n
，
0
y
，
2
3
2
0
x
x
，这3 个式子即是等式又含有未知数，都是方程．
3
2
x
不是等式，因而不是方程．
a
b
b
a （a，b 为已知数）不含未知数，所以不是方程．
故有3 个式子是方程．
故选：C．
【变式1-2】下列各式：①2
1
5
x
；②4
8
12
；③5
8
x ；④2
3
0
x
y
；⑤x ；⑥
2
2
5
1
x
x
；
⑦
1
2
x
；⑧6
6
9
y
y
．其中是方程的有（
）
A．①②④⑤
B．①②⑤⑦⑧
C．①④⑦⑧
D．8 个都是
【答案】C
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。
【详解】解：①2
1
5
x
符合方程的定义，故本小题正确；
②4
8
12
不含有未知数，不是方程，故本小题错误；
③5
8
x 不是等式，故本小题错误；
④2
3
0
x
y
符合方程的定义，故本小题正确；
⑤x 不是等式，故本小题错误；
⑥
2
2
5
1
x
x
不是等式，故本小题错误．
⑦
1
2
x
符合方程的定义，故本小题正确；
⑧6
6
9
y
y
符合方程的定义，故本小题正确．
故选C．
题型2 列方程
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【例3】列等式表示“ x 的2 倍与10 的和等于8”
．
【答案】2
10
8
x
【知识点】列方程
【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可．
【详解】解：由题意可得，2
10
8
x
，
故答案为：2
10
8
x
【例4】设某数为x，如果某数的2 倍比它的相反数大1，那么列方程是
．
【答案】2
1
x
x
【知识点】列方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，数x 的2 倍为2x ，相反数为
x
，据此根据题意列出方程即
可．
【详解】解：由题意得，2
1
x
x
，
故答案为：2
1
x
x
．
【技巧归纳】
找等量关系（关键词：是、等于、比…多/少、倍、和、差）。设未知数，用代数式表示相关量，根据等量
关系列方程。注意单位统一，分清已知与未知。多个条件时选择核心关系列式。检验方程是否反映题意。
列完后检查左右意义一致。
【变式2-1】一个长方形场地的周长为160 米，长比宽的2 倍少1米．如果设这个场地的宽为x 米，那么可以
列出方程为
．
【答案】
2
2
1
160
x
x
【知识点】列方程
【分析】设这个场地的宽为x 米，则长为
2
1
x
米，然后根据长方形的周长公式即可解答．
【详解】解：设这个场地的宽为x 米，则长为
2
1
x
米，
由题意可得：
2
2
1
160
x
x
．
故答案为
2
2
1
160
x
x
．
【变式2-2】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能
够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的1.5倍，碳水化合物，蛋白质与脂
肪的含量共30g ．设蛋白质的含量为g
x ，脂肪的含量为g
y ，可列出方程为
．
【答案】1.5
30
x
x
y
【知识点】列方程
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【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共30g 列方程，
解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．
【详解】解：设蛋白质的含量为g
x ，脂肪的含量为g
y ，则碳水化合物含量为1.5 g
x ，依题意可列方程，
1.5
30
x
x
y
，
故答案为：1.5
30
x
x
y
．
题型3 判断是否是一元一次方程
【例5】下列方程是一元一次方程的是（
）
A．5
1
2
x
B．3
2
0
x
y
C．
2
4
0
x
D．2
5
x
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是
否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1 只含有
一个未知数．
【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意；
B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意；
C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意；
D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意．
故选：A．
【例6】下列方程中，是一元一次方程的是（
）
A．
1
x
B．
2
1
x
C．
1
x
y
D．1
1
x
【答案】A
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．一元一次方程中只含有一个未知数，未知数的最高次数为1 且
两边都是整式．根据一元一次方程的定义判断各选项即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，符合题意；
B、未知数的次数是2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：A
【技巧归纳】
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一元一次方程：含一个未知数，未知数最高次数1，且为整式方程（分母无未知数）。可化为ax+b=0（a≠
0）。判断时：整理后看未知数个数、次数，分母有无未知数，系数a 是否为零。如2x+3=0 是一元一次，x
²=4 不是（次数2），1/x=3 不是（分母含x）。
【变式3-1】已知下列方程：（1）
2
2
x
x
；（2）0.3
1
x ；（3）
5
2
x
x
１；（4）
2
4
3
x
x
；（5）
6
