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专题19 数列大题训练
题型一、等差、等比数列的应用
1．（2019 年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））已知
是各项均为正数的等比数列，
.
（1）求
的通项公式；
（2）设
，求数列
的前n 项和.
【答案】（1）
；（2）
.
【分析】(1)本题首先可以根据数列
是等比数列将
转化为
，
转化为
，再然后将其带入
中，并根据数列
是各项均为正数以及
即可通过运算得出结果；
(2)本题可以通过数列
的通项公式以及对数的相关性质计算出数列
的通项公式，再通过数列
的
通项公式得知数列
是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．
【详解】(1)因为数列
是各项均为正数的等比数列，
，
，
所以令数列
的公比为
，
，
，
所以
，解得
(舍去)或
，
所以数列
是首项为
、公比为
的等比数列，
．
(2)因为
，所以
，
，
，
所以数列
是首项为、公差为
的等差数列，
．
【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求
和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．
2．已知等差数列
中，
，
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列的
前n 项和
.
【答案】(1)
；(2)
n .
【分析】（1）利用等差数列通项公式的基本量运算即得；
（2）利用求和公式即得.
【详解】（1）设等差数列
的公差为d ，因为
，
，
1
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所以
，解得
，
所以
；
（2）
n .
3．记数列
的前
项和为
，
，
，
.
(1)证明数列
为等差数列，并求通项公式
；
(2)记
，求
.
【答案】(1)证明见解析，
；(2)
【分析】（1）由
可得出
，结合等差数列的定义可证明结论成立，确定数列
的首项和公
差，即可求得数列
的通项公式；
（2）求得
，利用等差数列的求和公式可求得
的值.
【详解】（1）证明：
，
，
，则
，即
，解得
，
所以，
，即
，
所以，数列
是以
为首项，以为公差的等差数列，故
.
（2）解：
，
所以，
.
4．（2023 年云南省模拟考试数学试题）已知等差数列
的前
项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)试求出所有的正整数
，使得对任意正整数
，均有
．
【答案】(1)
；(2)
或10 或11．
【分析】（1）利用基本量法可求首项与公差，故可求通项.
（2）求出
及其最小值，故可得关于
的不等式，据此可求所有的正整数
.
【详解】（1）设
的公差为d ，则
，解得
，
故
．
2
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（2）由（1）可知，
．
当
时，
取得最小值-100．
由
恒成立，得
，解得
．
因为
，所以
或10 或11．
5．记等差数列
的前n 项和为
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
；(2)
.
【分析】(1)根据已知条件列出关于首项和公差的方程组即可求解；
(2)根据等比数列求和公式即可求解．
【详解】（1）由题可知
，解得
，
，
∴
；
（2）∵
，∴
，
∴
是首项为3，公比为9 的等比数列，
∴
﹒
6．（2023 年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列
前
项和为
，______，
．请从
条件①
，
；条件②
，且
，
，
成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
；(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，根据等差数列性质可得
，再计算等差数列基本量即可；
（2）代入可得
，再根据等比数列求和证明即可.
3
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【详解】（1）若选①，由
，得
，
又因为
，所以
，则
，解得
；
故
．
若选②，设等差数列
的公差为
，∵
，且
，
，
成等比数列，
∴
，即
，解得：
或
（舍），
∴
，
．
（2）
，所以
．
∴
，即得证.
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设{an}是等差数列，其前n 项和为
Sn(n∈N
¿)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n(n∈N
¿)．已知b1=1，b3=b2+2，
b4=a3+a5 ，b5=a4+2a6 ．
8．（Ⅰ）求Sn 和T n；
9．（Ⅱ）若Sn+（T 1+T 2+…+T n）=an+4bn，求正整数n 的值．
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)4.
【分析】（I）由题意得到关于q 的方程，解方程可得
，则
.结合题意可得等差数列
的首项和公差为
，则其前n 项和
.
（II）由（I），知
据此可得
解得
（舍），或
.则n 的
值为4.
【详解】（I）设等比数列
的公比为q ，由b1=1，b3=b2+2，可得
．
因为
，可得
，故
．所以，
．
设等差数列
的公差为d ．由
，可得
．
4
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由
，可得
从而
，故
，所以，
．
（II）由（I），有T 1+T 2+…+T n=21+22+…+2n)−n=2×(1−2n)
1−2
−n=2n+1−n−2.
由Sn+（T 1+T 2+…+T n）=an+4bn,
可得n(n+1)
2
+2n+1−n−2=n+2n+1，
整理得
解得
（舍），或
．所以n 的值为4．
点睛：本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方
法和运算求解能力.
8．已知数列
的前n 项和为
，满足
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)记
，求数列
的前100 项的和
.
【答案】(1)
，
；(2)
【分析】（1）利用
，整理可得数列
是等比数列，求其通项公式即可；
（2）求出b4k,b4k−1,b4k−2,b4k−3，然后分组求和.
【详解】（1）当
时，
，
整理得
，
又
，得
则数列
是以-2 为首项，-2 为公比的等比数列.
则
，
（2）当
时，
，
当
时，
，
当
时，
，
5
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当
时，
，
则
.
