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专题19 数列大题训练
题型一、等差、等比数列的应用
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和.
2．已知等差数列
中，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列的
前n 项和
.
3．记数列
的前
项和为
，
，
，
.
(1)证明数列
为等差数列，并求通项公式
；
(2)记
，求
.
4．（2023 年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)试求出所有的正整数
，使得对任意正整数
，均有
．
1
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5．记等差数列
的前n 项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
6．（2023 年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列
前
项和为
，______，
．请从
条件①
，
；条件②
，且
，
，
成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，证明：
．
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设{an}是等差数列，其前n 项和为
Sn(n∈N
¿)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n(n∈N
¿)．已知b1=1，b3=b2+2，
b4=a3+a5 ，b5=a4+2a6 ．
（Ⅰ）求Sn 和T n；
（Ⅱ）若Sn+（T 1+T 2+…+T n）=an+4bn，求正整数n 的值．
8．已知数列
的前n 项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前100 项的和
.
2
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题型二、分组求和法
1．（2023 届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列：
(2)若
，求满足条件的最大整数
.
2．（2023 届河北省一模数学试题）设数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
3．已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)当
时，求数列
的前n 项和为
．
3
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4．（2023 届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3 的数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
5．已知数列
的前
项和为
，且对任意的
有
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
6．已知等比数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
4
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题型三、错位相减法
1．（2023 届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设m 为整数，且对任意
，
，求m 的最小值．
2．（2023 年安徽省模拟数学试题）已知数列
满足
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
，求
的前
项和
3．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
为等差数列，前n 项和为
，
是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n 项和
.
5
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4．（2023 年渝琼辽（新高考2 卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
5．已知数列{an}为等差数列，
，
，数列{bn}的前n 项和为
，且满足
．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若
，数列{cn}的前n 项和为
，且
对
恒成立，求实数m 的取值范围．
6．（2023 届广西摸底测试数学（理）试题）设数列
的前
项和为
，且满足
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
.
6
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题型四、裂项相消法
1．已知数列
的前
项和为
，且有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，证明：
．
2．设数列
的前n 项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)记
，求数列
的前n 项和
.
3．（2023 届山西省联考数学试题）已知等差数列
满足
，
，公比不为
的等比数列
满足
，
.
(1)求
与
通项公式；
(2)设
，求
的前n 项和
.
4．（2023 届广东省二模数学试题）已知数列
满足
，
.
(1)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和
，求证：
.
7
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5．已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
，
(1)求
(2)求
6．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））Sn 为数列{an}的前
项和.已知
＞
0，
=
.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
1
anan+1
,求数列{bn}的前
项和.
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设
是等比数列，公比大于0，其前
项和为
，
是等差数列.已知
，
，
，
.
（I）求
和
的通项公式；
（II）设数列
的前
项和为
，
（i）求
；
（ii）证明
.
8
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题型五、并项求和法
1．（2020 年天津市高考数学试题）已知
为等差数列，
为等比数列，
．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）记
的前
项和为
，求证：
；
（Ⅲ）对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
2．（2019 年天津市高考数学试卷（理科））设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
3．（2023 年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列
满足
，数列
为等比数列且公比
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
的前
项和为
，若
，记数列
满足
求数列
的前
项和
.
9
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4．（2023 届河南三模理数试题）在等比数列
中，
，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求满足
的k 的值．
5．（2023 年黑龙江省模拟考试数学试题）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前20 项和.
6．（2023 年山东省模拟数学试题）已知数列
是等差数列，
是各项均为正数的等比数列，数列
的前n 项和为
，且
，
，
．
(1)求数列
，
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前12 项和
．
10
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题型六、倒序相加法
1．（2023 届广东省模拟数学试题）已知函数
满足
，若数列
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
（
），数列
的前n 项和为
，若
对一切
恒
成立，求实数
的取值范围.
2．已知
为等比数列，且
，若
，求
的值．
3．已知函数
对任意的
，都有
，数列
满足
…
.求数列
的通项公式.
