《2026初高衔接》[第一讲]——代数式与乘法公式_2026版高中《罗老师初升高讲义》十五讲（数学）_《初高衔接2026版》教师版

1
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
1
代数式与乘法公式
代数式与乘法公式
初中数学的教学与学习，主要集中在文字描述向数学表达的转化和翻译的环节，而这中间代数式起到了关
键作用，高中阶段的数学教学中，将更加强化这一观念．
[教学重难点]
[教学目标]
[核心素养]
幂、根式、分式
掌握幂、根式、分式在初高中的不
同应用情景，感知初高中教学差异
数学运算
乘法公式
掌握初中延续，但是高中课上不讲
的乘法公式．
数学运算、逻辑推理
一幂与根式
代数式
由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表
达式称为代数式．代数式主要包含以下三类：
整式
、
分式
与
根式
．
幂与根式的运算
幂与根式的运算
分数指数幂的运算法则：
正分数指数幂运算法则：a
n
m =
m an
由此得负分数指数幂：a
- n
m = 1
a
n
m =
1
m an
高中
初中
负指数幂法则：
负整数指数幂等于它的倒数：a−p = 1
ap 或
1
a


p
同底数幂的加减法：
利用乘法拆分高次幂为低次幂的同类项
再合并计算．即：当n = m + s 时，有：
an± am = am+s± am = as∙am ± am = am as±1


高中
初中
在指数函数和数列运算中考察
乘法：同底数幂相乘底数不变，指数相加：am ⋅an= am+n
除法：同底数幂相除底数不变，指数相减：am ÷ an= am−n
幂的乘方：幂的乘方底数不变，指数相乘：(am)n= amn
积的乘方：积的乘方等于积的因式乘方积：(ab)n= an⋅bn
a n
幂
指数
底数
a×a×a× ∙∙∙×a×a=











n个a
幂是指数函数、幂函数的
基础，需牢记和能识别底
数、指数的位置与概念．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
形如
a 的式子叫二次根式
双重非负性

1 被开方数非负
2 根式整体结果非负
a2 = a


= a，
a≥0
−a，a<0

( a)2 = a，a ≥0
性质运算

a=a
1
2
2
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★★☆☆☆)计算
1
2


-x
+ 2x+1


2÷ 2x+2 -
(-2x)2 + 2x+2 - 2x
原式= 2x+ 22(x+1)÷ 2x+2 - |2x| +22⋅2x- 2x
= 2x+ 22x+2-x-2 - 2x+ 4 ⋅2x- 2x
= 2x+ 2x- 2x+ 3 ⋅2x
= 4 ⋅2x= 2x+2
1
(★☆☆☆☆)若二次根式
4x-2 在实数范围内有意义，则x 的取值范围为
( B )
A. x > 1
2
B. x ≥1
2
C. x < 1
2
D. x ≤1
2
由题意得：4x - 2 ≥0，解得：x ≥1
2 ，故选：B．
2
(★☆☆☆☆)若实数x，y 满足y =
x-5 +
5-x - 1，则x - y 的值是
( D )
A. 1
B. - 6
C. 4
D. 6
∵x - 5 ≥0，5 - x ≥0，∴x ≥5，x ≤5，∴x = 5，∴y =-1，∴x - y = 5 - (-1) = 5 +
1 = 6，故选：D．
3
(★☆☆☆☆)在△ABC 中，三边分别为a，b，c，则化简|a - b + c| -2 (c-a-b)2 的结果为
( B )
A. 3a + b - c
B. - a - 3b + 3c
C. a + 3b - 3c
D. 2a
∵在△ABC 中，三边分别为a，b，c，∴a - b + c > 0，c - a - b < 0，原式= |a - b + c|
-2|c - a - b| = a - b + c - 2(a + b - c) = a - b + c - 2a - 2b + 2c = 3c - a - 3b；故选：B．
4 (★★☆☆☆)化简下列算式
(1)3 ×
1
2


x
-
1
2


x+1
原式= 3 ×
1
2


x
- 1
2 ×
1
2


x
= 3- 1
2


×
1
2


x
= 5
2 ×
1
2


x
=
5
2x+1
(3) 2(1-2n)
1-2
- n•2n+1
原式= 2 2n-1


- n ⋅2n+1
= 2n+1- 2 - n ⋅2n+1
=-2 + (1 - n)•2n+1
(2) (3x-1)2÷ 3x+
1
3


-2x
-
(-32x)2
= 32(x-1)÷ 3x+ 32x- |32x|
= 32x-2-x+ 32x- 32x
= 3x-2
(4)
1
4 -
1
2n+1
1- 1
2
- 2n-1
2n+1
原式= 1
2 - 1
2n - 1
2 × 2n-1
2n
= -n- 1
2