题型二、分组求和法
1．（2023 届新高考Ⅰ卷调研模拟考试数学试题）已知数列
的首项
，且满足
.
(1)求证：数列
为等比数列：
(2)若
，求满足条件的最大整数
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)50
【分析】（1）两边取倒数，再同时减2，根据等比数列的定义，即可证明.
(2)利用等比数列求和公式求和，再根据函数单调性，即可求解.
【详解】（1）证明：由
，可得
，
又
故数列
为等比数列.
（2）由（1）可知
，故
.
令
，易知
随
的增大而增大，
，故满足
的最大整
数为50.
2．（2023 届河北省一模数学试题）设数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
6
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【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系，即可求得数列
的通项公式；
（2）根据题意，由分组求和法结合等差数列与等比数列的求和公式，即可得到结果.
【详解】（1）当
时，
，解得
．
当
时，
，则
，即
，
从而
是首项为1，公比为2 的等比数列，所以
，
且当
时，也满足，
所以故
．
（2）由（1）可得
，则
，
故
．
3．已知数列
满足
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)当
时，求数列
的前n 项和为
．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）当
时可得
，令
，则
，即可得到数列
是首项为
，公比
为
的等比数列，从而求出
，即可求出数列
的通项公式；
（2）利用分组求和法及等差数列前
项和公式求和即可；
【详解】（1）解：当
时，
，则
，令
，则
，
又因为
，所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，
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所以
，即
，从而
；
（2）解：因为
，
所以
．
4．（2023 届安徽省联盟二模数学试题）已知首项为3 的数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求证：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）根据
，得出
与
的关系，进一步变形得出等比数列；
（2）利用分组求和法及等比数列求和公式求得结果.
【详解】（1）由题意得，
，即
，
故
，即
，
又
，故数列
是以
为首项，
为公比的等比数列．
（2）由（1）知，
，即
．
数列
的前n 项和为
，
数列
的前n
项和为
，
故
．
5．已知数列
的前
项和为
，且对任意的
有
.
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
【答案】(1)证明见解析；
(2)
8
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【分析】（1）令
可求得
的值，令
，由
可得
，两式作差可得出
，结合等比数列的定义可证得结论成立；
（2）求得
，利用分组求和法可求得
.
【详解】（1）证明：当
时，
，则
；.
当
时，由
可得
.
两式相减得
，即
，
.
因为
，则
，
，以此类推可知，对任意的
，
，
所以，数列
构成首项为，公比为
的等比数列.
（2）解：由（1）
，故
，则
.
所以，
.
6．已知等比数列
满足
，
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求解即可；
（2）分组后利用等差数列、等比数列的求和公式求出结果即可．
【详解】（1）设等比数列
的公比为
，
由已知，得
，解得
，
；
（2）由（1）得
，
，
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.
题型三、错位相减法
1．（2023 届安徽省、云南省、吉林省、黑龙江省适应性测试数学试题）记数列
的前n 项和为
，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设m 为整数，且对任意
，
，求m 的最小值．
【答案】(1)
(2)7
【分析】（1）由数列
与
的关系可得
，再结合等比数列的通项可得解；
（2）利用错位相减法求出
，结合范围即可得解.
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，故
，
且
不满足上式，
故数列
的通项公式为
（2）设
，则
，
当
时，
，
故
，
10
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于是
．
整理可得
，所以
，
又
，所以符合题设条件的m 的最小值为7．
2．（2023 年安徽省模拟数学试题）已知数列
满足
(1)求证：数列
是等比数列；
(2)设
，求
的前
项和
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）根据题干条件构造出
，结合等比数列定义证明结论；
（2）先求出
的通项，利用分组求和法和错位相减法求出结果.
【详解】（1）因为
，
所以
，又
，
所以
，
∴数列
是首项为
，公比为
的等比数列.
（2）由（1）知，
，∴
，
∵
，∴
，
∴
令
两式相减
，
所以
所以
，
11
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又
，
∴
.
3．（2017 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））已知
为等差数列，前n 项和为
，
是首项为2 的等比数列，且公比大于0，
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）求数列
的前n 项和
.
【答案】（Ⅰ）
.
.（Ⅱ）
.
【详解】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前
项和公式列方程求出等差数列首项
和公差
及等比数列的公比
，写出等差数列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算
要准确.
试题解析：（Ⅰ）设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.由已知
，得
，而
，所以
.又因为
，解得
.所以，
.
由
，可得
.由
，可得
，联立①②，解得
，由此可
得
.
所以，
的通项公式为
，
的通项公式为
.
（Ⅱ）解：设数列
的前
项和为
，由
，有
，
，
上述两式相减，得
.
得
.
所以，数列
的前
项和为
.
【考点】等差数列、等比数列、数列求和
【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前
项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进
而写出通项公式及前
项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和方法有倒序相加法，错
位相减法，裂项相消法和分组求和法等，本题考查错位相减法求和.
12
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4．（2023 年渝琼辽（新高考2 卷）名校仿真模拟联考数学试题）已知数列
的前n 项和为
，
，且
．
，
．
(1)求数列
和
的通项公式；
(2)若
，求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）根据对数运算得
，利用等比数列定义求通项公式，利用等差中项判断数列
为等
差数列，建立方程求出公差，从而可得
的通项；
（2）利用错位相减法计算即可.
