文档文本内容
数列通项：
1
n
n
S
S -
-
法、累加法、累乘法、构造法专项训练
1．（24-25 高二下·浙江温州·期末）数列
na
的前n 项和
2
3
n
S
n
n
=
+
，则
7a = （
）
A．140
B．120
C．40
D．50
2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
2
n
n
a
S
+ =
+
，则
na = （ ）
A．
1
2 3n-
´
B．
1
3
2n-
´
C．3n
D．2n
3．（24-25 高二下·广西桂林·期末）设数列
na
的前n 项和为
n
S ．若
1
1
a = ，
1
2
1
n
n
a
S
+ =
+ ，则
6
S =（ ）
A．61
B．121
C．125
D．364
4．（24-25 高二下·甘肃甘南·期末）设
n
S 是数列
na
的前n 项和，若
2
n
n
S
a
n
=
+
，则
10
a
= （ ）
A．1023
-
B．100
-
C．513
D．2036
5．（24-25 高二下·江西南昌·期末）记数列{
}
na
的前n 项和为
n
S ，且
2
*
n
S
n
n n
=
+
ÎN
，则下列选项错误的是
（ ）
A．
2
4
a =
B．数列{
}
n
n
S
a
是公差为1 的等差数列
C．数列{2 }
n
a
是公比为4 的等比数列
D．数列{( 1)
}
n
na
-
的前2025 项和为2026
-
考点一
法求数列通项
1
n
n
S
S -
-
6．（24-25 高二下·陕西渭南·期末·多选）数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
2
7
n
S
n
n
= -
+
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
na
是递增数列
B．
10
12
= -
a
C．当
4
n >
时，
0
na <
D．当
5
n =
时，
n
S 取得最大值
7．（24-25 高二下·江西新余·期末·多选）已知等比数列
na
的前n 项和为
n
S 满足
1
2n
n
S
m
+
=
+
，数列
nb
满足
3
2
1
2
3
n
b
b
b
b
n
n
+
+
+
+
=
L
，则下列说法正确的是（ ）
A．
2
m = -
B．设
2
*
36
( )
,
N
n
n
a
f n
n
a
+
=
Î
，则
( )
f n 的最小值为12
C．若
2
0
n
n
ta
b
-
+
>
对任意的
*
nÎN 恒成立，则
1
8
t >
D．设
1
1
n
n
n
n
n
a
b
c
b b +
-
=
，若数列
nc
的前n 项和为
nT ，则
58
63
2
2
T
=
-
8．（2025·宁夏银川·模拟预测）已知数列
na
满足
1
1
2
2
2
2
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则数列
na
的通项公式为
.
9．（24-25 高二下·广东深圳·期末）已知数列
na
满足
1
1
2
3
3
3
n
n
n
a
a
a
n
-
+
+
+
=
×
L
，则
2025
a
=
．
10．（24-25 高三下·山西大同·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
6
a =
，
2
2
2
n
n
S
a
n
=
+
-
．
(1)求
na
的通项公式：
(2)若
1
n
n
b
a
=
，
1 2
2 3
1
n
n
n
T
b b
b b
b b +
=
+
+
+
L
，求
nT ．
11．（2025·四川成都·一模）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
2
6
a =
，且
1
2
n
n
n
S
na +
+
=
.
(1)求
1S ，
2S ，
3S ；
(2)在下列两个结论中，任选一个加以证明；（若两个都证明，以首选计分）
①
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 是等比数列；②
1
n
a
n
ì
ü
í
ý
+
î
þ 是等比数列.
(3)记
nT 为数列
n
S
的前n 项和，求
nT .
12．（24-25 高二下·甘肃张掖·期末）已知数列
na
的前n 项和
n
S 满足
1 1
2
n
n
S
a
=
-
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
n
b
a
+
=
，求数列
nb
的前n 项和
nT .
