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人教版数学九年级下学期
第27 章《相似》单元测试卷
（满分120 分，限时120 分钟）
一、选择题（共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1.已知2x=5y（y≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.若
，则
等于（ ）
A．8 B．9
C．10 D．11
3.下列各组条件中，一定能推得△ABC 与△DEF 相似的是（ ）
A．∠A=∠E 且∠D=∠F B．∠A=∠B 且∠D=∠F
C．∠A=∠E 且
D．∠A=∠E 且
4.如图，正方形ABCD 的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN 的两端点在CD、AD 上滑动，当DM 为（ ）时，
△ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似．
N
M
E
D
C
B
A
A．
B．
C．
或
D．
或
5.如图所示，△ABC 中若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
F
E
D
C
B
A
A．
B．
C
．
D．
6.如图，在△ABC 中，DE∥BC，
，DE=4，则BC 的长是（ ）
E
D
C
B
A
A．8 B．10
C．11 D．12
7.如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是（ ）
D1
C1
B1
A1
D
C
B
A
A．10
B．12
C．
D.
8.已知△ABC∽△A′B′C′且
，则S
ABC
△
：S
A'B'C′
△
为（ ）
A．1：2 B．2：1 C．1：4 D．4：1
9.如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不
计）（ ）
0.5m
16m
?
A．4m
B．6m C．8m D．12m
10.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD 的值为（ ）
D
C
B
A
A．
B．
C．
D．3
二、填空题（共6 小题，每小题3 分，共18 分）
11.在直角△ABC 中，AD 是斜边BC 上的高，BD=4，CD=9，则AD=
．
12.如图，直线AD∥BE∥CF，BC=
AC，DE=4，那么EF 的值是 ．
F
E
D
C
B
A
13.已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为
．
14.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，若AD=OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为
．
O
F
E
D
C
B
A
15.如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出
发经过平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2 米，BP=1.8 米，
PD=12 米，那么该古城墙的高度是
米（平面镜的厚度忽略不计）．
P
D
C
B
A
16.如图，在△ABC 中，AB=9，AC=6，BC=12，点M 在AB 边上，且AM=3，过点M 作直线MN 与AC 边交于点
N，使截得的三角形与原三角形相似，则MN=
．
M
C
B
A
三、解答题(共8 题，共72 分)
17.（本题8 分）如图，在△ABC 中，点D，E 分别在边AB，AC 上，若DE∥BC，AD=3，AB=5，求
的值．
E
D
C
B
A
18.（本题8 分）已知：平行四边形ABCD，E 是BA 延长线上一点，CE 与AD、BD 交于G、F．
求证：CF2=GF•EF．
G
F
E
D
C
B
A
19.（本题8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 为角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
（1）写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1 的相似三角形；
（2）选择（1）中一对加以证明．
E
D
C
B
A
20.（本题8 分）如图，已知A（﹣4，2），B（﹣2，6），C（0，4）是直角坐标系平面上三点．
（1）把△ABC 向右平移4 个单位再向下平移1 个单位，得到△A1B1C1．画出平移后的图形，并写出点A 的对应
点A1的坐标；
（2）以原点O 为位似中心，将△ABC 缩小为原来的一半，得到△A2B2C2，请在所给的坐标系中作出所有满足条
件的图形．
x
y
C
B
A
O
21.（本题8 分）在△ABC 中，点D 为BC 上一点，连接AD，点E 在BD 上，且DE=CD，过点E 作AB 的平行线
交AD 于F，且EF=AC．如图，求证：∠BAD=∠CAD；
C
B
A
F
E
D
22.（本题10 分）如图，在梯形ABCD 中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在线段BC 上任取一
点E，连接DE，作EF⊥DE，交直线AB 于点F．
（1）若点F 与B 重合，求CE 的长；
（2）若点F 在线段AB 上，且AF=CE，求CE 的长．
C
B
A
F
E
D
23.（本题10 分）如图，已知△ABC∽△ADE，AB=30cm，AD=18cm，BC=20cm，∠BAC=75°，∠ABC=40°．
（1）求∠ADE 和∠AED 的度数；
（2）求DE 的长．
D
E
B
C
A
24.（本题12 分）在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P 从点A 出发，沿AC 向点C 方向
运动，动点Q 从点C 出发，沿线段CB 也向点B 方向运动，如果点P 的速度是4cm/秒，点Q 的速度是2cm/秒，
它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t 秒．求：
（1）当t=3 秒时，这时，P，Q 两点之间的距离是多少？
（2）若△CPQ 的面积为S，求S 关于t 的函数关系式．
（3）当t 为多少秒时，以点C，P，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？
Q
B
C
A
P
第27 章《相似》单元测试卷解析
一、选择题
1. 【答案】∵2x=5y，∴
．故选B．
2.【答案】设
=k，
则a=2k，b=3k，c=4k，
即
=
=10，
故选C．
3. 【答案】A、∠D 和∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F 不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由
可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC 与△DEF
相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E 且
不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
F
E
D
C
B
A
4. 【答案】∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC，
