文档文本内容
专题4.3 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三复习讲义）
【全国通用】
考点要求
(1)理解三角函数的基本关系式，
，
(2)掌握诱导公式，并会简单应用
高考真题
统计
考点
2024 年
2025 年
2026 年
同角三角函
数基本关系
式
新课标I 卷：第4 题，
5 分
全国甲卷（文数）：第
9 题，5 分
全国二卷：第8 题，5
分
天津卷：第12 题，5
分
诱导公式
北京卷：第13 题，5
分
全国一卷：第3 题，5
分
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
命题规律
分析
1、同角三角函数基本关系式及诱导公式
同角三角函数基本关系式与诱导公式是三角函数化简求值的基础，是高
考数学的热点和必考内容之一。从近三年的高考情况来看，高考对本节内容
的考查较为稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大，主要考察“弦
切互化”、同角三角函数基本关系的化简、诱导公式等内容，考查较为灵活，
常与三角恒等变换、解三角形等知识结合考查，一般以选择题、填空题的形
式出现，试题难度中等或偏下。
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
知识点1
同角三角函数的基本关系
1．同角三角函数的基本关系
基本关系式
语言描述
平方关系
同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.
商数关系
同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.
2．基本关系式的变形公式
知识点2
同角三角函数基本关系式的应用技巧
1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“积”转换的解题技巧
(1)利用
可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用
可以实现
角的弦切互化.
(2)形如
等类型可进行弦化切.
2．注意公式的逆用及变形应用：
.
3．应用公式时注意方程思想的应用：
对于
这三个式子，利用
，可以知一求二.
知识点3
诱导公式
1．诱导公式
(1)诱导公式
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
公式
一
二
三
四
五
六
七
八
角
正弦
余弦
正切
余切
口诀
函数名不变，符号看象限.
函数名改变，符号看象限.
(2)诱导公式的作用
诱导公式
作用
公式一
将任意角转化为0～2π的角求值
公式二
将0～2π的角转化为0~π的角求值
公式三
将负角转化为正角求值
公式四
将
的角转化为
的角求值
公式五
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
公式六
实现正弦与余弦、正切与余切的相互转化
知识点4
诱导公式的应用的解题策略
1．诱导公式的两个应用
(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2．含2π整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运
算.如
.
知识点5
同角关系式和诱导公式的综合应用的解题策略
1．化简、求值
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行
变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.
2．用诱导公式求值
用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
与
，
与
，
与
等，常见的互补关系
与
，
与
，
与
等.
【方法技巧与总结】
1．同角三角函数关系式的常用变形：
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指
的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.
3．同角三角函数关系式的注意事项
在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
【题型1
同角三角函数基本关系式的应用】
【例1】（2026·云南玉溪·模拟预测）已知�为第四象限角，tan�=−
4
3，则cos�=（
）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
【变式1-1】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知sin�+ cos�=
1
5，�∈0,π ，则sin�−cos�=（
）
A．
1
5
B．
7
5
C．−
7
5
D．±
7
5
【变式1-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知tan�=
1
2，角�为第三象限角，则cos�的值为（
）
A．−
2 5
5
B．−
5
5
C．
5
5
D．
2 5
5
