专题4.4 同角三角函数基本关系式及诱导公式（举一反三专项训练）
【全国通用】
目录
第一部分题型专练
【题型1
同角三角函数基本关系式的应用】...........................................................................................................1
【题型2
正、余弦齐次式的计算】...........................................................................................................................3
【题型3
诱导公式】................................................................................................................................................... 4
【题型4
三角函数式的化简、求值】.......................................................................................................................5
【题型5
三角恒等式的证明】...................................................................................................................................6
【题型6
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用】...............................................................................8
第二部分分层突破
A 组
基础跟踪练
B 组
培优提升练
C 组
真题·实战演练
【题型1
同角三角函数基本关系式的应用】
1．（2026·河北·模拟预测）已知�∈0,π ，sin�+ cos�=
2 2
5 ，则sin�−cos�=（
）
A．
42
5
B．−
42
5
C．
21
5
D．−
21
5
【答案】A
【解题思路】将题给等式两边同时平方得到2sin�cos�=−
17
25，结合�范围可判断sin�, cos�的符号，再利用
同角三角函数基本关系可即求得sin�−cos�.
【解答过程】sin�+ cos�2 = 1 + 2sin�cos�=
8
25 ⇒2sin�cos�=−
17
25，
故sin�−cos�2 = 1 −2sin�cos�=
42
25，
又∵sin�cos�< 0 且�∈0,π ⇒sin�> 0，故cos�< 0，
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∴sin�−cos�> 0，故sin�−cos�=
42
5 .
故选：A.
2．（2026·山西·模拟预测）若�是第三象限角，且sin�−2cos�= 1，则tan�=（
）
A．
4
3
B．
3
4
C．
5
12
D．
12
5
【答案】B
【解题思路】利用平方关系求出sin�, cos�，即可得解.
【解答过程】由已知可得：sin�= 2cos�+ 1，
代入sin2�+ cos2�= 1 可得5cos2�+ 4cos�= 0，
解得cos�=−
4
5或cos�= 0
∵�是第三象限角，∴cos�=−
4
5，sin�= 2 × −
4
5 + 1 =−
3
5，
∴tan�=
sin�
cos�=
3
4，
故选：B.
3．（2026·四川绵阳·三模）已知tan�sin�= 3，则tan2�−sin2�的值为（
）
A．3
B．3
C．9
D．81
【答案】C
【解题思路】将正切化为正弦和余弦，再利用同角三角函数的基本关系化简即可.
【解答过程】tan2�−sin2�=
sin2�
cos2�−sin2�= sin2�
1
cos2�−1 = sin2�·
1−cos2�
cos2�= sin2�⋅
sin2�
cos2�= sin2�tan2�=
32 = 9，
故选：C.
4．（2026·江西萍乡·一模）已知�∈−
�
4 , 0 ，sin4�+ cos4�=
17
18，则sin�+ cos�=（
）
A．−
2 3
3
B．
2 3
3
C．−
6
3
D．
6
3
【答案】D
【解题思路】先根据已知条件求出sin2�cos2�的值，再结合�的取值范围判断sin�与cos�的正负及大小关系，
进而求出sin�+ cos�的值.
【解答过程】因为sin4�+ cos4�= sin2�+ cos2�
2 −2sin2�cos2�= 1 −2sin2�cos2�=
17
18，
所以sin2�cos2�=
1
36，又�∈−
π
4 , 0 ，所以cos�>−sin�> 0，
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则sin�cos�=−
1
6，sin�+ cos�=
(sin�+ cos�)2 =
1 + 2sin�cos�=
6
3 .
故选：D.
【题型2
正、余弦齐次式的计算】
5．（2026·广东惠州·模拟预测）已知tan�=−2，则
sin�−cos�
3cos�+sin�=（
）
A．−3
B．−
1
3
C．
1
3
D．3
【答案】A
【解题思路】利用弦化切方法即可直接求解.
【解答过程】由tan�=−2 得
sin�−cos�
3cos�+sin�=
tan�−1
3+tan�=
−2−1
3+(−2) =−3.
故选：A.
6．（2026·河北张家口·二模）已知2tan�−1 = 0，则
cos�−3sin�
sin�+2cos�=（
）
A．
1
5
B．−
3
4
C．
3
4
D．−
1
5
【答案】D
【解题思路】由同角的三角函数关系式，将原式化简为关于tan�的式子，然后将已知代入求解即可.
【解答过程】由题意可得tan�=
1
2，则
cos�−3sin�
sin�+2cos�=
1−3tan�
tan�+2 =
1−3
2
1
2+2 =−
1
5.
故选：D.
7．（2026·云南昭通·一模）已知
1+tan�
1−tan�=
1
2，则sin4�+ cos4�=___________．
【答案】
41
50
【解题思路】先由已知等式得到tan�=−
1
3，再由同角的三角函数关系和平方关系化简即可；
【解答过程】∵
1+tan�
1−tan�=
1
2 ,则tan�=−
1
3，sin�cos�=
sin�cos�
sin2�+cos2�=
tan�
1+tan2�=
−1
3
10
9
=−
3
10 ,
sin4�+ cos4�= （sin2�+ cos2�）
2 −2sin2�cos2�= 1 −2 × 9
100 = 41
50 .