∵BE=CE，∴AB=2BE，
又∵△ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似，∴①DM 与AB 是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1∴DM2+
DM2=1，解得DM=
；
DM
②
与BE 是对应边时，DM=
DN，∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，解得DM=
．∴DM 为
或
时，△ABE 与以D、M、N 为顶点的三角形相似．
故选C．
5. 【答案】∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形DEFB 是平行四边形，∴DE=BF，BD=EF；
∵DE∥BC，∴
，
，
∵EF∥AB，∴
故选C．
6.【答案】∵
，∴
，
∵在△ABC 中，DE∥BC，∴
，
∵DE=4，∴BC=3DE=12．故选D．
7. 【答案】∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，∴
，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，∴C1D1=
．
故选C．
8.【答案】∵△ABC∽△A′B′C′，
，∴S
ABC
△
：S
A'B'C′
△
==（
）2=
，故选C．
9.【答案】设长臂端点升高x 米，则0.5：x=1:16，∴解得：x=8．故选；C．
10. 【答案】∵在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，∴AC2=AD•AB，
又∵AC=3，AB=6，∴32=6AD，则AD=
．
故选：A．
二、填空题
11.【答案】∵△ABC 是直角三角形，AD 是斜边BC 上的高，∴AD2=BD•CD（射影定理），
∵BD=4，CD=9，∴AD=6．
D
C
B
A
12.【答案】∵BC=
AC，∴
，∵AD∥BE∥CF，∴
，∵DE=4，∴EF=2．故答案为：2．
13.【答案】因为△ABC∽△DEF，所以△ABC 与△DEF 的面积比等于相似比的平方，
因为S
ABC
△
：S
DEF
△
=2：9=（2：3）2，
所以△ABC 与△DEF 的相似比为2：3，
故答案为：2：3．
14.【答案】∵以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF，AD=OA，
∴AB：DE=OA：OD=1：2，
∴△ABC 与△DEF 的面积之比为：1：4．
故答案为：1：4．
15.【答案】由题意知：光线AP 与光线PC，∠APB=∠CPD，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴AB:BP=CD:PD,，∴CD=1.2×12÷1.8=8（米）．
故答案为：8．
16.【答案】如图1，当MN∥BC 时，则△AMN∽△ABC，故AM:AB=AN:AC=MN:BC，
则3：9=MN:12，解得：MN=4，
如图2 所示：当∠ANM=∠B 时，
又∵∠A=∠A，∴△ANM∽△ABC，∴AM:AC=MN:BC，即3：6=MN:12，
解得：MN=6，
故答案为：4 或6．
图2
图1
N
A
B
C
M
N
M
C
B
A
三、解答题
17.【解答】∵DE∥BC，∴AD:AB=DE:BC，∵AD=3，AB=5，∴
=
．
18.【解答】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，
∴GF:CF=DF:BF，CF:EF=DF:BF，∴GF:CF=CF:EF，
即CF2=GF•EF．
19.【解答】（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD；
（2）证明：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD 为角平分线，∴∠ABD=
∠ABC=36°=∠A，
在△ADE 和△BDE 中, ∠A=∠DBA,∠AED=∠BED,ED=ED，
∴△ADE≌△BDE（AAS）；
∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD 为角平分线，∴∠DBC=
∠ABC=36°=∠A，
∵∠C=∠C，∴△ABC∽△BCD．
20.【解答】（1）△A1B1C1如图所示，其中A1的坐标为：（0，1）；
（2）符合条件△A2B2C2有两个，如图所示．
x
y
A2
B2
C2
C2
B2
A2
C
B
A
C1
B1
A1
O
【知识讲解】（1）直接利用平移的性质，可分别求得△A1B1C1各点的坐标，继而画出图形；
（2）利用位似的性质，可求得△A2B2C2各点的坐标，继而画出图形．
21.【解答】延长FD 到点G，过C 作CG∥AB 交FD 的延长线于点M，
则EF∥MC，∴∠BAD=∠EFD=∠M，
在△EDF 和△CMD 中，∠EFD=∠M，∠EDF=∠MDC，ED=DC，
∴△EDF≌△CMD（AAS），∴MC=EF=AC，∴∠M=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD；
C
B
A
M
F
E
D
22.【解答】（1）当F 和B 重合时，
∵EF⊥DE，∵DE⊥BC，
∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AD=EF=9，∴CE=BC
EF=12
9=3
﹣
﹣
；
（2）过D 作DM⊥BC 于M，
∵∠B=90°，∴AB⊥BC，∴DM∥AB，
∵AD∥BC，∴四边形ABMD 是矩形，∴AD=BM=9，AB=DM=7，CM=12
9=3
﹣
，
设AF=CE=a，则BF=7
a
﹣，EM=a
3
﹣，BE=12
a
﹣，
∵∠FEC=∠B=∠DMB=90°，∴∠FEB+∠DEM=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∴∠BFE=∠DEM，
∵∠B=∠DME，∴△FBE∽△EMD，∴BF:EM=BE:DM，
∴(7-a)：（a-3）=（12-a）：7，a=5，a=17，
∵点F 在线段AB 上，AB=7，∴AF=CE=17（舍去），即CE=5．
E
D
E
F
A
B
C
C
B
A
M
（F）
D
23.【解答】解：（1）∵∠BAC=75°，∠ABC=40°，∴∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°
75°
40°=65°
﹣
﹣
，
∵△ABC∽△ADE，∴∠ADE=∠ABC=40°，∠AED=∠C=65°；
（2）∵△ABC∽△ADE，∴AB:AD=BC:DE，即30：18=20：DE，解得DE=12cm．
24.【解答】由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20
4t
﹣，
（1）当t=3 秒时，CP=20
4t=8cm
﹣
，CQ=2t=6cm，
由勾股定理得PQ=10cm；
（2）由题意得AP=4t，CQ=2t，则CP=20
4t
﹣，
因此Rt△CPQ 的面积为S=
×（20-4t）×2t=（20t-4t ）cm ；
（3）分两种情况：
①当Rt△CPQ∽Rt△CAB 时，CP:CA=CQ:CB，即(20-4t)：20=2t：15，解得t=3 秒；
②当Rt△CPQ∽Rt△CBA 时，CP:CB=CQ:CA，即(20-4t)：15=2t：20，解得t=
秒．
因此t=3 秒或t=
秒时，以点C、P、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．
