专题4.3 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解三角函数的基本关系式，
，
(2)掌握诱导公式，并会简单应用
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
同角三角函
数基本关系
式
新课标I 卷：第4 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
全国二卷：第8 题，5
分
天津卷：第12 题，5
分
诱导公式
北京卷：第13 题，5
分
全国一卷：第3 题，5
分
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命题规律
分析
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
同角三角函数基本关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高
考数学的热点和必考内容之一。从近三年的高考情况来看，高考对本节内容
的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，主要考察“弦
切互化”、同角三角函数基本关系的化简、诱导公式等内容，考查较为灵活，
常与三角恒等变换、解三角形等知识结合考查，一般以选择题、填空题的形
式出现，试题难度中等或偏下。
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知识点1
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本关系式的变形公式
知识点2
同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
可以实现
角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点3
诱导公式
1．诱导公式
(1)诱导公式
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公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
(2)诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π的角求值
公式二
将0～2π的角转化为0~π的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将
的角转化为
的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
知识点4
诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运
算.如
.
知识点5
同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
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与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1
同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知�为第四象限角，tan�=−
4
3，则cos�=（
）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】C
【解题思路】根据同角三角函数的关系，结合角�的范围，即可得答案.
【解答过程】由题意得
sin2�+ cos2�= 1
tan�=
sin�
cos�=−
4
3
，解得cos2�=
9
25，
又�为第四象限角，则cos�> 0，所以cos�=
3
5.
故选：C.
【变式1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知sin�+ cos�=
1
5，�∈0,π ，则sin�−cos�=（
）
A．
1
5
B．
7
5
C．−
7
5
D．±
7
5
【答案】B
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系，结合角�的范围，即可得答案.
【解答过程】由(sin�+ cos�)2 =
1
25，得1 + 2sin�cos�=
1
25，所以sin�cos�=−
12
25，
于是(sin�−cos�)2 = 1 −2sin�cos�= 1 +
24
25 =
49
25，故sin�−cos�=±
7
5，
由于�∈0,π ，且sin�cos�< 0，则sin�> 0，cos�< 0，
因此sin�−cos�> 0，sin�−cos�=
7
5.
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故选：B.
【变式1-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知tan�=
1
2，角�为第三象限角，则cos�的值为（
）
A．−
2 5
5
B．−
5
5
C．
5
5
D．
2 5
5
【答案】A
【解题思路】由同角三角函数的商数关系和平方关系求出sin�、cos�的两组解，再结合�为第三象限角即得
cos�的值.
【解答过程】因为tan�=
1
2，所以
sin�
cos�=
1
2，由
sin�
cos�=
1
2
sin2�+ cos2�= 1
,
解得
sin�=
5
5
cos�=
2 5
5
或
sin�=−
5
5
cos�=−
2 5
5
，
因为角�为第三象限角，
所以cos�=−
2 5
5 .
故选：A.
【变式1-3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知sin�+ cos�=
3
4 sin�cos�，则sin�+ cos�=（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．−
3
3
D．−
1
3
【答案】D
【解题思路】由题意得sin�+ cos�=
3
4 ×
(sin�+cos�)2−1
2
，解一元二次方程即可得解.
【解答过程】因为sin�cos�=
(sin�+cos�)2−1
2
，所以sin�+ cos�=
3
4 ×
(sin�+cos�)2−1
2
，
化简得3(sin�+ cos�)2 −8 sin�+ cos�−3 = 0，
解得sin�+ cos�=−
1
3或sin�+ cos�= 3（舍去，因为sin�+ cos�≤1 + 1 = 2，且等号不能成立）．
故选：D．
【题型2
正、余弦齐次式的计算】
【例2】（2026·贵州·模拟预测）已知tan�= 3，则
2sin�−3cos�
cos�−sin�=（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．−
3
2
D．−
2
3
【答案】C
【解题思路】将弦化切，再代入计算可得.
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【解答过程】因为tan�= 3，
所以
2sin�−3cos�
cos�−sin�=
2tan�−3
1−tan�=−
3
2．
故选：C.
【变式2-1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若
sin�+cos�
sin�−cos�=
1
2，则tan �+ π =（
）
A．−3
B．−
1
3
C．3
D．
1
3
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数的除法公式化简齐次式，结合诱导公式可得解.