【详解】（1）∵
，∴
，则
，所以
为等比数列，
又
，得
，所以
，
由
知
是等差数列，且
，
，
∴
，得
，
．∴
.
（2）因为
，
，所以
，
所以
则
上面两式作差得
，
∴
5．已知数列{an}为等差数列，
，
，数列{bn}的前n 项和为
，且满足
．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)若
，数列{cn}的前n 项和为
，且
对
恒成立，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
；
13
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(2)
【分析】（1）求解等差数列{an}通项公式，只需设参数
，d 列方程组即可求解，数列{bn}通过已知前
n 项和
求解通项公式
；
（2）需要先用错位相减法求得数列{cn}的前n 项和为
，代入不等式中对n 分类讨论，转化为最值问题，
求出m 范围即可．
【详解】（1）解：等差数列{an}中，设公差为d ，
则
数列{
}中的前n 项和为
，且
①
当
时，
，当
时，
②
②－①得：
故数列{
}是以1 为首项，3 为公比的等比数列，所以
.
（2）解：数列{cn}中，
.
则
所以
故
，所以
∵
对
恒成立．
当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
综上：实数m 的取值范围为
．
6．（2023 届广西摸底测试数学（理）试题）设数列
的前
项和为
，且满足
(1)求数列
的通项公式
；
(2)设数列
满足
，求数列
的前
项和
.
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【答案】(1)
；(2)
【分析】(1)
型的数列，利用公式
来解决.
(2)
，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，解得
当
，
时，
，所以
，得
即
，可知数列
是首项为1，公比为5 的等比数列，所以
（2）由（1）可知
，所以
，所以
，
所以
，则
，
两式相减，可得
.
，
化简得
题型四、裂项相消法
1．已知数列
的前
项和为
，且有
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
为数列
的前
项和，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】(1)递推一项作差即可求解；
(2)根据题意求出
，利用裂项相消求和即可证明.
【详解】（1）由题
，
当
时，
，∴
；
当
时，由
，
所以
，两式相减，
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可得
，∴
．
当
时，
满足，∴
．
（2）由题
，
所以
，
∵
，∴
，∴
．
2．设数列
的前n 项和为
，满足
.
(1)求数列
的通项公式
；
(2)记
，求数列
的前n 项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
与
的关系即可求出数列的通项公式
（2）
，利用裂项相消法即可求出数列的和.
【详解】（1）当
时，
，解得
，
当
时，
，
，
即
，即
，
所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，所以
.
（2）由（1）知
，
，
所以
.
3．（2023 届山西省联考数学试题）已知等差数列
满足
，
，公比不为
的等比数列
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满足
，
.
(1)求
与
通项公式；
(2)设
，求
的前n 项和
.
【答案】(1)
，
，
(2)
，
【分析】（1）由等差数列、等比数列的定义计算基本量即可求通项公式；
（2）根据等比数列的求和公式及裂项相消求和即可.
【详解】（1）设
的公差为d，因为
，
，
所以
，解得
，从而
，
所以
；
设
的公比为q，因为
，所以
，解得
，
因为
，所以
，
所以
.
（2）由上可知：
，所以
，
所以
，
所以
，
.
4．（2023 届广东省二模数学试题）已知数列
满足
，
.
(1)证明数列
是等比数列，并求数列
的通项公式；
(2)若
，数列
的前
项和
，求证：
.
【答案】(1)证明见解析，
(2)证明见解析
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【分析】（1）根据递推公式证明
为定制，即可证明数列为等比数列，再根据等比数列得通项即
可得解；
（2）由
，得
，则
，则
，再利用裂项相消法求出数列
的前
项和
，即可得证.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，
又
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
则
，
所以
；
（2）由
，得
，
则
，
所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
.
5．已知正项数列
的前n 项和为
，且满足
，
(1)求
18
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(2)求
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先令
求出首项，再由数列的递推公式，当
时，
代入并结合
等差数列的定义和通项公式求出
.
(2)由第一问
的公式，正好利用分母有理化进行化简抵消即可得出结果
【详解】（1）根据题意可得
，当
时，
，解得
，
由
，
代入得
，整理后得
，即
，根据等差数列的定义可知，数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，则
，
（2）由(1)可知
，
，
.
6．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ））Sn 为数列{an}的前
项和.已知
＞
0，
=
.
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=
1
anan+1
,求数列{bn}的前
项和.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{an}的通项公式：
19
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（Ⅱ）求出bn=
1
anan+1
，利用裂项法即可求数列{bn}的前
项和．
【详解】解：（I）由an
2+2an=4 Sn+3 ，可知an+1
2
+2an+1=4 Sn+1+3 两式相减得
a
n+12−an
2+2(an+1−an)=4 an+1，
即2(an+1−an)=an+1
2
−an
2=(an+1+an)(an+1−an)，
∵an>0 ，∴an+1−an=2，
∵a1
2+2a1=4 a1+3 ，
∴a1=−1（舍）或a1=3 ，
则{an}是首项为3，公差d=2 的等差数列，
∴{an}的通项公式an=3+2(n−1)=2n+1：
（Ⅱ）∵an=2n+1，
∴bn=
1
anan+1
=
1
(2n+1)(2n+3)=1
2 (
1
2n+1−
1
2n+3 )，
∴数列{bn}的前
项和T n=1
2 ( 1
3−1
5 + 1
5−1
7 +…+
1
2n+1−
1
2n+3 )=1
2 ( 1
3−
1
2n+3 )=1
6−
1
4n+6 .