13．（24-25 高二下·广东汕尾·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且满足
1
0
a =
，
1
2
n
n
a
S
n
+ +
=
，n
*
ÎN ．
(1)分别求出数列
na
中的
3a ，
4a ，
5a 的值；
(2)求数列
na
的通项公式．
14．（2025·宁夏吴忠·二模）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
2
2
n
n
a
S
=
+
．
(1)求数列
na
的通项公式．
(2)记
1
1
1
n
n
n
a
b
a +
-
=
- ，证明：
1
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
4
2
n
i
n
n
i
n
n
b
+
+
=
-
+
<
<
-
+
å
．
(3)记
2
3
2
n
n
c
a
=
+
（
*
nÎN ），证明：
1
4
7
n
i
i
c
=
<
å
．
15．（24-25 高二下·河北秦皇岛·期末）已知数列
na
的前n 项和
2
2
n
n
n
S
+
=
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
2
1
1
3
1
n
n
n
n
a b
a b
a b
-
+
+
+
=
-
L
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
1．（24-25 高二下·山东德州·期中）已知数列
na
满足
1
2
0,
1
a
a
=
= ，若数列
1
n
n
a
a
+ -
是公比为3 的等比数列，则
2025
a
=（ ）
A．
2023
3
1
2
+
B．
2024
3
1
2
+
C．
2023 1
3
2
-
D．
2024
3
1
2
-
2．（24-25 高二下·河北·期末）在数列
na
中，
1
0
a =
，
1
1
ln 1
n
n
a
a
n
+
æ
ö
=
+
+
ç
÷
è
ø ，则
na
的通项公式为（ ）
A．
ln
na
n
=
B．
1 ln
1
na
n
n
=
-
+
C．
ln
na
n n
=
D．
ln
1
na
n
n
=
+
-
3．（24-25 高二下·安徽·期中）已知数列
na
满足
1
10
a =
，
1
2
n
n
a
a
n
+ -
=
，则
na
n 的最小值为（ ）
A．11
2
B．16
3
C．27
4
D．2 10
1
-
4．（24-25 高二下·辽宁·期中）若数列
na
满足
1
2
1
n
n
a
a
n
n
-
=
+
+
（
2
n ³
且
N
n
+
Î
），
1
1
2
a =
，则
2025
a
=（ ）
A．2022
2023
B．2023
2024
C．2024
2025
D．2025
2026
5．（24-25 高三下·云南丽江·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
1
lg2
lg
2
n
n
n
a
a
a
n
n
-
+
=
-
=
³
，
，则
99
a
=
（ ）
A．3
B．2
C．lg99
D．lg101
考点二
累加法求数列通项
6．（2025·江西·三模·多选）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，数列
3
na +
的前n 项积为
1
,
1
nT a = ，
1
1
2n
n
n
a
a
+
+ -
=
，则
（ ）
A．
3
12
a =
B．
1
2
3
n
na
+
=
-
C．
5
109
S =
D．
3
2
2
n n
nT
+
=
7．（2025·山东泰安·模拟预测·多选）已知数列
na
的前n 项的和
n
S ，
1
1
1
1
n
n
n
S
nS
n
n n
-
-
=
+
-
+
，
*
2,
N
n
n
³
Î
若
1
20
a =-
，则下列说法正确的是（ ）
A．
n
S
n
ì
ü
í
ý
î
þ 为等差数列
B．
3
5
a = -
C．
n
S 能取得最小值
3
39
S = -
D．当
4
n =
时，
n
n
a
S 取得最小值
8．（24-25 高二下·海南省直辖县级单位·期中）若数列
na
满足
1
1
2
1
n
n
a
a
n n
-
-
=
+
（
2
n ³
，且
*
nÎN ），
1
3
4
a =
，
则
na =
.