【解答过程】因为
sin�+cos�
sin�−cos�=
1
2，所以
tan�+1
tan�−1 =
1
2，解得tan�=−3，
于是tan �+ π = tan�=−3，
故选：A．
【变式2-2】（2026·贵州黔南·三模）若
cos�
cos�−sin�=
3
3 ，则tan�=（
）
A．1 −
3
3
B．1 −
3
C．
3
3
D．1 +
3
【答案】B
【解题思路】根据同角三角函数的基本关系将弦化切，解得即可.
【解答过程】因为
cos�
cos�−sin�=
3
3 ，所以
1
1−tan�=
3
3 ，解得tan�= 1 −
3.
故选：B.
【变式2-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知tan�= 6，则
2cos�−sin�
cos�+sin�=（
）
A．
7
4
B．−
7
4
C．
4
7
D．−
4
7
【答案】D
【解题思路】分子分母为一次齐次式，分子分母同除以cos�转化为tan�的表达式，代入求解即可.
【解答过程】因为cos�≠0，分子分母同除cos�，
2cos�−sin�
cos�+sin�=
2−tan�
1+tan�=
2−6
1+6 =−
4
7，
故选：D.
【题型3
诱导公式】
【例3】（2026·湖北·模拟预测）若cos95∘= �，则sin100∘的值为（
）
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A．1 −�2
B．1 −2�2
C．2�2 −1
D．�2 −1
【答案】B
【解题思路】先由诱导公式求得sin5°，再用诱导公式和二倍角公式求解sin100°.
【解答过程】由cos95∘= cos 90∘+ 5∘=−sin5∘= �知：sin5∘=−�，
因此sin100∘= sin 90∘+ 10∘= cos10∘= 1 −2sin25∘= 1 −2�2.
故选：B.
【变式3-1】（2026·四川绵阳·一模）已知cos �−
5π
4
=
2 2
3 ，则sin
π
4 + �=（
）
A．
1
3
B．−
2 2
3
C．
2 2
3
D．±
1
3
【答案】B
【解题思路】由cos �−
5π
4
= cos
π
4 + �−
3π
2 ，应用诱导公式及已知即可求解.
【解答过程】由cos �−
5π
4
= cos
π
4 + �−
3π
2
= cos[
3π
2 −(
π
4 + �)] =−sin(
π
4 + �) =
2 2
3 ，
所以sin
π
4 + �= −
2 2
3 .
故选：B.
【变式3-2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）若sin�=
3
3 ，则cos
π
2 + �=（
）
A．
6
3
B．−
6
3
C．
3
3
D．−
3
3
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式直接求解即可.
【解答过程】cos
π
2 + �=−sin�=−
3
3 ．
故选：D.
【变式3-3】（2026·广东·模拟预测）设�< �<
3
2 �，且sin 2�+
�
4 = cos�，则�=（
）
A．
7�
6
B．
5�
4
C．
17�
6
D．
17�
12
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式cos�= sin
�
2 −�化成同名三角函数值，再利用sin π −�= sin�, sin �+ 2�π =
sin�，结合�的范围即可得解.
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【解答过程】诱导公式有sin 2�+
�
4 = sin
�
2 −�，
故2�+
�
4 =
�
2 −�+ 2��或2�+
�
4 = �−
�
2 −�+ 2��，其中�∈�，
分别解得�=
�
12 +
2��
3 或�=
�
4 + 2��, �∈�．
由于�< �<
3�
2 ，故只能是�=
�
12 +
2��
3 取�= 2 的情形，即�=
17�
12 ．
故选：D．
【题型4
三角函数式的化简、求值】
【例4】（2026·四川宜宾·一模）若�∈π，
3π
2 ，tan�=
cos�
sin�−1，则sin�=（
）
A．−
3
2
B．−
2
2
C．−
1
2
D．−
1
3
【答案】C
【解题思路】利用同角三角函数的关系求解即可.
