关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
专题14 等差数列性质归类
目录
题型一：定义法判断等差数列.............................................................................................................................................1
题型二：定义法求通项.........................................................................................................................................................4
题型三：等差中项.................................................................................................................................................................6
题型四：等差数列的“中点”性质.....................................................................................................................................8
题型五：an 与sn 的关系‘.................................................................................................................................................10
题型六：双等差数列sn 比值型.........................................................................................................................................12
题型七：等差数列型函数和...............................................................................................................................................14
题型八：奇数项与偶数项和型...........................................................................................................................................17
题型九：等差数列的函数性质：单调性...........................................................................................................................18
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值..........................................................................................................................21
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型...........................................................................................................22
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参...........................................................................................................26
题型十三：等差数列的函数性质：范围型.......................................................................................................................29
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与n 比值型...........................................................................................................31
题型十五：等差数列与三角函数.......................................................................................................................................33
题型十六：等差数列思维第19 题型综合.........................................................................................................................35
题型一：定义法判断等差数列
1．（2024·北京西城·三模）中国古代科学家发明了一种三级漏壶记录时间，壶形都为正四棱台，自上而下，
三个漏壶的上底宽依次递减1 寸（约3.3 厘米），下底宽和深度也依次递减1 寸.设三个漏壶的侧面与底面
所成的锐二面角依次为
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接
，过边
的中点
作
，垂足为
，则
就是漏壶的侧面与底面所成锐二
面角的一个平面角，记为
，设漏壶上口宽为
，下底宽为
，高为
，在
中，根据等差数列即可
求解.
【详解】三级漏壶，壶形都为正四棱台，自上而下，三个漏壶的上口宽依次递减1 寸（约3.3 厘米），下
底宽和深度也依次递减1 寸，
如图，在正四棱台
中，
为正方形
的中心，
是边
的中点，
等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母
表示，定义表达式为
（常数）
1
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
连结
，过边
的中点
作
，垂足为
，
则
就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为
，
设漏壶上口宽为
，下底宽为
，高为
，
在
中，
，
，
因为自上而下三个漏壶的上口宽成等差数列，下底宽也成等差数列，且公差相等，
所以
为定值，
又因为三个漏壶的高
成等差数列，所以
.
故选：
．
【点睛】关键点点睛：对于情境类问题首先要阅读理解题意，其次找寻数学本质问题，本题在新情境的基
础上考查等差数列的相关知识.
2．（23-24 高三下·上海浦东新·期中）设
，记
，令有穷数列
为
零点的个数
，则有以下两个结论：
①存在
，使得
为常数列；②存在
，使得
为公差不为零的等差数列.那么（ ）
A．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C．①②都正确
D．①②都错误
【答案】C
【分析】对于①，列举
验证，对于②，列举
验证.
【详解】当
时，
，此时
，
，此时
，
，此时
，
故存在
，使
为常数列；①正确；
设
，则
有
个零点
，
则
在
的每个区间内各至少一个零点，故
至少有
个零点，
因为是一个
次函数，故最多有
个零点，因此
有且仅有
个零点，
同理，
有且仅有
个零点，
，
有且仅有
个零点，
故
，所以{bn}是公差为
的等差数列，故②正确.
故选：C.
3．（23-24 高三上·北京海淀·阶段练习）斐波那契数列又称为黄金分割数列，在现代物理、化学等领域都
有应用.斐波那契数列
满足
，
.给出下列四个结论：
① 存在
，使得
，
，
成等差数列；
② 存在
，使得
，
，
成等比数列；
③ 存在常数，使得对任意
，都有
，
，
成等差数列；
④ 存在正整数
，且
，使得
.
2
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
其中所有正确的个数是（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】由递推公式得
性质后判断，
【详解】对于①，由题意得
，故
成等差数列，故①正确，
对于②，由递推公式可知
，
，
中有两个奇数，1 个偶数，不可能成等比数列，故②错误，
对于③，
，
故当
时，对任意
，
，
，
成等差数列；故③正确，
对于④，依次写出数列中的项为
，
可得
，故④正确，
故选：C
4．（21-22 浙江金华·阶段练习）已知各项均不为零的数列{an}，定义向量
.
下列命题中正确的是
A．若任意n∈N*总有cn⊥bn 成立，则数列{an}是等比数列
B．若任意n∈N*总有cn∥bn 成立，则数列{an}是等比数列
C．若任意n∈N*总有cn⊥bn 成立，则数列{an}是等差数列
D．若任意n∈N*总有cn∥bn 成立，则数列{an}是等差数列
【答案】D
【详解】分析：利用平面向量垂直或平行的判定条件得到数列的递推公式，再利用累乘法求出通项，进而
利用等差数列和等比数列的定义进行判定．
详解：若任意
总有
成立，
则
，
即
，
即
，
则
不是等比数列，也不是等差数列；
若任意
总有
成立，
则
，
即
，
即
，
即
是等差数列．故选D．
点睛：（1）熟记平面向量垂直和平行的判定条件：
已知
，
则
，
3
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
（2）已知数列
的递推公式
求通项时，往往采用累乘法；
已知数列
的递推公式
求通项时，往往采用累加法．
5．（浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且
，
.（
）
若
A．
是等差数列
B．
是等差数列
C．
是等差数列
D．
是等差数列
【答案】A
【详解】
表示点
到对面直线的距离（设为
）乘以
长度的一半，
即
，由题目中条件可知
的长度为定值，
那么我们需要知道
的关系式，
由于
和两个垂足构成了直角梯形，
那么
，
其中
为两条线的夹角，即为定值，
那么
，
，
作差后：
，都为定值，所以
为定值．故选A．
题型二：定义法求通项
4
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
1．（23-24 高二下·贵州·阶段练习）已知数列
满足
，数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知条件求解判断
为等差数列，求出通项
，得解.
【详解】由
，
，
则
，又
，
，又
，
所以数列
为等差数列，则
，
.
故选：C.
2．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知数列
各项为正数，
满足
，
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，得
，再结合
，可得
，进而可得数列
是等差数列，即可求出{bn}的通项，从而可求出数列{an}的通项，再利用裂项相消法求解即可.
【详解】因为
，
，所以
，
因为
，所以
，
，
即
，
方法
解读
适合题型
定义法
为同一常数 ⇔
是等差数列
解答题中的证明问题
等差中项法
成立⇔
是等差数列
通项公式法
为常数）对任意的正整数
都成立
⇔
是等差数列
选择、填空题中的判
定问题
前
项和公式法
验证
为常数）对任意的正整数
都成立⇔
是等差数列
5
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以数列
是等差数列，
又
，
，所以
，
所以数列
的公差为
，首项为
，
所以
，所以
，
所以
，则
，
所以
.
故选：C.
3．（2024·山西·三模）已知数列
对任意
均有
.若
，则
（ ）
A．530
B．531
C．578
D．579
【答案】C
【分析】根据等差数列可得
，再利用累加法求
.
【详解】因为
，可知数列
是以首项
，公差
的等差数列，
所以
，
又因为
，即
，
可得
，
累加可得
，
则
，所以
.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知
，数列
中，
，
，
为数列
的前
项
和，
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【分析】根据
，令
，根据等差数列的定义和通项公式可得
，再由等差数列前
项
和与通项关系即可得结论.
【详解】在
中，令
，可得
，所以
，又
，
所以数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，则
，
所以
，所以
．
故选：C．
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
（ ）
A．110
B．200
C．65
D．155
【答案】B
【分析】根据等差数列的定义及通项公式求解即可.
【详解】因为
，
所以
是以
为公差的等差数列，
6
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
又
，所以
，
故
，所以
，
故选：B
题型三：等差中项
1．（19-20 高一下·黑龙江齐齐哈尔·期中）
是公比不为1 的等比数列
的前n 项和，
是
和
的等
差中项，
是
和
的等比中项，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
是
和
的等差中项，可得
，又由
是
和
的等比中项，同时令
，得
，由此即可得到本题答案.
【详解】设
的公比为
，由于
，所以
，
，
，
又
是
和
的等差中项，所以
，即
，
化简得
，由于
，所以
，
，
所以
，
，
因为
是
和
的等比中项，
所以
，
即
，所以
，令
，
则
，
当
，即
时，
取得最大值，最大值为
.故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的综合应用，考查学生的转化求解能力和运算能力，属中档题.
2．（2022·黑龙江哈尔滨·一模）已知
，在这两个实数
之间插入三个实数，使这五个数构成等
差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为
A．
B．
C．
D．
.等差中项的概念
若三个数
，
，
成等差数列，则
叫做
与
的等差中项，且有
．
7
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】根据题意，用
表示这个等差数列后三项和为
，进而设
，利用三角
函数的性质能求最大值．
【详解】设中间三项为
，则
，所以
，
，
所以后三项的和为
，
又因为
，所以可令
，
所以
故选
【点睛】本题主要考查等差数列的性质和三角函数的性质．
3．（23-24 高二下·四川成都·期末）若等比数列
的各项均为正数，且
成等差数列，则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
【答案】C
【分析】先根据等比数列部分项成等差得出公比，再结合等比数列通项求值即可.