1
2n + 1
2
3
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选择胜于努力，笃行成就未来
(5)
a
2
3 ⋅b-1


1
2 ⋅a
1
2 ⋅b
1
3
6 a⋅b5
= a
1
3 + 1
2 ⋅b
- 1
2 + 1
3
a
1
6 ⋅b
5
6
= a
2
3 •b-1
(7)
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2 3 ab+a
2
3 ÷ 1-2
3 b
a


× 3 a
=
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2a
1
3 b
1
3 +a
2
3 ÷ 1-2b
1
3 a
- 1
3


× a
1
3
=
a
4
3 -8a
1
3 b
4b
2
3 +2a
1
3 b
1
3 +a
2
3 ×
1
1-2b
1
3 a
- 1
3 × a
1
3
=
a
1
3 (a-8b)
2b
1
3


2+ 2b
1
3


⋅a
1
3 + a
1
3


2 ×
a
1
3
a
1
3 -2b
1
3 × a
1
3
=
a(a-8b)
a
1
3


3- 2b
1
3


3 = a(a-8b)
(a-8b)
= a
5
(★★☆☆☆)完成下列计算．
(1)27
- 1
3 +
25
9


1
2 - ( 2)0
原式= 3
3× - 1
3


+
5
3


2× 1
2 - 1
= 1
3 + 5
3 - 1 = 2 - 1 = 1
(3) 3
2


- 1
3 + 8
1
4 × 4 2 + ( 3 2 ×
3)6-
- 2
3


2
3
原式=
3
2


- 1
3 + 2
3
4 × 2
1
4 + 2
1
3 ×6 ×
3
1
2 ×6 -
2
3


2
3 × 1
2
=
2
3


1
3 + 2 + 4 × 27 -
2
3


1
3
= 110．
(5) (-2)0+
3
2


-2
⋅3 3
8


2
3 - ( 3 3 )
4
3 +
(1-
2)2
= 1 +
3
2


-2
⋅3 3
8


2
3 - ( 3 3 )
4
3
+
(1-
2)2
= 1 +
3
2


-2
×
3
2


3× 2
3 - 3
3
2 × 1
2


4
3 +
2 - 1
=
2 - 2
(6)
3
a
3
2
a-3 ⋅
(a-5)
- 1
2 ⋅a
- 1
2


3；
=
3
a
3
2 ⋅a
- 3
2 •
a
5
2 ⋅a
- 3
2
=
a
(8) a
2
3 +3a
1
3 b
1
3 +(3 3 b)2
a
4
3 -27a
1
3 b
÷
a
1
3
3 a-3 3 b
原式= a
2
3 +3a
1
3 b
1
3 +9b
2
3
a
4
3 -27a
1
3 b
× a
1
3 -3b
1
3
a
1
3
= a+3a
2
3 b
1
3 +9a
1
3 b
2
3 -3a
2
3 b
1
3 -9a
1
3 b
2
3 -27b
a
5
3 -27a
2
3 b
=
a-27b
a
2
3 (a-27b)
= 1
a
2
3 = a
- 2
3
(2) 2 7
9


0.5
+
27
64


- 2
3 - ( 8)
2
3 +
2
3


0
原式=
5
3


2× 1
2 +
3
4


3× - 2
3


- 2
3
2 × 2
3 + 1
= 5
3 + 16
9 - 2 + 1 = 22
9
(4) (-64)
1
3 + [(-3)4]
1
4 - ( 2 - 1)0 +
- 1
8