【解答过程】由tan�=
cos�
sin�−1 =
sin�
cos�得cos2�= sin2�−sin�，
∵sin2�+ cos2�= 1，
∴2sin2�−sin�−1 = 0，即2sin�+ 1
sin�−1 = 0，
解得sin�=−
1
2或sin�= 1，
∵�∈π，
3π
2 ，∴−1 < sin�< 0，∴sin�=−
1
2.
故选：C.
【变式4-1】（2026·湖南常德·模拟预测）化简1 −2sin π −2 sin
3π
2 −2 的结果为（
）
A．sin2 −cos2
B．sin2 + cos2
C．cos2 −sin2
D．−sin2 + cos2
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式以及同角三角关系可得1 −2sin π −2 sin
3π
2 −2 =
sin2 + cos2 2，再结合
正、余弦函数的单调性分析求解即可.
【解答过程】由题意可得：1 −2sin π −2 sin
3π
2 −2 =
1 + 2sin2cos2 =
sin2 + cos2 2，
因为2 ∈
π
2 ,
3π
4 ，则sin2 > sin
3π
4 =
2
2 , cos2 > cos
3π
4 =−
2
2 ，
可得sin2 + cos2 >
2
2 −
2
2 = 0，
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所以1 −2sin π −2 sin
3π
2 −2 =
sin2 + cos2 2 = sin2 + cos2.
故选：B.
【变式4-2】（2026·湖北孝感·三模）已知�∈−
π
2 ，0 ，sin4�+ cos4�=
1
2，则sin�−cos�=（
）
A．2
B．−
2
C．
2
2
D．−
2
2
【答案】B
【解题思路】利用sin4�+ cos4�=
1
2及角的范围变形得到sin�cos�=−
1
2，从而得到sin�−cos�=−
sin�−cos�2 =−
2.
【解答过程】sin4�+ cos4�= sin2�+ cos2�
2 −2sin2�cos2�= 1 −2sin2�cos2�，
又sin4�+ cos4�=
1
2，所以1 −2sin2�cos2�=
1
2，
所以sin2�cos2�=
1
4，
又�∈−
π
2 ，0 ，所以sin�< 0, cos�> 0，sin�−cos�< 0，
所以sin�cos�=−
1
2，
故sin�−cos�=−
sin�−cos�2 =−
1 −2sin�cos�=−
1 −2 × −
1
2 =−
2．
故选：B.
【变式4-3】（2026·甘肃金昌·二模）若sin�= cos�+
3
5，则tan�+
1
tan�=（
）
A．
8
25
B．
16
25
C．
25
8
D．
25
16
【答案】C
【解题思路】应用同角三角函数关系结合切化弦计算求解.
【解答过程】因为sin�−cos�=
3
5，所以sin2�+ cos2�−2sin�cos�=
9
25 ,sin�cos�=
8
25.
因为tan�+
1
tan�=
sin�
cos�+
cos�
sin�=
sin2�+cos2�
sin�cos�
=
1
sin�cos�，所以tan�+
1
tan�=
25
8 .
故选：C.
【题型5
三角恒等式的证明】
【例5】（25-26 高一下·全国·阶段检测）求证：
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(1)
1+2sin�cos�
sin2�−cos2�=
1+tan�
tan�−1；
(2)
tan�⋅sin�
tan�−sin�=
tan�+sin�
tan�⋅sin�．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）从左向右证明，利用sin2�+ cos2�= 1 代换后进行弦化切证明即可；
（2）将两边切化弦，计算得到左边=
1+cos�
sin�，右边=
1+cos�
sin�，即可求证.
【解答过程】（1）左边=
sin2�+cos2�+2sin�cos�
sin2�−cos2�
=
sin�+cos�2
sin�−cos�
sin�+cos�
=
sin�+cos�
sin�−cos�=
1+tan�
tan�−1 =右边．故原式成立．
（2）因为左边=
sin�⋅sin�
cos�
sin�
cos�−sin�=
1−cos2�
sin�1−cos�=
1+cos�
sin�
右边=
sin�
cos�+sin�
sin�
cos�⋅sin�=
1+cos�
sin�，左边＝右边，所以原式成立．
【变式5-1】（25-26 高一上·上海·课堂例题）证明：
tan(2π−�)sin(−2π−�)cos(6π−�)cos(π−�)
sin �+3π
2
cos
π
2−�
= sin�．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用诱导公式化简即可.
