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相似三角形的性质及应用--巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6 和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3 和4 及x，
那么x 的值（ ）.
A．只有1 个 B．可以有2 个 C．有2 个以上，但有限 D．有无数个
2. 若平行四边形ABCD 中，AB＝10，AD＝6，E 是AD 的中点，在AB 上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF 的长
为（ ）．
A．1.8 B．5 C．6 或4 D．8 或2
3. 如图，已知D、E 分别是
的AB、 AC 边上的点，
且
那么
等于（ ）.
A．1：9 B．1：3 C．1：8 D．1：2
4．如图G 是△ABC 的重心，直线过A 点与BC 平行.若直线CG 分别与AB、交于D、E 两点，直线BG 与
AC 交于 F 点，则△AED 的面积 ：四边形ADGF 的面积=( ).
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
5. 如图，将△ABC 的高AD 四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、
S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（ ）.
A.1︰2︰3︰4 B.2︰3︰4︰5 C.1︰3︰5︰7 D.3︰5︰7︰9
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6．.如图，在□ABCD 中，E 为CD 上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD 交于点F，则
S△DEF：S△EBF：S△ABF等于( ).
A.4：10：25 B.4：9：25 C.2：3：5 D.2：5：25
二、填空题
7.如图，梯形ABCD 中，AB∥CD,AC、BD 相交于点E，
1 ,
2
DEC
S
S
△
△CEB
DEC
S
S
△
△AEB =___________.
8.如图，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.
9.如图，在△PAB 中，M、N 是AB 上两点，且△PMN 是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB 的度数是
_______________.
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10.如图，△ABC 中，DE∥BC,BE,CD 交于点F，且S △EFC =3S △EFD，则S △ADE ：S △ABC =______________.
11. 如图，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到
路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已
知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________.
12.如图，锐角△ABC 中，AD,CE 分别为BC,AB 边上的高，△ABC 和△BDE 的面积分别等于18 和2，DE=2，
则AC 边上的高为______________.
三、解答题
13. 为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：
图（1）：测得竹竿CD 的长为0.8 米，其影CE 长1 米，树影AE 长2.4 米．
图（2）：测得落在地面的树影长2.8 米，落在墙上的树影高1.2 米，请问图（1）和图（2）中的树高各
是多少？
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14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：
已知：如图，矩形ABCD 中，AC、BD 相交于点O，OE⊥BC 于E，连结DE 交OC 于点F，作FG⊥BC 于G．求证：
点G 是线段BC 的一个三等分点．
证明：在矩形ABCD 中，OE⊥BC，DC⊥BC，
∴ OE∥DC．∵
＝
，∴
＝
＝
．∴
＝
．
……
（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC 的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过
程）．
15. 已知如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点E 自A 点出发，以每秒1cm 的速度向D 点前进，同
时点F 从D 点以每秒2cm 的速度向C 点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．
（1）当t 为多少时，DE=2DF；
（2）四边形DEBF 的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．
（3）以点D、E、F 为顶点的三角形能否与△BCD 相似？若能，请求出所有可能的t 的值；若不能，请说明
理由．
【答案与解析】
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一．选择题
1.【答案】B.
【解析】x 可能是斜边，也可能是直角边.
2.【答案】A.
3.【答案】B.
4.【答案】D.
5.【答案】C.
【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由
，
所以
，又由
，可得
，下略．
6.【答案】 A.
【解析】 □ABCD 中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，
(△DEF 与△EBF 等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.
二、填空题
7.【答案】
1
4 .
【解析】∵
1 ,
2
DEC
ECB
S
S
△
△
且△DEC 与△CEB 是同高不同底的两个三角形，即
1.
2
DE
EB
因为AB∥CD,
所以△DEC∽△BEA,所以
DEC
AEB
S
S
△
△
=
2
2
1
1
2
4
DE
EB
8.【答案】3.
【解析】 ∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴
,
AC
AD
AB
AC
AB=
2
2
2
4
1
AC
AD
，
∴BD=AB-AD=4-1=3.
9. 【答案】120°.
【解析】∵ △BPM∽△PAN，∴ ∠BPM＝∠A，
∵ △PMN 是等边三角形，∴ ∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，
∴ ∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．
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10.【答案】1:9 .
【解析】∵
EFC
S△
=3
EFD
S△
，∴FC:DF=3:1，又∵DE∥BC,∴△BFC∽△EFD,即BC：DE=FC:FD=3:1，
由△ADE∽△ABC，即
ADE
S△
：
ABC
S△
=1:9.
11.【答案】30m.
12.【答案】 6.
【解析】∵AD,CE 分别为BC,AB 边上的高,
∴∠ADB=∠BEC=90°，∠ABD=∠EBC
∴Rt△ABD∽Rt△CBE.
∴AB
BD
BC
BE
，
∴△ABC∽△DBE.
∵相似三角形面积比为相似比的平方，
∴
2
18
2
AC
DE
= 9, ∴AC
DE
=3 ,
∴AC=3DE=3×2=6.
∴h=2S△ABC/AC=2×18/6=6
即AC 边上的高是6 .
三、解答题
13.【解析】（1）∵△CDE∽△ABE，∴CE
CD
AE
AB
，
又竹竿CD 的长为0.8 米，其影CE 长1 米，树影AE 长2.4 米，
∴ AB=1.92 米．即图1 的树高为1.92 米．
（2）设墙上的影高落在地面上时的长度为x，树高为h，
∵竹竿CD 的长为0.8 米，其影CE 长1 米，
∴1 =
0.8
1.2
x
.
解得x=1.5（m），
∴树的影长为：1.5+2.8=4.3（m），
∴1
4.3
=
0.8
h
解得h=3.44（m）．
14.【解析】（1）补全证明过程:
∵ FG⊥BC，DC⊥BC，
∴ FG∥DC．
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∴
＝
＝
．
∵ AB＝DC，
∴
＝
．
又 FG∥AB，
∴
＝
＝
．
∴ 点G 是BC 的一个三等分点．
（2）如图，连结DG 交AC 于点H，作HI⊥BC 于I，则点I 是线段BC 的一个四等分点.
15.【解析】（1）由题意得：DE=AD-t=6-t，DF=2t，
∴6-t=2×2t，解得t= 6
5 ，
故当t= 6
5 时，DE=2DF；
（2）∵矩形ABCD 的面积为：12×6=72，S△ABE= 1
2 ×12×t=6t，
S△BCF= 1
2 ×6×（12-2t）=36-6t，
∴四边形DEBF 的面积=矩形的面积-S△ABE-S△BCF=72-6t-36+6t=36，
故四边形DEBF 的面积为定值.
（3）设以点D、E、F 为顶点的三角形能与△BCD 相似，
则ED
DF
BC
DC
或ED
DF
DC
BC
，
由ED=6-t，DF=2t，FC=12-2t，BC=6，
代入解得：t=12（舍去）或t=6（舍去）或t= 3
2 ，
故当t= 3
2 时，以点D、E、F 为顶点的三角形与△BCD 相似．
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