【详解】若等比数列
的各项均为正数，所以公比
，
且
成等差数列，可得
,
即得
可得
，
.
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列
满足
，则
（ ）
A．
B．5
C．5 或－5
D．
或
【答案】C
【分析】根据式子
的结构特征可进行组合与提取公因式，再利用等差数列性质
和等差中项公式不断简化式子即可得解.
【详解】由题
，解
得
，
故选：C.
5．（2022·全国·模拟预测）设
，
，若
是
与
的等差中项，则
的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．9
D．12
【答案】B
【分析】先由等差中项的概念得到
，然后由基本不等式求解最小值即可.
【详解】因为
是
与
的等差中项，
所以
，即
，
∴
，又
，
，
8
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
∴
，
当且仅当
，即
，
时等号成立.
故选：B.
题型四：等差数列的“中点”性质
1．（2024·新疆·二模）已知等差数列
的前
项和为
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意结合等差数列的性质求解即可，或根据题意利用等差数列的通项公式化简，再化简
即
可.
【详解】因为
，所以
，所以
．
因为
，所以
．
另解：设等差数列{an}的公差为
，
由
，得
，
所以
，即
，得
，
所以
，
因为
，
，
，
，
所以
故选：A．
2．（23-24 高二下·河南信阳·期末）数列
满足
，已知
，则
的前19 项
和
（ ）
A．0
B．8
C．10
D．19
等差数列“中点”性质
若{an}为等差数列，且m+n=p+q,则
，…仍是等差数列，公差为
．
4.
，…也成等差数列，公差为
．
9
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】A
【分析】由等差中项得到数列
为等差数列，再由等差数列的性质
得到
，由等差
数列前
项和公式结合等差中项得到
【详解】因为
即
，所以数列
为等差数列，
因为
且
，所以
，得
，
所以
.
故选：A.
3．（23-24 高二下·湖北武汉·阶段练习）设
为等差数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．5
B．10
C．
D．15
【答案】B
【分析】利用等差中项性质得
，再利用等差数列的下标和性质求解即可.
【详解】若
，由等差中项性质得
，
故
，即
，易知
.
故选：B
4．（2024·全国·模拟预测）已知
为等差数列
的前n 项和，
，则
（ ）
A．100
B．250
C．500
D．750
【答案】B
【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差
数列的性质公式简化运算.
【详解】解法一：设等差数列
的公差为d，则
，即
，所
以
，故
，
故选：B.
解法二：因为
，所以
，得
，故
，
故选：B.
5．（2021 全国模拟）等差数列
的前
项和为
，若
的值为常数，则下列各数中也是常数
的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求出
，故
的值是常数，进而利用等差下标性质可知
代入前
项
的和的公式中求得
，进而推断出
为常数，有此可判断A，同理可判断BCD.
【详解】设等差数列{an}的首项和公差分别为
，
因为
，
所以
的值是常数，
对于A，
也是常数，故A 正确；
对于B，
，故
不为定值，故B
10
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
错误；
对于C，
，
故
不为定值，故C 错误；
对于D，
，
故
不为定值，故D 错误.故选：A.
题型五：an 与sn 的关系‘
1．（2021·云南昆明·三模）已知数列
的前n 项和为
，
，
，则
（ ）
A．414
B．406
C．403
D．393
【答案】B
【分析】利用两式相减得
，再利用两式相减可得
，由此可得
，
进一步可得答案.
【详解】由
，两式相减得
，即
.
再由
，两式相减得
，由
，得
，
故
为以14 为首项，8 为公差的等差数列，故
，
故
.
故选：B
【点睛】关键点点睛：根据递推关系求出数列
的偶数项构成以14 为首项，8 为公差的等差数列，是解
题的关键，属于较难题目.
2．（22-23 高三上海金山·模拟）对于实数
，
表示不超过
的最大整数. 已知正数数列
满足
，
，其中
为数列
的前
项和，则
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由已知数列递推式可得数列{Sn2}是首项为1，公差为1 的等差数列，求得
．由此可求
【详解】由
，令
得
，∵
，得
．
，…也成等差数列，公差为
．
等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即
2
3
2
,
,
n
n
n
n
n
S
S
S
S
S
成等差数列
11
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
当
时，
即
．
因此，数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，
∴
，即
．
则
.
故选B.
【点睛】本题考查等差关系的确定，考查数列求和，属难题．
3．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知数列
的前
项和
（
为常数，且
），则“
是等差数列”是“
”的（ ）
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列的定义及充分条件与必要条件定义判断即可．
【详解】若
是等差数列，设其公差为
，则
，
所以
，
若
，则
，
当
时，
，当
时，
，此时
也满足，
所以
，于是有
是等差数列，
所以“
是等差数列”是“
”的充要条件．
故选：A
4．（2023 高三·全国·专题练习）设
是数列
的前n 项和，且
，则下列选项错误的
是（ ）
A．
B．
C．数列
为等差数列
D．
－5050
【答案】A
【分析】由
可得
－
＝－1，即数列
是以
＝－1 为首项，－1 为公差的等差数列可
判断C，由
求出
可判断A，B；由等差数列的前n 项和公式可判断D.
【详解】
是数列
的前n 项和，且
，
则
， 整理得
－
＝－1（常数），
所以数列
是以
＝－1 为首项，－1 为公差的等差数列，故C 正确；
12
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，故
．
所以当
时，
－
，
不适合上式，
故
故B 正确，A 错误；
所以
， 故D 正确．
故选：A.
5．（22-23 高三 重庆沙坪坝模拟）已知数列
的前
项和
，设
为数列
的
前
项和.若对任意的
，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
的关系求出数列
的通项公式，再根据裂项相消法求得
，从而根据不等式恒成立求
实数
的取值范围.
【详解】当
时，
，
当
时
满足上式，
所以
，
所以
，
所以
所以
，由
可得
，
即
恒成立，因为对勾函数
在
单调递增，
所以当
时
有最小值为64，所以
，故选:A.
题型六：双等差数列sn 比值型
1．（23-24 高三·甘肃定西·阶段练习）已知两个等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，则
（ ）
A．5
B．6
C．9
D．11
【答案】C
【分析】根据等差数列下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
13
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】因为等差数列
和
的前
项和分别为
和
，且
，
所以
.
故选：C
3．（23-24 高三·江西抚州模拟）已知等差数列
与
的前
项和分别为
，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可.
【详解】因为等差数列
与
的前
项和分别为
，且
，
所以设
，
所以
.
故选：D
3．（2022 高三·全国·专题练习）已知Sn，Tn 分别为等差数列{an}，{bn}的前n 项和，
，设点A
是直线BC 外一点，点P 是直线BC 上一点，且
，则实数λ 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
可知P，B，C 三点共线，从而有
+λ=1，再由等差数列的性质可求
解.
【详解】因为P，B，C 三点共线，所以
+λ=1，所以
+λ=1，
，
所以
+λ=
+λ=1，λ=
，
故选:B.
4．（22-23 高三·内蒙古包头·模拟）等差数列{an}与{bn}的前n 项和分别为Sn 和Tn，若
＝
，则
等
14
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据等差数列的前
项和公式，反凑等差数列的前
项和公式，即可求得结果.
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
.
故选：
.
【点睛】本题考查等差数列的前
项和之比的问题，涉及等差数列的下标和性质，属基础题.
5．（22-23 高按吉林长春·模拟）若两个等差数列{an}、{bn}的前n 项和分别为An、Bn，且满足
，
则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析：
考点：等差数列性质及求和公式
题型七：等差数列型函数和
1．（2022 高三·全国·专题练习）已知数列
为等差数列，且
.设函数
，记
，则数列
的前13 项和为（ ）
A．
B．
C．7
D．13
【答案】D
【分析】化简函数的解析式，利用等差数列的性质结合三角函数即可求值.
【详解】因为
，
因为数列
为等差数列，
所以
，
所以
，
所以
，
同理因为
，
所以
，
又
，
15
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以数列
的前13 项和为13.
故选：D
2．（22-23 高三黑龙江哈尔滨·模拟）已知等差数列
的公差为2020，若函数
，且
，记
为
的前
项和，则
的值为
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据等差数列的公差及函数解析式，由等差数列求和公式代入可得
由余弦和角与差角公式的应用，变形可得
，令
，代入化简并构造函数
，求得
并判断符号，可证明
为单调递增函数，且可得
，从而
，进而由等差数列前n 项和公式即可求解.
【详解】等差数列
的公差为2020，设
函数
，且
，
则
，
即
对
，由余弦的和角与差角公式化简可得
，记
，将①化简可得
，
即
令
，由
可得
，所以
在
上单
调递增，且
，又由②可知
，所以
，即
，
所以
，故选：A.