【解答过程】左边=
−tan�−sin�cos�−cos�
−cos�sin�
= tan�cos�= sin�=右边，
所以
tan(2π−�)sin(−2π−�)cos(6π−�)cos(π−�)
sin �+3π
2
cos
π
2−�
= sin�．
【变式5-2】（25-26 高一下·全国·课后作业）求证：
sin 2�−�cos �+�cos
�
2+�cos
11�
2 −�
cos �−�sin 3�−�sin −�−�sin
9�
2 +�=−tan�．
【答案】证明见解析.
【解题思路】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.
【解答过程】左边=
−sin�⋅−cos�
−sin�
−sin�
−cos�⋅sin�⋅sin�⋅cos�
=–tanα=右边，
∴等式成立．
【变式5-3】（2026 高一·全国·专题练习）求证：
(1)2cos2�+ sin4�= cos4�+ 1；
(2)
sin2�+2cos2�+1
cos2�−sin2�
=
3+2tan2�
1−tan2�．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
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【解题思路】（1）利用作差法直接证明即可；
（2）结合弦化切的方式，利用等式左边往右边转化即可得证.
【解答过程】（1）因为2cos2�+ sin4�−cos4�+ 1
= 2cos2�−1 + sin2�+ cos2�
sin2�−cos2�
= 2cos2�−1 + sin2�−cos2�= cos2�+ sin2�−1 = 0，
所以2cos2�+ sin4�= cos4�+ 1.
（2）因为左边=
sin2�+2cos2�+sin2�+cos2�
cos2�−sin2�
=
2sin2�+3cos2�
cos2�−sin2�=
2tan2�+3
1−tan2�=右边，
所以原等式成立.
【题型6
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用】
【例6】（2026·山东日照·一模）已知�是第一象限角，且sin�+ cos�= 3cos�tan�，则sin �+
π
2 的值为（
）
A．−
5
5
B．−
2 5
5
C．
5
5
D．
2 5
5
【答案】D
【解题思路】先应用同角三角函数关系计算，最后应用诱导公式计算即可.
【解答过程】因为sin�+ cos�= 3cos�tan�，
所以sin�+ cos�= 3sin�，所以cos�= 2sin�，左右两侧平方得cos2�= 4sin2�= 4 1 −cos2�，
所以5cos2�= 4，又因为�是第一象限角，所以cos�=
2 5
5 ，
则sin �+
π
2 =cos�=
2 5
5 .
故选：D.
【变式6-1】（2026·浙江温州·一模）若�∈0,
π
2 ，tan
π
2 −�=
1
2，则sin�−cos�=（
）
A．−
5
5
B．
5
5
C．−
2 5
5
D．
2 5
5
【答案】B
【解题思路】利用诱导公式将已知条件化简，再结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【解答过程】由tan
π
2 −�=
1
2，可得
sin
π
2−�
cos
π
2−�=
1
2，所以
cos�
sin�=
1
2，所以sin�= 2cos�，
又因为sin2�+ cos2�= 1，所以4cos2�+ cos2�= 1，所以cos2�=
1
5，
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又因为�∈0,
π
2 ，所以cos�=
5
5 ，所以sin�=
2 5
5 ，
所以sin�−cos�=
2 5
5 −
5
5 =
5
5 .
故选：B.
【变式6-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知sin
2π
7 + �=
1
5，那么tan
3π
14 −�=（
）
A．−
1
5
B．±2 6
C．
2 6
5
D．2 6
【答案】B
【解题思路】根据题意，由诱导公式化简，结合同角三角函数的关系代入计算，即可得到结果.
【解答过程】因为sin
2π
7 + �=
1
5，
所以cos
3π
14 −�= cos
π
2 −
2
7 π + �
= sin
2
7 π + �=
1
5，
则sin
3π
14 −�=±
1 −cos2
3π
14 −�=±
2 6
5 ，
所以tan
3π
14 −�=
sin
3π
14−�
cos
3π
14−�=± 2 6.
故选：B.