2
原式= (-4)
3× 1
3 + 3 - 1 + - 1
8


=-4 + 3 - 1 + 1
8
=- 15
8
(6) 3 3
8


- 2
3 + 0.01
- 1
2 - 5 ⋅( 5 - 2)-1 -
- 2
3


4
原式=
3
2


3× - 2
3


+ 0．1
2× - 1
2


-
5•
5+2
( 5-2)( 5+2) -
2
3


4× 1
2
= 4
9 + 10 - 5 5 - 10 - 4
9
=-5 5
4
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6
(★★☆☆☆)在数学学习活动中，小明遇到一道题：已知a =
1
2+
3 ，求2a2 - 8a + 1 的值，他是这
样解答的：∵a =
1
2+
3 =
2-
3
(2+
3)(2-
3) = 2 -
3，∴a - 2 =- 3，∴(a - 2)2= 3，即a2- 4a + 4 = 3
∴a2- 4a =-1．∴2a2- 8a + 1 = 2(a2- 4a) + 1 = 2 × (-1) + 1 =-1．
请你根据小明的解题过程，解决如下问题：
(1) 计算：
2
3+1 =
3-1
．
2
3+1 =
2( 3-1)
( 3+1)( 3-1) = 2( 3-1)
3-1
=
3 - 1．
(2) 化简：
1
2+1 +
1
3+
2 +
1
4+
3 +⋯+
1
169+
168 ．
=
2-1
( 2+1)( 2-1) +
3-
2
( 3+
2)( 3-
2) +
4-
3
( 4+
3)( 4-
3) +∙∙∙+
169-
168
( 169+
168)( 169-
168)
= ( 2 - 1) + ( 3 -
2) + ( 4 -
3) + ... + ( 169 -
168)
=-1 + 13 = 12．
(3) 若a =
1
5-2 ，求a4- 4a3- 4a + 3 的值．
∵a =
1
5-2 =
5+2
( 5-2)( 5+2) =
5 + 2，
∴a - 2 =
5，∴(a - 2)2= 5，即a2- 4a = 1，
∴a4- 4a3- 4a + 3 = a2(a2- 4a) - 4a + 3 = a2•1 - 4a + 3 = 1 + 3 = 4．
7
(★★★☆☆)对于方程
(a-1)2 +
(a-3)2 = 2 我们可以通过分类讨论法找到符合方程的a 的范围．
具体作法如下：∵
(a-1)2 +
(a-3)2 = |a - 1| +|a - 3|，根据去绝对值的方法对该绝对值和做分类如下：
①当a < 1 时，原式= (1 - a) + (3 - a) = 4 - 2a = 2，解得a = 1(舍去)；
②当1 ≤a ≤3 时，原式= (a - 1) + (3 - a) = 2 = 2，符合条件；
③当a > 3 时，原式= (a - 1) + (a - 3) = 2a - 4 = 2，解得a = 3(舍去)
∴a 的取值范围是1 ≤a ≤3．
请你根据上述理解，解答下列问题：
(1) 当2 ≤a ≤3 时，化简，
(a-2)2 +
(a-5)2 =
3
．
(2) 若等式
(3-a)2 +
(a-7)2 = 4 成立，求a 的取值范围．
(1) ∵2 ≤a ≤3，∴a - 2 ≥0，a - 5 ≤0，
∴原式= |a - 2| +|a - 5| = a - 2 - (a - 5) = 3，
(2) 由题意可知：|3 - a| +|a - 7| = 4
①当a ≤3 时，∴3 - a ≥0，a - 7 < 0
∴原方程化为：3 - a - (a - 7) = 4，∴a = 3，符合题意；
②当3 < a < 7 时，∴3 - a < 0，a - 7 < 0，
∴- (3 - a) - (a - 7) = 4，∴4 = 4，故3 < a < 7 符合题意；
③当a ≥7 时，∴3 - a < 0，a - 7 ≥0，
∴- (3 - a) + (a - 7) = 4，∴a = 7，符合题意；
综上所述，3 ≤a ≤7．
5
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二分式的裂项与分离常数
初中阶段我们学习了分式的加减法与乘除法的基本内容，高中阶段，我们会在初中学习的基础上，对分式
加减法的逆向运算进行运用．主要包含两类：分式裂项与分离常数法．
分式
若A、B 表示两个整式，且B 中含有字母，那么式子A
B 叫做分式，其中A 称为分子，B 称为分母．
分式有意义的条件：分母不能为0；分式为零的条件：分子为0，分母不为0. 即
A=0
B≠0

分离常数法在高一必修一的学习中很重要，需要大家对于其方法和步骤进行实记．
分式的应用
1
n(n+1) = 1
n -
1
n+1
1
n(n-1) =
1
n-1 - 1
n
c
小分母×大分母=
1
小分母-
1
大分母




×
c
大-小
高中
初中
分式的加减法
1
n -
1
n+1
=
n+1
n(n+1) -
n
n(n+1)
= n+1-n
n(n+1)
=
1
n(n+1)
逆运算
高中
初中
分式的加减法
3 +
7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2
= 3x-6+7
x-2
= 3x+1
x-2
逆运算
分式裂项方法
分式分离常数法
3x+1
x-2 = 3(x-2) + 7
x-2
= 3(x-2)
x-2
+
7
x-2 = 3 +
7
x-2
①提出倍数
②在分子上凑分母，然后凑常数
③裂项
2 (原创∙★★★☆☆)现有一分式：2n2+2n+1
n(n+1)
，请完成下列问题：
(1) 证明：2n2+2n+1
n(n+1)
= 2 + 1
n -
1
n+1 ；
(2) 解方程：；
(3) 求式子的值：2×12+2×1+1
1×2
+ 2×22+2×2+1
2×3
+ ∙∙∙+ 2n2+2n+1
n(n+1)
．
(1) 证明：2n2+2n+1
n(n+1)
= 2n(n+1)+1
n(n+1)
= 2 +
1
n(n+1) = 2 + 1
n -
1
n+1
(2) 2x2+2x+1
x(x+1)
= 13
6
2 + 1
x -
1
x+1 = 13
6
1
x -
1
x+1 = 1
6
x2+ x - 6 = 0 (x + 3) (x - 2) = 0
解得x1=-3, x2= 2，均能使分母存在．∴方程的解为x =-3 或x = 2．
(3) 原式= 2+1- 1
2