【点睛】本题考查了数列与函数的综合应用，等差数列求和公式的应用，余弦和角公式与差角公式的综合
应用，换元法求值的应用，由导数判断函数单调性的应用，综合性强，属于难题.
3．（20-21 高三江苏泰州·模拟）已知等差数列
的前9 项和18，函数
，则
的值为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
16
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】C
【分析】由等差数列性质求得
，由函数的解析式计算得
，然后对
配对计算．
【详解】
，
，
，
，
，则
，
所以
．
故选：C．
4．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知
是一个等差数列的前
项和，对于函数
，
若数列
的前
项和为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求出
，再利用裂项求和法即可求解.
【详解】
是一个等差数列的前
项和，则
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
的前
项和为
，
则
.
故选：D
【点睛】本题考查了等差数列的前
和公式的性质、裂项求和法，考查了计算求解能力，属于基础题.
5．（2022 山东潍坊·模拟预测）已知等差数列
，公差不为0，若函数
对任意自变量x 都有
恒成立，函数
在[2,+ ∞)上单调，若
，则
的前500 项的和为（ ）
A．1010
B．1000
C．2000
D．2020
【答案】B
【分析】由已知
得函数关于
对称，因为
，则
，再由等差数列
性质求得前500 项的和.
【详解】
对任意自变量x 都成立，
函数对称轴为
因为
，
，
故选：B
【点睛】本题考查函数对称性及利用等差数列性质求和.属于基础题.
函数
对任意自变量x 都有
，则函数对称轴为
，
为等差数列，若
，则
．
17
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
题型八：奇数项与偶数项和型
1．（23-24 高三·广东茂名·模拟）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为
，所有偶数
项的和为
，则此数列的项数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质与其前
项和的性质求解即可.
【详解】设该等差数列中有
项，其中偶数项有
项，奇数项有
项，
设等差数列{an}的前
项和为
，则
，
为等差数列，
，
，解得
，
，
此数列的项数是
项.
故选：
.
2．（21-22 高三·上海徐汇·模拟）设等差数列的项数
为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据等差数列前
项和公式解决即可.
【详解】由题知，奇数项有
项，偶数项有
项，
奇数项之和为
，
偶数项之和为
，
所以奇数项之和与偶数项之和的比为
，
故选：D
3．（22-23 高三·四川雅安·阶段练习）一个等差数列共有2n 项，奇数项的和与偶数项的和分别为24 和
30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ）
A．4
B．8
C．12
D．20
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出
，从而求出数列的项数.
设数列{
}
na
是等差数列，且公差为d ，
（1）若项数为偶数，设共有2n 项，则①
-
S
S
nd
奇
偶
； ②
1
n
n
S
a
S
a
奇
偶
；
（2）若项数为奇数，设共有2
1
n 项，则①S
S
偶
奇
na
a
中(中间项)；②
1
S
n
S
n
奇
偶
.
18
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】根据等差数列的性质得：
，
，
解得：
，故该数列的项数为
.
故选：B
4．（2023·重庆·二模）已知等差数列
的前30 项中奇数项的和为
，偶数项的和为
，且
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据条件列出关于首项和公差的方程，即可求解.
【详解】设等差数列的公差为
，首项为
，
则
，所以
，
因为
，即
，则
，
等差数列的奇数项是以
为首项，
为公差的等差数列，等差数列
的前30 项中奇数项有15 项，所以
，得
，
所以
.
故选：B
5．（23-24 高三·江苏南京·模拟）已知等差数列
的前
项和为
，公差为
，且
单调递增，若
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意，分析可得
，即数列
从第二项开始，各项均为正数，结合等差数列
的通项公式，列出不等式，即可求解．
【详解】解：由
为等差数列，且
，所以
，
因为数列
为递增数列，则
，即
从第二项开始，各项均为正数，
又因为
恒成立，所以数列
为常数数列或递增数列，所以
，
则有
，解可得
，
综上可得，
，所以实数
的取值范围为
．
故选：D．
题型九：等差数列的函数性质：单调性
1．（23-24 高三湖北·模拟）已知数列
的前
项和
（
为常数），则“
为递
增的等差数列”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据等差数列前n 项和公式函数性质、
与
的关系，结合充分条件、必要条件的定义判断即可.
等差数列的增减性：
0
d
时为递增数列，且当
1
0
a
时前n 项和
n
S 有最小值．
0
d
时为递减数列，且当
1
0
a
时前n 项和
n
S 有最大值．
19
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】设等差数列{an}的公差为
，
由等差数列的前
项和
，
类比表达式
，有
.
当{an}为递增等差数列时，有
；
反之，当
时，例如
，可得
；
，则
，
此时数列从第二项开始才为递增的等差数列；
所以“{an}为递增的等差数列”是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
2．（23-24 高三·江西·阶段练习）设
为等差数列
的前n 项和，则对
，
，是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由
，推得数列
为递增数列，进而得到
成立，得出充分性成立；反之：
由
，得到数列
为递增数列，举例说明必要性不成立，即可求解.
【详解】若对
，都有
，可得
，
因为
恒成立，所以
，即数列
为递增数列，
，
所以
，即
成立，所以充分性成立；
反之：若对
，都有
，即
，
可得
，解得
，所以
，
即数列
为递增数列，
例如：数列
为递增数列，可得
，
此时
不成立，即必要性不成立；
所以对
，
，是“
”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2023·北京顺义·一模）已知
是无穷等差数列，其前项和为
，则“
为递增数列”是“存在
使得
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】解：因为
是无穷等差数列，若
为递增数列，
所以公差
，
20
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，解得
，
表示取整函数，
所以存在正整数
，有
，故充分；
设数列
为5，3，1，-1，…，满足
，但
，
则数列
是递减数列，故不必要，
故选：A
4．（2022·北京·高考真题）设
是公差不为0 的无穷等差数列，则“
为递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，则
，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，记
为不超过
的最大整数.
若
为单调递增数列，则
，
若
，则当
时，
；若
，则
，
由
可得
，取
，则当
时，
，
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”；
若存在正整数
，当
时，
，取
且
，
，
假设
，令
可得
，且
，
当
时，
，与题设矛盾，假设不成立，则
，即数列
是递增数列.
所以，“
是递增数列”
“存在正整数
，当
时，
”.
所以，“
是递增数列”是“存在正整数
，当
时，
”的充分必要条件.
故选：C.
5．（20-21 高三江苏无锡模拟）数列
是等差数列，
，数列
满足
，
，设
为
的前
项和，则当
取得最大值时，
的值等于（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
【答案】D
【解析】由
，得到首项和公差的关系以及公差的范围，然后求得通项公式，判断
的正负，
再利用通项与前n 项和关系求解.
【详解】设数列
的公差为d，
因为
，
所以
，即
，
因为
，
21
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，
又因为
，
所以
，故
中
最大 ，
故选：D
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及数列前n 项和的最值问题，还考查逻辑推理的能力，属于
中档题.
题型十：等差数列的函数性质：sn 最值
1．（22-23 高三上·海南省直辖县级单位模拟）已知
是等差数列
前
项和，
，
，当
取得最小值时
（ ）．
A．2
B．14
C．7
D．6 或7
【答案】D
【分析】设等差数列
的公差为
，根据题意解出首项与公差d 可得数列通项公式，根据数列的单调性
可求出数列前7 项小于等于0，可得当
取得最小值的n 值.
【详解】设等差数列
的公差为
，∵
，
，
∴
，
，
联立解得：
，
，
∴
，
令
，解得
．
当
取得最小值时
或7．
故选：D．
【点睛】本题考查等差数列通项及性质，根据数列的单调性求
最值问题，可以求出
时的n 值，
或求解
进行分析，属于中等题.
2．（22-23 高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）设
为公差为
的无穷等差数列
的前
项和，则“
”是“数列
有最大项”的
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
在处理等差数列
的前
项和
的最值时，往往转化为判定
的符号变化：
①若
，当
时，则当且仅当
最大；
②若
，当
时，则当且仅当
最小；
③若
最大，则
.
22
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【解析】化简得到
，分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
，对应的二次函数为
.
故当
时，函数有最大值，数列
有最大项.
当数列
有最大项时，需满足
，故是充要条件.
故选：
.
【点睛】本题考查了等差数列前
项和，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
3．（21-22 高三·上海浦东新·模拟）设
为等差数列
的前n 项和，若已知
，则下列叙述
中正确的个数有（ ）
①
是所有
中的最大值；②
是所有
中的最大值；
③公差
一定小于0 ④
一定小于
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】C
【分析】利用等差数列的性质求解．
【详解】由
，
可得
，
，故③正确；②错误；
最大，故①正确；
，故④正确．
故选：
．
【点睛】本题主要考查命题真假的判断，属于中档题，解题时要认真审题，注意数列的性质的合理运用．
4．（22-23 高三湖北宜昌·阶段练习）已知数列
为等差数列，若
，且它们的前n 项和
有最大
值，则使得
的n 的最大值为
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】A
【详解】由题意可得
，又由
有最大值，可知等差数列{an}的
，所以
，所以
，即Sn＞0 的n 的最大值为19.选A.