【变式6-3】（2026·广东茂名·模拟预测）已知sin
π
3 −�=
1
3，且0 < �<
π
2，求sin
π
6 + �−cos
2π
3 + �
的值为（
）
A．
4 2
3
B．
2 2
3
C．0
D．−
2 2
3
【答案】A
【解题思路】由sin
π
3 −�=
1
3，结合
π
3 −�的范围求出cos
π
3 −�的值，再利用诱导公式将sin
π
6 + �−
cos
2π
3 + �化简，即可得解.
【解答过程】∵0 < �<
π
2 , ∴−
π
6 <
π
3 −�<
π
3，
∵sin
π
3 −�=
1
3，∴cos
π
3 −�=
1 −sin2
π
3 −�=
2 2
3 ．
∴sin π
6 + �−cos 2π
3 + �= sin π
2 −π
3 −�
−cos π −π
3 −�
= cos
π
3 −�+ cos
π
3 −�= 2cos
π
3 −�=
4 2
3 ．
故选：A.
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一、单选题
1．（2026·山东日照·模拟预测）已知sin�+ cos�=
2
2 （0 < �< π），则tan�=（
）
A．−2 −
3
B．−2 +
3
C．2 −
3
D．2 +
3
【答案】A
【解题思路】由sin�+ cos�=
2
2 可求出sin�−cos�=
6
2 ，联立求出sin�，cos�，即可求出tan�的值.
【解答过程】解：因为sin�+ cos�=
2
2 ①，则sin�+ cos�2 = 1 + 2sin�cos�=
1
2，
所以2sin�cos�=−
1
2 < 0，则
π
2 < �< π，所以sin�> 0，cos�< 0，tan�< 0，
又sin�−cos�2 = 1 −2sin�cos�= 1 +
1
2 =
3
2，所以sin�−cos�=
6
2 ②，
联立①②，解得sin�=
2+ 6
4
，cos�=
2−6
4
，
所以tan�=
sin�
cos�=
2+ 6
4
2−6
4
=−2 −
3.
故选：A.
2．（2026·四川雅安·一模）若cos �−
π
4 =
1
3，则sin �+
π
4 =（
）
A．
1
3
B．
2 2
3
C．−
2 2
3
D．−
1
3
【答案】A
【解题思路】根据关系sin �+
π
4 = sin
π
2 + �−
π
4
结合诱导公式及条件求结论.
【解答过程】因为cos �−
π
4 =
1
3，
所以sin �+
π
4 = sin
π
2 + �−
π
4
= cos �−
π
4 =
1
3.
故选：A.
3．（2026·福建莆田·模拟预测）已知角�为第一象限角，且cos�=
3
5，则sin �+ π =（
）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
【答案】A
【解题思路】根据同角三角函数基本关系求出sin�，再根据诱导公式求解.
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【解答过程】∵cos�=
3
5 , sin2�+ cos2�= 1 且�为第一象限角，
∴sin�=
1 −cos2�=
1 −
3
5
2
=
4
5，
∴sin(�+ π) =−sin�=−
4
5.
故选：A.
4．（2026·河南信阳·三模）已知tan�=−2，则
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．1
D．−2
【答案】D
【解题思路】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解.
【解答过程】
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=
−sin�
sin�+cos�
=
−sin�
cos�
sin�+cos�
cos�
=
−tan�
tan�+1 =−2，
故选：D.
5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知2sin�−sin�=
5，且�+ �=
�
2，则tan�=（
）
A．-2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
【答案】B
【解题思路】解法一：应用诱导公式结合同角三角函数关系计算求解；解法二：应用诱导公式结合弦切互化
计算求解.
【解答过程】解法一：由�+ �=
�
2，得�=
�
2 −�，所以2sin
π
2 −�−sin�= 2cos�−sin�=
5，
联立cos2�+ sin2�= 1，得
sin�=−
5
5
cos�=
2 5
5
，所以tan�=−
1
2.
解法二：由�+ �=
�
2，得�=
�
2 −�，所以2sin
π
2 −�−sin�= 2cos�−sin�=
5，
所以5 =
2cos�−sin�2
cos2�+sin2�=
4cos2�−4cos�⋅sin�+sin2�
cos2�+sin2�
=
4−4tan�+tan2�
1+tan2�
则4tan2�+ 4tan�+ 1 = 2tan�+ 1 2 = 0，所以tan�=−
1
2.
