文档文本内容
第14讲 圆锥曲线中的定值问题
（核心考点精讲精练）
1. 4年真题考点分布
4年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2021年新I卷，第21题,12分 双曲线中的定值问题 求双曲线的轨迹方程
根据椭圆过的点求标准方程
2020年新I卷，第22题,12分 椭圆中的定值问题
椭圆中存在定点满足某条件问题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-12分
【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线的定值问题
2.会定值相关的计算
【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，
需强化训练复习
考点一、 椭圆中的定值问题
1．（山东·统考高考真题）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程：
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得 为定值．2．（北京·统考高考真题）已知椭圆 过点 ，且 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的值．
3．（2023·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外切矩形的顶点在一
个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ， 存在，证明：
为定值.
4．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）已知定圆F： ，动圆H过点
且与圆F相切，记圆心H的轨迹为C．
(1)求曲线C的方程．
(2)已知 ， ，点M是曲线C上异于A、B的任意一点，设直线AM与直线l： 交于点N，
求证： ．
1．（2023·河北保定·统考二模）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为短轴长的2倍，若椭
圆 经过点 ，
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 是椭圆上不同于点 的两个动点，直线 与 轴围成底边在 轴上的等腰三角形，证明：直
线 的斜率为定值．
2．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考三模）已知椭圆 的左、右焦点为
，离心率为 .点 是椭圆 上不同于顶点的任意一点，射线 分别与椭圆 交于点 ，
的周长为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 ， ， 的面积分别为 .求证： 为定值.3．（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ： 的右顶点和
上顶点， ，直线 的斜率为 .
(1)求椭圆的方程；
(2)直线 ，与 ， 轴分别交于点 ， ，与椭圆相交于点 ， .
（i）求 的面积与 的面积之比；
（ⅱ）证明： 为定值.
4．（2023·黑龙江大庆·统考二模）已知椭圆C： 的离心率 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知经过定点 的直线l与椭圆相交于A，B两点，且与直线 相交于点Q，如果 ，
，那么 是否为定值？若是，请求出具体数值；若不是，请说明理由．
考点 二 、 双曲线中的定值问题
1．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系 中，已知点 、
，点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 、 两点和 ， 两点，且 ，
求直线 的斜率与直线 的斜率之和.
2．（2023·江苏徐州·徐州市第七中学校考一模）已知双曲线 的实轴长为4，左､右顶
点分别为 ，经过点 的直线 与 的右支分别交于 两点，其中点 在 轴上方.当 轴
时，
(1)设直线 的斜率分别为 ，求 的值；
(2)若 ，求 的面积.1．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知双曲线 的离心率为 ，且经过点
．
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知过点 的直线 与过点 的直线 的交点N在双
曲线C上，直线 与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，证明 为定值，并
求出定值．
所以 所在的直线方程为 ，
将直线 与渐近线方程联立得 ，解得 ,
即 ，同理得 ，
所以 ，
因为
，
所以 ，
所以 为定值6.
【点睛】求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．2．（2023·山东德州·三模）已知 分别为双曲线 的左，右焦点，点 在
上，且双曲线 的渐近线与圆 相切．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 且斜率为 的直线 交双曲线 的右支于 两点， 为 轴上一点，满足 ，试问
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
考点 三 、 抛物线中的定值问题
1．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）在平面直角坐标系xOy中，点P到点 的距离比到y轴的
距离大1，记点P的轨迹为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)过点F且斜率不为零的直线l交椭圆E： 于A，B两点，交曲线C于M，N两点，若
为定值，求实数λ的值．
2．（2023·辽宁大连·大连八中校考三模）在平面直角坐标系 中，已知抛物线 ： 和点
.点 在 上，且 .
(1)求 的方程；
(2)若过点 作两条直线 ， ， 与 相交于 ， 两点， 与 相交于 ， 两点线段 ， 中点的
连线的斜率为 ，直线 ， ， ， 的斜率分别为 ， ， ， .证明： ，且
为定值.
1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知抛物线T的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过
， ， ， 四点中的两点.
(1)求抛物线T的方程：(2)已知圆 ，过点 作圆的两条切线，分别交抛物线T于 ，
和 ， 四个点，试判断 是否是定值?若是定值，求出定值，若不是定值，
请说明理由.
2．（2023·江苏·校联考模拟预测）设抛物线C： 的焦点为F，P是抛物线外一点，直线PA，PB与
抛物线C切于A，B两点，过点P的直线交抛物线C于D，E两点，直线AB与DE交于点Q.
(1)若AB过焦点F，且 ，求直线AB的倾斜角；
(2)求 的值.
【能力提升】
1．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）已知 是圆 上一动点，定点 ，线段
的垂直平分线 与直线 交于点 ，记点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与曲线 恰有一个共点，且 与直线 ， 分别交于 、 两点， 的
面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．
2．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考二模）已知双曲线 的左、右顶点分别为A，A，动直
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线l： 与圆 相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为 （ ， ）， （ ， ）．
(1)求k的取值范围；
(2)记直线PA 的斜率为k，直线PA 的斜率为k，那么 是定值吗？证明你的结论．
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3．（2023·江西吉安·江西省万安中学校考一模）设抛物线 的焦点为 ，动直线
与抛物线 交于 ， 两点，且当 时， .