故答案为：
41
50.
8．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知tan�= 3，则
sin�+2cos�
4cos�−sin�=__________.
【答案】5
【解题思路】将正、余弦化为正切后计算即可得.
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【解答过程】
sin�+2cos�
4cos�−sin�=
tan�+2
4−tan�=
3+2
4−3 = 5.
故答案为：5.
【题型3
诱导公式】
9．（2026·甘肃·模拟预测）已知角�满足sin �−10∘=
1
5，则cos �+ 260∘=（
）
A．−
2 6
5
B．
2 6
5
C．−
1
5
D．
1
5
【答案】D
【解题思路】根据三角函数诱导公式计算即可.
【解答过程】因为sin �−10∘=
1
5，
所以cos �+ 260∘= cos �−10∘+ 270∘= sin �−10∘=
1
5.
故选：D.
10．（2026·甘肃庆阳·模拟预测）sin990°cos660°tan330° =（
）
A．
3
6
B．−
3
6
C．
1
2
D．−
1
2
【答案】A
【解题思路】根据诱导公式及特殊角的三角函数值即可求解.
【解答过程】sin990°cos660°tan330° = sin 720° + 270° cos 720° −60° tan 360° −30°
= sin270°cos −60° tan −30° = sin270°cos60° −tan30° =−1 ×
1
2 × −
3
3
=
3
6 .
故选：A.
11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知sin�=
2
3，则cos �+
π
2 =__________．
【答案】−
2
3
【解题思路】利用诱导公式化简cos �+
π
2 ，结合已知正弦函数值求解．
【解答过程】∵cos �+
π
2 =−sin�，sin�=
2
3，
∴cos �+
π
2 =−
2
3．
故答案为：−
2
3．
12．（2026·吉林长春·模拟预测）已知cos �+
π
3 =
2
3，则sin
π
6 −�=__________.
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【答案】
2
3
【解题思路】利用sin
π
6 −�= sin
π
2 −�+
π
3
，结合诱导公式即可求解.
【解答过程】sin
π
6 −�= sin
π
2 −�+
π
3
= cos �+
π
3 =
2
3.
故答案为：
2
3.
【题型4
三角函数式的化简、求值】
13．（2026·辽宁·模拟预测）已知sin�> 0，tan�=
5
12，则
sin�+1
13cos�−3 =（
）
A．
1
2
B．2
C．
2
5
D．
2
13
【答案】D
【解题思路】根据三角函数值的符号可确定�为第一象限角，根据同角三角函数关系可求得sin�, cos�，代入
即可求得结果.
【解答过程】∵sin�> 0，tan�=
5
12 > 0，
∴�为第一象限角，∴cos�> 0，
由
tan�=
sin�
cos�=
5
12
sin2�+ cos2�= 1
得：sin�=
5
13，cos�=
12
13，∴
sin�+1
13cos�−3 =
5
13+1
13×12
13−3 =
2
13.
故选：D.
14．（2026·河南·三模）已知∀�∈�,cos 2�+ �= sin 2�−
π
3 ，则sin π −�=（
）
A．−
3
2
B．−
1
2
C．
1
2
D．
3
2
【答案】B
【解题思路】根据诱导公式化简sin 2�−
π
3 = cos 2�−
5π
6 ，再根据∀�∈�,cos 2�+ �= sin 2�−
π
3 ，可
得�=−
5π
6 + 2�π �∈�，从而得所求.
【解答过程】由诱导公式可知sin 2�−
π
3 = cos
π
2 −2�+
π
3 = cos −2�+
5π
6
= cos 2�−
5π
6 ，
又∀�∈�,cos 2�+ �= sin 2�−
π
3 ，
所以�=−
5π
6 + 2�π �∈�，
所以sin π −�= sin�= sin −
5π
6
=−
1
2.
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故选：B.
15．（2026·广东佛山·一模）若sin20∘= �，则tan160∘=（
）
A．
�
1−�2
B．−
�
1−�2
C．
1−�2
�
D．−
1−�2
�
【答案】B
【解题思路】先利用三角函数同角基本关系式求得tan20∘，然后利用诱导公式求解.
【解答过程】解：因为sin20∘= �，
所以cos20∘=
1 −�2，tan20∘=
�
1−�2，
所以tan160∘= tan 160∘−20∘=−tan20∘=−
�
1−�2，
故选：B.
16．（2026·全国·一模）已知tan2�sin2�= 3，则tan2�−2sin2�−
sin2�
tan2�=（
）
A．1
B．2
C．3
D．
4
3
【答案】B
【解题思路】应用同角三角函数关系得出sin4�+ 3sin2�= 3，再代入计算求解即可.
【解答过程】因为tan2�sin2�= 3，所以sin2�
2 = 3 1 −sin2�，
所以sin2�
2 + 3sin2�−3 = 0，即sin4�+ 3sin2�= 3，
则tan2�−2sin2�−
sin2�
tan2�=
3
sin2�−2sin2�−
sin2�
3
sin2�
=
3
sin2�−2sin2�−
sin4�
3
=
9−6sin4�−sin6�
3sin2�
=
3sin4�+9sin2�−6sin4�−sin6�
3sin2�
=
−3sin2�+9−sin4�
3
=
−3sin2�+3sin4�+9sin2�−sin4�
3
=
2sin4�+6sin2�
3
=
2×3
3 = 2.