【点睛】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））设
是等比数列，公比大于0，其前
项和为
，
是等差数列.已知
，
，
，
.
（I）求
和
的通项公式；
（II）设数列
的前
项和为
，
（i）求
；
（ii）证明
.
【答案】(Ⅰ)
，
；(Ⅱ)（i）
.（ii）证明见解析.
【详解】分析：（I）由题意得到关于q 的方程，解方程可得
，则
.结合等差数列通项公式可
得
（II）（i）由（I），有
，则
.
20
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（ii）因为
，裂项求和可得
.
详解：（I）设等比数列
的公比为q .由
可得
.因为
，可得
，
故
.
设等差数列
的公差为d ，
由
，可得
由
，可得
从而
故
所以数列
的通项公式为
，
数列
的通项公式为
（II）（i）由（I），有
，
故
.
（ii）因为
，
所以
.
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学
生的转化能力和计算求解能力.
题型五、并项求和法
1．（2020 年天津市高考数学试题）已知
为等差数列，
为等比数列，
．
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）记
的前
项和为
，求证：
；
21
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（Ⅲ）对任意的正整数
，设
求数列
的前
项和．
【答案】（Ⅰ）
，
；
（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）
.
【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列
前n 项和，然后利用作差法证明即可；
(Ⅲ)分类讨论n 为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算
和
的值，据此进一步计算数列
的前2n 项和即可.
【详解】(Ⅰ)设等差数列
的公差为d ，等比数列
的公比为q .
由
，
，可得d=1.
从而
的通项公式为
.
由
，
又q≠0 ，可得
，解得q=2，
从而
的通项公式为
.
(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得
，
故
，
，
从而
，
所以
.
(Ⅲ)当n 为奇数时，
，
当n 为偶数时，
，
对任意的正整数n
，有
，
和
①
22
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由①得
②
由①②得
，
由于
，
从而得：
.
因此，
.
所以，数列
的前2n 项和为
.
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等
题.
2．（2019 年天津市高考数学试卷（理科））设
是等差数列，
是等比数列.已知
.
（Ⅰ）求
和
的通项公式；
（Ⅱ）设数列
满足
其中
.
（i）求数列
的通项公式；
（ii）求
.
【答案】（Ⅰ）
；
（Ⅱ）（i）
（ii）
【分析】(Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可；
(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列
的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等
价变形，结合等比数列前n 项和公式可得
的值.
【详解】(Ⅰ)设等差数列
的公差为
，等比数列
的公比为
.
23
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依题意得
，解得
，
故
，
.
所以，
的通项公式为
，
的通项公式为
.
(Ⅱ)(i)
.
所以，数列
的通项公式为
.
(ii)
.
【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想
和数列求和的基本方法以及运算求解能力.
3．（2023 年河南省模拟数学（文科）试题）已知数列
满足
，数列
为等比数列且公比
，满足
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)数列
的前
项和为
，若
，记数列
满足
求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
;
(2)
【分析】（1）根据等比数列基本量的关系可得
公比，再进而可得
为等差数列即可；
（2）由
得，
，再根据分组求和方法求解即可.
【详解】（1）因为
，
令
得
，又数列
为等比数列，设公比为
有
，而
，解得
，则
，
因此
，即数列
是以1 为首项，2 为公差的等差数列，所以
.
24
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（2）由①知数列
是公比为2 的等比数列，
由
得，
，
解得
，则
，
因此
，
即有数列
的奇数项是以1 为首项4 为公差的等差数列，偶
数项是以4 为首项4 为公比的等比数列，所以
4．（2023 届河南三模理数试题）在等比数列
中，
，且
，
，
成等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，数列
的前n 项和为
，求满足
的k 的值．
【答案】(1)
；
(2)40 或37．
【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合等差中项的意义求出公比及首项作答.
（2）由（1）的结论求出
，再分奇偶求和作答.
【详解】（1）设
的公比为q ，由
，得
，
解得
，
由
，
，
成等差数列，
得
，
即
，解得
，
所以数列
的通项公式是
．
（2）由（1）知，
，
，
当k 为偶数时，
，令
，得
；
当k 为奇数时，
，令
，得
，
25
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所以
或37.
5．（2023 年黑龙江省模拟考试数学试题）已知数列
满足
.
(1)求
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前20 项和.
【答案】(1)
;
(2)5
【分析】（1）根据题意，由条件可得
，然后与原式作差，即可得到结
果；
（2）根据题意，由分组求和即可得到结果.
【详解】（1）当
时，可得
，
当
时，
，
，
上述两式作差可得
，
因为
满足
，
所以
的通项公式为
.
（2）因为
，
所以
，
.
+10
22 =5
所以数列
的前20 项和为5.