+ 2+ 1
2 - 1
3


+ 2+ 1
3 - 1
4


+ ∙∙∙+ 2+ 1
n -
1
n+1


= 2n + 1 -
1
n+1 = 2n(n+1)+(n+1)-1
n+1
= 2n2+3n
n+1
6
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8
(★★☆☆☆)请对下列分式进行常数分离．
(1) x-1
x+1
= x+1-2
x+1
= 1 -
2
x+1
(3) 2x-1
x+1
= 2 x+1


-3
x+1
= 2 -
3
x+1
(5) |x|+2
|x|+1
= |x|+1+1
|x|+1
= 1 +
1
|x|+1
(7) x2+3x+2
x2+1
= (x2+1)+3x+1
x2+1
= 1 + 3x+1
x2+1
9
(★★☆☆☆)将下列分式裂为a + 1
a 形式．
(1) x2+1
x
= x + 1
x
(3) x2+2x
x-1
= (x-1)(x+3)+3
x-1
= x + 3 +
3
x-1 = x - 1 +
3
x-1 + 4
(5) x2+1
x+1
= (x2-1)+2
x+1
= (x+1)(x-1)+2
x+1
= x - 1 +
2
x+1 = x + 1 +
2
x+1 - 2
(2) 2-x
x+3
= -(x+3)+5
x+3
=-1 +
5
x+3
(4)
3x
2x+1
=
3
2 2x+1


- 3
2
2x+1
= 3
2 -
3
4x+2
(6) x2-1
x2+1
= x2+1-2
x2+1
= 1 -
2
x2+1
(8)
2x2-x
x2+2x-1
= 2(x2+2x-1)-5x+2
x2+2x-1
= 2 +
-5x+2
x2+2x-1 = 2 -
5x-2
x2+2x-1
(2) x2-3x+1
x+2
= (x+2)(x-5)+11
x+2
= x - 5 +
11
x+2 = x + 2 +
11
x+2 - 7
(4)
x2
2x-1
=
1
4 (4x2-1)+ 1
4
2x-1
=
1
4 (2x-1)(2x+1)+ 1
4
2x-1
= 2x+1
4
+
1
4(2x-1)
= 1
2 (2x - 1) +
1
4(2x-1) + 1
2
7
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选择胜于努力，笃行成就未来
10 (★★☆☆☆)观察下列各式：
1
2 =
1
1×2 = 1
1 −1
2 ，
1
6 =
1
2×3 = 1
2 −1
3 ，1
12 =
1
3×4 = 1
3 −1
4 ，
1
20 =
1
4×5 = 1
4 −1
5 ⋅⋅⋅
(1) 请你猜想出上式的一般规律，用含x(x 表示整数) 的等式表示
1
x(x+1) =
1
x -
1
x+1
(2) 请利用上述规律计算(要求写出计算过程)：1
2 + 1
6 + 1
12 +⋅⋅⋅+
1
n(n−1) +
1
n(n+1)
= 1
1 - 1
2 + 1
2 - 1
3 + 1
3 - 1
4 ⋯+
1
n-1 - 1
n + 1
n -
1
n+1
= 1 -
1
n+1
=
n
n+1
(3) 请利用上述规律，解方程：
1
(x−2)(x−1) +
1
(x−1)x +
1
x(x+1) =
1
x+1
∵
1
(x-2)(x-1) +
1
(x-1)x +
1
x(x+1) =
1
x+1
∴
1
x-2 -
1
x+1 =
1
x+1
两边同时乘以(x - 2) (x + 1)
得x + 1 - (x - 2) = x - 2
解得x = 5，经检验x = 5 是原方程的解．
11 (★★☆☆☆)已知分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ，完成下列问题：
(1) 计算
1
n+1 -
1
n+3 ，结合计算推导分式
1
(n+1)(n+3) 的裂项公式；
(2) 用分离常数法化简二次分式
n2+4n+5
(n+1)(n+3) ；
(3) 求证：12+4×1+5
(1+1)(1+3) + 22+4×2+5
(2+1)(2+3) + ∙∙∙+
n2+4n+5
(n+1)(n+3) = n + 5
6 -
2n+5
(n+2)(n+3)
(1)
1
n+1 -
1
n+3 = (n+3)-(n+1)
(n+1)(n+3)
=
2
(n+1)(n+3)
整理得裂项公式：
1
(n+1)(n+3) = 1
2
1
n+1 -
1
n+3