故选：B.
【题型5
三角恒等式的证明】
17．（25-26 高一上·甘肃兰州·期末）求证：
(1)
1−2sin�cos�
cos2�−sin2�=
1−tan�
1+tan�；
(2)sin4�+ cos4�= 1 −2sin2�cos2�.
【答案】(1)证明见解析
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(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用平方关系和商关系可证结论；
（2）利用平方关系可证结论.
【解答过程】（1）证明：左边=
cos2�+sin2�−2sin�cos�
cos2�−sin2�
=
cos�−sin�2
cos�−sin�
sin�+cos�
=
cos�−sin�
sin�+cos�=
1−tan�
tan�+1=右边.
（2）证明：左边=
cos2�+ sin2�
2 −2cos2�sin2�= 1 −2cos2�sin2�=右边.
18．（25-26 高一上·全国·课后作业）证明：sin 217° −�cos �−127° + cos2 127° −�tan2 53° + �= 1．
【答案】证明见解析
【解题思路】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式来证得等式成立.
【解答过程】sin 217° −�= sin 180° + 37° −�
=−sin 37° −�
cos �−127° = cos 127° −�=−sin 37° −�, cos2 127° −�= sin2 37° −�，
tan2 53° + �=
sin2 53°+�
cos2 53°+�=
sin2 90°−37°−�
cos2 90°−37°−�
=
cos2 37°−�
sin2 37°−�，
故等式左边= sin2 37° −�+ cos2 37° −�= 1，等式成立．
19．（25-26 高一下·全国·课后作业）（1）求证：
tan�sin�
tan�−sin�=
tan�+sin�
tan�sin�；
（2）已知
cos4�
cos2�+
sin4�
sin2�= 1，求证：
cos4�
cos2�+
sin4�
sin2�= 1．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析
【解题思路】（1）在右边分式的分子和分母同时乘以tan�−sin�，结合同角三角函数的基本关系化简可证
得所求不等式成立；
（2）设sin2�= �0 < �< 1 ，sin2�= �0 < �< 1 ，则cos2�= 1 −�，cos2�= 1 −�，由已知等式化简
得出�= �，然后代入所证不等式证明即可.
【解答过程】（1）右边=
tan2�−sin2�
tan�−sin�tan�sin�=
tan2�−tan2�cos2�
tan�−sin�tan�sin�
=
tan2�1−cos2�
tan�−sin�tan�sin�=
tan2�sin2�
tan�−sin�tan�sin�=左边，
故原等式成立；
（2）设sin2�= �0 < �< 1 ，sin2�= �0 < �< 1 ，则cos2�= 1 −�，cos2�= 1 −�，
由
cos4�
cos2�+
sin4�
sin2�= 1，得
1−�2
1−�+
�2
�= 1，即�−�2 = 0．
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所以�= �，故
cos4�
cos2�+
sin4�
sin2�=
1−�2
1−�+
�2
�= 1 −�+ �= 1．
20．（2026 高一上·湖北武汉·专题练习）求证：
(1)sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�= 1；
(2)
1−tan2�
1+tan2�= cos2�−sin2�；
(3)sin 217° −�cos �−127° + cos2 127° −�tan2 53° + �= 1.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【解题思路】（1）利用同角三角函数的平方关系即可证明.
（2）利用切化弦结合同角三角函数的平方关系即可证明.
（3）利用诱导公式结合同角三角函数的平方关系即可证明.
【解答过程】（1）sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�
= sin2�sin2�+ cos2�+ cos2�= sin2�+ cos2�= 1
故sin4�+ sin2�cos2�+ cos2�= 1 成立.
（2）因为
1−tan2�
1+tan2�=
1−sin2�
cos2�
1+sin2�
cos2�
=
cos2�−sin2�
cos2�+sin2�= cos2�−sin2�，
所以
1−tan2�
1+tan2�= cos2�−sin2�.
（3）sin 217° −�= sin 180° + 37° −�
=−sin 37° −�
cos �−127° = cos 127° −�=−sin 37° −�, cos2 127° −�= sin2 37° −�，
tan2 53° + �=
sin2 53°+�
cos2 53°+�=
sin2 90°−37°−�
cos2 90°−37°−�
=
cos2 37°−�
sin2 37°−�，
故等式左边= sin2 37° −�+ cos2 37° −�= 1，等式成立.
【题型6
同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用】
21．（2026·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知tan�= e(0 < �<
π
2 )，则
cos(2�+π
2)
sin π−�=（
）
A．−
2
e2+1
B．
2
e2+1
C．−
2e
e2+1
D．
2e
e2+1
【答案】A
【解题思路】先由tan�= e 和角的范围求得cos�=
1
e2+1，再利用诱导公式和二倍角公式化简所求式，将其
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代入计算即得.
