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第二十七章 相似自主检测
(满分：120 分 时间：100 分钟)
一、选择题(本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分)
1．已知△MNP 如图271，则下列四个三角形中与△MNP 相似的是( )
图271
A B C D
2．△ABC 和△A′B′C′是位似图形，且面积之比为1 9∶，则△ABC 和△A′B′C′的对应边AB 和
A′B′的比为( )
A．3 1 B
∶
．1 3 C
∶
．1 9 D
∶
．1 27
∶
3．下列命题中正确的有( )
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；
③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
4．在△ABC 中，BC＝15 cm，CA＝45 cm，AB＝63 cm，另一个和它相似的三角形的最短
边长是5 cm，则最长边长是( )
A．18 cm B．21 cm C．24 cm D．19.5 cm
5．在梯形ABCD 中，AD∥BC，AC 与BD 相交于点O，如果AD∶BC＝1 3∶，那么下列结论中
正确的是( )
A．S△OCD＝9S△AOD B．S△ABC＝9S△ACD
C．S△BOC＝9S△AOD D．S△DBC＝9S△AOD
6．如图272，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 至F 使EF＝DE，连接CF，则S△CEF∶S 四边形
BCED的值为( )
A．1 3 B
∶
．2 3 C
∶
．1 4 D
∶
．2 5∶
图272 图273
7．如图273，已知直线a∥b∥c，直线m，n 与直线a，b，c 分别交于点A，C，E，B，D，F，AC
＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝( )
A．7 B．7.5 C．8 D．8.5
8．如图274，身高1.6 m 的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA 由B 向A 走去，
当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3.2 m，CA＝0.8 m，则树
的高度为( )
图274
A．4.8 m B．6.4 m C．8 m D．10 m
9．如图275，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE 的是(
)
A.＝ B.＝
C．∠B＝∠D D．∠C＝∠AED
图275 图276
10．如图276，直角梯形ABCD 中，AB∥CD，∠C＝90°，∠BDA＝90°，若AB＝a，BD＝b，
CD＝c，BC＝d，AD＝e，则下列等式成立的是( )
A．b2＝ac B．b2＝ce C．be＝ac D．bd＝ae
二、填空题(本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分)
11．已知线段a＝1，b＝，c＝，d＝，则这四条线段________比例线段(填“成”或“不
成”)．
12．在比例尺1 6 000 000
∶
的地图上，量得南京到北京的距离是15 cm，这两地的实际距离
是______km.
13．如图277，若DE∥BC，DE＝3 cm，BC＝5 cm，则＝________.
图277
14．△ABC 的三边长分别为2，，，△A1B1C1的两边长分别为1 和，当△A1B1C1的第三边长
为________时，△ABC∽△A1B1C1.
15．如图278，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为1∶，则
这两个四边形每组对应顶点到位似中心的距离之比是__________．
图278 图279
16．如图279，在矩形ABCD 中，点E 是BC 的中点，且DE⊥AC 于点O，则＝________.
三、解答题(一)(本大题共3 小题，每小题6 分，共18 分)
17．如图2710，在▱ABCD 中，EF∥AB，FG∥ED，DE∶EA＝2 3∶，EF＝4，求线段CG 的长．
图2710
18．如图2711，在△ABC 中，AB＝8，AC＝6，BC＝7，点D 在BC 的延长线上，且
△ACD∽△BAD，求CD 的长．
图2711
19．如图2712，在水平桌面上有两个“E”，当点P1，P2，O 在同一条直线上时，在点O 处
用①号“E”测得的视力与用②号“E”测得的视力相同．
(1)图中b1，b2，l1，l2满足怎样的关系式？
(2)若b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，①号“E”的测试距离l1＝8 cm，要使测得的视力相同，则②
号“E”的测试距离应为多少？
图2712
四、解答题(二)(本大题共3 小题，每小题7 分，共21 分)
20．如图2713，在△ABC 中，已知DE∥BC.
(1)△ADE 与△ABC 相似吗？为什么？
(2)它们是位似图形吗？如果是，请指出位似中心．
图2713
21．如图2714，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC，AC，过点C 作直线
CD⊥AB 于点D，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F，连接BF 与直线CD 延长线交于
点G.求证：BC2＝BG·BF.
图2714
22．如图2715，点C，D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形．
(1)当AC，CD，DB 满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB 时，求∠APB 的度数．
图2715
五、解答题(三)(本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分)
23．如图2716，AB 是⊙O 的直径，弦CD⊥AB 于点E，过点B 作⊙O 的切线，交AC 的延
长线于点F.已知OA＝3，AE＝2.
