专题3.5 导数与函数的极值、最值（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件
(2)会用导数求函数的极大值、极小值
(3)掌握利用导数研究函数最值的方法
(4)会用导数研究生活中的最优化问题
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
导数与函数
的极值、最值
新课标I 卷：第10 题，
6 分
新课标Ⅱ卷：第11 题，
6 分
新课标Ⅱ卷：第16 题
（2），9 分
全国甲卷（理）：第
21 题（1），5 分
全国一卷：第19 题
（1），4 分
全国二卷：第10 题，6
分
全国二卷：第13 题，5
分
全国二卷：第18 题，
15 分
全国一卷：第6 题，5
分
北京卷：第20 题（2），
4 分
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
命题规律
分析
1、导数与函数的极值、最值
从近三年的高考情况来看，高考对导数与函数的极值、最值的考查较为
稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，是高考常考的热点内容。
本节在高考中侧重以导数为工具研究函数的极值和最值问题；此类问题在选
择、填空、解答题中都有考查，选择题、填空题中主要考查极值、最值问题
的求解，试题难度中档；解答题中常以其中一小问设问出现，常与不等式、
方程的根(或函数的零点)等内容结合考查，侧重含参讨论、极值点判定与最
值求解，试题难度中档偏难；体现了分类讨论、转化与化归等数学思想；复
习时需要加强练习。
知识点1
函数的极值问题的求解思路
1．运用导数求函数f(x)极值的一般步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(2)求导数f'(x)；
(3)解方程f'(x)=0，求出函数定义域内的所有根；
(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0 的根x0 左右两侧值的符号；
(5)求出极值.
2．根据函数极值求参数的一般思路：
(1)已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0 和极值这两个条件列方程
组，利用待定系数法求解.
(2)导数值为0 不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.
知识点2
函数的最值问题的解题策略
1．利用导数求函数最值的解题策略：
(1)利用导数求函数f(x)在[a,b]上的最值的一般步骤：
①求函数在(a,b)内的极值；
②求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；
③将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值的一般步骤：
求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值
情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.
2．求含有参数的函数的最值的解题策略：
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从
而得到函数f(x)的最值.
【方法技巧与总结】
1．求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是
最值.
2．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
【题型1
函数（导函数）图象与极值（点）的关系】
【例1】（2026·广东·一模）已知函数�= �(�)的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（
）
A．��在区间1,4 上单调递增
B．�= 7 是�= �(�)的极大值点
C．当4 < �< 7 时，��> 0
D．��在区间7, + ∞上单调递减
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式1-1】（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知函数��的导函数为�′ �，且�′ �的图象如图所示，则��
的极大值点为（
）
A．�
B．�
C．�
D．�
【变式1-2】（2026·四川成都·模拟预测）已知定义域为0, + ∞的函数��的导函数为�′ �，且函数��=
�−3 ⋅�′ �的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（
）
A．��有极小值�6 ，极大值�10
B．��有极小值�1 ，极大值�10
C．��有极小值�1 ，极大值�3 和�10
D．��有极小值�6 ，极大值�1
【变式1-3】（25-26 高三上·黑龙江·阶段检测）如图是函数�= ��的导函数�= �′ �的图象，下列结论正
确的是（
）
A．�= ��在�= −1 处取得极大值
B．�= 1 是函数�= ��的极值点
C．�=−2 是函数�= ��的极小值点
D．函数�= ��在区间−1,1 上单调递减
【题型2
求已知函数的极值（点）】
【例2】（2026·陕西·模拟预测）函数��= 2�3 −6�+ 3 的极小值为（
）
A．−33
B．−7
C．−1
D．7
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式2-1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知�= 1 是函数�(�) = (��2 + 3�−3)e�的极值点，则函数�(�)