【变式1-3】（2026·甘肃甘南·模拟预测）已知sin�+ cos�=
3
4 sin�cos�，则sin�+ cos�=（
）
A．
3
3
B．
3
4
C．−
3
3
D．−
1
3
【题型2
正、余弦齐次式的计算】
【例2】（2026·贵州·模拟预测）已知tan�= 3，则
2sin�−3cos�
cos�−sin�=（
）
A．
2
3
B．
3
2
C．−
3
2
D．−
2
3
【变式2-1】（2026·甘肃白银·模拟预测）若
sin�+cos�
sin�−cos�=
1
2，则tan �+ π =（
）
A．−3
B．−
1
3
C．3
D．
1
3
【变式2-2】（2026·贵州黔南·三模）若
cos�
cos�−sin�=
3
3 ，则tan�=（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．1 −
3
3
B．1 −
3
C．
3
3
D．1 +
3
【变式2-3】（2026·辽宁·模拟预测）已知tan�= 6，则
2cos�−sin�
cos�+sin�=（
）
A．
7
4
B．−
7
4
C．
4
7
D．−
4
7
【题型3
诱导公式】
【例3】（2026·湖北·模拟预测）若cos95∘= �，则sin100∘的值为（
）
A．1 −�2
B．1 −2�2
C．2�2 −1
D．�2 −1
【变式3-1】（2026·四川绵阳·一模）已知cos �−
5π
4
=
2 2
3 ，则sin
π
4 + �=（
）
A．
1
3
B．−
2 2
3
C．
2 2
3
D．±
1
3
【变式3-2】（2026·贵州贵阳·模拟预测）若sin�=
3
3 ，则cos
π
2 + �=（
）
A．
6
3
B．−
6
3
C．
3
3
D．−
3
3
【变式3-3】（2026·广东·模拟预测）设�< �<
3
2 �，且sin 2�+
�
4 = cos�，则�=（
）
A．
7�
6
B．
5�
4
C．
17�
6
D．
17�
12
【题型4
三角函数式的化简、求值】
【例4】（2026·四川宜宾·一模）若�∈π，
3π
2 ，tan�=
cos�
sin�−1，则sin�=（
）
A．−
3
2
B．−
2
2
C．−
1
2
D．−
1
3
【变式4-1】（2026·湖南常德·模拟预测）化简1 −2sin π −2 sin
3π
2 −2 的结果为（
）
A．sin2 −cos2
B．sin2 + cos2
C．cos2 −sin2
D．−sin2 + cos2
【变式4-2】（2026·湖北孝感·三模）已知�∈−
π
2 ，0 ，sin4�+ cos4�=
1
2，则sin�−cos�=（
）
A．2
B．−
2
C．
2
2
D．−
2
2
【变式4-3】（2026·甘肃金昌·二模）若sin�= cos�+
3
5，则tan�+
1
tan�=（
）
A．
8
25
B．
16
25
C．
25
8
D．
25
16
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型5
三角恒等式的证明】
【例5】（25-26 高一下·全国·阶段检测）求证：
(1)
1+2sin�cos�
sin2�−cos2�=
1+tan�
tan�−1；
(2)
tan�⋅sin�
tan�−sin�=
tan�+sin�
tan�⋅sin�．
【变式5-1】（25-26 高一上·上海·课堂例题）证明：
tan(2π−�)sin(−2π−�)cos(6π−�)cos(π−�)
sin �+3π
2
cos
π
2−�
= sin�．
【变式5-2】（25-26 高一下·全国·课后作业）求证：
sin 2�−�cos �+�cos
�
2+�cos
11�
2 −�
cos �−�sin 3�−�sin −�−�sin
9�
2 +�=−tan�．
【变式5-3】（2026 高一·全国·专题练习）求证：
(1)2cos2�+ sin4�= cos4�+ 1；
(2)
sin2�+2cos2�+1
cos2�−sin2�
=
3+2tan2�
1−tan2�．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
【题型6
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用】
【例6】（2026·山东日照·一模）已知�是第一象限角，且sin�+ cos�= 3cos�tan�，则sin �+
π
2 的值为（
）
A．−
5
5
B．−
2 5
5
C．
5
5
D．
2 5
5
【变式6-1】（2026·浙江温州·一模）若�∈0,
π
2 ，tan
π
2 −�=
1
2，则sin�−cos�=（
）
A．−
5
5
B．
5
5
C．−
2 5
5
D．
2 5
5
【变式6-2】（2026·广东深圳·模拟预测）已知sin
2π
7 + �=
1
5，那么tan
3π
14 −�=（
）
A．−
1
5
B．±2 6
C．
2 6
5
D．2 6
【变式6-3】（2026·广东茂名·模拟预测）已知sin
π
3 −�=
1
3，且0 < �<
π
2，求sin
π
6 + �−cos
2π
3 + �
的值为（
）
A．
4 2
3
B．
2 2
3
C．0
D．−
2 2
3
一、单选题
1．（2026·山东日照·模拟预测）已知sin�+ cos�=