x
；
（6）
2
0
x
y
．其中一元一次方程的个数有（
）
A．2
B．5
C．4
D．3
【答案】D
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个
未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：（1）
2
2
x
x
是分式方程，故（1）不符合题意；
（2）0.3
1
x ，即0.3
1
0
x
，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意；
（3）
5
1
2
x
x
，即9
2
0
x
，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意；
（4）
2
4
3
x
x
的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意；
（5）
6
x
，即
6
0
x
，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意；
（6）
2
0
x
y
中含有2 个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意．
综上所述，一元一次方程的个数是3 个．
故选：D．
【变式3-2】已知下列方程：①
1
2
x
x
；②0.2
1
x ；③
3
3
x
x
；④
6
x
y
；⑤
0
x
，其中一元一
次方程有（
）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【答案】B
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数
不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元) ，并且未知数的指数是1（次) 的方程叫做一元
一次方程．它的一般形式是
0(
ax
b
a
，b 是常数且
0)
a
．
【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程；
②0.2
1
x 是一元一次方程；
③
3
3
x
x
是一元一次方程；
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④
6
x
y
，含有2 个未知数，不是一元一次方程；
⑤
0
x
是一元一次方程．
一元一次方程有：②③⑤共3 个．
故选：B
题型4 根据一元一次方程求参数的值
【例7】已知
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，那么m
．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1 的方程叫
一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案
【详解】解：∵
4
3
1
3
2
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴4
3
1
m
，
∴
1
m ，
故答案为：1．
【例8】已知(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，则m 的值为
．
【答案】1
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m 的方程求解即可得出
答案．
【详解】解：∵(
1)
3
0
m
m
x
是关于x 的一元一次方程，
∴
1
0
m
且
1
m ，
解得：
1
m ，
故答案为：1
．
【技巧归纳】
先将方程化为标准形式ax+b=0，令x 的系数a≠0 且x 的指数为1。若方程含参数，根据条件（如方程是一
元一次）列方程或不等式。如(m-2)x+3=0 是一元一次，则m-2≠0 得m≠2。若有二次项，需使二次项系数为
0。解参数并检验。
【变式4-1】已知关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，则m
．
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【答案】0
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得
1
1
m
且
2
0
m
，据此即可求解，掌
握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于x 的方程
1
2
0
m
m
x
是一元一次方程，
∴
1
1
m
且
2
0
m
，
解得
0
m
，
故答案为：0 ．
【变式4-2】若关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，则m 的值为
．
【答案】1或0
【知识点】一元一次方程的定义
【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数
不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有3种情况，分别讨论①当
0
m
且
1
0
m
时，②当
0
m
且
1
0
m
时，③当
1
0
m
时是否满足该方程为一元一次方程即可．
【详解】解：
关于x 的方程
2
1
1
2
0
m
mx
m
x
是一元一次方程，
可考虑三种情况，
①当
0
m
且
1
0
m
时，
即
0
m
且
1
m ，
则2
1
1
m ，解得：
1
m ，
此时
1
m ，故排除；
②当
0
m
且
1
0
m
时，
即
0
m
且
1
m ，
0
m
，符合条件；
③当
1
0
m
即
1
m 时，
2
1
1
m ，符合条件；
综上：m 的值为1或0 ，
故答案为：1或0 ．
题型5 判断是否是一元一次方程的解
【例9】下列方程中，解为
1
x 的是（
）
A．
1
0
x
B．2
1
x
x
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C．