9．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的首项
1
3
2
a =
，且
1
1
1
2
n
n
n
a
a
+
+
-
= -
，则
na
的通项公式为
；
若不等式
1
2
3
n
a a a
a
m
××
<
×
（
N
mÎ
）恒成立，则m 的最小值为
．
10．（24-25 高二下·福建福州·期中）已知数列
na
满足：
1
1
a = ，
*
1
2n
n
n
a
a
n
+ =
+
ÎN
．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设数列
nb
的前n 项和为
n
S ，若
2
2
1
2
2
1
1
log
1 log
1
n
n
n
b
a
a
-
+
=
+
×
+
，求证：
1
2
n
S <
．
11．（24-25 高二下·广东广州·期末）已知数列
na
的首项为
1
1
a = ，且满足
*
1
1,
n
n
a
a
n
n
+ -
=
+
ÎN ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)若
1
2
3
1
1
1
1
9
5
n
a
a
a
a
+
+
+ ×××+
<
，求满足条件的最大整数n ．
12．（2025·山东枣庄·二模）在数列
na
中，
1
1
20,
2
2
n
n
n
a
a
a
+
=
=
+
-
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
2n
n
n
b
a
=
-
，求数列
nb
的前n 项和
n
S 的最大值.
13．（24-25 高二下·北京·期中）在数列
na
中，
1
2
a =
，
1
2n
n
n
a
a
+ =
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足对任意
*
N
nÎ
，
1
2
2 n
n
n
b
b
b
+
+
=
+
，且
1
3
b =
，
3
3
1
b
a
=
+ ，设其前n 项和为
n
S ．
（ⅰ）设数列
1
n
S
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，求证：
2
3
nT <
；
（ⅱ）若对任意
*
N
nÎ
，
5
n
n
b
a
l
- ≤
恒成立，写出实数l 的最小值．（结论不要求证明）
14．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知首项为1 的正项数列
na
满足
2
2
1
8
n
n
a
a
n
+ -
=
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)令
1
1
1
2
n
n
n
n
n
a
a
b
a
a
+
+
æ
ö
=
+
ç
÷
è
ø
（
*
nÎN ），求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
15．（24-25 高二下·辽宁辽阳·期末）在数列
na
中，
1
1
3,
2
3
n
n
a
a
a
n
+
=
-
=
+ ．
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
1
n
n
b
a
=
，求数列
nb
的前n 项和
n
S ．
1．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知
n
S 为数列
na
的前n 项和，若
2
1
S = ，2
n
n
S
na
=
，则
25
a 的值为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
2．（23-24 高二下·山西晋城·阶段练习）已知数列
na
满足，
1
1
a = ，
1
(2
2)
n
n
na
n
a
+ =
+
，则
100
2
3
4
100
a
a
a
a
a
=
+
+
+
+
L
（ ）
A．50
101
B．51
101
C．50
99
D．51
99
3．（24-25 高二下·河南南阳·期中）在数列
na
中，
1
1
1
1,
n
n
n
a
a
a
n
+
+
=
=
，则
1
2
100
a
a
a
+
+
+
=
L
（ ）
A．5050
-
B．2025
-
C．2025
D．5050
4．（2025·江西·模拟预测）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，已知
1
1,
n
n
a
a
nS
=
=
，则
2025
2024!a
= （ ）
A．2024
B．2025
C．2024
-
D．2025
-
5．（24-25 高二下·辽宁·期中·多选）已知数列
na
满足
1
6
a =
，
1
3
n
n
n
a
a
n
+
+
=
，则（ ）
A．
*
N
n
" Î
，
3
1
na
n
<
+
B．
*
N
n
" Î
，
2025
na ¹
C．
*
N
n
$ Î
，
na 为完全立方数
D．
*
N
n
" Î
，数列
na
的前n 项和
1
2
3
4
n
n n
n
n
S
+
+
+
=
6．（24-25 高二下·辽宁·期中·多选）已知数列
na
满足
1
1
2
a =
，
*
1
2
1
N
n
n
na
n
a
n
+
=
+
Î
，则（ ）
A．
na
是递减数列
B．
2
n
n
n
a =
C．当
2
1
2
n
n
n a
ì
ü
-
í
î ×
ý
þ
的前n 项和取得最小值时，
6
n =
D．对任意
*
N
nÎ
，不等式
1
1
n
n
n
ma
a +
-
，则
1
1
4
3
m
-
考点三
累乘法求数列通项
7．（24-25 高二下·四川广安·阶段练习）数列
na
中，若
1
2
a =
,
1
1
n
n
n
a
a
n
+ =
+
，则
2025
2024a
= .