故选：B.
6．（2026·河北沧州·三模）已知�是△���的内角，且�= cos�+ sin�. 若�∈0,1 ，则△���是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
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【答案】B
【解题思路】利用同角平方关系可得，�2 = 1 + 2sin�cos�，结合�∈0,1 可得sin�cos�< 0，从而可得�
的取值范围，进而可判断三角形的形状．
【解答过程】∵sin�+ cos�= �，
∴�2 = （sin�+ cos�）
2 = 1 + 2sin�cos�，
∵0 < �< 1 ∴0 < �2 < 1，
∴0 < 2sin�cos�+ 1 < 1，−
1
2 < sin�cos�< 0，
∵�为三角形△���内角，∴sin�> 0，cos�< 0，
�为钝角，即三角形△���为钝角三角形.
故选：B.
7．（2026·山东烟台·一模）已知tan�=−2，则
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=（
）
A．−
2
3
B．
2
3
C．−2
D．2
【答案】C
【解题思路】利用诱导公式结合弦化切可得出所求代数式的值.
【解答过程】因为tan�=−2，则
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=
−sin�
sin�+cos�=−
tan�
tan�+1 =−
−2
−2+1 =−2.
故选：C.
8．（2026·湖南湘西·三模）在△���中，内角�, �, �的对边分别为�, �, �，已知cos�=−
3
5 , �= 2, �= 1，则
sin�=（
）
A．
2
5
B．
3
10
C．
1
5
D．
1
10
【答案】A
【解题思路】利用同角三角函数关系式以及正弦定理求解即可.
【解答过程】因为cos�=−
3
5，所以�∈
�
2 , �，所以sin�=
1 −cos2�=
1 −−
3
5
2
=
4
5，
在△���中，由�= 2, �= 1 以及正弦定理得：
�
sin�=
�
sin�⇒
2
4
5
=
1
sin�，得sin�=
2
5．
故选：A.
二、多选题
9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知sin�=
3
5 , �∈
π
2 ,π ，则（
）
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A．cos
π
2 + �=−
4
5
B．tan π + �=−
3
4
C．sin π −�=
3
5
D．cos
3π
2 −�=−
3
5
【答案】BCD
【解题思路】先由同角基本关系式求出cos�, tan�，再利用诱导公式判断选项.
【解答过程】由sin�=
3
5 , �∈
π
2 ,π ，得cos�=−
1 −sin2�=−
4
5，
tan�=
sin�
cos�=−
3
4，
则cos
π
2 + �=−sin�=−
3
5，A 错误；
tan π + �= tan�=−
3
4，B 正确；
sin π −�= sin�=
3
5，C 正确；
cos
3π
2 −�=−sin�=−
3
5，D 正确.
故选：BCD.
10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知sin
�
4 −�=−
5
13，且
�
4 < �<
5�
12，则下列正确的是（
）
A．sin
�
4 + �=
12
13
B．cos
3�
4 + �=
12
13
C．tan �−
�
4 =
5
12
D．sin �−
�
4 −cos �−
�
4
2
=
24
25
【答案】AC
【解题思路】使用三角函数同角关系与诱导公式进行计算即可.
【解答过程】对于A，cos
π
4 + �= cos
π
2 −
π
4 −�
= sin
π
4 −�=−
5
13，
因为
π
4 < �<
5π
12，则有
π
4 + �∈
π
2 ,
2π
3 ，故sin
π
4 + �=
12
13，A 正确；
对于B，因为
π
4 < �<
5π
12，则有
π
4 −�∈−
π
6 , 0 ，则cos
π
4 −�=
12
13，
则cos
3π
4 + �= cos π −
π
4 −�
=−cos
π
4 −�=−
12
13，故B 错误；
对于C，sin �−
π
4 =−sin
π
4 −�=
5
13，cos
π
4 −�= cos �−
π
4 =
12
13，
则tan �−
π
4 =
sin �−π
4
cos �−π
4
=
5
13
12
13
=
5
12，故C 正确；
对于D，sin �−
π
4 −cos �−
π
4
2
=
5
13 −
12
13
2
=
49
169，故D 错误，
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故选：AC.
