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优秀领先 飞翔梦想 成人成才
第二十七章 相似周周测7
一、选择题
1．观察下列每组图形，相似图形是（ ）
A.
B.
C.
D.
2．用一个10 倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（ ）
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小
3．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为（ ）
A．2 B．3 C．－3
D．3 或－3
4．如图，在大小为4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和②
B．②和③ C．①和③ D．②和④
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE 的长为（
）
A．6 B．8 C．10 D．12
第5 题图 第6 题图 第7 题图
6．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C. ＝ D. ＝
7．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F，则EF∶FC 等于
（ ）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
8．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆
分别与AC、BC 相切于点D、E，则AD 为（ ）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
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第8 题图 第9 题图
9．如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点
F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～
△ACD，其中一定正确的是（ ）
A．①②③④B．①④ C．②③④D．①②③
10．如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点P 从A 点出发，按A→B→C 的方向在AB 和BC
上移动，记PA＝x，点D 到直线PA 的距离为y，则y 关于x 的函数图象大致是（ ）
A B C D
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，MN∥BC 分别交AB，AC 于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则
MN 的长为 .
第11 题图 第12 题图 第13 题图 第14 题图
12．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC＝
OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝
mm.
13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距
离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度
为 cm．
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一
个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和
谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和
△ABC 相似，∠A＝46°，则∠ACB 的度数为 ．
三、解答题
15．（10 分）如图，A、B、C、P 四点均在边长为1 的小正方形网格格点上．
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（1）判断△PBA 与△ABC 是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC 的度数．
16．（10 分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角
三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们
通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使
边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE=0.5 米，
EF=0.25 米，目测点D 到地面的距离DG=1.5 米，到旗
杆的水平距离DC=20 米，求旗杆的高度．
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17．（10 分）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上
一点，若∠APD=60°，求CD 的长．
18．（12 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D，交AC 于点E，交
BC 延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
19．（12 分）如图，已知CE 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，BG⊥AP.
求证：CE2＝ED·EP.
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20．（12 分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P 在BD 上由点B 向
点D 方向移动，当点P 移到离点B 多远时，△APB 和△CPD 相似？
21．（12 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝20，BC＝10，点P 为AB 边上一动点，DP 交AC 于
点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1 个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当
t 为何值时，DP⊥AC?
22．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC
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延长线上一点，过B 作BE⊥AG，垂足为E，交CD 于点F.求证：CD2＝DF·DG.
第二十七章 相似周周测7 试题答案
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一、选择题（本大题10 小题，每小题4 分，共40 分。）
1．观察下列每组图形，相似图形是（ D ）
A.
B.
C.
D.
2．用一个10 倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为（ C ）
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小
3．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x 的值为（ B ）
A．2 B．3 C．－3
D．3 或－3
4．如图，在大小为4×4 的正方形网格中，是相似三角形的是（ B ）
A．①和②
B．②和③ C．①和③D．②和④
5．如图，在△ABC 中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE 的长为（
C ）
A．6 B．8 C．10 D．12
第5 题图 第6 题图 第7 题图
6．如图，点P 在△ABC 的边AC 上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是（
D ）
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C. ＝ D. ＝
7．如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F，则EF∶FC 等于（ D
）
A．3∶2 B．3∶1 C．1∶1 D．1∶2
8．如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，以斜边AB 上的一点O 为圆心所作的半圆
分别与AC、BC 相切于点D、E，则AD 为（ B ）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
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第8 题图 第9 题图
9．如图，在▱ABCD 中，AC，BD 相交于点O，点E 是OA 的中点，连接BE 并延长交AD 于点
F，已知S△AEF=4，则下列结论：①AFFD=12；②S△BCE=36；③S△ABE=12；④△AEF～
△ACD，其中一定正确的是（ D ）
A．①②③④B．①④ C．②③④D．①②③
10．如图，矩形ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点P 从A 点出发，按A→B→C 的方向在AB 和BC
上移动，记PA＝x，点D 到直线PA 的距离为y，则y 关于x 的函数图象大致是（ D ）
A B C D
二、填空题（每题5 分，共20 分）
11．如图，在△ABC 中，MN∥BC 分别交AB，AC 于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则
MN 的长为 1 .
第11 题图 第12 题图 第13 题图 第14 题图
12．如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等，OC＝
OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝ 2.5
mm.