2
2 （0 < �< π），则tan�=（
）
A．−2 −
3
B．−2 +
3
C．2 −
3
D．2 +
3
2．（2026·四川雅安·一模）若cos �−
π
4 =
1
3，则sin �+
π
4 =（
）
A．
1
3
B．
2 2
3
C．−
2 2
3
D．−
1
3
3．（2026·福建莆田·模拟预测）已知角�为第一象限角，且cos�=
3
5，则sin �+ π =（
）
A．−
4
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
4
5
4．（2026·河南信阳·三模）已知tan�=−2，则
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=（
）
A．
1
3
B．
1
2
C．1
D．−2
5．（2026·福建泉州·模拟预测）已知2sin�−sin�=
5，且�+ �=
�
2，则tan�=（
）
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
A．-2
B．−
1
2
C．
1
2
D．2
6．（2026·河北沧州·三模）已知�是△���的内角，且�= cos�+ sin�. 若�∈0,1 ，则△���是（
）
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等腰三角形
7．（2026·山东烟台·一模）已知tan�=−2，则
cos
π
2+�
sin π−�−sin
3π
2 −�=（
）
A．−
2
3
B．
2
3
C．−2
D．2
8．（2026·湖南湘西·三模）在△���中，内角�, �, �的对边分别为�, �, �，已知cos�=−
3
5 , �= 2, �= 1，则
sin�=（
）
A．
2
5
B．
3
10
C．
1
5
D．
1
10
二、多选题
9．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知sin�=
3
5 , �∈
π
2 ,π ，则（
）
A．cos
π
2 + �=−
4
5
B．tan π + �=−
3
4
C．sin π −�=
3
5
D．cos
3π
2 −�=−
3
5
10．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知sin
�
4 −�=−
5
13，且
�
4 < �<
5�
12，则下列正确的是（
）
A．sin
�
4 + �=
12
13
B．cos
3�
4 + �=
12
13
C．tan �−
�
4 =
5
12
D．sin �−
�
4 −cos �−
�
4
2
=
24
25
11．（2026·湖南长沙·二模）已知sin�+ cos�=
1
5，�∈(0, �)，则下列各式正确的有（
）
A．sin2�=−
24
25
B．sin�−cos�=±
7
5 C．cos2�=
7
25
D．tan�=−
4
3
三、填空题
12．（2026·河北保定·一模）已知
tan�
cos�=
15
16，则sin�=__________.
13．（2026·浙江·一模）已知�∈0,π ，满足sin �+
π
2 =
1
3，则tan�=__________.
14．（2026·云南·三模）已知角�的终边过点�−2,4 ，则
2+sin�cos�
2sin2�+cos2�=__________．
四、解答题
15．（2026·天津河北·模拟预测）已知cos�=−
3
5，α是第三象限角．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
(1)求sin�和tan�的值；
(2)求cos �−
π
3 的值．
16．（25-26 高一下·北京·期中）已知�是第三象限角，且cos�=−
5
13．
(1)求tan�的值；
(2)求
sin(π+�)−2cos(−�)
sin
π
2+�
的值．
17．（25-26 高一下·北京·期中）在平面直角坐标系中，若角�的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
�−5,12 .
(1)求sin�和tan�的值；
(2)若��=
sin
π
2+�tan π+�+2cos π−�
cos�−sin −�
，化简并求值.
18．（2026·河北沧州·三模）证明下列恒等式：
(1)sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�= 1；
(2)
cos2�−cos2�
cot2�−cot2�= sin2�sin2�；
(3)
cos�
1−sin�=
1+sin�
cos�．
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
19．（25-26 高一下·贵州遵义·阶段检测）已知tan�=−2.
(1)求：
sin�−cos�
sin�+cos�及
sin�cos�
sin2�−cos2�的值；
(2)求
sin(3π
2 +�)cos(π
2−�)
sin(−�)sin(π−�) 的值；
(3)若�为第二象限角，求
1+sin�
1−sin�−
1−sin�
1+sin�的值.
版小初高资料
2027
免费领取更多
laoxuziliao
：
请添加高老师