(2) 展开分母：(n + 1) (n + 3) = n2+ 4n + 3，配凑分子：
n2+4n+5
(n+1)(n+3) = (n2+4n+3)+2
n2+4n+3
= 1 +
2
(n+1)(n+3)
代入(1)的裂项结果：
= 1 + 2 ⋅1
2
1
n+1 -
1
n+3


= 1 +
1
n+1 -
1
n+3
(3)由(2) 可知：12+4×1+5
(1+1)(1+3) + 22+4×2+5
(2+1)(2+3) + … +
n2+4n+5
(n+1)(n+3)
= 1+ 1
2 - 1
4


+ 1+ 1
3 - 1
5


+ 1+ 1
4 - 1
6


+ … + 1+
1
n+1 -
1
n+3


= n + 1
2 + 1
3 -
1
n+2 -
1
n+3
= n + 5
6 -
2n+5
(n+2)(n+3)
8
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选择胜于努力，笃行成就未来
12 (★★★★☆)有一列按一定顺序和规律排列的数：
第一个数是
1
1×2 ；第二个数是
1
2×3 ；第三个数是
1
3×4 ；⋯⋯
(1) 经过探究，我们发现：
1
1×2 = 1
1 −1
2 、
1
2×3 = 1
2 −1
3 、
1
3×4 = 1
3 −1
4 , 设这列数的第5 个数为
a，那么正确的关系是
( B )
A. a > 1
5 −1
6
B. a = 1
5 −1
6
C. a < 1
5 −1
6
(2) 请你观察第1 个数、第2 个数、第3 个数，猜想这列数的第n 个数(即用正整数n 表示第n 数)，并且证
明猜想“第n 个数与第n + 1 个数的和等于
2
n(n+2) ”
∵第n 个数为
1
n(n+1) ，第(n + 1) 个数为
1
(n+1)(n+2) ，
∴
1
n(n+1) +
1
(n+1)(n+2)
=
1
n+1
1
n +
1
n+2


=
1
n+1 × n+2+n
n(n+2)
=
1
n+1 × 2(n+1)
n(n+2)
=
2
n(n+2) ，
即第n 个数与第(n + 1) 个数的和等于
2
n×(n+2)
(3) 设M 表示1
12 ，1
22 ，1
32 ，⋯⋯，
1
20262 ，这2016 个数的和，即M = 1
12 + 1
22 + 1
32 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅+
1
20262
求证：2026
2027 < M < 4051
2026 ．
∵
1
k(k+1) = 1
k -
1
k+1 ,
1
k(k-1) =
1
k-1 - 1
k ，k ≥2，
证明左侧：1
12 >
1
1×2 = 1 - 1
2 ；1
22 >
1
2×3 = 1
2 - 1
3 ；1
32 >
1
3×4 = 1
3 - 1
4
1
20262 >
1
2026×2027 =
1
2026 -
1
2027
左右分别相加：M = 1
12 + 1
22 + … +
1
20262 > 1- 1
2


+
1
2 - 1
3


+ … +
1
2026 -
1
2027


中间项全部抵消，得：M > 1 -
1
2027 = 2026
2027
证明右侧，对k ≥2 的项放缩：1
12 = 1；1
22 <
1
1×2 = 1 - 1
2
1
32 <
1
2×3 = 1
2 - 1
3 ；
1
20262 <
1
2025×2026 =
1
2025 -
1
2026
左右分别相加：M = 1 + 1
22 + 1
32 + … +
1
20262 < 1 + 1- 1
2


+
1
2 - 1
3


+ … +
1
2025 -
1
2026


中间项全部抵消，得：M < 1 + 1 -
1
2026 = 2 -
1
2026 = 4052-1
2026
= 4051
2026
9
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选择胜于努力，笃行成就未来
三乘法公式
在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘法公式可以使很多多项式的运算变得更为简便．初中主要
学习了两个基本的乘法公式——平方差公式和完全平方公式．
平方差公式
a2 - b2 = a-b


(a + b)
完全平方公式
a±b


2 = a2 ± 2ab + b2
以完全平方公式为基础可以得到代数变形中最基础的一个方法——配方法：将一个式子或一个式子的某一
部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．
如：a，b > 0 时，有：a + b =
a+
b


2- 2 ab
乘法公式
基
础
乘法公式





平方差公式：a2-b2= a-b


(a+b)
完全平方和：a+b


2=a2+2ab+b2
a-b


2=a2-2ab+b2
完全立方和：
a+b


3=a3+3a2b+3ab2+b3
a+b


3=(a+b)(a+b)2
=(a2+2ab+b2)(a+b)
三项和平方：
a+b+c


2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(a+b+c)2=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
b换成-b
a-b+c