的极小值为（
）
A．−3
B．−e
C．0
D．e
【变式2-2】（2026·新疆·模拟预测）已知函数��= �(�−�)2在�= 2 处有极小值，则极大值为（
）
A．32
B．1
C．
32
27
D．0
【变式2-3】（25-26 高三上·江西·阶段检测）若�= 0 是函数�(�) =
1
3 �3 −�+
1
2 �2 + (�2 + �)�−1 的极小
值点，则�(�)的极大值为（
）
A．
5
6
B．
2
3
C．−
2
3
D．−
5
6
【题型3
根据极值（点）求参数】
【例3】（2026·河南新乡·三模）已知函数��= �3 −3�+ �的极小值为6，则实数�的值为（
）
A．8
B．6
C．4
D．2
【变式3-1】（2026·江苏镇江·模拟预测）若函数��= ��+
1
�+ 2ln�在�∈
1
2 , 2 上有极值，则�的取值范围
是（
）
A．−
3
4 , 0
B．−1, −
3
4
C．−1,0
D．−1,0
【变式3-2】（2026·四川攀枝花·二模）已知函数��= �3 −2��2 + �2�在�= 1 处取得极小值，则�=（
）
A．−1
B．1
C．−3
D．3
【变式3-3】（2026·河南濮阳·模拟预测）若函数��=−
e2�
2 + �e�−��+ 4 恰有2 个极值点�1，�2，则��1 +
��2 的取值范围为（
）
A．20 −8ln2, + ∞
B．−∞, 20 −8ln2
C．8, + ∞
D．−∞, 8
【题型4
由导数求函数的最值（不含参）】
【例4】（2026·江苏南京·三模）已知函数��= �e−�，则当�∈0,2 时，��的最大值为（
）
A．
3
e
B．
1
e
C．
2
e
D．
4
e
【变式4-1】（2026·甘肃张掖·模拟预测）已知函数��= �−
e�
�−ln�−1，则函数��的最大值为（
）
A．−e
B．−
1
e2
C．2e
D．
e2
4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【变式4-2】（2026·陕西渭南·二模）函数��= �−1 + �−3 + 2e�的最小值为（
）
A．6
B．2 + 2e
C．6 −2ln2
D．e2 + 1
【变式4-3】（2026·云南·三模）设函数�(�) = �+ e�，�(�) = �+ ln�，若存在�1, �2，使得��1 = ��2 ，
则
�1
e�1 −�2的最大值为（
）
A．−1
B．−2
C．−e
D．−3
【题型5
由导数求函数的最值（含参）】
【例5】（2026·辽宁·三模）已知函数�(�) = �(�+ 1)e�(�≠0)．
(1)当�= 1 时，判断过点( −1,0)且与曲线�(�)相切的直线有几条，并求出切线方程；
(2)求�(�)的最值．
【变式5-1】（25-26 高二下·广西贵港·阶段检测）已知函数��= �ln�−��≠0 ；
(1)若�= 1，求函数��的单调区间；
(2)当�> 0 时，求函数��在0,2 上的最大值．
【变式5-2】（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数��= �−ln �−�（�> 0）
(1)求��在区间2�, 3�上的最大值．
(2)设��= �−��+
7�−4�，若��≤ln�+ �−ln2 恒成立，求�的取值范围．
【变式5-3】（25-26 高二下·四川成都·期中）已知函数��= ln�−���∈�
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(1)当�=
1
2时，求��的极值；
(2)当�> 0 时，讨论函数��在区间1,2 上的单调性及最小值．
【题型6
已知函数最值求参数】
【例6】（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数��= �e�+ �在区间0,1 上的最小值为1，则实数a 的值为
（
）
A．-2
B．2
C．-1
D．1
【变式6-1】（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数��=
�
2 �2 + �ln�在�= 1 处有最小值，最小值小
于�+ 1，则��的取值范围是（
）
A．0, + ∞
B．0,
4
9
C．−
4
9 , 0
D．−∞, 0
【变式6-2】（2026·江苏宿迁·二模）若函数��=
ln�
�, �≥2
��, �< 2
有最大值，则�的最大值为（
）
A．
ln2
4
B．
ln2
2
C．
1
2e
D．
1
e2
【变式6-3】（2026·四川自贡·三模）函数��= �−5 2 �−�，若��在�, �+ 3 有最大值，则实数�的
取值范围是（
）
A．−4,5
B．−4,
11
4
C．−4,
11
4
D．−4,5
【题型7
函数的极值、最值与其他问题综合】
【例7】（2026·海南三亚·一模）已知函数��= �e�+ �，则下列结论正确的是（
）
A．不存在�∈�，使得��的图象与�轴相切
B．存在�∈�，使得��有极小值
C．若−
1
e < �< 0，则函数��有且仅有2 零点
D．若�< 0，则��> �2 + �+ 3 �+ 1
【变式7-1】（2026·湖北襄阳·模拟预测）已知函数�(�) = �ln�+ ��2有大于0 的极大值，其中�，�都是实数，
则（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．��> 0
B．函数�(�)有两个极值点
C．�(�)在(0,e)内有2 个零点
D．�(�)在(0,
e)内有1 个零点
【变式7-2】（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知函数�(�) = (�−1)(e�−��−�), �∈R．
(1)若�(�)在�= 1 处取得极值，求a 的值；