【解答过程】因tan�= e，且0 < �<
π
2，由
sin�
cos�=
1−cos2�
cos�
= e，解得cos�=
1
e2+1，
所以
cos(2�+π
2)
sin π−�=
−sin2�
sin�=−2cos�=−
2
e2+1．
故选：A.
22．（2026·四川南充·三模）已知�= 2cos73°，则
2sin228°−1
�4−�2
=（
）
A．−2
B．−1
C．−
1
2
D．−
1
4
【答案】C
【解题思路】利用同角三角函数关系，二倍角公式，诱导公式，化简得到答案.
【解答过程】
2sin228°−1
�4−�2
=
2sin228°−1
2cos73°⋅4−4cos273° =−
cos56°
2cos73°⋅2sin73°
=−
cos56°
2sin146° =−
sin 90°−34°
2sin 180°−34° =−
sin34°
2sin34° =−
1
2.
故选：C.
23．（2026·云南昭通·模拟预测）若tan�=−3，则
cos
π
2+�
1+sin2�
sin π+�+sin
3π
2 +�=（
）
A．−
6
5
B．3
C．
3
5
D．
6
5
【答案】C
【解题思路】利用诱导公式及二倍角公式化简，再由同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得.
【解答过程】因为tan�=−3，
所以
cos
π
2+�
1+sin2�
sin π+�+sin
3π
2 +�=
−sin�(sin�+cos�)2
−sin�−cos�
= sin2�+ sin�cos�
=
sin2�+sin�cos�
sin2�+cos2�=
tan2�+tan�
tan2�+1 =
(−3)2−3
(−3)2+1 =
3
5．
故选：C．
24．（2026·山东·模拟预测）若tan�=−3，则
cos
π
2+�
1+sin2�
sin π+�+sin
3π
2 +�=（
）
A．−
6
5
B．−
3
5
C．
3
5
D．
6
5
【答案】C
【解题思路】结合诱导公式、二倍角公式及同角三角函数的基本关系化简，再代值计算即可求解.
【解答过程】
cos
π
2+�
1+sin2�
sin π+�+sin
3π
2 +�=
−sin�sin�+cos�2
−sin�−cos�
= sin2�+ sin�cos�
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=
sin2�+sin�cos�
sin2�+cos2�=
tan2�+tan�
tan2�+1 =
−3 2−3
−3 2+1 =
3
5.
故选：C.
一、单选题
1．（2026·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知sin�> 0，tan�=
5
12，则
sin�+1
cos�−2 =（
）
A．
2
13
B．−
2
13
C．
9
7
D．−
9
7
【答案】D
【解题思路】根据同角三角函数基本关系列方程，解方程得到sin�，cos�，然后代入计算即可.
【解答过程】由题意得
sin�
cos�=
5
12
sin2�+ cos2�= 1
sin�> 0
，解得sin�=
5
13，cos�=
12
13，
所以
sin�+1
cos�−2 =
5
13+1
12
13−2 =−
9
7.
故选：D.
2．（2026·福建莆田·二模）已知sin
π
3 −�=
1
4，则cos
π
6 + �=（
）
A．
15
4
B．−
1
4
C．
1
4
D．−
15
4
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的诱导公式化简即可.
【解答过程】cos
π
6 + �= cos
π
2 −
π
3 −�
= sin
π
3 −�=
1
4.
故选：C.
3．（2026·吉林长春·模拟预测）已知tan�=−3，则
sin�−sin3�
sin
π
2+�
=（
）
A．
3
5
B．−
3
5
C．
3
10
D．−
3
10
【答案】D
【解题思路】利用诱导公式及sin2�+ cos2�= 1、弦化切，把所给式子化简，将tan�=−3 代入可得答案.
【解答过程】
sin�−sin3�
sin
π
2+�
=
sin�1−sin2�
cos�
= tan�cos2�=
tan�cos2�
sin2�+cos2�=
tan�
tan2�+1 =−
3
10.
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故选：D.
4．（2026·内蒙古赤峰·一模）已知锐角�满足sin�−cos�=
1
5，则tan�的值为（
）
A．
3
4
B．
4
3
C．
5
5
D．5
【答案】B
【解题思路】结合已知条件和sin2�+ cos2�= 1 求出sin�+ cos�，从而联立方程可求出sin�,cos�，再根据
tan�=
sin�
cos�即可求得答案.
【解答过程】由题意，sin�−cos�=
1
5①，
则(sin�−cos�)2 =
1
25，又sin2�+ cos2�= 1，
所以2sin�cos�=
24
25，
所以(sin�+ cos�)2 = 1 +
24
25 =
49
25，
因为�为锐角，所以sin�+ cos�> 0，所以sin�+ cos�=
7
5②，
由①和②联立可解得sin�=
4
5 ,cos�=
3
5，
所以tan�=
sin�
cos�=
4
3.
故选：B.
5．（25-26 高三上·山西运城·期末）已知角�的始边为x 轴非负半轴，终边经过点2, −1 ，则
sin�+cos�
sin�−cos�=（
）
A．3
B．
1
3
C．−
1
3
D．−3
【答案】C
【解题思路】根据三角函数的定义，求得tan�的值，再利用同角三角函数的基本关系化弦为切，代入即可求
解.