2
x
x
D．
1
1
3
2 x
【答案】B
【知识点】方程的解
【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案．
【详解】解：A、当
1
x 时，
1
2
0
x
，故此选项不符合题意；
B、当
1
x 时，2
1 1
x ，故此选项符合题意；
C、当
1
x 时，
1
3
1
x
，故此选项不符合题意；
D、当
1
x 时，
1
1
1
3
2
2
x
，故此选项不符合题意．
故选：B．
【例10】下列方程中，解为
2
x
的是（
）
A．
2
0
x
B．1
2
3
x
C．
1
1
3
x
x
D．0.2
1
x
【答案】C
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，把
2
x
代入每个方程，看看方程左右两边是否相等即可，能熟记
方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解）是解此题的关键．
【详解】解：A．把
2
x
代入方程
2
0
x
，得左边
2
2
4
，右边
0
，左边右边，
所以
2
x
不是方程
2
0
x
的解，故本选项不符合题意；
B．把
2
x
代入方程1
2
3
x
，得左边
1 2 2
3
，右边
3
，左边右边，
所以
2
x
不是方程1
2
3
x
的解，故本选项不符合题意；
C．把
2
x
代入方程
1
3(
1)
x
x
，得左边
2
1
3
，右边
3
(2
1)
3
，左边右边，
所以
2
x
是方程
1
3(
1)
x
x
的解，故本选项符合题意；
D．把
2
x
代入方程0.2
1
x ，得左边
0.2
2
0.4
，右边
1
，左边右边，
所以
2
x
不是方程0.2
1
x 的解，故本选项不符合题意．
故选：C．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式5-1】下列方程中，解是
1
x 的方程是（
）
A．
2
1
4
x
B．
2
1
4
x
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C．
2 1
4
x
D．
2
1
2
x
【答案】B
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将
1
x 分别
代入方程计算即可．
【详解】解：A、
2
1 1
4
4
，不符合题意；
B、
2
1 1
4
，符合题意；
C、
2 1
1
4
4
，不符合题意；
D、
2
1
1
0
2
，不符合题意；
故选：B．
【变式5-2】下列方程中，解是
1
2
x
的是（
）
A．2
4
x
B．2
3
1
x
C．
1
1
2
3
4
x
D．
3
1
1
2
4
x
【答案】D
【知识点】方程的解
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的
值，就是方程的解”是解题的关键．
分别将
1
2
x
依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解．
【详解】解：分别将
1
2
x
依次代入每个方程，
A. 左边
1
，右边
4
，
左边右边，
1
2
x
不是方程的解；
B. 左边
4
，右边
1
，
左边右边，
1
2
x
不是方程的解；
C. 左边
5
4
，右边
3
4
，
左边右边，
1
2
x
不是方程的解；
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D. 左边
3
4
，右边
3
4
，
左边右边，
1
2
x
是方程的解；
故选：D ．
题型6 已知一元一次方程的解求参数的值
【例11】若
2
x
是方程8 3x
ax
的解，则a
．
【答案】1
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将
2
x
代入
原方程进行解答即可．
【详解】解：把
2
x
代入8 3x
ax
得：8
3
2
2a
，
解得：
1
a ，
故答案为：1．
【例12】
1
x 是方程3
1
0
x
m
的解，则m 的值是
．
【答案】4
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查了一元一次方程的解，将
1
x 代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的
解的概念及应用．
【详解】把
1
x 代入方程3
1
0
x
m
得，
3
1
1
0
m
，
解得：
4
m ，
故答案为：4
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式6-1】若关于x 的方程2
3
x
k
的解为
1
x ，则k 的值为
．
【答案】1
【知识点】方程的解
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【分析】本题考查方程的解，将
1
x 代入方程，进行求解即可．
【详解】解：把
1
x ，代入2
3
x
k
，得：2
3
k
，
∴
1
k ；
故答案为：1．
【变式6-2】
2
x
是方程
1
2
x
a
x
的解，则a
．
【答案】0
【知识点】方程的解
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方
程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可．
【详解】∵
2
x
是方程
1
2
x
a
x
的解，
∴2
2 1
2
a
，
解得
0
a
，
故答案为：0 ．
题型7 已知一元一次方程的解求代数式的值
【例13】若
2
x
是方程
4
a
bx
的解，则6
3
2023
b
a
的值为
．
【答案】2035
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、方程的解
【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把
2
x