(1)求CD 的长；
(2)求BF 的长．
图2716
24．如图2717，学校的操场上有一旗杆AB，甲在操场上的C 处竖立3 m 高的竹竿CD；乙
从C 处退到E 处恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE＝3 m，乙的眼睛到地面的
距离FE＝1.5 m；丙在C1处竖立3 m 高的竹竿C1D1，乙从E 处后退6 m 到E1处，恰好看到两
根竹竿和旗杆重合，且竹竿顶端D1与旗杆顶端B 也重合，量得C1E1＝4 m．求旗杆AB 的高．
图2717
25．如图2718，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，过点B 作射线BB1∥AC.动点
D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5 个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线
AC 方向以每秒3 个单位的速度运动．过点D 作DH⊥AB 于点H，过点E 作EF⊥AC 交射线
BB1于点F，G 是EF 中点，连接DG.设点D 运动的时间为t 秒．
(1)当t 为何值时，AD＝AB，并求出此时DE 的长度；
(2)当△DEG 与△ACB 相似时，求t 的值．
图2718
第二十七章自主检测参考答案：
1．C 2.B 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.C 9.B
10．A 解析：∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠DBA.
又∵∠C＝∠BDA＝90°，∴△CDB∽△DBA.
∴＝＝，即＝＝.
A．b2＝ac，成立，故本选项正确；
B．b2＝ac，不是b2＝ce，故本选项错误；
C．be＝ad，不是be＝ac，故本选项错误；
D．bd＝ec，不是bd＝ae，故本选项错误．
11．成 12.900 13. 14.
15．1∶
16. 解析：∵DE⊥AC，BC∥AD，∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠EDC.
又∵∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ACB∽△EDC.∴＝.
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴CD＝＝CE.∴＝＝.
17．解：∵EF∥AB，∴△DEF∽△DAB.
又∵DE∶EA＝2 3∶，∴DE∶DA＝2 5.
∶
∴＝＝＝.
∴AB＝10.
又∵FG∥ED，DG∥EF，
∴四边形DEFG 是平行四边形．
∴DG＝EF＝4.
∴CG＝CD－DG＝AB－DG＝10－4＝6.
18．解：∵△ACD∽△BAD，∴＝＝＝＝.
∴AD＝BD，AD＝CD. 16
∴
CD＝9BD.
又∵BD＝7＋CD，
16
∴
CD＝9×(7＋CD)，解得CD＝9.
19．解：(1)因为P1D1∥P2D2，所以△P1D1O∽△P2D2O.
所以＝，即＝.
(2)因为＝，b1＝3.2 cm，b2＝2 cm，l1＝8 m，
所以＝.所以l2＝5 m.
20．解：(1)△ADE 与△ABC 相似．
∵平行于三角形一边的直线和其他两边相交，交点与公共点所构成的三角形与原三角
形相似．
即由DE∥BC，可得△ADE∽△ABC.
(2)是位似图形．由(1)知：△ADE∽△ABC.
∵△ADE 和△ABC 的对应顶点的连线BD，CE 相交于点A，
∴△ADE 和△ABC 是位似图形，位似中心是点A.
21．证明：∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB＝90°.
又∵CD⊥AB 于点D，∴∠BCD＝∠A.
又∵∠A＝∠F(同弧所对的圆周角相等)，
∴∠F＝∠BCD＝∠BCG.
在△BCG 和△BFC 中，
∴△BCG∽△BFC.∴＝.
即BC2＝BG·BF.
22．解：(1)∵△PCD 是等边三角形，
∴∠ACP＝∠PDB＝120°.
当＝，即＝，也就是当CD2＝AC·DB 时，△ACP∽△PDB.
(2)∵△ACP∽△PDB，∴∠A＝∠DPB.
∴∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB
＝∠APC＋∠CPD＋∠A＝∠PCD＋∠CPD＝120°.
23．解：(1)如图D100，连接OC，在Rt△OCE 中，
图D100
CE＝＝＝2 .
∵CD⊥AB，
∴CD＝2CE＝4 .
(2)∵BF 是⊙O 的切线，
∴FB⊥AB.∴CE∥FB.
∴△ACE∽△AFB.
∴＝，＝.
∴BF＝6 .
24．解：如图D101，连接F1F，并延长使之与AB 相交，设其与AB，CD，C1D1分别交于点
G，M，N，设BG＝x m，GM＝y m.
∵DM∥BG，∴△FDM∽△FBG.
∴＝，则＝. ①
又∵ND1∥GB，∴△F1D1N∽△F1BG.
∴＝，即＝. ②
联立①②，解方程组，得
故旗杆AB 的高为9＋1.5＝10.5(m)．
图D101
25．解：(1)∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5.
∵AD＝5t，CE＝3t，
∴当AD＝AB 时，5t＝5，∴t＝1.
∴AE＝AC＋CE＝3＋3t＝6，∴DE＝6－5＝1.
(2)∵EF＝BC＝4，点G 是EF 的中点，∴GE＝2.
当AD<AE 时，DE＝AE－AD＝3＋3t－5t＝3－2t.
若△DEG∽△ACB，则＝或＝，
∴＝或＝.
∴t＝或t＝.
∴当AD>AE 时，DE＝AD－AE＝5t－(3＋3t)＝2t－3.
若△DEG∽△ACB，则＝或＝，
∴＝或＝.
∴t＝或t＝.
综上所述，当t＝或或或秒时，△DEG∽△ACB.