8．（2025·四川德阳·二模）数列
na
中，满足
1
1
a = ，
*
1
2
n
n
na
a
n
n
+ =
Î
+
N
，则
1
2
2025
a
a
a
+
+
+
L
．
9．（24-25 高三上·山东日照·开学考试）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
n
n
a
n
a
n
+
+
=
.
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
2
4
n
n
n
b
a
a +
=
×
，求数列
nb
的前n 项和
n
S .
10．（23-24 高三上·贵州安顺·期末）记
n
S 为数列
na
的前n 项和，已知
1
1
a = ，且
*
n
" ÎN ，
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
a a
a S
a
S
+
+
+
-
=
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)设
2
1
1
n
n
n
n
n
b
a a +
+
+
=
，
nb
的前n 项和为
nT ，求
nT 的最小值.
11．（23-24 高二下·江西抚州·期末）已知数列
na
的首项
1
2
a =
，且
1
1
0
2
n
n
n
a
na
n
-
+
-
=
³
.
(1)求数列
na
的通项公式：
(2)若数列
2
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
nT ，证明：
1
nT < .
12．（24-25 高二下·湖北荆州·开学考试）已知数列
na
，其前n 项和为
1
,
2,3
(
2)
n
n
n
S
a
S
n
a
=
=
+
．
(1)求
na
的通项公式；
(2)若
1
n
n
b
a
n
=
+
，求数列
nb
的前n 项和
nT ．
1．（24-25 高二下·四川凉山·期中）已知数列
na
满足
1
4
a =
，且
1
2
3
n
n
a
a
+ =
- ，则
211
a
=（ ）
A．
210
2
3
-
B．
211
2
3
+
C．
210
2
3
+
D．
211
2
1
+
2．（24-25 高二下·广西防城港·阶段练习）已知数列
na
满足
1
1
3
4,
7
n
n
a
a
a
+ =
+
=
，则
211
a
=（ ）
A．
211
3
1
-
B．
212
3
1
-
C．
211
3
2
-
D．
212
3
2
-
3．（24-25 高二下·山西晋中·阶段练习）若数列
na
的首项
1
1
a = ，且满足
1
2
1
n
n
a
a
+ =
+ ，则数列
na
的通项公式为
（ ）
A．
2
1
n
na =
-
B．
1
2
1
n
na
-
=
-
C．
1
2
1
n
na
+
=
-
D．
2
2
n
n
a =
-
4．（24-25 高二下·浙江·期中）设数列
na
的前n 项和为
n
S ，
2
2n
n
n
S
a
=
-
，则（ ）
A．
8
9
5
4
a
a
>
B．
8
9
5
4
a
a
<
C．
8
9
5
4
S
a
>
D．
8
9
5
4
S
a
<
5．（2025·天津河北·二模）设
n
S 数列
na
的前n 项和，若
3
2
n
n
S
a
n
+
=
+
，则
10
S
= （ ）
A．3059
B．2056
C．1033
D．520
6．（24-25 高二下·河南南阳·期中）已知数列
na
中，
1
2
a =
，且
1
2
2
n
n
n
a
a
a
+ =
+
，则
na =
．
考点四
构造法求数列通项
7．（2025·山东泰安·模拟预测）数列
na
满足
1
2
1
n
n
a
a
+ -
= ， 且
1
1
a = ，
na
的前n 项和为
n
S ，则满足不等式
100
+
<
n
S
n
的n 的最大值是
.