5．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列
中，
，且
，
是其前
项和，
则（ ）.
A．
都小于0，
都大于0
B．
都小于0，
都大于0
C．
都小于0，
都大于0
D．
都小于0，
都大于0
【答案】B
【分析】利用等差数列前
项和的性质求解即可.
【详解】等差数列{an}中，
，故
，
且
，故
，
所以
,
,
23
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
结合
，可知，
都小于0，
都大于0.
故选：B
题型十一：等差数列的函数性质：正负不等式型
1．（23-24 高三·陕西·阶段练习）设等差数列
的前n 项和为
，且
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】根据已知条件特征，构造函数
，由函数的奇偶性和单调性性质可确定
，
的关系，再结合等差数列前n 项和公式及其性质求解即可.
【详解】构造函数
，
，
则
，
所以
是奇函数，又
与
是增函数，
所以
是
上的增函数，
又
，
，
所以
即
，且
即
，
又
是等差数列
的前n 项和，
所以
.
故选：C.
2．（23-24 高三浙江金华模拟）已知公差为
的等差数列
，
为其前
项和，若
，则（ ）
A．
，
B．
，
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
若
，则
有最小值（所有负项或非正项之和）．
24
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】构造函数
，借助导数与奇偶性的定义可得函数
在定义域内单调递增且为奇函
数，又由
可得
，从而得到
，再借助
，从而得到
，即可得解.
【详解】令
，则
，故
在定义域内单调递增，
又
，故
为奇函数，
由
，可得
，
故有
，
，又
在定义域内单调递增且为奇函数，
故有
，即
，即
，
故
，
又
，即
，
故
.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于构造函数
，由函数的单调性与奇偶性结合所给数列的
性质得到
以及
，从而得解.
3．（2022 浙江杭州·模拟预测）设等差数列
的前
项和为
，并满足：对任意
，都有
，则下列命题不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设等差数列
的公差为
，对
分
、
、
三种情况讨论，在
时验证即可；
在
时，取
，可设
，根据
恒成立求得实数的取值范围，逐一验证
各选项即可；同理可判断出
时各选项的正误.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
.
①当
时，则
，
，则
对任意的
恒成立，
A、B、C、D 四个选项都成立；
②当
时，不妨取
，记
，则
，
由
可得
，即
，
则
，
令
，可得
；
令
，可得
.
，
则
，
25
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
解关于的不等式
，
可得
或
，
所以
或
.
由于数列
单调递减，该数列没有最小项；
由双勾函数的单调性可知，函数
在区间
上单调递增，
所以，数列
单调递减，该数列的最大项为
，
.
对于A 选项，
，
，
则
，
，
，
则
，
所以，
，A 选项成立；
对于B 选项，
，
则
，
，
，
则
，
所以，
，B 选项成立；
当
时，
；
当
时，
.
满足
，
.
对于C 选项，
，
，
，
，
当
时，
，
所以，C 选项不一定成立；
对于D 选项，
，
26
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，
所以，
，
D 选项成立；
③当
时，由②同理可知，C 选项不一定成立.
故选：C.
【点睛】本题考查数列不等式的验证，考查等差数列前
项和的性质，考查推理能力与计算能力，属于难
题.
4．（2024·重庆·模拟预测）若等差数列
的前n 项和为S ，且满足
，对任意正整数
，
都有
则
的值为（ ）
A．21
B．22
C．23
D．24
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质及前n 项和公式计算推理得解.
【详解】依题意，
，则
，
又
，则
，
，
等差数列
的公差
，因此数列
单调递减，
，且
，
即任意正整数
，
恒成立，
所以对任意正整数
，都有
成立的
.
故选：C
5．（22-23 高三·广东广州·模拟）已知数列
满足
，记数列
的前
项和
为
，若
对任意的
恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用退一作差法求得
，求得
的表达式，结合二次函数的性质求得的取值范围.
【详解】由
，
当
时，
，
当
时，由
得
，
两式相减并化简得
，
也符合上式，所以
，
令
，
为常数，
所以数列
是等差数列，首项
，所以
，
对称轴为
，由于
对任意的
恒成立，
27
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
所以
，解得
，所以的取值范围是
.故选：A
【点睛】与前
项和有关的求通项的问题，可考虑利用“退一作差法”来进行求解，和
类似.求解等差数列前
项和最值有关的问题，可结合二次函数的性质来进行求解.
题型十二：等差数列的函数性质：恒成立型求参
1．（21-22 高三 ·福建南平·模拟）已知等差数列
满足
，
，
，若对任意正整数
，恒有
，则正整数
的值是（ ）
A．6
B．5
C．4
D．7
【答案】A
【分析】利用等差性质研究数列项的变化，从而可得结果.
【详解】由等差数列
满足
，
，
可知
，即
，且
，
，公差
，
∴
又
，
∴当
时，
最大，
∴正整数
的值是
.
故选：A
2．（23-24 高三 ·云南昆明·模拟）等差数列{an}的前n 项和为
，已知
，若
存在正整数k，使得对任意
，都有
恒成立，则k 的值为（ ）
A．19
B．20
C．21
D．22
【答案】B
【分析】利用等差数列定义结合题意可得等差数列通项公式，再利用等差数列前n 项和的性质结合等差数
列通项公式计算即可得解.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，
即有
，则
，
即
，
令
，解得
，故当
时，
，
即
恒成立，故k 的值为20.
故选：B.
3．（22-23 高三·广西河池·模拟）已知数列
满足
，数列
的前
项和为
，若
的最大值仅为
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由数列递推式求出
的表达式，设
，可求得其表达式，根据
的最大值仅
为
，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案.
28
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由题意
，
令
，
即数列
是等差数列，前
项和最大值仅为
，则
，
解得
，
故选：C．
4．（2021 高三·江苏·专题练习）对于数列
，定义
为数列
的“诚信”值，
已知某数列
的“诚信”值
，记数列
的前
项和为
，若
对任意的
恒成立，
则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，可得
，利用递推关系可得
，利用
等差数列的求和公式可得数列
的前
项和为
根据
对任意的
恒成立，对
分类讨论
利用数列的单调性即可得出．
【详解】解：由
，
，
当
时，
，
时，由
得
，
，
，
满足
，故对任意的
，
.
数列
的前
项和为
，
对任意的
恒成立，
，
化为
，
时，
，
，
时恒成立，
时，
，
，
综上可得：实数
的取值范围为
．
故选：C．
5．（23-24 高三·河北唐山·阶段练习）已知等差数列
的前n 项和为
，对任意
，均有
成
29
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由等差数列前n 项和的函数性质得
，再由等差数列通项公式得
，即可
求范围.
【详解】设等差数列
的公差为
，
由
，又任意
均有
成立，
所以
，
由
，而
，则
.
故选：A
题型十三：等差数列的函数性质：范围型
1．（22-23 高三·浙江·模拟）等差数列
的公差不为0，其前n 和
满足
，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得出
是
的最大值，从而有
，且
，
，由此得出
的范围，推
在等差数列
中
（1）若
，则满足
的项数
使得
取得最大值
；
（2）若
，则满足
的项数
使得
取得最小值
．
即若
，则
有最大值（所有正项或非负项之和）；
30
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
导出结论．
【详解】等差数列
的公差
不为0，其前n 和
满足
，因此
是
的最大值，显然
，
从而
，即
，
，
，
．
故选：C．
2．（21-22 高三·北京西城·开学考试）已知等差数列
，
是数列
的前
项和，对任意的
，均
有
成立，则
的值不可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【分析】根据题意，由
恒成立可得
是等差数列
的前
项和中的最大值，结合等差数列前
项
和的性质，分3 种情况讨论，综合求出
的取值范围，分析选项可得答案．
【详解】根据题意，等差数列
，对任意的
，均有
成立，即
是等差数列
的前
项和中
的最大值，
必有
，公差
，
分3 种情况讨论：
①
，此时
，
、
是等差数列
的前
项和中的最大值，
此时
，则有
，
则
，
②
，此时
，
、
是等差数列
的前
项和中的最大值，
此时
，则有
，
，
③
，
，
是等差数列
的前
项和中的最大值，
此时
，
，则
，变形可得：
，
，而
，则有
，
综合可得：
.故选：A．
3．（21-22 高二上·浙江·期末）已知等差数列
的前n 项和为 Sn ，首项 a1 =1，若
，
则公差 d 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】该等差数列有最大值
，可分析得
，据此可求解.