【解答过程】由三角函数的定义可得tan�=−
1
2，
所以
sin �+cos �
sin �−cos �=
tan�+1
tan�−1 =
−1
2+1
−1
2−1 =−
1
3.
故选：C.
6．（2026·新疆喀什·二模）已知tan( −π −�) =
1
2，cos�< 0，则sin�=（
）
A．−
5
5
B．
2 5
5
C．
5
5
D．−
2 5
5
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【答案】C
【解题思路】利用诱导公式化简已知条件求得tan�的值，再根据同角三角函数基本关系式即可求解.
【解答过程】∵tan( −π −�) =
1
2，∴−tan(π + �) =
1
2，
∴−tan�=
1
2，∴tan�=−
1
2，
∴
sin�
cos�=−
1
2，即cos�=−2sin�，
又sin2�+ cos2�= 1，∴sin2�+ ( −2sin�)2 = 1，∴sin2�=
1
5，
∵cos�< 0，∴−2sin�< 0，∴sin�> 0，
∴sin�=
5
5 .
故选：C.
7．（2026·广东肇庆·二模）已知�是锐角，3sin�+ 2 2cos�=
11，则sin�=（
）
A．
77
11
B．
33
11
C．
55
11
D．
11
11
【答案】B
【解题思路】由3sin�+ 2 2cos�=
11联立sin2�+ cos2�= 1 可得.
【解答过程】由3sin�+ 2 2cos�=
11得cos�=
11
2 2 −
3
2 2 sin�，
由sin2�+ cos2�= 1 得sin2�+
11
2 2 −
3
2 2 sin�
2
= 1，
化简得
11sin�−
3
2 = 0，得sin�=
33
11
故选：B.
8．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知�为第二象限角，且tan �−π = �，则sin�=（
）
A．
−�
�2+1
B．
�
�2+1
C．
−1
�2+1
D．
1
�2+1
【答案】A
【解题思路】利用诱导公式可得tan�= �，根据同角三角关系运算求解即可.
【解答过程】因为tan �−π = tan�= �，则
sin�
cos�= �，即sin�= �cos�
且sin2�+ cos2�= 1，即�2cos2�+ cos2�= 1，可得cos2�=
1
�2+1，
且�为第二象限角，则cos�< 0, sin�> 0, �< 0，
可得cos�=
−1
�2+1，sin�=
−�
�2+1.
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故选：A.
二、填空题
9．（2026·上海徐汇·三模）已知sin�=
3
5，且�∈
π
2 ,π ，则tan
π
2 + �=____________．
【答案】
4
3
【解题思路】先结合α的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求出cos�，再通过诱导公式化简所求式后
代入数值计算.
【解答过程】因为�∈
�
2 , �，所以cos�< 0，由同角三角函数的平方关系sin2�+ cos2�= 1，
代入sin�=
3
5可得cos�=−
1 −sin2�=−
1 −
3
5
2
=−
16
25 =−
4
5，
tan
�
2 + �=
sin
�
2+�
cos
�
2+�=
cos�
−sin�=
−4
5
−3
5
=
4
3.
故答案为：
4
3.
10．（2026·辽宁·二模）已知tan2�−sin2�= 2，则tan2�sin2�=____________.
【答案】2
【解题思路】根据题意结合同角三角关系可得tan2�−sin2�= tan2�sin2�，即可得结果.
【解答过程】因为tan2�−sin2�=
sin2�
cos2�−sin2�= sin2�
1−cos2�
cos2�
= sin2�
sin2�
cos2�= tan2�sin2�，
所以tan2�sin2�= 2,
故答案为：2.
11．（2026·甘肃白银·二模）已知角�的顶点与坐标原点重合，始边与�轴非负半轴重合，终边经过点(4, −3)，
则tan
5π
2 + �=____________.
【答案】
4
3
【解题思路】根据三角函数定义计算角�的正切值，再用诱导公式求解即可.
【解答过程】由正切函数的定义可知tan�=−
3
4，
再利用诱导公式知tan
5π
2 + �= tan
π
2 + �=
sin
π
2+�
cos
π
2+�=−
cos�
sin�=−
1
tan�=
4
3.
故答案为：
4
3.
12．（2026·湖北咸宁·模拟预测）已知�∈
3π
4 ,π ,sin�−cos�=
7
2 ，则sin3�+ cos3�=____________.
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【答案】−
11
16
【解题思路】先通过已知条件sin�−cos�=
7
2 求出sin�cos�的值，再利用立方和公式sin3�+ cos3�= (sin�+
cos�)(sin2�−sin�cos�+ cos2�)，结合sin2�+ cos2�= 1 进行计算.
【解答过程】由sin�−cos�=
7
2 两边平方，得sin2�+ cos2�−2sin�cos�=
7
4，
∴sin�cos�=−3
8 , (sin�+ cos�)2 = 1
4 ,
而sin�+ cos�=
2sin �+
π
4 , �+
π
4 ∈π,
5
4 π , ∴sin �+
π
4 < 0, ∴sin�+ cos�=−
1
2，
∴sin3�+ cos3�= sin�+ cos�
sin2�−sin�cos�+ cos2�=−
1
2 × 1 −−
3
8
=−
11
16.
故答案为：−
11
16.