6．（2023 年山东省模拟数学试题）已知数列
是等差数列，
是各项均为正数的等比数列，数列
的前n 项和为
，且
，
，
．
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(1)求数列
，
的通项公式；
(2)令
，求数列
的前12 项和
．
【答案】(1)
，
(2)2796
【分析】（1）由数列
是等差数列，
是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出
方程组求解即可；
（2）根据题意写出数列
通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可.
【详解】（1）设数列
的公差为d ，数列
的公比为
，
由题意可得，
，
即
，
所以
，
因为
，所以
，
所以
，
．
（2）由（1）可得
，
所以
的所有奇数项组成以1 为首项，4 为公差的等差数列；
所有偶数项组成以2 为首项，4 为公比的等比数列．
所以，
．
题型六、倒序相加法
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1．（2023 届广东省模拟数学试题）已知函数
满足
，若数列
满足：
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)若数列
满足
，
（
），数列
的前n 项和为
，若
对一切
恒
成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
；
(2)
【分析】（1）由
，运用倒序相加求和，可得所求通项公式；
（2）由（1）可得
的通项公式，由数列的裂项相消求和可得
，再由参数分离和配方法求得最值，即
可得到所求的取值范围.
【详解】（1）因为
,
由
①,
则
②,
所以
可得：
，
故
，
.
（2）由（1）知，
，
则
时，
，
所以
.
又由
对一切
恒成立,
可得
恒成立,
28
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即有
对一切
恒成立.
当
时,
取得最大值
，所以
；
故实数
的取值范围是
.
2．已知
为等比数列，且
，若
，求
的值．
【答案】2021
【分析】利用函数解析式和等比数列的性质求得
，继而求出答案
【详解】因为
为等比数列，
，所以
，
因为
，
所以
，
同理可得
，
所以
3．已知函数
对任意的
，都有
，数列
满足
…
.求数列
的通项公式.
【答案】
【分析】由题得
，所以
…
.①
an=f (1)+f(
n−1
n )+f(
n−2
n )+…+f(
1
n)+f (0).②，两式相加即得解.
【详解】因为
，
.
29
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故
…
.①
an=f (1)+f(
n−1
n )+f(
n−2
n )+…+f(
1
n)+f (0).②
①+②，得
，
.
所以数列
的通项公式为
.
4．设函数
，设
，
．
(1)计算
的值．
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）直接计算
可得答案；
（2）由（1）的计算结果，当
时，
利用倒序相加法可得答案.
【详解】（1）
；
（2）由题知，当
时，
，
又
，两式相加得
，
所以
，
又
不符合
，
所以
.
30
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5．已知函数
，
，正项等比数列
满足
，则
值是多少？.
【答案】
【分析】先证明
，由等比数列的性质可得
，即
，继而可得
，倒序相加法即可得解.
【详解】因为
，
所以
.
因为数列
是等比数列，所以
，
即
.
设
①，
又
＋…＋
②，
①+②，得
，所以
.
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题型七、数列中的结构不良问题
1．（2023 年安徽省教学质量抽测数学试题）已知数列
是首项为2 的等差数列，数列
是公比为2 的
等比数列，且数列
的前
项和为
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设__________，求数列
的前
项和为
．
①
，②
，③
．从这三个条件中任选一个填入上面横线中，并回答问题．
【答案】(1)
，
(2)选择见解析，答案见解析
【分析】（1）根据条件求出
，
，再根据数列
为等差数列，数列
为等比数列，即可求出
结果；
（2）选择条件①，利用错位相减法即可求出结果，选择条件②，利用裂项相消法即可求出结果，选择条
件③，利用分组求和法即可求出结果.
【详解】（1）设数列
的公差为
，数列
的首项为
，
由题知，
，
因为
，解得
，
所以
，
又
，即
，解得
，
所以
．
所以数列
的通项公式为
，数列
的通项公式为
．
（2）选条件①：
，
则
，
故
，两式相减得
，
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．
选条件②：
，
，
．
选条件③：
，
，
．
2．（2023 年江西省模拟考试数学试题）从①
；②前
项和
满足
，
；③
中任选一个，并将序号填在下面的横线上，再解答已知数列
中，
，且_____.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和
，证明：
.
(注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）选①，利用等式变形得
，可得
；选②，利用
可得
，可
得
；选③先变形为
后用累加法可得
；
（2）
，利用裂项相消法可得.
【详解】（1）若选①：当
时，由
得
，
整理得
，
因
，故
，
故
是以为首项以
为公差的等差数列，
33
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所以
；
若选②：当
时，由
得
，
两式相减得
，
整理得
，
因
，故
，
故
是以为首项以
为公差的等差数列，
所以
；
若选③：由
得
，
得
，
故当
时，
，
所以
；
又
，满足
，
故
.
（2）
，
故
，
因
，当
越大时，
越大，故
.
3．（2023 年江西省模拟数学试题）已知正项等差数列
前
项和为
，______，
．请从
条件①
，
；条件②
，且
，
，
成等比数列，两个条件中任选一个填在上面的
横线上，并完成下面的两个问题．
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(1)求数列
的通项公式；
(2)记数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）若选①，根据等差数列性质可得
，再计算等差数列基本量即可；
（2）代入可得
，再根据等比数列求和证明即可.