11
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4．设函数
，设
，
．
(1)计算
的值．
(2)求数列
的通项公式．
5．已知函数
，
，正项等比数列
满足
，则
值是多少？.
12
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题型七、数列中的结构不良问题
1．（2023 年安徽省教学质量抽测数学试题）已知数列
是首项为2 的等差数列，数列
是公比为2 的
等比数列，且数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设__________，求数列
的前
项和为
．
①
，②
，③
．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
2．（2023 年江西省模拟考试数学试题）从①
；②前
项和
满足
，
；③
中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列
中，
，且_____.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，证明：
.
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
3．（2023 年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列
前
项和为
，______，
．请从
条件①
，
；条件②
，且
，
，
成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，证明：
．
13
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4．（2023 年安徽省调研测试数学试题）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
5．（2023 届海南模拟数学试题）已知数列
的各项均为正数且均不相等，记
为
的前
项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等比数列；②
；③
是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
6．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
7．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）记
为数列
的前n 项和，已知
，且数列
是等差数列，证明：
是等差数列.
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题型八、强化训练第一问
1．（2023 届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列
满足
.
求
的通项公式；
2．已知数列
的首项
，且满足
．
证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
3．（2023 届云南省教学质量检测数学试题）已知数列
的前
项和为
，
，且满足
设
，证明：
是等比数列
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知
是递增的等差数列，
，
是方程x2−5 x+6=0 的根.
求
的通项公式；
15
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5．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））数列
满足
，
，
.
证明：数列
是等差数列；
6．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知数列
和
满足，
求
与
；
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列{an}的公比q>1 ，且
a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5 的等差中项．
求q 的值；
8．设数列
满足
.
求
的通项公式；
16
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9．等比数列
的各项均为正数，且
.
求数列
的通项公式；
10．（2021 年天津高考数学试题）已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0
的等比数列，
．
求
和
的通项公式；
11．（2023 年上海市模拟数学试题）在数列
中，
，
．
证明数列
是等比数列；
12．（2023 年陕西省模拟（理科）数学试题）已知等比数列
的公比
，前
项和为
，且
.
求数列
的通项公式；
17
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13．（2023 年江苏省模拟数学试题）已知等差数列
的前n 项和为
，数列
为等比数列，满足
是
与
的等差中项.
求数列
的通项公式；
14．设数列
的首项
n=1，2，3，⋯
判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
15．（2023 年广东省模拟数学试题）已知数列
满足
，
.
记
，证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
16．数列
满足：
，
．
求数列
的通项公式；
18
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17．（2023 年全国名校大联考数学试题）在数列
中，
，
，且对任意的
，都有
.
证明：
是等比数列，并求出
的通项公式；
18．（2023 届福建省模拟考试数学试题）已知数列
的前
项的积记为
，且满足
证明：数列
为等差数列;
19．设数列
满足
求数列
的通项公式.
20．（2024 届重庆市适应性月考数学试题）已知数列
满足
，
记
，求证：
为等比数列；
19
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21．（2023 年安徽省阶段性测试数学试题）已知数列
的前
项和
．求
；
22．（2023 年江西省模拟数学试题）在数列
中，
，
，且
.设
为满足
的
的个数.
求
，
的值；
取值范围.
23．（2023 年浙江省名校联盟联考数学试题）
，
，递增数列
前
项和为
．
(1)证明：
为等比数列并求
；
(2)记
，
为使
成立的最小正整数，求
．
24．（2023 年福建省模拟考试数学试题）数列
满足
，
，λ 为常数
是否存在实数λ，使得数列
成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说
明理由；
20
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25．（2023 年广东省联考数学试题）正数数列
满足
，且
成等差数列，
成等比数列．
求
的通项公式；
26．（2023 年山西省模拟数学试题）若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列".已知数
列
中，
，点
在函数
的图象上，其中n 为正整数，
(1)证明:数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列;
27．（2024 届湖北省新起点摸底考试数学试题）已知
是数列
的前
项和，
，
．
求数列
的通项公式；
21
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22