11．（2026·湖南长沙·二模）已知sin�+ cos�=
1
5，�∈(0, �)，则下列各式正确的有（
）
A．sin2�=−
24
25
B．sin�−cos�=±
7
5 C．cos2�=
7
25
D．tan�=−
4
3
【答案】AD
【解题思路】利用已知和sin2�+ cos2�= 1 的关系，利用二倍角公式计算逐项判断得出答案.
【解答过程】A 项：由已知：sin2�+ cos2�+ 2sin�cos�=
1
25，因此sin2�= 2sin�cos�=−
24
25，故A 项正确；
B 项：因为sin�cos�< 0，且�∈(0, �)，所以�∈
�
2 , �，因此sin�−cos�> 0．又因为(sin�−cos�)2 = 1 −
2sin�cos�=
49
25，因此sin�−cos�=
7
5，故B 项错误；
C 项：cos2�= cos2�−sin2�= (cos�−sin�)(cos�+ sin�) =−
7
25，故C 项错误；
D 项：由方程组
sin�+ cos�=
1
5
sin�−cos�=
7
5
，解得
sin�=
4
5
cos�=−
3
5
于是tan�=−
4
3，故D 项正确．
故选：AD.
三、填空题
12．（2026·河北保定·一模）已知
tan�
cos�=
15
16，则sin�=__________.
【答案】
3
5
【解题思路】首先切化弦，根据平方关系得到sin�的二次方程，求解.
【解答过程】因为
tan�
cos�=
15
16，
sin�
cos2�=
sin�
1−sin2�=
15
16，
得15sin2�+ 16sin�−15 = 0，
解得sin�=
3
5或sin�=−
5
3（舍）.
故答案为：
3
5.
13．（2026·浙江·一模）已知�∈0,π ，满足sin �+
π
2 =
1
3，则tan�=__________.
【答案】2 2
【解题思路】根据诱导公式及同角三角函数关系计算即可.
【解答过程】sin �+
π
2 = cos�=
1
3.
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因为�∈0,π ，所以sin�=
1 −cos2�=
2 2
3 ，
所以tan�=
sin�
cos�=
2 2
3
1
3
= 2 2.
故答案为：2 2.
14．（2026·云南·三模）已知角�的终边过点�−2,4 ，则
2+sin�cos�
2sin2�+cos2�=__________．
【答案】
8
9
【解题思路】由三角函数的定义求出tan�的值，再利用弦化切可得出所求代数式的值.
【解答过程】因为�的终边过点�−2,4 ，根据三角函数的定义，可得tan�=
4
−2 =−2，
2 + sin�cos�
2sin2�+ cos2�= 2sin2�+ sin�cos�+ 2cos2�
2sin2�+ cos2�
= 2tan2�+ tan�+ 2
2tan2�+ 1
=
2× −2 2−2+2
2× −2 2+1 =
8
9.
故答案为：
8
9.
四、解答题
15．（2026·天津河北·模拟预测）已知cos�=−
3
5，α是第三象限角．
(1)求sin�和tan�的值；
(2)求cos �−
π
3 的值．
【答案】(1)sin�=−
4
5，tan�=
4
3；
(2)−
3+4 3
10 .
【解题思路】（1）应用平方关系、商数关系分别求出sin�和tan�；
（2）应用差角的余弦公式求值即可.
【解答过程】（1）由cos�=−
3
5，α是第三象限角，则sin�=−
1 −cos2�=−
4
5，
所以tan�=
sin�
cos�=
4
3；
（2）cos �−
π
3 = cos�cos
π
3 + sin�sin
π
3 = ( −
3
5 ) ×
1
2 + ( −
4
5 ) ×
3
2 =−
3+4 3
10 .
16．（25-26 高一下·北京·期中）已知�是第三象限角，且cos�=−
5
13．
(1)求tan�的值；
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(2)求
sin(π+�)−2cos(−�)
sin
π
2+�
的值．
【答案】(1)
12
5
(2)−
22
5
【解题思路】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，即可求解；
（2）利用三角函数的诱导公式进行化简，将tan�=
12
5 代入计算，即可求解.