【详解】（1）若选①，由
，得
，
又因为
，所以
，
则
，解得
；
故
．
若选②，设等差数列
的公差为
，∵
，且
，
，
成等比数列，
∴
，即
，解得：
或
（舍），
∴
，
．
（2）
，所以
．
∴
，即得证.
4．（2023 年安徽省调研测试数学试题）已知数列
的前
项和为
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
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【分析】（1）利用
即可求出通项公式；
（2）求出
，利用错位相减法求和.
【详解】（1）当
时，
，
当
时，因为
①，所以
②，
①－②得
，即
，所以
，
又因为
，所以
，
所以，当
时，
是以4 为首项，2 为公比的等比数列，所以
.
所以
.
（2）因为
，所以，当
时，
，
当
时，
，
所以
，
所以
，
则数列
的前
项和为
，
当
时，
当
时，
，
，
①－②得
，
，
，
所以
.
当
时，
也满足.
故数列
的前
项和
.
5．（2023 届海南模拟数学试题）已知数列
的各项均为正数且均不相等，记
为
的前
项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
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①数列
是等比数列；②
；③
是等比数列．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明见解析
【分析】选择①②为条件，③为结论，可推出
，即可求得
，继而得
的表达式，即可证明结论；
选择①③为条件，②为结论，即得
，再利用条件求得q 的值，化简即可证明结论；
选择②③为条件，①为结论，设等比数列
的公比为
，即得
，从
而推出
，可得
，结合
，求得
，化简
即可证明结论.
【详解】选择①②为条件，③为结论．
证明过程如下：
设等比数列
的公比为
且
，
则
，
由
得
，所以
，
则
，即
，
所以
，即
，
所以
，
所以
是以
为首项，2 为公比的等比数列．
选择①③为条件，②为结论．
证明过程如下：
设等比数列
的公比为
且
，
则
，
所以
，（*）
因为
是等比数列，
所以
，
即
．
所以
．
因为
，所以化简整理得
，
37
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即
，因为
，所以
，
代入（*）式，得
，即
．
选择②③为条件，①为结论．
证明过程如下：
设等比数列
的公比为
且
，
则
，
当
时，
，
所以
，
又因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
得
，
因为当
时，上式恒成立，
所以
是首项为
，公比为2 的等比数列．
6．（2021 年全国高考甲卷数学（理）试题）已知数列
的各项均为正数，记
为
的前n 项和，从
下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列
是等差数列：②数列
是等差数列；③
．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】证明过程见解析
【分析】选①②作条件证明③时，可设出
，结合
的关系求出
，利用
是等差数列可证
；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证
明.
选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出
，结合等差数列定义可证；
选②③作条件证明①时，设出
，结合
的关系求出
，根据
可求
，然后可证
是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.
【详解】选①②作条件证明③：
[方法一]：待定系数法+
与
关系式
设
，则
，
当
时，
；
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当
时，
；
因为
也是等差数列，所以
，解得
；
所以
，
，故
.
[方法二] ：待定系数法
设等差数列
的公差为d ，等差数列
的公差为
，
则
，将
代入
，
化简得
对于
恒成立．
则有
，解得
．所以
．
选①③作条件证明②：
因为
，
是等差数列，
所以公差
，
所以
，即
，
因为
，
所以
是等差数列.
选②③作条件证明①：
[方法一]：定义法
设
，则
，
当
时，
；
当
时，
；
因为
，所以
，解得
或
；
当
时，
，当
时，
满足等差数列的定义，此时
为等差数列；
当
时，
，
不合题意，舍去.
综上可知
为等差数列.
[方法二]【最优解】：求解通项公式
因为
，所以
，
，因为
也为等差数列，所以公差
39
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，所以
，故
，当
时，
，当
时，满足上式，故
的通项公式为
，所
以
，
，符合题意.
【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，
选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于
的一次函数，直接设出
，平方后得
到
的关系式，利用
得到
的通项公式，进而得到
，是选择①②证明③的通
式通法；法二：分别设出
与
的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等
量关系
，
，进而得到
；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出
及
，进
而由等差数列定义进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于
的一次函数，直接设出
，结合
的关系求出
，根据
可求
，然后可证
是等差数列；法二：利
用
是等差数列即前两项的差
求出公差，然后求出
的通项公式，利用
，求出
的通项公式，进而证明出结论.
7．（2021 年全国高考甲卷数学（文）试题）记
为数列
的前n 项和，已知
，且数列
是等差数列，证明：
是等差数列.
【答案】证明见解析.
【分析】先根据
求出数列
的公差d ，进一步写出
的通项，从而求出
的通项公式，
最终得证.
【详解】∵数列
是等差数列，设公差为
∴
，
∴
，
∴当
时，
当
时，
，满足
，
∴
的通项公式为
，
∴
∴
是等差数列.
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【点睛】在利用
求通项公式时一定要讨论
的特殊情况.
题型八、强化训练第一问
1．（2023 届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题）已知数列
满足
.
求
的通项公式；
【答案】
；
【分析】根据所给递推关系，得出
，两式相减即可求解；
【详解】由题，当
时，
，即
.
①
当
时，
②
①-②得
，
所以
.
当
时，
也适合
，
综上，
.