一、单选题
1．（2026·海南海口·模拟预测）已知cos 30∘+ �=
1
3，且0∘< �< 90∘，则tan 30∘+ �sin2 60∘−�−
cos 150∘−�=（
）
A．
3+ 2
9
B．
3+2 2
9
C．
3−2
9
D．
3−2 2
9
【答案】B
【解题思路】先根据�的范围，求sin 30∘+ �，再利用诱导公式化简sin 60∘−�、cos 150∘−�，即可求
得.
【解答过程】因0∘< �< 90∘，则30∘< 30∘+ �< 120∘，
因cos 30∘+ �=
1
3，则sin 30∘+ �=
2 2
3 ，
因sin 60∘−�= sin 90∘−30∘+ �
= cos 30∘+ �，
cos 150∘−�= cos 180∘−30∘+ �
=−cos 30∘+ �，
则tan 30∘+ �sin2 60∘−�−cos 150∘−�
= tan 30∘+ �cos2 30∘+ �+ cos 30∘+ �
= sin 30∘+ �cos 30∘+ �+ cos 30∘+ �
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= 2 2
3
× 1
3 + 1
3 = 2 2 + 3
9
故选：B.
2．（2026·广东汕头·模拟预测）设
1+sin�
cos�=
22
7 ，则
1+cos�
sin�=（
）
A．
3
2
B．
3 2
2
C．
29
15
D．
31 3
17
【答案】C
【解题思路】依题意可得cos�=
7 1+sin�
22
cos�≠0 ，根据平方关系求出sin�，即可求出cos�，再代入计算
可得.
【解答过程】因为
1+sin�
cos�=
22
7 ，显然cos�≠0，则cos�=
7 1+sin�
22
，
又sin2�+ cos2�= 1，所以sin2�+
49 1+sin�2
484
= 1，
即533sin2�+ 98sin�−435 = 0，解得sin�=−1 或sin�=
435
533；
当sin�=−1 时cos�= 0，不符合题意；
所以sin�=
435
533，则cos�=
7 1+435
533
22
=
308
533，
所以
1+cos�
sin�
=
1+308
533
435
533
=
29
15.
故选：C.
3．（2026·湖北黄冈·二模）已知sin�+ cos�=
1
5 , �∈0,π ，则sin3�−cos3�的值为（
）
A．
133
125
B．
117
125
C．
91
125
D．
61
125
【答案】C
【解题思路】先根据已知条件求出sin�与cos�的和、差、积，再利用立方差公式来计算sin3�−cos3�的值．
【解答过程】已知sin�+ cos�=
1
5，将等式两边同时平方可得(sin�+ cos�)2 = (
1
5 )2．
根据完全平方公式展开得sin2�+ 2sin�cos�+ cos2�=
1
25．
因为sin2�+ cos2�= 1，所以1 + 2sin�cos�=
1
25，移项可得2sin�cos�=
1
25 −1 =−
24
25，则sin�cos�=−
12
25．
因为�∈(0, π)，且sin�cos�=−
12
25 <0，所以sin�与cos�异号，又因为在(0, π)上sin�>0，所以cos�<0．
(sin�−cos�)2 = sin2�−2sin�cos�+ cos2�，由于sin2�+ cos2�= 1，sin�cos�=−
12
25，则(sin�−cos�)2 =
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1 −2 × ( −
12
25 ) = 1 +
24
25 =
49
25．
因为sin�>0，cos�<0，所以sin�−cos�>0，那么sin�−cos�=
49
25 =
7
5．
根据立方差公式sin3�−cos3�= (sin�−cos�)(sin2�+ sin�cos�+ cos2�)．
因为sin2�+ cos2�= 1，sin�cos�=−
12
25，sin�−cos�=
7
5，所以sin3�−cos3�=
7
5 × (1 −
12
25 ) =
7
5 ×
13
25 =
91
125．
sin3�−cos3�的值为
91
125．
故选：C．
4．（2026·河北·模拟预测）已知
�
sin236°+2025 +
�
sin236°−2024 = 1,
�
sin254°+2025 +
�
sin254°−2024 = 1，则�+ �=（
）
A．−1
B．1
C．−2
D．2
【答案】D
【解题思路】利用题目中角度之间的关系将方程变形，再利用消元法用�来表示�和�的值，化简可求得�+ �
的值.
【解答过程】∵sin54° = cos36°，sin236° + cos236° = 1，
∴sin254° = cos236° = 1 −sin236°，
设�= sin236°，则sin254° = 1 −�，
∴原方程组可表示为
�
�+2025 +
�
�−2024 = 1
�
1−�+2025 +
�
1−�−2024 = 1 ，即
�
�+2025 +
�
�−2024 = 1①
�
2026−�−
�
2023+�= 1②，
由①得�= 1 −
�
�−2024
�+ 2025 ，由②得�= 1 +
�
�+2023
2026 −�，
两式联立得，�=
2023+�
�−2024
4049
，
将�的值代入�= 1 −
�
�−2024
�+ 2025 中得，�=
2026−�
�+2025
4049
，
则�+ �=
2023+�
�−2024
4049
+
2026−�
�+2025
4049
=
8098
4049 = 2.