【详解】
，故
，故有
n
4
1
3
0
a
a
d
1
3
a
d
10
1
6
1
9
6
3
5
2
a
a
d
d
a
a
d
d
5
0
a
4
5
S
S
4
S
5S
{
}
na
n
5
1
4
0
a
a
d
1
4
a
d
10
1
6
1
9
5
5
5
a
a
d
d
a
a
d
d
4
0
a
5
0
a
4
S
{
}
na
n
4
1
3
0
a
a
d
5
1
4
0
a
a
d
1
3
4
d
a
d
1
4
3
a
d
1
10
1
1
1
6
1
9
9
4
1
5
5
5
a
a
a
d
d
a
a
a
a
d
d
d
1
4
3
a
d
10
6
3
5
a
a
10
6
3
5
a
a
剟
na
*
5
N ,
n
n
S
S
1
1
,
4
5
1
1
,
3
4
1
1
,
4
5
1
1
,
3
4
5S
5
6
0,
0
a
a
*
5
N ,
n
n
S
S
5
6
0,
0
a
a
1
4
0,1 5
0
d
d
31
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
故d 的取值范围为
.
故选：A
4．（2022·新疆昌吉·模拟预测）已知数列
满足
，且前
项和为
，若
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用递推关系可得
，即数列
是等差数列，结合条件得
，再
利用等差数列求和公式即得.
【详解】∵
，
当
时，
，
又
①，∴
②，
由①－②，得
，即
，
∴数列
是等差数列.
由
，设
为公差，则
，解得
，
则
.
故选：A.
5．（23-24 高二上·浙江金华·期中）已知数列
是公差不为0 的无穷等差数列，
是其前
项和，若
存在最大值，则（ ）
A．在
中最大的数是
B．在
中最大的数是
C．在
中最大的数是
D．在
中最大的数是
【答案】A
【分析】
根据题意，由条件可得
，由
是以
为首项，
为公差的等差数列，即可判断AB，由
可得
在
中最大的数是不确定的，即可判断CD.
【详解】设等差数列
的公差为
，则
，由
存在最大值可知，
，
因为
，则
，所以数列
是以
为首项，
为公
差的等差数列，且
，则
是递减数列，所以在
中最大的数是
，故A 正确，B
错误；
1
1
,
4
5
na
1
1
1
N
n
n
n
a
na
n
n
n
S
N
n
6
n
S
S
6
S
7
3, 2
9
0, 2
9
2, 2
0,3
1
2
2
n
n
n
na
na
na
na
6
7
1 5
0
1 6
0
a
d
a
d
1
1
1
N
n
n
n
a
na
n
1
n
1
1
a
1
1
1
n
n
n
a
na
2
1
1
1
n
n
na
n
a
1
2
2
n
n
n
na
na
na
1
2
2
n
n
n
a
a
a
na
6
n
S
S
d
6
7
1 5
0
1 6
0
a
d
a
d
1
1
5
6
d
6
7
3
6
15
2
S
d
na
n
S
n
n
S
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
1S
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
2023
2023
S
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S
S
S
1S
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S
S
S
2023
S
0
d
n
S
n
1S
2
d
0
d
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S
S
S
na
d
0
d
n
S
0
d
2
1
1
1
2
2
2
n
n n
d
d
d
S
na
n
a
n
1
2
2
n
d
d
n
a
n
S
n
S
n
1S
2
d
0
d
n
S
n
3
2023
2
1,
,
,
,
2
3
2023
S
S
S
S
1S
32
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
在
中最大的数是不确定的，比如
，由
，可得
，所以
，即
为最大值，故CD 错误；故选：A
题型十四：等差数列的函数性质：sn 与n 比值型
1．（23-24 高三 四川眉山·开学考试）在等差数列
中，
，其前
项和为
，若
，
则
（ ）
A．2 023
B．-2 023
C．-2 024
D．2 024
【答案】C
【分析】设
公差为
，可得出
也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而
得出答案.
【详解】由
是等差数列，设公差为
，则
所以
，
（常数），则
也为等差数列.
由
，则数列
的公差为1.
所以
所以
，所以
故选：C
2．（22-23 高三·全国·开学考试）设等差数列
的前
项和为
，若
，
，则
（ ）
A．18
B．36
C．40
D．42
【答案】B
【分析】确定
为等差数列，得到
，代入数据计算得到答案.
【详解】
，故
为等差数列，
故
，故
，解得
.
故选：B
3．（21-22 高三·安徽蚌埠·模拟）已知数列
是等差数列，其前n 项和为
，则下列说法错误的是
（ ）
A．数列
一定是等比数列
B．数列
一定是等差数列
C．数列
一定是等差数列
D．数列
可能是常数数列
若{
}
na
与{ }
nb
为等差数列，且前n 项和分别为
n
S 与
'
n
S
，则
2
1
2
1
'
m
m
m
m
a
S
b
S
.
1
2
3
2023
,
,
,
,
S S
S
S
9
2
na
n
1
0
0
n
n
a
a
7
9
2
2
n
4
n
4
S
{
}
na
1
2024
a
n
n
S
10
8
2
10
8
S
S
2024
S
{
}
na
d
n
S
n
{
}
na
d
1
1
2
n
n n
S
na
d
1
1
2
n
S
n
a
d
n
1
1
2
n
n
S
S
d
n
n
n
S
n
10
8
2
10
8
S
S
n
S
n
1
1
1
2024
1
2025
1
n
S
S
n
n
n
n
2024
2024
2025
1
2024
S
2024
2024
S
na
n
n
S
1
kS
4
16
k
S
6k
S
n
S
n
4
6
4
3
4
2
6
4
k
k
k
k
S
S
S
S
k
k
k
k
1
1
1
2
1 2
n
n n
na
d
S
d
a
n
n
n
n
S
n
4
6
4
3
4
2
6
4
k
k
k
k
S
S
S
S
k
k
k
k
6
3
4 1
4
2
6
k
S
6
36
k
S
na
n
S
2 n
a
ln
na
n
S
n
1
n
n
a
a
33
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】B
【分析】可根据已知条件，设出公差为
，选项A，可借助等比数列的定义使用数列
是等差数列，来
进行判定；选项B，数列
，可以取
，即可判断；选项C，可设
，表示出
再进行
判断；选项D，可采用换元，令
，求得
的关系即可判断.
【详解】数列
是等差数列，设公差为
，
选项A，数列
是等差数列，那么
为常数，
又
，则数列
一定是等比数列，所以选项A 正确；
选项B，当
时，数列
不存在，故该选项错误；
选项C，数列
是等差数列，可设
（A、B 为常数），
此时，
，则
为常数，
故数列
一定是等差数列，所以该选项正确；
选项D，
，则
，
当
时，
，此时数列
可能是常数数列，
故该选项正确.
故选：B.
4．（17-18 高三·甘肃张掖·模拟）在各项均为正数的等比数列
中，公比
，若
，
，数列
的前n 项和为Sn，则
取最大值时，n 的值为（ ）
A．8
B．8 或9
C．9
D．17
【答案】B
【分析】结合已知条件求得
，由此求得
，进而求得
，由
求得正确答案.
【详解】依题意
，
所以
所以
是首项为
，公差为
的等差数列，
所以
，
由
，
所以
取最大值时，n 的值为或.
故选：B
5．（15-16 高三·辽宁大连·模拟）设等差数列{an}满足:
,公
差
d
na
ln
na
0
n
a ＜
2
n
S
An
Bn
n
S
n
1
n
n
n
b
a
a
1
n
n
b
b
na
d
na
1
1
2
2
2
2
n
n
n
n
a
a
a
d
a
2
0
n
a ＞
2 n
a
0
n
a ＜
ln
na
na
2
n
S
An
Bn
n
n
S
C
An
B
n
1
n
n
C
C
A
n
S
n
1
n
n
n
b
a
a
1
2
2
n
n
n
n
b
b
a
a
d
0
d
1
0
n
n
b
b
1
n
n
a
a
na
0,1
q
3
5
2
6
5,
4
a
a
a a
2
log
n
n
b
a
nb
1
2
1
2
n
S
S
S
n
L
na
nb
n
S
0
n
S
n
2
4
1
1
5
1
1
1
1
5
4
1
16,
2
0
0
a q
a q
a q a q
a
q
a
q
1
5
2
1
16
2
,
log
5
2
n
n
n
n
n
a
b
a
n
nb
4
1
4
5
9
9
,
2
2
2
n
n
S
n
n
n
S
n
n n
*
9
0
,
N
1
9
2
n
S
n
n
n
n
1
2
1
2
n
S
S
S
n
L
8
9
2
2
2
2
2
2
4
4
4
8
4
8
5
7
sin
cos
cos
·cos
sin
·sin
1
sin(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
34
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
, 若当且仅当
时，{an}的前
项和
取得最大值,则首项
的取值范围
是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：将
化简可得
，
∴其对称轴方程为：
，有题
意可知当且仅当n=9 时，数列{an}的前n 项和Sn 取得最大值，
∴
，解得
考点：数列的应用
题型十五：等差数列与三角函数
1．（2023·江西南昌·模拟）设等差数列
满足：
，公差
．若当且仅当
时，数列
的前
项和
取得最大值，则首项
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】试题分析： 原式
,
,
,则
,由
,对称轴方程为
由题意当且仅当
时, 数列{an}的前
项和
取得最大值,
,解得：
,
首项
的取值
范围是
.故选B.