13．如图，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若幻灯片到光源的距
离为20 cm，到屏幕的距离为40 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度
为 18 cm．
14．经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一
个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和
谐分割线”．如图，线段CD 是△ABC 的“和谐分割线”，△ACD 为等腰三角形，△CBD 和
△ABC 相似，∠A＝46°，则∠ACB 的度数为 113°或92° ．
三、解答题（共90 分）
15．（10 分）如图，A、B、C、P 四点均在边长为1 的小正方形网格格点上．
（1）判断△PBA 与△ABC 是否相似，并说明理由；
（2）求∠BAC 的度数．
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解：（1）△PBA 与△ABC 相似，
理由如下：
∵AB=
=
，BC=5，BP=1，
∴
，
∵∠PBA=∠ABC，
∴△PBA∽△ABC；
（2）∵△PBA∽△ABC
∴∠BAC=∠BPA，
∵∠BPA=90°+45°=135°，
∴∠BAC=135°．
16．（10 分）如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB
的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同
一直线上，已知DE=0.5 米，EF=0.25 米，目测点D 到地面的距离DG=1.5 米，到旗杆的水平距
离DC=20 米，求旗杆的高度．
解：由题意可得：△DEF∽△DCA，
则
，
∵DE=0.5 米，EF=0.25 米，DG=1.5m，DC=20m，
∴
，
解得：AC=10，
故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m），
答：旗杆的高度为11.5m．
17．（10 分）如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP=1，D 为AC 上
一点，若∠APD=60°，求CD 的长．
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵∠APB=∠PAC+∠C，∠PDC=∠PAC+∠APD，
∵∠APD=60°，
∴∠APB=∠PAC+60°，∠PDC=∠PAC+60°，
∴∠APB=∠PDC，
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又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABP∽△PCD，
∴
，即
，
∴CD=
．
18．（12 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AB 的垂直平分线交AB 于D，交AC 于点E，交
BC 延长线于F.求证：CD2＝DE·DF.
证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠F＋∠FEC＝90°.
∵DF⊥AB，
∴∠A＋∠AED＝90°.
∵∠AED＝∠FEC，
∴∠A＝∠F.
∵CD 是Rt△ABC 斜边AB 的中线，∴CD＝DA.
∴∠A＝∠ACD.∴∠ACD＝∠F.
又∵∠CDE＝∠FDC，
∴△CDE∽△FDC.
∴＝.∴CD2＝DE·DF.
19．（12 分）如图，已知CE 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，BG⊥AP.
求证：CE2＝ED·EP.
证明：∵CE 是Rt△ABC 的斜边AB 上的高，
∴△ACE∽△CBE.
∴＝，
即CE2＝AE·BE.
∵CE⊥AB，BG⊥AP,
∴∠EBD＋∠EDB＝∠P＋∠GDP＝90°.
∴∠EBD＝∠P.
∴△AEP∽△DEB.
∴＝，
即AE·EB＝ED·EP.
∴CE2＝ED·EP.
20．（12 分）如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，点P 在BD 上由点B 向
点D 方向移动，当点P 移到离点B 多远时，△APB 和△CPD 相似？
解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
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∴当
或
时，△PAB 与△PCD 是相似三角形，
∵AB=6cm，CD=4cm，BD=14cm，
∴
或
，
解得：BP=2 或12 或
，
即BP=2 或12 或
时，△PAB 与△PCD 是相似三角形．
21．（12 分）如图，矩形ABCD 中，AB＝20，BC＝10，点P 为AB 边上一动点，DP
交AC 于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P 点从A 点出发沿AB 边以每秒1 个单位长度的速度向B 点移动，移动时间为t 秒．当
t 为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠APQ＝∠CDQ.
又∵∠AQP＝∠CQD，
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5 时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.
∴＝.
又∵＝，
∴＝.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，
∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
22．（12 分）如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的高，G 是DC
延长线上一点，过B 作BE⊥AG，垂足为E，交CD 于点F.求证：CD2＝DF·DG.
证明：∵∠ACB＝90°，CD 是斜边AB 上的高，
∴∠ACD＋∠BCD＝∠BCD＋∠CBD＝90°.
∴∠ACD＝∠CBD.
∴△ACD∽△CBD.
∴＝，即CD2＝AD·BD.
∵BE⊥AG，∴∠G＋∠CFE＝90°.
∵∠DBF＋∠BFD＝90°，∴∠G＝∠DBF.
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∴△BDF∽△GDA.
∴＝，即AD·BD＝DF·DG.
∴CD2＝DF·DG.
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