8．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
na
的前n 项和为
n
S ，且
1
1
2
2n
n
n
S
S
+
+ =
+
．若
2
30
n
S
n
n
>
+
，则n 的
最小值为
．
9．（2024·福建福州·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
2
a =
，
1
π
π
2
3cos(
)
3
6
n
n
n
a
a
+ =
-
-
．
(1)证明：数列
π
{
cos
}
3
n
n
a -
为常数列；
(2)求数列
n
na
的前2024 项和．
10．（24-25 高二下·辽宁大连·期中）已知数列
na
满足
1
2
a =
，
1
1
2
3 2n
n
n
a
a
+
+ =
+ ×
(1)求数列
na
的通项公式；
(2)设
(
1)
3
2
n
n
n
a
b
n
+
=
-
，记数列
nb
的前n 项和为
n
S ．
①求
n
S ；
②若
*
n
" ÎN ，
1
3n
n
S
m
+
<
×
成立，求m 的取值范围．
11．（2025·云南昆明·模拟预测）设
n
S 为数列
na
的前n 项和，当
2
n ³
时，
2
1
1
5
8
4
n
n
n
n
S
S
S
S
+
+
-
=
-
+
，已知
1
1
a = ，
2
4
a =
，
3
12
a =
．
(1)证明：数列
1
2
n
n
a
a
+ -
为等比数列；
(2)求数列
na
的通项公式；
(3)求
n
S ．
12．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，若
2
2
a = ，
*
2
(
1)
2,
N
n
n
S
n
a
n
n
=
+
³
Î
.
(1)求
na ；
(2)记
1
n
n
b
S
=
，数列
nb
的前n 项和
nT ，证明：1
2
nT
<
.
13．（24-25 高二下·河南南阳·期末）数列
na
满足
1
1
2
a =
，
1
3
1
n
n
n
a
a
a
+ =
+ .正项等比数列
nb
满足
1
2
b =
，
3
2
4
b
b
=
+
.
(1)证明数列
1
na
ì
ü
í
ý
î
þ
为等差数列，并求数列
na
的通项公式；
(2)令
n
n
n
b
c
a
=
，求数列
nc
的前n 项和
n
S .
14．（24-25 高二下·重庆·期末）已知数列
na
的前n 项和为
n
S ，满足
1
1
a = ，
3
6
S =
且
2
1
3
n
n
n
n
S
S
a
a
n
*
+
+
-
=
-
ÎN
.
(1)求
na
的通项公式；
(2)若数列
nb
满足
1
1
11
b = -
，
1
1
1
1
13
n
n
n
n
b
b
a a
+
+
-
=
.求
nb
的前13 项和.
15．（2025·山西·模拟预测）已知数列
na
中，
1
1
a = ，
*
1
(
)
2
n
n
n
a
a
n
a
+ =
Î
+
N
.
(1)求
na ；
(2)数列
nb
满足
2
1
n
n
n
na
b
a
=
+ ，设
nT 为数列
nb
的前n 项和，证明：
4
nT <
.
(3)设
4
2
n
n
T
c
n
-
=
+
，证明：数列
nc
中任意不同的三项都不能构成等差数列.
16．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知数列
na
满足
1
2
3n
n
n
a
a
+ -
=
，
2
13
a =
，
3n
n
n
b
a
=
-
．
(1)求
nb
的通项公式；
(2)设
n
n
a
b
ì
ü
í
ý
î
þ
的前n 项和为
n
S ，是否存在实数l ，，使得
9
4
log
n
S
n
l
ì
ü
+
+
í
ý
î
þ
是等差数列，若存在，求l ，的
值，若不存在，说明理由；
(3)记
1
1
,
2 ,
k
n
n
k
k
k n
a
c
c
k a
n
a
-
+
=
ì
= í
+
<
<
î
，
*
k ÎN ,求
1
1
1
an
i
i an
c
i
i
b
-
+
=
=
å
å
．