考点：1、同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数；2、差数列的性质及前
项和的最值.
【方法点睛】本题主要考查同角三角函数之间的关系、两角和与差的三角函数以及等差数列的性质及前
项和的最值，属于难题.求等差数列前
项和的最大值值的方法通常有两种：①将前前
项和表示成关于
的二次函数，
，当
时有最大值（若
不是整数，
等于离它较近的一个或两个
整数时
最大）；②可根据
且
确定
最大时的
值.本题根据方法①确定
的取值范围的.
2．（2022 广东深圳·模拟）已知等差数列
满足：
，
，公差
，则数列
的前
项和
的最
大值为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
( 1,0)
d
9
n
n
n
S
1a
9
( ,
)
8
9
[ ,
]
8
7
4
[
,
]
6
3
7
4
(
,
)
6
3
2
2
2
2
2
2
4
4
4
8
4
8
5
7
sin
cos
cos
·cos
sin
·sin
sin(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
sin 4
1
d
4
,
2
8
d
d
2
1
1
1
2
16
16
n
n n
S
na
d
n
a
n
1
8
16
n
a
1
17
8
19
2
16
2
a
1
9
8
a
2
2
2
2
2
2
3
3
3
6
3
6
4
5
sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
sin(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
( 1,0)
d
9
n
n
S
1a
7
4
,
6
3
4
3
,
3
2
7
4
,
6
3
4
3
,
3
2
2
2
2
2
3
6
3
6
4
5
sin
1 sin
cos
1 cos
sin
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
3
6
3
6
4
5
sin
cos
cos
sin
sin
a
a
a
a
a
a
3
6
3
6
4
5
sin
·sin
sin
a
a
a
a
a
a
3
6
sin
1
a
a
sin3
1
d
1,0 ,
3
3,0
d
d
3
,
2
6
d
d
2
1
1
1
1
1
6
2
2
12
12
n
n n
n n
S
na
d
na
n
a
n
1
6
12
n
a
9
n
n
n
S
1
17
6
19
2
12
2
a
1
4
3
3
2
a
1a
4
3
,
3
2
n
n
n
n
n
n
S
2
An
Bn
2
B
n
A
2
B
n
A
n
n
S
0
n
a
1
0
n
a
n
S
n
1a
na
7
13
3
5
a
a
2
2
2
2
2
2
4
4
7
4
7
4
5
6
cos
cos
sin
sin
cos
sin
cos
a
a
a
a
a
a
a
a
2,0
d
na
n
n
S
100π
54π
77π
300π
35
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【详解】由
，得
，解得
，则
，
又
，
，故
，
，
又公差
，由
，得
，故
或
最大，最大值为
，故选C．
3．（2020·浙江宁波·一模）设等差数列
满足：
，公差
，若当且仅当
时，
的前
项和取得最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】根据三角恒等变换公式和等差数列的性质，将已知等式化为
，根据
，可
得
，根据
，
，可得
，根据余弦函数的单调性可得结果.
【详解】因为
，
所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
为等差数列，所以
，所以
，所以
，
所以
，
，所以
，
，因为
，所以
，
因为当且仅当
时，
的前
项和取得最大值，所以
，
，
所以
，
，所以
，
，即
，
因为
在
上是增函数，所以
，故选：A.
【点睛】本题考查了三角恒等变换公式，考查了等差数列的性质，考查了等差数列前
项和的最值，考查
了余弦函数的单调性的应用，属于中档题.
4．（2023 高三·江苏·专题练习）已知数列
是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项
的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 ．
【答案】－4
【分析】根据等差数列前
项和的性质求解即可.
【详解】设等差数列
的项数为2m，
∵末项与首项的差为－28，∴
，①
∵
，
∴
，②
7
13
3
5
a
a
1
1
3
6
5
12
a
d
a
d
1
21
a
d
2
2
2
2
2
2
4
4
7
4
7
4
cos a
cos a sin a
sin a cos a
sin a
2
2
2
2
4
7
4
7
cos a cos a
sin a sin a
4
7
4
7
4
7
4
7
cosa cosa
sina sina
cosa cosa
sina sina
4
7
4
7
5
6
cos
cos
cos
+
a
a
a
a
a
a
4
7
5
6
+
a
a
a
a
4
7
cos
1
a
a
4
7
3
π
2 π
a
a
d
k
π
2 π
3
k
d
k
Z
1
π
2,0 ,
,
7π
3
d
d
a
π
7π
1
0
3
na
n
22
n
22
S
21
S
22
22 21
π
22 7π
77π
2
3
S
na
2
2
2
2
2
2
3
3
3
6
3
6
4
5
sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
sin
a
a
a
a
a
a
a
a
1,0
d
9
n
na
n
1
cosa
1 ,0
2
6
2 ,1
4
3 ,1
2
1 ,1
2
3
6
sin(
)
1
a
a
1,0
d
6
d
9
0
a
10
0
a
1
4
3
3
2
a
2
2
2
2
2
2
3
3
3
6
3
6
4
5
sin
cos
cos
cos
sin
sin
1
sin
a
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
3
6
3
6
4
5
sin
1 sin
cos
1 cos
sin(
)
a
a
a
a
a
a
1
2
2
2
2
3
6
3
6
4
5
sin
cos
cos
sin
1
sin(
)
a
a
a
a
a
a
3
6
3
6
3
6
3
6
4
5
(sin
cos
cos
sin
)(sin
cos
cos
sin
)
1
sin(
)
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
3
6
3
6
4
5
sin(
)sin(
)
1
sin(
)
a
a
a
a
a
a
na
3
6
4
5
a
a
a
a
3
6
sin(
)
1
a
a
sin( 3 )
1
d
3
2
2
d
k
Z
k
2
3
6
k
d
Z
k
1,0
d
0,
6
k
d
9
n
na
n
9
0
a
10
0
a
1
8
0
a
d
1
9
0
a
d
1
4
0
3
a
1
3
0
2
a
1
4
3
3
2
a
cos
y
x
4
3
,
3
2
1
1
cos
0
2
a
n
na
n
na
2
1
2
(
)1
28
m
a
a
m
d
50
34
S
S
奇
偶
，
34
50
16
S
S
md
奇
偶
36
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由①②得
，
故答案为：
.
5．（21-22 高三·四川南充·模拟）等差数列
满足：
，
,且公差
，若当且仅当
时，数列
前
项和取得最大值，则
的取值范围是
．
【答案】
【分析】先利用二倍角公式和同角三角函数基本关系式化简等式的左边，再利用等差中项进行化简，再利
用数列通项的符号变化确定答案.
【详解】由
，
得
，
即
，
即
，
即
，即
，因为
，
所以
，则
，即
，
又
，得
；若当且仅当
时，数列
前
项和取得最大值，
则
，解得
.
题型十六：等差数列思维第19 题型综合
1．（24-25 高三上·河北·开学考试）定义二元数
，将所有的二元数按照从小
到大排列后构成数列
.
(1)求
；
(2)对于给定的
，是否存在
，使得
，
成等差数
列？若存在求出满足的条件；若不存在，请说明理由；
(3)若
，求
.
【答案】(1)
，
，
，
(2)存在，
(3)
，
【分析】（1）根据
的条件，以及所求
的各项，分别
取值，即可逐一求解；
（2）由等差中项公式得到等式
，然后分
、
和
三类讨论，然后得出
时，满足题意，从而得解；
（3）利用已知条件得到等式
由（2）相同的方法，得出
，从而得到
，
结合
，得出
，由二次数定义知
，从而得到
.
【详解】（1）令
，得
令
，得
，
4
d
4
na
2
2
2
2
2
6
2
6
2
3
5
cos
cos
sin
sin
cos2
sin
a
a
a
a
a
a
a
4
π ,
2
k
a
k
Z
( 1,0)
d
8
n
na
n
1a
7π ,π
8
2
2
2
2
2
6
2
6
2
3
5
cos
cos
sin
sin
cos2
sin
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
2
2
6
2
6
2
2
4
cos
cos
sin
sin
cos
sin
sin 2
a
a
a
a
a
a
a
2
2
2
2
2
6
2
6
4
cos
cos
1
sin
sin
1
sin 2
a
a
a
a
a
2
6
2
6
2
6
2
6
4
(sin
cos
cos
sin
)(sin
cos
cos
sin
)
sin 2
a
a
a
a
a
a
a
a
a
2
6
2
6
4
sin(
)sin(
)
sin 2
a
a
a
a
a
2
6
4
4
sin(
)sin 2
sin 2
a
a
a
a
4
π ,
2
k
a
k
Z
4
4
2
π,
,sin2
0
a
k k
a
Z
2
6
sin(
)
1
a
a
2
6
π
4
2 π,
2
a
a
d
k k
Z
( 1,0)
d
π
8
d
8
n
na
n
8
1
9
1
7π
0
8
π
0
a
a
a
a
1
7π
π
8
a
,
2
2 (
, ,
)
p
q
a p q
p
q p q
N
na
1
3
4
6
,
,
,
a a a a
, (
1
, ,
)
p q p
q p q
N
r r N
1,
,
,
1
a p
q
a p q
,
1
a r r
r
,
,
,2024
a p q
a r s
a s
, , ,
p q r s
1
3
a
3
6
a
4
9
a
6
12
a
r
q
2022,
2023
p
r
q
2023
s
, ,
p
q p q
N
na
,p q
1
2
2
2
2
2
q
r
r
q
q
r
q
r
q
r
q
r
2024
2
2
2
2
,
p
q
r
p
r
1
2024
2
2
2
p
q
1
2023,
2023
p
q
1
2023
p
q
2024,
r
s
s
N
2023
s
1,
0
q
p
1
3
a
2,
0
q
p
2
5
a
37
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
令
，得
，
令
，得
，
令
，得
，
令
，得
.