故选：D.
二、解答题
5．（25-26 高一下·广西钦州·期末）已知cos�=−
4
5，且�∈
π
2 ,π .
(1)求
sin 2π+�−2cos 3π−�
sin
π
2+�−sin π−�+cos −�的值；
(2)已知�∈0,
π
2 ，且sin �+ �=
5
13，求sin�的值.
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【答案】(1)
5
11
(2)
16
65
【解题思路】（1）利用平方关系求出sin�，再利用诱导公式化简求值即可；
（2）利用平方关系求出cos �+ �，将�表示为�+ �−�，再利用差角的正弦公式计算即可.
【解答过程】（1）因为cos�=−
4
5，且�∈
π
2 ,π ，所以sin�=
1 −cos2�=
3
5，
所以
sin 2π+�−2cos 3π−�
sin
π
2+�−sin π−�+cos −�
=
sin�−2 −cos�
cos�−sin�+cos�=
sin�+2cos�
2cos�−sin�=
3
5−8
5
−8
5−3
5
=
5
11；
（2）因为�∈
π
2 ,π ，�∈0,
π
2 ，所以
π
2 < �+ �<
3π
2 ，
又sin �+ �=
5
13，所以cos �+ �=−
1 −sin2 �+ �=−
12
13，
由（1）知，sin�=
3
5，cos�=−
4
5，
所以sin�= sin �+ �−�= sin �+ �cos�−cos �+ �sin�
=
5
13 × −
4
5 −−
12
13 ×
3
5 =
16
65.
6．（25-26 高一下·内蒙古包头·阶段检测）求证：
(1)
1+sin4�−cos4�
1+sin4�+cos4�=
2tan�
1−tan2�.
(2)
2 cos�−sin�
1+sin�+cos�=
cos�
1+sin�−
sin�
1+cos�.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解题思路】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明；
（2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明.
【解答过程】（1）证明：左边=
sin4�+(1−cos4�)
sin4�+(1+cos4�) =
2sin2�cos2�+2sin22�
2sin2�cos2�+2cos22�=
2sin2�(cos2�+sin2�)
2cos2�(sin2�+cos2�) =
sin2�
cos2�= tan2�=
2tan�
1−tan2�=
右边.
（2）证明：右边=
cos�1+cos�−sin�1+sin�
1+sin�
1+cos�
=
cos�+cos2�−sin�−sin2�
1+sin�+cos�+sin�cos�=
cos�−sin�
cos�+sin�+1
1
2(sin�+cos�)2+1
2+sin�+cos�
=
2 cos�−sin�
cos�+sin�+1
(sin�+cos�)2+1+2 sin�+cos�=
2 cos�−sin�
cos�+sin�+1
(sin�+cos�+1)2
=
2 cos�−sin�
sin�+cos�+1 =左边.
7．（25-26 高一下·贵州遵义·期中）计算：
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(1)已知�为第二象限角，tan�=−2，求sin�，cos�；
(2)已知
2sin�−3cos�
cos�
= 1，
（i）求
sin�−cos�
2sin�+cos�的值；
（ii）求sin2�+ sin�cos�2的值.
【答案】(1)sin�=
2 5
5 ，cos�=−
5
5
(2)（i）
1
5；（ii）
24
25
【解题思路】（1）利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解即可；
（2）（i）利用同角商数关系可求得tan�，再利用齐次式可求值；（ii）利用sin2�+ cos2�= 1，结合齐次式
即可求值.
【解答过程】（1）由�为第二象限角，得sin�> 0, cos�< 0，由tan�=−2，得
sin�=−2cos�
sin2�+ cos2�= 1 ，
所以sin�=
2 5
5 ，cos�=−
5
5
（2）由
2sin�−3cos�
cos�
= 1，得2tan�−3 = 1，解得tan�= 2.
（i）
sin�−cos�
2sin�+cos�=
sin�−cos�÷cos�
2sin�+cos�÷cos�=
tan�−1
2tan�+1 =
2−1
2×2+1 =
1
5；
（ii）sin2�+ sin�cos�2 = sin2�1 + cos2�=
sin2�
sin2�+cos2�1 +
cos2�
sin2�+cos2�
=
tan2�
tan2�+1 1 +
1
tan2�+1 =
22
22+1 1 +
1
22+1 =
4
5 1 +
1
5 =
24
25.
8．（25-26 高一下·甘肃酒泉·期中）已知函数��=
sin 2π−�cos π+�tan 2π−�
sin
9π
2 +�sin �−π
．
(1)化简��；
(2)若��=−2，且�∈0,π ，求sin�cos�及sin�−cos�的值．
【答案】(1)��= tan�；
(2)sin�cos�=−
2
5，sin�−cos�=
3 5
5
【解题思路】（1）利用诱导公式化简整理，即可求得答案.
（2）利用（1）的结果和同角三角函数的基本关系联立解方程组即可得出结果.