(1)求抛物线 的方程；(2)连接 ， 并延长分别交抛物线 于两点 ， ，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，求证：
是定值，并求出该值.
4．（2023·辽宁鞍山·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右顶点分别为 ，
，右焦点为 ，O为坐标原点，OB的中点为D（D在 的左方）， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是 ， ，试问
是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
5．（2023·河北·校联考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别是 ， 是椭圆上
一动点(与左右顶点不重合)，已知 的内切圆半径的最大值是 椭圆的离心率是 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过 作斜率不为0的直线 交椭圆于 两点，过 作垂直于 轴的直线交椭圆于另一点 ，连
接 ，设 的外心为 ，求证： 为定值.
6．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）（1）若椭圆 的离心率
，且被直线 截得的线段长为 ，求椭圆 的标准方程；
（2）椭圆 ，其中 ，若点 是 上的任意
一点，过点 作 的切线交 于 两点， 为 上异于 的任意一点，且满足 ，问：
是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由.
7．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ，离心率为 ，点 是 右支上一点， 的面积为4．
(1)求 的方程；
(2)点A是 在第一象限的渐近线上的一点， 轴，点 是 右支在第一象限上的一点，且 在点 处
的切线 与直线 相交于点 ，与直线 相交于点 ．试判断 的值是否为定值？若为定值，
求出它的值；若不为定值，请说明理由．8．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）已知双曲线 ： （ ， ）的离心率是 ，
实轴长是2， 为坐标原点.设点 为双曲线 上任意一点，过点 的直线 与双曲线 的两条渐近
线分别交于 ， 两点， 的面积为 .
(1)当 的方程为 时，求 的值；
(2)设 ，求证： 为定值.
9．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考一模）已知点 在抛物线 上，且到抛物线
的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线 交于点 ，且
点 到直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.
10．（2023·湖北武汉·统考三模）已知双曲线 ： 的一条渐近线为 ，椭圆 ：
的长轴长为4，其中 .过点 的动直线 交 于A，B两点，过点Р的动直线 交
于M，N两点.
(1)求双曲线 和椭圆 的方程；
(2)是否存在定点Q，使得四条直线QA，QB，QM，QN的斜率之和为定值?若存在，求出点Q坐标；若不
存在，说明理由.
11．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）如图， ， ， ， 是抛物线 ： 上的四个
点（ ， 在 轴上方， ， 在 轴下方），已知直线 与 的斜率分别为 和2，且直线 与
相交于点 ．(1)若点 的横坐标为6，则当 的面积取得最大值时，求点 的坐标．
(2)试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
12．（2023·安徽黄山·统考二模）已知拋物线 ， 为焦点，若圆 与拋
物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为 .求证：
恒为定值.
【真题感知】
1．（四川·高考真题）过点C(0，1)的椭圆 的离心率为 ，椭圆与x轴交于两点
、 ，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q
．
（I）当直线l过椭圆右焦点时，求线段CD的长；
（Ⅱ）当点P异于点B时，求证： 为定值．
2．（重庆·高考真题）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为 ，右准线l的方程为： ．
(1)求椭圆的方程；
(2)在椭圆上任取三个不同点 ，使 ，证明： 为定值，并求此定值．
3．（四川·高考真题）椭圆 （ ）的离心率是 ，点 在短轴 上，且
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 为坐标原点，过点 的动直线与椭圆交于 两点，是否存在常数 ，使得 为
定值？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由
4．（北京·高考真题）已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ， ， ， ，
的面积为1.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是椭圆 上一点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求证： 为定
值.
5．（四川·高考真题）已知椭圆 ： 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三
个顶点，直线 ： 与椭圆 有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆 的方程及点 的坐标；
（Ⅱ）设 是坐标原点，直线 平行于 ，与椭圆 交于不同的两点 、 ，且与直线 交于点 ，证明：
存在常数 ，使得 ，并求 的值．
6．（山东·高考真题）如图，已知椭圆 的离心率为 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、
右焦点 为顶点的三角形的周长为 .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 为该双曲线上
异于顶点的任一点，直线 和 与椭圆的交点分别为 和 .
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 、 的斜率分别为 、 ，证明 ；（Ⅲ）是否存在常数 ，使得 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由.
1．（Ⅲ）7．（北京·高考真题）已知抛物线C： =2px经过点 （1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛
物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；
（Ⅱ）设O为原点， ， ，求证： 为定值．
8．（江西·高考真题）如图，已知抛物线 ，过点 任作一直线与 相交于 两点，过点
作 轴的平行线与直线 相交于点 （ 为坐标原点）.
(1)证明：动点 在定直线上；
(2)作 的任意一条切线 （不含 轴）与直线 相交于点 ，与（1）中的定直线相交于点 ，证明：
为定值，并求此定值.