（2）若
成等差数列，
则
，即
.
当
时，①式两边同时除以
得：
，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当
时，①式两边同时除以
得：
，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当
时，
成立.
所以
.
（3）
，
，即
当
时，②式两边同时除以
得：
，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当
时，②式两边同时除以
得：
，此时左边为奇数，右边为偶数，不成立；
当
时，
，即
，
，
，
当且仅当
即
时取等号，
又因为
，
.
【点睛】关键点点睛：第（2）小问关键点是利用等差中项得出一个等式关系，然后根据二次数的定义分
三类讨论，再证明等式关系时，两边同时除以
与
，结合左右两边数的奇偶性，得出
的结论，从
而得解；第（3）小问的关键是，借助了第（2）小问的方法，得出
，从而得到
，借助
，及指数函数的单调性，得出
的值，最后利用二次数的定义得
，即可求解.
2．（24-25 高三上·安徽亳州·开学考试）已知数列
，对于任意的
，都有
，则称数
列
为“凹数列”．
(1)判断数列
是否为“凹数列”，请说明理由；
(2)已知等差数列
，首项为4，公差为
，且
为“凹数列”，求
的取值范围；
(3)证明：数列
为“凹数列”的充要条件是“对于任意的
，当
时，有
”．
【答案】(1)数列
是“凹数列”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）计算出
，故满足“凹数列”的定义；
（2）利用等差数列通项公式得到
，由题意得
对任意
恒成立，
化简得到
，得到答案；
（3）先证明出必要性，放缩得到
，故
，再证明充分性，取
2,
1
q
p
3
6
a
3,
0
q
p
4
9
a
3,
1
q
p
5
10
a
3,
2
q
p
6
12
a
1,
,
,
1 ,
,
1
a p
q
a p q
a r r
1
1
1
2
2
2
2
2 2
2
p
q
r
r
p
q
1
2
2
2
2
2
q
r
r
q
①
q
r
2
q
1
2
1
2
2
2
r q
r q
q
r
2r
2
2
1
2
2
q r
q r
q
r
1
2
2
2
2
2
q
q
q
q
r
q
,
,
,2024
a p q
a r s
a s
2024
2
2
2
2
2
2
p
q
r
s
s
2024
2
2
2
2
,
p
q
r
②
p
r
2 p
2024
1
2
2
2
q
p
r
p
p
p
r
2r
2024
2
2
1
2
p r
q r
r
p
r
2024
2
2
2
2
p
q
p
1
2024
2
2
2
p
q
1
2023,
2023
p
q
1
2023
2023
2024
2
2
2
2
2
p
q
1
2023
p
q
2022,
2023
p
r
q
2024,
r
s
s
N
2023
s
2
q
2r
q
r
p
r
1
2024
2
2
2
p
q
1
2023,
2023
p
q
, ,
p r q
2024,
r
s
s
N
s
na
*
nN
2
1
2
n
n
n
a
a
a
na
2n
na
nb
d
nb
n
d
nc
*
,
,
k m nN
k
m
n
m
k
n
m
c
c
c
c
m
k
n
m
2n
,4
2
1
2
n
n
n
a
a
a
4
1
nb
n
d
1
1
2
1
1
n
n
n
b
b
b
n
n
n
*
2,
n
n
N
4
d
1
n
m
m
m
c
c
c
c
n
m
1
m
k
n
m
m
m
c
c
c
c
c
c
m
k
n
m
1,
2
m
k
n
k
1
2
1
1
1
k
k
k
k
c
c
c
c
2
1
2
k
k
k
c
c
c
nc
38
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
，则有
，即
，所以
为“凹数列”.
【详解】（1）因为
，则
，
又
，故
，即
，数列
是“凹数列”．
（2）因为等差数列{bn}的公差为
，
所以
，
因为数列
是凹数列，
所以
对任意
恒成立，
即
所以
，即
，
因为
，
解得
．
所以
的取值范围为
．
（3）先证明必要性：
因为
为“凹数列”所以对任意的
，都有
，即
，
所以对任意的
，当
时，有
，
所以
，
又
，
所以
．必要性成立，
再证明充分性：
对于任意的
，当
时，有
，
取
，则有
，
即
，所以
为“凹数列”.
【点睛】方法点睛：数列新定义问题，主要针对于等差，等比，递推公式和求和公式等综合运用，对常见
的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时涉及数列与函数，数列与解析几何，数列与二项式定理，数列
与排列组合等知识的综合，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.
3．（24-25 高三 ·广东·阶段练习）已知数列
的前三项均为，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)设数列
的各项均为正整数，且
．
（ⅰ）若
，
，证明：
为等差数列；
（ⅱ）若
，
为递增等差数列，求
的最小值．
1,
2
m
k
n
k
1
2
1
1
1
k
k
k
k
c
c
c
c
2
1
2
k
k
k
c
c
c
nc
2n
na
2
1
1
1
2
1
1
2
2
2
,
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
1
2
2
n
n
2
1
1
n
n
n
n
a
a
a
a
2
1
2
n
n
n
a
a
a
2n
1
,
4
d b
1
1
4
1
nb
b
n
d
n
d
nb
n
1
1
2
1
1
n
n
n
b
b
b
n
n
n
*
2,
n
n
N
4
2
4
1
4
2
1
1
n
d
n
d
nd
n
n
n
，
4
4
4
2
1
1
d
d
d
d
d
d
n
n
n
1
1
2
4
0
1
1
d
n
n
n
2
2
1
1
2
2
2
2
0
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n n
4
d
d
,4
nc
*
nN
2
1
2
n
n
n
c
c
c
2
1
1
n
n
n
n
c
c
c
c
*
,
,
k m nN
k
m
n
1
1
2
1
1
n
m
n
n
n
n
m
m
m
m
c
c
c
c
c
c
c
c
n
m
c
c
1
n
m
m
m
c
c
c
c
n
m
1
1
2
1
1
1
m
k
m
m
m
m
k
k
m
m
m
m
c
c
c
c
c
c
c
c
m
k
c
c
m
k
c
c
1
m
k
n
m
m
m
c
c
c
c
c
c
m
k
n
m
*
,
,
k m nN
k
m
n
m
k
n
m
c
c
c
c
m
k
n
m
1,
2
m
k
n
k
1
2
1
1
1
k
k
k
k
c
c
c
c
2
1
2
k
k
k
c
c
c
nc
{
}
na
1
1
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
+
-
=
{
}
na
{ }
nb
1
n
n
b
b
k
N
4
1
4
1
2
k
k
a
b
+
+
+
=
{ }
nb
1
1
b
{
}
n
ba
2024
b
39
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
【答案】(1)
，
.
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）8095
【分析】（1）由已知递推关系多求几项探索数列项的规律，归纳通项，再加以证明即可；
（2）（ⅰ）由关系式
得
，由数列
各项为正整数递增，可得
，进而
，再由
，可得
，由此
故等差得证；
（ⅱ）由
，
为递增等差数列，通过
通项公式分析出
，可得
从第2 项起后
面各项构成等差数列，再由公差范围，确定数列
使
取最小， 并求出取最小值时的
即可.
【详解】（1）由
，
,
可得
，解得
，
同理依次可得
，
，
，
，
，
，
，
归纳可得数列
的通项公式为
，
.
下面证明该通项公式满足题意.
当
，
时，
；
当
，
时，
；
当
，
时，
；
当
，
时，
；
综上可知，对任意正整数
，
都成立，满足题意.
故满足题意的数列
的通项公式为
，
.
（2）（ⅰ）由（1）可知，
，由
，
可得
，
，
由数列
的各项均为正整数，且
，
可知
，则
，
，
，
由
，
，任意
，
，满足
，
都有
；
故
，由
，可得
为等差数列；
（ⅱ）若
， 则
，
且数列
的各项均为正整数，且
，即数列
递增.