2=a2+b2+c2-2ab+2ac-2bc
立方和公式：
a3+b3= a+b


(a2-ab+b2)
a3+b3=(a+b)3-3a2b-3ab2
=(a+b)[(a+b)2 —3ab]
b换成-b
3 (★★★☆☆)已知a > 0，且a2- 3a + 1 = 0，求：
(1) a + 1
a
(2) a2+ 1
a2
(3) a3+ 1
a3
(1) 两边除以a：a - 3 + 1
a = 0 a + 1
a = 3
(2)利用完全平方公式：a2+ 1
a2 = a+ 1
a


2
- 2 = 32- 2 = 7
(3) 套用立方和变形公式：a3+ 1
a3 = a+ 1
a


a2+ 1
a2 -1


= 3 × (7 - 1)
10
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选择胜于努力，笃行成就未来
13 (★☆☆☆☆)若x2+ kx + 25 是完全平方式，则k 的值为
( C )
A. 10
B. - 10
C. ± 10
D. ± 5
x2+ kx + 25 = (x ± 5)2⇒k =±10
14 (★☆☆☆☆)若x + y = 6，x2+ y2= 20，x - y =
( C )
A. 2
B. - 2
C. 4
D. ± 2
∵x + y = 6，x2+ y2= (x + y)2- 2xy = 20，
∴2xy = 62- 20 = 16，∴xy = 8，
∴(x - y)2= x2+ y2- 2xy = 20 - 2 × 8 = 4，∴x - y =±2
15 (★★☆☆☆)若(1 +
2)3 = a + b 2，其中a，b 为整数，则a2- 2b2=
( A )
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 3
∵(1 +
2)3 = 1 + 3 2 + 3 × ( 2)2 + ( 2)3 = 7 + 5 2 = a + b 2，
∴a = 7，b = 5，所以a2- 2b2= 49 - 2 × 25 =-1．故选：A．
16 (★★☆☆☆)已知a3+ b3= 28，a + b = 4，则ab =
( A )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
a3+ b3= (a + b)3- 3ab(a + b) ⇒28 = 64 - 12ab ⇒ab = 3
17 (★★★☆☆)若a + b + c = 0，则下列结论正确的是
( B )
A. a3+ b3+ c3= 0
B. a3+ b3+ c3= 3abc
C. a2+ b2+ c2= 0
D. ab + bc + ca = 0
已知a + b + c = 0，则a + b =-c。对等式两边同时立方：(a + b)3= (-c)3
展开左侧：a3+ b3+ 3ab(a + b) =-c3把a + b =-c 代入上式：a3+ b3+ 3ab(-c) =-c3
整理得：a3+ b3- 3abc =-c3, 移项：a3+ b3+ c3= 3abc
举反例排除其余选项，取一组满足a + b + c = 0 的数值：a = 1，b = 1，c =-2
A：13+ 13+ (-2)3= 1 + 1 - 8 =-6 ≠0，错误；C：12+ 12+ (-2)2= 1 + 1 + 4 = 6 ≠0，错误
D：ab + bc + ca = 1 × 1 + 1 × (-2) + (-2) × 1 =-3 ≠0，错误
18 (★★☆☆☆)已知x2 + 3x - 1 = 0，求：
(1)x2 + 1
x2
(2)x3 - 1
x3
∵x2 + 3x - 1 = 0，所以x ≠0，由x2 - 1 =-3x，得x - 1
x =-3
(1)x2 + 1
x2 = x- 1
x


2
+ 2 = (-3)2 + 2 = 11
(2)x3 - 1
x3 = x- 1
x


x2+1+ 1
x2


=-3 × (11 + 1) =-36
11
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选择胜于努力，笃行成就未来
19 (★★★☆☆)若a2- 6a + 1 = 0，求下列式子的值：
(1) a + a-1
(2) a2+ a-2
由a2- 6a + 1 = 0，a ≠0，两边同除以a：a - 6 + 1
a = 0
(1)a + a-1 = 6
(2)a2+ a-2 = a+a-1


2- 2 = 62- 2 = 36 - 2 = 34
(3) a
1
2 - a
- 1
2
(4)
a3+a-3
a-2+a2+1
(3) 则a
1
2 -a
- 1
2