代入方程，得
出
2
4
a
b
，进而可得6
3
12
b
a
，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵
2
x
是方程
4
a
bx
的解，
∴
2
4
a
b
，
∴3
6
12
a
b
，即6
3
12
b
a
，
∴6
3
2023
12
2023
2035
b
a
，
故答案为：2035．
【例14】若关于x 的方程
2
1
ax
a
b
的解是
3
x ，则a
b
的值为
．
【答案】1
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了方程解的概念，将
3
x 代入方程
2
1
ax
a
b
，即可求解．
【详解】解：
关于x 的方程
2
1
ax
a
b
的解是
3
x ，
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将
3
x 代入方程
2
1
ax
a
b
，有3
2
1
a
a
b
，
整理得
1
a
b
，则
1
a
b
，
故答案为：1
．
【技巧归纳】
将待验证值代入方程左右两边，分别计算，若左右相等，则是方程的解，否则不是。注意代入时加括号，
特别是负数。也适用于分式方程（需检验分母不为0）。若题目给多个值，逐个验证。也可通过等式变形快
速检验。
【变式7-1】已知关于x 的一元一次方程
1
4
6
m x
n
的解是
1
x ，则
2
3
m
n
的值为
．
【答案】0
【知识点】方程的解
【详解】把
1
x 代入方程
1
4
6
m x
n
中得，2
4
6
m
n
，即
2
3
m
n
，
∴
2
3
3 3
0
m
n
．
【变式7-2】如果
3
x
是方程
5
2
ax
b
x
的解，那么3
6
2
a
b
．
【答案】1
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把
3
x
代入方程得到3
1
a
b
，再把3
6
2
a
b
变形为
3
2( 3
)
a
b
，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：
3
x 是方程
5
2
ax
b
x
的解，
3
1
a
b
，
3
2( 3
)
3
2
( 1)
3
2
1
a
b
．
故答案为：1．
题型8 等式的基本性质
【例15】运用等式性质进行的变形，正确的是（
）
A．若ac
bc
，则a
b
B．若a
b
c
c
，则a
b
C．若2
4
a
b
，则
4
2
b
a
D．若
1
6
3 x
，则
2
x
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性
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质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0 的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得
到答案．
【详解】解：A、若ac
bc
，当
0
c
时，a
b
，原变形错误，不符合题意；
B、若a
b
c
c
，则a
b
，原变形正确，符合题意；
C、若2
4
a
b
，则
2
4
b
a
，原变形错误，不符合题意；
D、若
1
6
3 x
，则
6
3
18
x
，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
【例16】已知等式a
b
，下列变形不正确的是（
）
A．3
2
3
2
a
b
B．3
3
a
b
C．5
5
a
b
D．
1
1
a
b
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵a
b
，
∴3
2
3
2
a
b
，3
3
a
b
，5
5
a
b
，
1
1
1
a
b
b
，
∴A、B、C 正确，故不符合要求；D 错误，故符合要求；
故选：D．
【技巧归纳】
性质1：两边同加（减）同一个数，等式仍成立。性质2：两边同乘（除）同一个不为0 的数，等式仍成立。
应用：移项（性质1）、去分母（性质2）。注意除以一个式子时确保它不为0。性质2 反向也成立（同除
为0 除外）。用于方程变形。
【变式8-1】下列等式变形正确的是（
）
A．如果
3
3
x
y
，那么
0
x
y
B．如果mx
my
，那么x
y
C．如果
1
2
s
ab
，那么
2
s
b
a
D．如果1
6
2 x
，那么
3
x
【答案】A
【知识点】等式的性质
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质，逐项判断，即得．
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【详解】解：A、
3
3
x
y
，
等号两边都减y 加3，
得
0
x
y
，
故本选项正确，
符合题意；
B、mx
my
，
当
0
m
时，x
y
，
故本选项错误，
不符合题意；
C、
1
2
s
ab
，
当
0
a
时，
2s
b
a
，
故本选项错误，
不符合题意；
D、1
6
2 x
，
两边都乘以2，
得
12
x
，
故本选项错误，
不符合题意．
故选：A．
【变式8-2】下列说法错误的是（
）
A．若2
2
x
y
，则x
y
B．若
2
5
x
x
，则
5
x
C．若a
b
，则
6
6
a
b
D．若
2
2
1
1
a
b
c
c
，则a
b
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解
题的关键．
【详解】解：A 、∵2
2
x
y
，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为0 的数，两边仍然相
等”可得x
y
，
∴A 正确，不符合题意；
B 、∵
2
5
x
x
，当
0
x
时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为0 的数，两边仍然相等”，
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可得