2．已知数列
的首项
，且满足
．
证明：数列
为等比数列，并求出数列
的通项公式；
【答案】
【分析】对已知等式两边取倒数，再利用等比数列的定义证明，进而求得通项公式；
【详解】由
，两边取倒数得
，
即
，即
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故数列
是首项为
，公比为3 的等比数列，
所以
，
，即
所以数列
的通项公式为
.
3．（2023 届云南省教学质量检测数学试题）已知数列
的前
项和为
，
，且满足
设
，证明：
是等比数列
【答案】证明见解析
【分析】由题设可得
，整理变形得
，结合等比数列定义即可证结论；
【详解】由题设，
，则
，
所以
，即
，而
，
故
是首项与公比都为
的等比数列.
4．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标Ⅰ））已知
是递增的等差数列，
，
是方程x2−5 x+6=0 的根.
求
的通项公式；
【答案】
;.
【分析】方程x2−5 x+6=0 的两根为
，由题意得
，在利用等差数列的通项公式即可得出；
【详解】方程x2−5 x+6=0 的两根为2，3.
由题意得a2=2，a4=3 .
设数列{an}的公差为d ，则a4−a2=2d ，故d=1
2 ，从而得a1=3
2 .
所以{an}的通项公式为an=1
2 n+1.
5．（2014 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷））数列
满足
，
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，
.
证明：数列
是等差数列；
【答案】证明见解析；
【详解】试题分析：将
的两边同除以
，得到
，由等差数列的
定义，即可作出证明；
证明：由已知可得
an+1
n+1=an
n +1，即
an+1
n+1−an
n =1.
所以{
an
n }是以a1
1 =1为首项，1 为公差的等差数列．
6．（2015 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））已知数列
和
满足，
求
与
；
【答案】
；
【详解】根据数列递推关系式，确定数列的特点，得到数列的通项公式；（2）根据（1）问得到新的数列
的通项公式，利用错位相减法进行数列求和.
试题解析：由
，得
.
当
时，
，故
.
当
时，
，整理得
，
所以
.
7．（2018 年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知等比数列{an}的公比q>1 ，且
a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5 的等差中项．
求q 的值；
【答案】
；
【分析】分析:根据条件、等差数列的性质及等比数列的通项公式即可求解公比；
【详解】详解：由
是
的等差中项得
，
所以
，解得
.
由
得
，
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因为q>1，所以
.
8．设数列
满足
.
求
的通项公式；
【答案】
；
【解析】利用递推公式,作差后即可求得
的通项公式.
【详解】数列
满足
时,
∴
，∴
当
时,
,上式也成立
∴
9．等比数列
的各项均为正数，且
.
求数列
的通项公式；
【答案】
；
【分析】根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；
【详解】设数列{an}的公比为q ,
由a3
2=9a2a6 得a3
2=9a4
2 ,
所以q2=1
9 .由条件可知q>0 ,故q=1
3 .
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1,所以a1=1
3 .
故数列{an}的通项公式为an= 1
3n .
10．（2021 年天津高考数学试题）已知
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
是公比大于0
的等比数列，
．
求
和
的通项公式；
【答案】（I）
，
；
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【分析】由等差数列的求和公式运算可得
的通项，由等比数列的通项公式运算可得
的通项公式；
【详解】因为
是公差为2 的等差数列，其前8 项和为64．
所以
，所以
，
所以
；
设等比数列
的公比为
，
所以
，解得
（负值舍去），
所以
；
11．（2023 年上海市模拟数学试题）在数列
中，
，
．
证明数列
是等比数列；
【答案】见解析
【分析】由题意构造数列
，再利用等比数列的定义即可证明；
【详解】因为
，所以
，
所以
，所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列.
12．（2023 年陕西省模拟（理科）数学试题）已知等比数列
的公比
，前
项和为
，且
.
求数列
的通项公式；
【答案】
【分析】由题意可得出
，解方程求出
，再由等比数列的通项公式即可求出数列
的通
项公式；
【详解】由已知可得:
，
所以
，两式相除可得：
，
即
，即
，
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解得
或
（舍），
.
13．（2023 年江苏省模拟数学试题）已知等差数列
的前n 项和为
，数列
为等比数列，满足
是
与
的等差中项.
求数列
的通项公式；
【答案】
，
；
【分析】设等差数列
的公差为d ，等比数列
的公比为
，利用
，
求出
值即
可得到
的通项公式；再由题意得
，结合
可求出
值，进一步可得
的通项公式；
【详解】设等差数列
的公差为d ，等比数列
的公比为
，
因为
，所以
，解得
，所以
，
由题意知：
，因为
，所以
，
解得
，所以
；
14．设数列
的首项
n=1，2，3，⋯
判断数列
是否为等比数列，并证明你的结论；
【答案】是，证明见解析
【分析】根据题设条件，可得
，由等比数列的定义可得结论；
【详解】数列
出是以a+ 1
3 为首项，
为公比的等比数列，证明如下：
∵
又
∴数列{
}是
为首项，
为公比的等比数列.
15．（2023 年广东省模拟数学试题）已知数列
满足
，
.
记
，证明数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
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【答案】证明见详解，
【分析】根据题意结合等比数列的定义分析证明，进而求通项公式；
【详解】由题意可知：
，
且
，
所以数列
是以首项
，公比
的等比数列，可得
.