2 = a + a-1 - 2 = 4，所以a
1
2 - a
- 1
2 =±2
(4) 由立方和公式：a3+ a-3 = a+a-1


a2-1+a-2


a3+a-3
a2+a-2+1
= (a+a-1)(a2+a-2-1)
a2+a-2+1
= 6×(34-1)
34+1
= 6×33
35
= 198
35
20 (2024 ∙新高考Ⅱ卷•★★★☆☆)甲乙两人组成一支队伍参赛，比赛仅限一人出场．已知甲夺冠的概
率P甲= [1 - (1 - p)3]q3，乙夺冠的概率P乙= [1 - (1 - q)3]p3，设0 < p < q，试问选派哪一人出场参赛更合适？
∵P甲- P乙= q3- (q - pq)3- p3+ (p - pq)3
= (q - p) (q2+ pq + p2) + (p - q) [(p - pq)2+ (q - pq)2+ (p - pq) (q - pq)]
= (p - q) (3p2q2- 3p2q - 3pq2)
= 3pq(p - q) (pq - p - q)
= 3pq(p - q) [(1 - p) (1 - q) - 1] > 0
∴P甲> P乙，∴为使得甲、乙所在队夺冠概率最大，该由甲参加比赛．
21 (★★★☆☆)请利用配方法探究函数y = x + 4
x (x > 0) 的最小值和取得最小值时的x．
∵x > 0，∴y = x + 4
x = ( x)2+
2
x


2
= ( x)2- 4 +
2
x


2
+ 4 =
x- 2
x


2
+ 4
∵
x- 2
x


2
≥0
∴y = x + 4
x (x > 0) 的最小值为4
当且仅当
x = 2
x ，即x = 2，则时取得最小值．
这里为什么不凑加法
x+ 2
x


2
- 4
呢？是因为配方后的本质是借助平方具
有非负性来求最值．而和的平方一定
是> 0 的，它的最小不一定是在零处．
无法用平方具有非负性确定最小值．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
12
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选择胜于努力，笃行成就未来
22 (★★★☆☆)所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如3 = ( 3 )2；5 = ( 5 )2，下面我们观察：
(
2 - 1)2 = (
2 )2 - 2 × 1 ×
2 + 12 = 2 - 2 2 + 1 = 3 - 2 2 ，反之可得到：
3-2 2 =
( 2-1)2 =
2-1


=
2 - 1．
请你仿照上述的方法探索并解决下列问题：
(1) 计算：①
5+2 6
②
4-
12
①原式=
( 2+
3)2 =
2 +
3
②原式=
( 3-1)2 =
3 - 1
(2) 若
a±2 b =
m ±
n，则m、n 与a、b 的关系是什么？并说明理由．
m + n = a，mn = b，
理由：∵
a±2 b =
m ±
n ∴( m ±
n)2 = a ± 2 b，
∴m + n ± 2 mn = a ± 2 b，∴m + n = a，mn = b．
(3) 化简
1
16-6 7
-
1
11+4 7
=
1
(3-
7)2 -
1
( 7+2)2 =
1
3-
7 -
1
7+2
=
3+
7
(3-
7)(3+
7) -
7-2
( 7+2)( 7-2) = 3+
7
2
-
7-2
3
= 3
2 + 2
3 +
7
2
-
7
3
= 13
6 +
7
6
23 (★★★★☆)请将下列一次方程中的y 带入二次方程中，整理出关于x 的一元二次方程．
1


(2024• 新高考Ⅰ) 一次方程：y = k(x - 3) + 3
2 ，二次方程：x2
12 + y2
9 = 1
联立2y=kx-3k+3
3x2+4y2=36