(2)若当�≥0 时，�(�) ≥−4�恒成立，求实数a 的取值范围．
【变式7-3】（2026·甘肃白银·三模）已知函数��= �2 −�ln �+ 1 −�，�∈�．
(1)当�=−1 时，求函数��的极值；
(2)当�> 0 时，��> �，求�的取值范围；
(3)设�0是函数��= ��+ �在0, + ∞上的一个零点，判断�0与e�−1的大小关系，并说明理由．
一、单选题
1．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数��= �3 + ��2 + ��+ �2在�= 2 处有极值44，则�=（
）
A．-6 或10
B．-6
C．6
D．10
2．（2026·河南驻马店·模拟预测）函数��= �+ cos�在区间−
π
2 ,π 上的最大值为（
）
A．π
B．
π
2 + 1
C．
π
2
D．π −1
3．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数��= ���2 −�ln��有两个极值点，则实数�的取值范围为（
）
A．0,
1
2
B．0,
1
3
C．0,
1
4
D．0,
1
5
4．（2026·河南·模拟预测）已知函数��=
�
e�−1 e�−1 −�2 ，则函数��的极值点个数为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
5．（2026·云南·模拟预测）已知一个正三棱柱的所有顶点都在球�的球面上，若球�的半径为1，则该正三
棱柱体积的最大值为（
）
A．
1
2
B．1
C．2
D．3
6．（2026·陕西西安·一模）已知函数��=
ln�+4�
�
，则（
）
A．��的单调递增区间为0,1
B．��的最大值为4
C．��有两个零点
D．�e > �3 > �2
7．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数��= �3 −3�+ 2，则（）
A．��有三个极值点
B．��≤0 当且仅当�≤−2
C．当�> 1 时，��2 + 1 > �2�
D．��的图象关于0,1 对称
8．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数��=
��+1
�2+�（�> 0 且�≠1，�∈�）恰有一个极大值点和一个极
小值点，其中一个是�=−�．则极大值与极小值的差不小于1 时，实数k 的取值范围为（
）
A．−∞, −2 ∪
2, + ∞
B．
2, + ∞
C．−∞, −2
D．−2,
2
二、多选题
9．（2026·江苏·模拟预测）已知函数��= ��−2
�−1 2，则（
）
A．曲线�= ��关于直线�= 1 对称
B．��的极大值为0
C．存在�∈−1,0 ，��≥��−1
D．��有最小值，无最大值
10．（2026·四川泸州·一模）已知函数��=
cos�
e�−�，则（
）
A．�−1 > �1
B．��在0,1 上单调递增
C．��的最大值为1
D．��在0,π 上存在唯一极值点
11．（2026·四川泸州·一模）已知三次函数�(�) = ��3 + ��2 + �的对称中心为(1,1)，则下列说法中正确的有
（
）
A．若�=
5
3，则�=
1
3，�=−1
B．函数�(�)既有极大值又有极小值
C．若�0是�(�)的极大值点，则�(�)在区间( −∞, �0)单调递增
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
D．当�> 0 时，函数�(�)有三个零点时�∈(2, + ∞)
三、填空题
12．（2026·重庆渝中·二模）已知�= e 是函数��= ln2�−�ln�（�∈�）的极值点，则�=__________．
13．（2026·宁夏银川·模拟预测）函数��= e2�−2�+ 1 e�+ �2 + �的最小值为__________.
14．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数��=
1
2 ��2 + �−ln�有两个极值点，则实数�的取值范围为
__________．
四、解答题
15．（2026·云南·三模）已知函数��= cos�+ ��2在�=
π
2处的切线的斜率为1.
(1)求�的值；
(2)当�∈−
π
2 ,
π
2 时，求��的极值.
16．（2026·云南玉溪·模拟预测）已知函数��= �−
1
�−�ln��∈�．
(1)若�= 2 为函数��的极值点，求�的值；
(2)若��在定义域上不单调，求�的取值范围．
17．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数��= �2 + ��+ �ln�在�= 1 处取得极小值−2．
(1)求实数�，�的值；
(2)若��的切线过点0, �，求�的最大值．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
18．（2026·广东汕头·三模）设函数��= �2 −�
2ln�，�∈R．
(1)当�= 0 时，求曲线�= ��在点1, �1
的切线方程；
(2)若�=
e是函数��的极大值点，求实数a 的值；
(3)若对任意的�∈0,e ，恒有��≤2e2成立，求实数a 的取值范围．
注：e 为自然对数的底数.
19．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数��= �2 + ln �+ 1 .
(1)判断��的单调性；
(2)设��= ��−��，其中�> 1.
（i）证明：��在0, + ∞上有唯一的极值点；
（ii）若�为��在0, + ∞上的零点，�为��在0, + ∞上的极值点，比较2�与�的大小，并说明理由.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