【解答过程】（1）��=
sin 2π−�cos π+�tan 2π−�
sin
9π
2 +�sin �−π
=
−sin�
−cos�
−tan�
cos�−sin�
= tan�．
（2）因为��=−2，所以tan�=−2，
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所以sin�cos�=
sin�cos�
sin2�+cos2�=
tan�
tan2�+1 =
−2
−2 2+1 =−
2
5．
所以sin�−cos�2 = sin2�+ cos2�−2sin�cos�= 1 −2 × −
2
5 =
9
5．
因为sin�cos�=−
2
5 , �∈0,π ，所以�∈
π
2 ,π ，所以sin�> 0,cos�< 0，即sin�−cos�> 0．
所以sin�−cos�=
3 5
5 ．
一、单选题
1．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合�= sin
7π
6 , cos
5π
3 , tan
5π
4 ，�= −
3
2 , −
1
2 , 1 ，则�∩�=（
）
A．−
3
2 , −
1
2
B．−
3
2 , 1
C．−
1
2 , 1
D．−
3
2 , −
1
2 , 1
【答案】C
【解题思路】利用诱导公式得到集合�= −
1
2 ,
1
2 , 1 ，再根据交集运算，即可得到答案.
【解答过程】因为sin
7π
6 = sin π +
π
6 =−sin
π
6 =−
1
2，cos
5π
3 = cos 2π −
π
3 = cos
π
3 =
1
2，tan
5π
4 = tan π +
π
4 =
tan
π
4 = 1，
即集合�= −
1
2 ,
1
2 , 1 ，且集合�= −
3
2 , −
1
2 , 1 ，所以�∩�= −
1
2 , 1 .
故选：C.
2．（2025·全国二卷·高考真题）已知0 < �< �，cos
�
2 =
5
5 ，则sin �−
�
4 =（
）
A．
2
10
B．
2
5
C．
3 2
10
D．
7 2
10
【答案】D
【解题思路】利用二倍角余弦公式得cos�=−
3
5，则sin�=
4
5，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案.
【解答过程】cos�= 2cos2 �
2 −1 = 2 ×
5
5
2
−1 =−
3
5，
因为0 < �< �，则
�
2 < �< �，则sin�=
1 −cos2�=
1 −−
3
5
2
=
4
5，
则sin �−
�
4 = sin�cos
�
4 −cos�sin
�
4 =
4
5 ×
2
2 −−
3
5 ×
2
2 =
7 2
10 .
故选：D.
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知cos(�+ �) = �, tan�tan�= 2，则cos(�−�) =（
）
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A．−3�
B．−
�
3
C．
�
3
D．3�
【答案】A
【解题思路】根据两角和的余弦可求cos�cos�, sin�sin�的关系，结合tan�tan�的值可求前者，故可求cos �−
�的值.
【解答过程】因为cos �+ �= �，所以cos�cos�−sin�sin�= �，
而tan�tan�= 2，所以sin�sin�= 2cos�cos�，
故cos�cos�−2cos�cos�= �即cos�cos�=−�，
从而sin�sin�=−2�，故cos �−�=−3�，
故选：A.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知
cos�
cos�−sin�=
3，则tan �+
π
4 =（
）
A．2 3 + 1
B．2 3 −1
C．
3
2
D．1 −
3
【答案】B
【解题思路】先将
cos�
cos�−sin�弦化切求得tan�，再根据两角和的正切公式即可求解.
【解答过程】因为
cos�
cos�−sin�=
3，
所以
1
1−tan�=
3，⇒tan�= 1 −
3
3 ，
所以tan �+
�
4 =
tan�+1
1−tan�= 2 3 −1，
故选：B.
二、填空题
5．（2026·天津·高考真题）在△���中，��= 4，��= 3，cos�=−
1
4，则sin�=__________．
【答案】
3 15
16
【解题思路】利用同角三角函数关系得到sin�=
1 −cos2�=
1 −
1
16 =
15
4 ，再利用正弦定理即可得解.
【解答过程】在△���中，cos�=−
1
4，所以sin�=
1 −cos2�=
1 −
1
16 =
15
4 ，
由正弦定理可得sin�=
��⋅sin�
��
=
3× 15
4
4
=
3 15
16 .
故答案为：
3 15
16 .
6．（2025·北京·高考真题）已知�, �∈[0,2π]，且sin(�+ �) = sin(�−�)，cos(�+ �) ≠cos(�−�).写出满
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足条件的一组�, �的值�=________，�=_________．
【答案】
π
2；
π
6（答案不唯一）
【解题思路】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.
【解答过程】因为sin �+ �= sin �−�，cos �+ �≠cos �−�，
所以�+ �, �−�的终边关于�轴对称，且不与�轴重合，
故�+ �+ �−�= π + 2�π, �∈Z 且�+ �≠
π
2 + �π, �∈Z，
即�=
π
2 + �π, �∈Z，
故取�=
π
2 , �=
π
6可满足题设要求；
故答案为：
π
2；
π
6（答案不唯一）.
7．（2025·上海·高考真题）已知tan�= 1，则cos �+
π
4 =__________．
【答案】0
【解题思路】利用同角三角函数关系和余弦的两角和公式求解即可.
【解答过程】由tan�=
sin�
cos�= 1 可得sin�= cos�，
所以cos �+
π
4 = cos�cos
π
4 −sin�sin
π
4 =
2
2
cos�−sin�= 0，
故答案为：0.
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