所以当
时，
，又
为递增等差数列，则
，
2
,
4
3
1,
4
2
2,
4
1
1,
4
n
n
n
k
n
k
a
n
n
k
n
k
k
N
4
1
4
1
2
k
k
a
b
+
+
+
=
4
1
4
1
k
k
b
{ }
nb
1
1
b
nb
n
4
1
4
1
k
k
b
nb
n
nb
n
1
1
b
{
}
n
ba
na
2,
2
n
b
n
n
a
b
nb
nb
2024
b
,
n
n
a
b
1
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
+
-
=
1
2
3
a
a
a
1
4
2
3
2
1
a a
a a
4
1 2
1
a
5
3
a
6
1
a
7
5
a
8
1
a
9
7
a
10
1
a
11
9
a
{
}
na
2
,
4
3
1,
4
2
2,
4
1
1,
4
n
n
n
k
n
k
a
n
n
k
n
k
k
N
4
3
n
m
m
N
1
2
3
1
(2
) ( 1)
2
n
n
n
n
a
a
a a
n
n
4
2
n
m
m
N
1
2
3
1 2
( 1) 1
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a a
n
n
4
1
n
m
m
N
1
2
3
( 1)
2
2
(
2) 1
2
n
n
n
n
a
a
a a
n
n
4
n
m
m
N
1
2
3
2
1
1 ( 1) (
3
2)
2
n
n
n
n
a
a
a a
n
n
n
1
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
+
-
=
{
}
na
2
,
4
3
1,
4
2
2,
4
1
1,
4
n
n
n
k
n
k
a
n
n
k
n
k
k
N
4
1
2
4
1
k
k
a
k
N
4
1
4
1
2
k
k
a
b
+
+
+
=
k
N
4
1
4
1
k
k
b
{ }
nb
1
n
n
b
b
1
1
b
2
3
2
1 1
2,
1
2 1
3
b
b
b
L
1
1
1 1
n
n
b
b
n
n
k
N
4
1
4
1
k
k
b
n
N
0k
N
0
4
1
k
n
0
0
0
4
1
(4
1
)
4
1 (4
1
)
k
k
k
k
nb
b
n
n
n
nb
n
1
1
1
n
n
b
b
n
n
{ }
nb
1
1
b
1
1
1
ba
a
{ }
nb
1
n
n
b
b
nb
2
n
1
1
nb
b
{
}
n
ba
1
1
n
ba
a
40
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
可知，
则任意
，
，即
，使
，
并且
，可得
，即
.
当
时，
，
因为
为递增等差数列，所以数列
为递增等差数列，且公差相等.
由
，则
，则数列
的公差
，
即递增等差数列数列
的公差
，
故
.
当且仅当
，
时，
取到最小值
.
此时
，
，
当
时，
也满足
，
是等差数列，满足题意.
故
的最小值为
.
【点睛】关键点点睛：本题目属数列综合题型，解决关键有以下几点：一是数列
通项的规律探索，如
第（1）问中由
四项型的递推数列关系求通项，知三求一，依次多求解几项，观察规律
从而归纳出通项公式再加以证明；二是正整数数列的子数列问题，要注意正整数数列任意两项之差都为整
数的特性.
4．（24-25 高三上·湖北武汉·开学考试）若有穷数列
满足：
且
，则称其为“
阶
数列”.
(1)若“6 阶
数列”为等比数列，写出该数列的各项；
(2)若某“
阶
数列”为等差数列，求该数列的通项
（
，用
表示）；
(3)记“
阶
数列”
的前
项和为
，若存在
，使
，试问：
数列
能否为“
阶
数列”？若能，求出所有这样的数列
；若不能，请说明理由.
【答案】(1)
或
(2)答案见解析
(3)不是，理由见解析
【分析】（1）根“
阶
数列”的定义求解即可；
（2）结合“
阶
数列”的定义，首先得
，然后分公差是大于0、等于0、小于0 进行
讨论即可求解；
（3）记
中非负项和为
，负项和为
，则
，进一步
，
结合前面的结论以及“
阶
数列”的定义得出矛盾即可求解.
【详解】（1）设
成公比为
的等比数列，显然
，
则有
，得
，解得
，
2
,
4
3
1,
4
2
2,
4
1
1,
4
n
n
n
k
n
k
a
n
n
k
n
k
2
n
2
n
b
n
a
b
k
N
4
1
nb
k
2
1
2
2
1
b
b
a
b
a
2
3
b
2
7
b
2
n
1
1
1
2
(
2)
n
n
b
b
n
n
n
n
a
a
b
b
b
b
{
}
n
ba
1
{
}
nb
1
2
1,
7
b
b
1
2
7
1,
5
b
b
a
a
a
n
ba
2
1
4
b
b
d
a
a
1
{
}
nb
4
d
2024
2
4 2022
7
8088
8095
b
b
2
7
b
4
d
2024
b
8095
1
1
4
1
2
n
n
b
n
n
1,
1
4
3,
2
nb
n
a
n
n
1
n
1
4 1 3
1
ba
4
3
n
ba
n
n
ba
2024
b
8095
na
1
2
3
2
n
n
n
n
a
a
a a
+
+
+
-
=
na
1
0
n
i
i
a
1
1
n
i
i
a
n
0 1
0 1
2
1
k
0 1
na
1
2
1
n
k
,n k
n
0 1
na
k
1,2,3,
,
kS
k
n
1,2,3,
,
m
n
1
2
m
S
1,2,3,
,
iS
i
n
n
0 1
na
1
1 1
1 1
1
,
,
,
,
,
6
6 6
6 6
6
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,
6 6
6 6
6 6
n
0 1
n
0 1
1
2
0,
k
k
a
a
d
1
2
,
,
,
n
a a
a
A
B
0,
1
A
B
A
B
1
1,2,3,
,
2
kS
k
n
n
0 1
1
2
3
4
5
6
,
,
,
,
,
a a a a a a
q
1
q
1
2
3
4
5
6
0
a
a
a
a
a
a
6
1 1
0
1
a
q
q
1
q
41
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
由
，
得
，解得
，
所以数列
或
为所求；
（2）设等差数列
的公差为
，
，
，即
，
当
时，矛盾，
当
时，
，
，即
，由
得
，
即
，
，
当
时，同理可得
，即
，
由
得
，即
，
，
综上所述，当
时，
，
当
时，
；
（3）记
中非负项和为A，负项和为
，则
，
得
，即
，
若存在
，使
，可知：
，且
，
时，
时，
，
又
与
不能同时成立，
数列
不为“
阶
数列”.
【点睛】
关键点点睛：第三问的关键是得到
，
，
，
，
，
，
，
，且
，由此即可顺利得解.
1
2
3
4
5
6
1
a
a
a
a
a
a
1
6
1
a
1
1
6
a
1
1 1
1 1
1
,
,
,
,
,
6
6 6
6 6
6
1 1
1 1
1 1
,
,
,
,
,
6 6
6 6
6 6
1
2
3
2
1
,
,
,
,
1
k
a a a
a
k
d
1
2
3
2
1
0
k
a
a
a
a
1
1
2
2
1
2
1
0,
0
2
k
k
d
k
a
a
kd
1
2
0,
k
k
a
a
d
0
d
0
d
2
3
2
1
1
2
1
2
k
k
k
k
a
a
a
a
a
a
1
1
2
2
k k
kd
d
1
1
d
k k
1
0
ka
1
1
0
1
a
k k k
1
1
1
a
k
*
1
1
1
1
,
2
1
1
1
1
n
n
a
n
n
n
k
k
k k
k k
k
N
0
d
1
1
2
2
k k
kd
d
1
1
d
k k
1
0
ka
1
1
0
1
a
k k k
1
1
1
a
k
*
1
1
1
1
,
2
1
1
1
1
n
n
a
n
n
n
k
k
k k
k k
k
N
0
d
*
1
,
2
1
1
n
n
a
n
n
k
k k
k
N
0
d
*
1
,
2
1
1
n
n
a
n
n
k
k k
k
N
1
2
,
,
,
n
a a
a
B
0,
1
A
B
A
B
1
1
1
1
,
,
2
2
2
2
k
A
B
B
S
A
1
1,2,3,
,
2
kS
k
n
1,2,3,
,
m
n
1
2
m
S
1
2
1
2
0,
0,
,
0,
0,
0,
,
0
m
m
m
n
a
a
a
a
a
a
1
2
1
2
m
m
n
a
a
a
1
k
m
0,
0;
1
k
k
a
S
m
k
n
0,
0
k
k
n
a
S
S
1
2
3
1
2
3
n
n
S
S
S
S
S
S
S
S
1
2
3
0
n
S
S
S
S
1
2
3
1
n
S
S
S
S
1,2,3,
,
iS
i
n
n
0 1
1
0
a
2
0
a
0
m
a
1
0
m
a
2
0
m
a
0
n
a
1
2
1
2
m
m
n
a
a
a
42
关注公众号：陆陆高分冲刺 ~领取：最新版“中考/高考-总复习”、最新试卷下载
43