5
x
；当ݔᦙ䁪时，0
0
，可得ݔᦙ䁪，
∴ݔᦙ䁪或5，
∴B 错误，符合题意；
C 、∵a
b
，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得
6
6
a
b
，
∴C 正确，不符合题意；
D 、∵
2
2
1
1
a
b
c
c
，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得a
b
，
∴D 正确，不符合题意；
故选：B ．
一、单选题
1．下列方程中，是一元一次方程的是（
）
A．4
5
3
x
B．
2
3
m
m
C．
3
4
x
y
D．
2
3
42
x
x
【答案】A
【分析】本题考查一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次
数为1，且等号两边都是整式的方程，逐一判断选项即可．
【详解】
一元一次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③是整式方程．
依次判断各选项：
选项A ：4
5
3
x
，满足三个条件，是一元一次方程；
选项B：
2
3
m
m
，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件；
选项C ：
3
4
x
y
，含有x 和y 两个未知数，不满足条件；
选项D ：
2
3
42
x
x
，未知数x 的最高次数为2 ，不满足条件；
故选A ．
2．下列利用等式的基本性质变形，错误的是（
）．
A．如果2
2
x
y
，那么x
y
B．如果
2
5
x
x
，那么
5
x
C．如果a
b
，那么
6
6
a
b
D．如果
2
2
1
1
a
b
c
c
，那么a
b
【答案】B
【分析】根据等式两边同时加、减同一个数，等式仍然成立以及等式两边同时乘同一个数，或除以同一个
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不为0 的数，等式仍然成立逐一分析选项找出变形错误的一项．
【详解】A、如果2
2
x
y
，等式两边都除以2
，那么x
y
，A 正确；
B、如果
2
5
x
x
，当
0
x
时，得不出
5
x
，B 错误；
C、如果a
b
，等式两边都减6，那么
6
6
a
b
，C 正确；
D、等式两边都乘
2
1
c ，得a
b
，D 正确．
3．已知
2
x
是关于x 的方程2
6
x
m
的解，则m 的值为（
）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】方程的解满足方程，将已知解
2
x
代入原方程，即可计算求出m 的值．
【详解】解：∵
2
x
是方程2
6
x
m
的解，
∴将
2
x
代入原方程得：2 2
6
m
化简得4
6
m
，
移项计算得
6
4
2
m
，
因此m 的值为2 ．
4．解方程
1
1
2
2
2
x
x
时，墨水把其中一个数字染成了
，查阅答案方程的解为
5
3
x
，则
处
的数为（
）
A．2
B．3
C．െ͵
D．2
【答案】B
【分析】根据方程的解代入求参数即可．
【详解】
解：将
5
3
x
代入原方程可得
5
1
5
1
2
3
2
3
2
，
解得
处的数为1
10
5
3
2
3
6
．
5．关于x 的方程
3
0
ax
b
的一个解是
2
x
，则2026
2a
b
（
）
A．2026
B．2025
C．2024
D．2023
【答案】D
【分析】将
2
x
代入方程
3
0
ax
b
，得到2
3
0
a
b
，从而2
3
a
b
，再代入所求表达式计算即可．
【详解】解：∵
2
x
是方程
3
0
ax
b
的解，
∴代入得2
3
0
a
b
，
即2
3
a
b
，
∴
2026
2
2026
2
2026
3
2023
a
b
a
b
．
二、填空题
6．由“ x 的2 倍与3 的和等于5”可列方程为_____．
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【答案】2
3
5
x
【分析】根据题意将文字描述转化为代数式，结合等量关系列出方程即可
【详解】解：x 的2 倍可表示为2x ，x 的2 倍与3 的和可表示为2
3
x ，
根据和等于5，列方程为2
3
5
x
7．关于x 的方程
2
12
0
mx
x
的解为
3
x
，则m 的值为_____
【答案】2
【分析】根据方程的解的定义，将已知解
3
x
代入原方程，得到关于m 的一元一次方程，解该方程即可求
出m 的值．
【详解】解：将
3
x
代入原方程，得3
2 3 12
0
m
，
解得：
2
m
．
8．已知等式
2
3
5
0
m
m
x
是关于x 一元一次方程，则m _________．
【答案】1
【分析】本题考查一元一次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1，一次项系数不为0 的方
程叫做一元一次方程，其一般形式为
0
ax
b
（a，b 是常数且
0
a
），据此列出关于m 的关系式，即可
求解得到m 的值．
【详解】解：根据题意，由一元一次方程的定义得
2
1
m
且
3
0
m
，
由
2
1
m
可得
2
1
m
或
2
1
m
，
解得
3
m
或
1
m ，
结合
3
0
m
即
3
m ，
可得
1
m ，
故答案为：1．
9．若关于x 的一元一次方程2
6
0
ax
bx
的解是
2
x
，则2
4
a
b
的值是_______
【答案】1
【分析】由方程的解可得4
2
6
0
a
b
，可得2
3
a
b
，再进一步求解即可．
【详解】解：∵关于x 的方程2
6
0
ax
bx
的解为
2
x
，
∴4
2
6
0
a
b
，
∴2
3
a
b
，
∴2
4
3
4
1
a
b
．
10．已知关于x 的方程4
2
12
kx
a
x
bk
（a ，b 为常数），无论k 为何值，它的解总是
1
x ，则2a
b
的
值是______．
【答案】
17
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【分析】将已知解代入原方程，整理为关于k 的等式，根据等式对任意k 恒成立，得到关于a和b 的关系式，