16．数列
满足：
，
．
求数列
的通项公式；
【答案】
，
【分析】根据递推关系得
，再验证
满足条件即可求得答案；
【详解】解：当
，
，①
，
，②
①－②得
（*）
在①中令
，得
，也满足（*），所以
，
.
17．（2023 年全国名校大联考数学试题）在数列
中，
，
，且对任意的
，都有
.
证明：
是等比数列，并求出
的通项公式；
【答案】证明见解析，
；
【分析】由
，可得
，即
是等比数列，可求得
，变形为
，即可得到
是等差数列，可求得
，从而求得
；
【详解】证明：因为
，
，所以
.
因为
，所以
，
又
，则有
，
所以
，
所以
是以4 为首项，2 为公比的等比数列.
所以
，所以
，
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又
，所以
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
所以
，所以
.
18．（2023 届福建省模拟考试数学试题）已知数列
的前
项的积记为
，且满足
证明：数列
为等差数列;
【答案】证明见解析
【分析】将
代入到
中，得
，结合等差数列的定义可证结论正确；
【详解】当
时，
，得
，
当
时，
，所以
，
所以数列
是首项为
，公差为的等差数列.
19．设数列
满足
求数列
的通项公式.
【答案】
=
【分析】由
，求出
时的通项公式，再检验
是否满足所求通项公式即可;
【详解】因为
，
所以当
时，
，
则
即
又当
时，
则
，满足
故
20．（2024 届重庆市适应性月考数学试题）已知数列
满足
，
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记
，求证：
为等比数列；
【答案】证明见解析
【分析】由
可知
结合
可得
进而可证
为等比数列；
【详解】证明：
且
，
又
，
为以4 为首项，2 为公比的等比数列.
21．（2023 年安徽省阶段性测试数学试题）已知数列
的前
项和
．
)求
；
【答案】
【分析】利用
与
的关系求解；
【详解】当
时，
，
当
时，
，
，
作差得
，
故
22．（2023 年江西省模拟数学试题）在数列
中，
，
，且
.设
为满足
的
的个数.
求
，
的值；
取值范围.
【答案】
，
【分析】由递推式判断
是等差数列，利用等差通项公式求基本量，进而得到
，结合已知可得
，即可写出对应项；
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【详解】因为
，所以
，则
是等差数列，
设数列
的公差为
，由
，则
，解得
，则
，
因为
是满足
的
的个数，所以
，
则
，
.
23．（2023 年浙江省名校联盟联考数学试题）
，
，递增数列
前
项和为
．
(1)证明：
为等比数列并求
；
(2)记
，
为使
成立的最小正整数，求
．
【答案】(1)证明见解析；
【分析】由题意可得
为递增数列：
，（
），根据等比数列定义即可证明结论，
并求得
；
【详解】证明：由于
，
，
当
时，
；
当
时，
依次取值为
，（
）时，总存在
使得
成
立，
证明该结论，只需证明
能被3 整除，
由于
，
即
能被3 整除，即上述结论成立，
当
时,
，
由于
能被3 整除，
则
不是3 的倍数，
即
时，不适合题意；
综合上述，
为递增数列：
，（
），
故
，即
是以
为首项，公比为4 的等比数列，
则
.
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24．（2023 年福建省模拟考试数学试题）数列
满足
，
，λ 为常数
是否存在实数λ，使得数列
成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说
明理由；
【答案】存在，
，
【分析】假设存在实数λ，使得数列
成为等比数列，根据
可求出
可得答案；
【详解】假设存在实数λ，使得数列
成为等比数列，
则有
，
，
，
因为
，所以数列
成为等比数列，存在
，
；
25．（2023 年广东省联考数学试题）正数数列
满足
，且
成等差数列，
成等比数列．
求
的通项公式；
【答案】
；
.
【分析】根据题意，由等差中项与等比中项的性质列出方程，结合递推关系可得数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，再由数列
的通项公式可得数列
的通项公式；
【详解】
成等差数列，
成等比数列，
，
，
数列
为正数数列，
，
当
时，
，
，
，且
，则
，
，
，
，
，
，
数列
是以
为首项，
为公差的等差数列，
，
，
当
时，
满足上式，
，
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当
时，
，
当
时，
满足上式，
.
26．（2023 年山西省模拟数学试题）若数列
满足
，则称数列
为“平方递推数列".已知数
列
中，
，点
在函数
的图象上，其中n 为正整数，
(1)证明:数列
是“平方递推数列”，且数列
为等比数列;
【答案】证明见解析
【分析】根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；
【详解】
点
在函数
的图象上，
，
，
数列
是“平方递推数列”，
因为
，
对
两边同时取对数得
，
数列
是以1 为首项、2 为公比的等比数列；
27．（2024 届湖北省新起点摸底考试数学试题）已知
是数列
的前
项和，
，
．
求数列
的通项公式；
【答案】
【分析】利用
与
的关系，结合累乘法即可求出数列
的通项公式；
【详解】由
，则
，
两式相减得：
，
整理得：
，
即
时，
，
所以
时，
，
又
时，
，得
，也满足上式．
故．
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