【解答过程】（1）因为cos�=−
5
13，可得sin2�= 1 −cos2�= 1 −( −
5
13 )2 =
144
169，
又因为�是第三象限角，可得sin�< 0，所以sin�=−
12
13，
所以tan�=
sin�
cos�=
−12
13
−5
13
=
12
5 .
（2）由（1）得tan�=
12
5 ，
而
sin(π+�)−2cos(−�)
sin
π
2+�
=
−sin�−2cos�
cos�
=−tan�−2 =−
12
5 −2 =−
22
5 .
17．（25-26 高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若角�的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
�−5,12 .
(1)求sin�和tan�的值；
(2)若��=
sin
π
2+�tan π+�+2cos π−�
cos�−sin −�
，化简并求值.
【答案】(1)sin�=
12
13，tan�=−
12
5 ；
(2)化简结果为��=
tan�−2
1+tan�，值为
22
7
【解题思路】（1）由三角函数定义得到正弦和正切值；
（2）利用诱导公式和同角三角函数关系化简得到��=
tan�−2
1+tan�，代入求值.
【解答过程】（1）由三角函数定义可知，sin�=
12
−5 2+122
=
12
13，
tan�=
12
−5 =−
12
5 ；
（2）��=
sin
π
2+�tan π+�+2cos π−�
cos�−sin −�
=
����tan�−2cos�
cos�+sin�
=
����⋅sin�
cos�−2cos�
cos�+sin�
=
sin�−2cos�
cos�+sin�=
tan�−2
1+tan�，
将tan�=−
12
5 代入得��=
tan�−2
1+tan�=
−12
5 −2
1−12
5
=
22
7 .
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18．（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式：
(1)sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�= 1；
(2)
cos2�−cos2�
cot2�−cot2�= sin2�sin2�；
(3)
cos�
1−sin�=
1+sin�
cos�．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析
【解题思路】（1）提公因式，由sin2�+ cos2�= 1 化简即可证明；
（2）弦切互化结合sin2�+ cos2�= 1 可得(cot2�−cot2�)sin2�sin2�= cos2�−cos2�，化简即可证明；
（3）分子分母同乘1 + sin�结合sin2�+ cos2�= 1 化简即可证明.
【解答过程】（1）sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�
= sin2�(sin2�+ cos2�) + cos2�
= sin2�+ cos2�= 1；
（2）因为(cot2�−cot2�)sin2�sin2�
= cos2�sin2�−sin2�cos2�
= cos2�(1 −cos2�) −(1 −cos2�)cos2�
= cos2�−cos2�cos2�−cos2�+ cos2�cos2�
= cos2�−cos2�，
所以
cos2�−cos2�
cot2�−cot2�= sin2�sin2�；
（3）
cos�
1−sin�=
cos�(1+sin�)
1−sin2�
=
cos�1+sin�
cos2�
=
1+sin�
cos�.
19．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）已知tan�=−2.
(1)求：
sin�−cos�
sin�+cos�及
sin�cos�
sin2�−cos2�的值；
(2)求
sin(3π
2 +�)cos(π
2−�)
sin(−�)sin(π−�) 的值；
(3)若�为第二象限角，求
1+sin�
1−sin�−
1−sin�
1+sin�的值.
【答案】(1)3, −
2
3
(2)−
1
2
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(3)4
【解题思路】（1）利用齐次式法求解即得.
（2）利用诱导公式化简，结合同角公式求解.
（3）利用同角公式化简求解.
【解答过程】（1）当tan�=−2 时，
sin�−cos�
sin�+cos�=
tan�−1
tan�+1 =
−2−1
−2+1 = 3；
sin�cos�
sin2�−cos2�=
tan�
tan2�−1 =
−2
(−2)2−1 =−
2
3.
（2）当tan�=−2 时，
sin(3π
2 +�)cos(π
2−�)
sin(−�)sin(π−�) =
−cos�sin�
−sin�sin�=
1
tan�=−
1
2.
（3）当tan�=−2，�为第二象限角时，cos�< 0，
1 + sin�
1 −sin�−
1 −sin�
1 + sin�=
(1 + sin�)2
1 −sin2�−
(1 −sin�)2
1 −sin2�= 1 + sin�
cos2�
−1 −sin�
cos2�
=
2sin�
−cos�=−2tan�= 4.
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