再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：把
1
x 代入方程4
2
12
kx
a
x
bk
得4
2
12 1
k
a
bk
，
整理得
4
2
13
0
b k
a
，
因为无论k 为何值，方程的解总是
1
x ，所以等式对任意k 恒成立，
因此
4
0
{2
13
0
b
a
，
解得：
4
b ，2
13
a
，
将结果代入2a
b
得
2
13
4
17
a
b
．
三、解答题
11．判断下列变形是否正确，若正确，指出依据的等式性质．
(1)如果x
y
，那么
3
3
x
y
；
(2)如果2
2
a
b
，那么a
b
；
(3)如果a
b
，那么ac
bc
；
(4)如果x
y
a
a
，那么x
y
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】本题考查等式的基本性质：①等式两边同时加上（减去）同一个数，等式仍然成立；②等式两边
同时乘以（除以）同一个不为0 数，等式仍然成立，熟记等式的基本性质是解决问题的关键．
（1）由等式的基本性质1 逐项验证即可得到答案；
（2）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（3）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案；
（4）由等式的基本性质2 逐项验证即可得到答案．
【详解】（1）解：正确．
等式两边都加上同一个数，结果仍相等．依据：等式性质1；
（2）解：正确．
等式两边都除以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（3）解：正确．
等式两边都乘同一个数，结果仍相等．依据：等式性质2；
（4）解：正确．
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由x
y
a
a
知
0
a
，等式两边都乘以同一个不为0 的数，结果仍相等．依据：等式性质2．
12．根据下列条件列出方程：
(1) x 的5倍与2 的和等于x 的3倍与4 的差．
(2)某数的1
2 比它本身小6．（设这个数为x ）
(3)一个数的3倍加上5等于这个数的5倍减去11．（设这个数为x ）
【答案】(1)5
2
3
4
x
x
(2) 1
6
2 x
x
(3)3
5
5
11
x
x
【分析】本题考查了列一元一次方程，熟练掌握方程的列法是解题的关键．
（1）根据题意列出方程即可；
（2）根据题意列出方程即可；
（3）根据题意列出方程即可．
【详解】（1）解：由题意可得：5
2
3
4
x
x
；
（2）解：由题意可得：1
6
2 x
x
；
（3）解：由题意可得：3
5
5
11
x
x
．
13．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程4
8
x
和
1
0
x
为“美好方程”．
(1)若关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
7
x
x
是“美好方程”，求m 的值；
(2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n 的值．
【答案】(1)
4
m
(2)
7
2
n
或
9
2
n
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关
键．
（1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m 的方程，再求出m 即可；
（2）设另一个方程的解为1 n
，列出方程，求出n 值即可．
【详解】（1）解：由条件可知
2
m
x
，
4
2
7
x
x
，
∴ݔᦙ͵，
关于x 的方程2
0
x
m
与方程4
2
10
x
x
是“美好方程”，
3
1
2
m
，
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解得
4
m
；
（2）解：由条件可知另一个方程的解为：1 n
，
又
两个方程解的差为8，
得：
1
8
n
n
1
8
n
n
或1
8
n
n
，
7
2
n
或
9
2
n
．
14．请用式子表示下列问题中的数量关系，并判断所列式子中，哪些是一元一次方程．
(1)x 与3 的差是5．
(2)代数式2
x
与2
5
y
的值相等．
(3)两个正方形的边长分别为ݔcm，ݕcm，它们的面积差为
2
7cm ．
(4)小明参加学校的乒乓球比赛，胜了x 场，负了ͺ െݔ场，胜的场数大于负的场数．
【答案】(1)
3
5
x
，是一元一次方程
(2) 2
2
5
x
y
，不是一元一次方程
(3)
2
2
7
x
y
，不是一元一次方程
(4)
8
x
x
，不是一元一次方程
【分析】本题考查了列方程，一元一次方程的定义．
（1）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（2）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（3）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可；
（4）根据题意列出方程，再根据一元一次方程的定义判断即可．
【详解】（1）解：根据题意，x 与3 的差是5，可得
3
5
x
．该式只含一个未知数x，且未知数的次数为
1，是一元一次方程；
（2）解：根据题意，代数式2
x
与2
5
y
的值相等，可得2
2
5
x
y
．该式含有两个未知数x 和y，不
是一元一次方程；
（3）解：根据题意，两个正方形的面积差为
2
7cm ，可得
2
2
7
x
y
．该式含有两个未知数x 和y，且次数
为2，不是一元一次方程；
（4）解：根据题意，胜的场数大于负的场数，可得
8
x
x
．该式不是等式，不是方程，因此不是一元一
次方程．
15．已知两个整式M
x
y
，N
x
y
，将整式M 与整式N 求和后得到整式
1
2 .