(4k2+ 3)x2- (24k2- 12k)x + 36k2- 36k - 27 = 0
2


(2023• 乙卷) 一次方程：y - 3 = k(x + 2)，二次方程：y2
9 + x2
4 = 1
联立y=kx+2k+3
4y2+9x2=36

(4k2+ 9)x2+ 8k(2k + 3)x + 16k(k + 3) = 0
3


(2022• 乙卷) 一次方程：y + 2 = k(x - 1)，二次方程：x2
3 + y2
4 = 1
联立y=kx-k-2
4x2+3y2=12

(3k2+ 4)x2- 6k(2 + k)x + 3k(k + 4) = 0
这些方程的处理在高考中都
是必拿分的项目哦．你站在
现在高一的角度觉得还简单
吗？一大部分学生到了高三
也觉得头疼．所以现在就了
解它．并理解它，宝贝们，
这类乘法公式课上不细讲，
但考试拔高题会出现，想冲
高分一定要掌握好哦．
要点补注
要点补注
mathxiaoshu01
13
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选择胜于努力，笃行成就未来
1 (★☆☆☆☆)若10a= 20，10b= 5，则a + b =
( C )
A. - 1
B. 1
C. 2
D. 10
因为10a= 20，10b= 5，所以10a•10b= 10a+b= 100 = 102，所以a + b = 2．
2 (★☆☆☆☆)若a2- ab = 7 - m，b2- ab = 9 + m，则a - b 的值为
( D )
A. 2
B. ± 2
C. 4
D. ± 4
将题目中的两个式子相加得：a2- ab + b2- ab = 16，即(a - b)2= 16，
∴a - b =±4，故选：D．
3 (★☆☆☆☆)若x < 3，则
9-6x+x2 - |x - 6| =
( A )
A. - 3
B. 3
C. - 9
D. 9
若x < 3，则x - 3 < 0，x - 6 < 0，
∴
9-6x+x2 - |x - 6| = |x - 3| -|x - 6| = 3 - x + x - 6 =-3，故选：A．
4 (★☆☆☆☆)将分式2x-1
x-3
变形，结果正确的是
( A )
A. 2 +
5
x-3
B. 2 -
5
x-3
C. 1 +
2
x-3
D. 2 +
1
x-3
2x-1
x-3 = 2(x-3)+5
x-3
= 2 +
5
x-3 ，答案：A
5 (★★☆☆☆)完成下列化简和求值．
(1) a⋅
3 b a
b
1
2
，a > 0
(2)
3 a4 a-3
3 a4 a4 ，a > 0
(1) 原式= a⋅b
1
3 ⋅a
1
2 × 1
3
b
1
2
= a
1+ 1
6 ⋅b
1
3 - 1
2 = a
7
6 ⋅b
- 1
6
(2) 原式=
3 a4⋅a -3
2
a 4
3 ⋅a4
=
3
a
5
2
a
2
3 ⋅a4 = a
5
6
a
14
3 = a
- 23
6
(3) 2 1
4


1
2 - (2027)0 - 3 3
8


- 2
3 + (1.5)-2
(4)
1
2-1 -
3
5


0
+
9
4


-0.5
+
4 ( 2-π)4
(3) 原式=
3
2


2× 1
2 - 1 -
3
2


3× - 2
3


+
3
2


-2
= 3
2 - 1 - 4
9 + 4
9 = 1
2 ；
(4) 原式=
2+1
( 2-1)( 2+1) - 1 +
3
2


2× - 1
2


+ | 2 - π| =
2 + 1 - 1 + 2
3 + π -
2 = 2
3 + π．
(5)
5+2 6
(6)
7-4 3
(5) =
( 3)2+2 3×
2+( 2)2 =
( 3+
2)2 = | 3 +
2| =
3 +
2
(6) =
22-2×2 3+( 3)2 =
(2-
3)2
= |2 -
3| = 2 -
3
14
夏• 2026 初高衔接
晓书
选择胜于努力，笃行成就未来
6 (★★☆☆☆)已知M = x+1
2
，N =
2x
x+1 ．设y = 2
M + N．
(1)当y = 3 时，求x 的值；
(2)若x 是整数，求y 的正整数值．
依题意，得y =
4
x+1 +
2x
x+1 = 2x+4
x+1 ，
(1)当y = 3 即2x+4
x+1 = 3 时，解得：x = 1，经检验，x = 1 是原分式方程的解，
则当y = 3 时，x 的值是1．
(2) y = 2x+4
x+1 = 2x+2+2
x+1
= 2 +
2
x+1 ．
∵x，y 是整数，∴
2
x+1 是整数，∴x + 1 可以取±1，±2．
当x + 1 = 1，即x = 0 时，y = 2 + 2
1 = 4 > 0；
当x + 1 =-1 时，即x =-2 时，y = 2 + 2
-1 = 0(舍去)；
当x + 1 = 2 时，即x = 1 时，y = 2 + 2
2 = 3 > 0；
当x + 1 =-2 时，即x =-3 时，y = 2 + 2
-2 = 1 > 0；
综上所述，当x 为整数时，y 的正整数值是4 或3 或1．
7 (★★☆☆☆)已知x > 0，y > 0，两个正方体的棱长分别为x、y．
(1) 用代数式表示两个正方体的体积和；
(2) 证明：x3+ y3= (x + y) (x2- xy + y2)
(3) 已知m + n = 3，m2+ n2= 11，利用立方和公式求m3+ n3 的值．
(1) 正方体体积公式：体积= 棱长3
两个正方体体积和：x3+ y3
(2) 证明：完全立方和公式
(x + y)3= x3+ 3x2y + 3xy2+ y3
整理得：
x3+ y3= (x + y)3- 3xy(x + y)
对等式右侧提取公因式(x + y)：
(x + y)3- 3xy(x + y) = (x + y) (x+y)2-3xy


展开(x + y)2 并化简括号内式子：
(x + y)2- 3xy = x2- xy + y2
联立可得：
x3+ y3= (x + y) (x2- xy + y2)
(3) 第一步：由完全平方公式(m + n)2= m2+ n2+ 2mn，代入已知条件：
(m + n)2= m2+ n2+ 2mn
32= 11 + 2mn
mn =-1
第二步：使用立方和变形公式m3+ n3= (m + n)3- 3mn(m + n)，代入m + n = 3、mn =-1：
m3+ n3 = 33- 3 × (-1) × 3
= 27 + 9
= 36