A
x
此操作记作第一次求
和操作；将第一次求和操作的结果
1A 加上
2
M
N
的结果记为
2
A ，记作第二次求和操作；将第二次求和操
作的结果
2
A 加上2
3
M
N
的结果记为
3
A ，记作第三次求和操作；将第三次操作的结果
3
A 加上3
4
M
N
的结
果记为
4
A ，记作第四次求和操作，…，以此类推．
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根据以上材料，回答下列问题：
(1)【理解定义】
①计算：
2
A ______，
3A ______（用含x，y 的代数式表示）；
②观察前三次的结果，猜想
n
A ______（用含n，x，y 的代数式表示）．
(2)【初步应用】
当
3
y
x
时，
①
6
A ______；
②若关于x 的方程
6
3
1
1
2
5
48
2
2
A
A
m
A
有无数个解，则m ______．
(3)【深入探究】
当n 为大于3 的正整数时，
2
1
1
3
2
1
k
k
m
n
A
A
m
x
m
y
x y
是关于x，y 的五次三项式( 其中m 和
k 均为整数) ，则
m
k 的值为______．
【答案】(1)①5x
y
，10
2
x
y
；②
2
1
1
n
x
n
y
(2)①22x ；②24
(3)4 或0 或2
【分析】（1）根据所给操作方式进行计算即可；
（2）结合（1）中发现的规律进行计算即可；
（3）根据题意，求出m 和k 的值即可解决问题．
【详解】（1）解：①由题意知，
2
2
2
2
5
A
x
x
y
x
y
x
y
，
3
5
2
2
3
3
10
2 .
A
x
y
x
y
x
y
x
y
②因为
1
2
A
x
，
2
5
A
x
y
，
3
10
2
A
x
y
，
4
10
2
3
3
4
4
17
3
A
x
y
x
y
x
y
x
y
，…，
所以
2
1
1
.
n
A
n
x
n
y
（2）解：①因为
2
6
6
1
6 1
37
5 .
A
x
y
x
y
则当
3
y
x
时，
6
37
15
22 .
A
x
x
x
②当
3
y
x
时，
3
10
6
4
A
x
x
x
，
则原方程为
2 22
5 4
48
2
x
x
m
x
，
整理得，
24
2
2
x
m x
，
因为此方程有无数个解，
所以
24.
m
（3）解：由题意知，
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原多项式为
2
1
1
2
9
3
2
1
.
k
k
m
n
x
n
y
m
x
m
y
x y
因为n 为大于3 的正整数，
所以
2
9
3
n
x
n
y
是一个二项式．
因为该多项式是关于x，y 的五次三项式，
所以
2
0
m
或
1
0.
m
当
2
0
m
，即
2
m
时，要使该多项式为五次的，
则2
1
5
k
，
解得
2
k
或4
，
经检验，都符合题意，
所以
4
m
k
或2
；
当
1
0
m
，即
1
m 时，要使该多项式为五次的，
则3
1
5
k
或1
1
5
k
，
由3
1
5
k
得，݇
ᦙ͵ 或1
，
经检验，都符合题意，
所以
4
m
k
或0；
由1
1
5
k
得，݇
ᦙ͵ 或5
，
5
k
时，该多项式为九次三项式，故舍去；
当݇
ᦙ͵ 时，符合题意，
则
4
m
k
，
综上所述，
m
k 的值为4 或0 或2.
夸克群
群满加Q
秘塔
QQ群
AI
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群
满
或
未
通
过
：
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