圆锥曲线：双曲线的定点问题、定值问题、定直线问题、向量问题专项训练
考点目录
双曲线中的定点问题
双曲线中的定值问题
双曲线中的定直线问题
双曲线中的向量问题
1．（24-25 高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线
2
2
2
:
1
y
C x
b
-
=
0
b >
的左顶点为M ，离心率为3，
,
A B 是C 上的两
点.
(1)求C 的标准方程；
(2)若线段AB 的中点为
1 8
,
7 7
æ
ö
ç
÷
è
ø ，求直线AB 的方程；
(3)若
0
MA MB
×
=
uuur uuur
（M 不在直线AB 上），证明：直线AB 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
8
y
x -
=
(2)
1
y
x
=
+ .
(3)证明见解析
【详解】（1）因为
1
a = ，
2
2
2
e
1
1
3
c
b
b
a
a
=
=
+
=
+
= ，
所以
2
8
b =
，故C 的标准方程为
2
2
1
8
y
x -
= ·
（2）
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，根据题意易得
1
2
x
x
¹
.
因为
,
A B 是C 上的两点，所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
8
1
8
y
x
y
x
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
两式相减得
2
2
2
2
1
2
1
2
0
8
y
y
x
x
-
-
-
=
，即
1
2
1
2
1
2
1
2
8 x
x
y
y
x
x
y
y
+
-
=
-
+
考点一
双曲线中的定点问题
因为
1
2
2
7
x
x
+
=
，
1
2
16
7
y
y
+
=
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
8
1
AB
x
x
y
y
k
x
x
y
y
+
-
=
=
=
-
+
所以直线AB 的方程为
1
8
1
7
7
y
x
x
æ
ö
=
-
+
=
+
ç
÷
è
ø
经检验，此时直线AB 与双曲线C 有两个交点，满足题意，则直线AB 的方程为
1
y
x
=
+ .
（3）证明：依题意可设直线AB 的方程为x
ty
n
=
+
.
由
2
2
1
8
y
x
x
ty
n
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
，得
2
2
2
8
1
16
8
8
0
t
y
nty
n
-
+
+
-
=
则
1
2
2
16
8
1
nt
y
y
t
+
= -
- ，
2
1
2
2
8
8
8
1
n
y y
t
-
= -
-
，
0
D >
( 1,0)
M -
，由（2）知
1
1
1
1
1,
1,
MA
x
y
ty
n
y
=
+
=
+
+
uuur
，
2
2
2
2
1,
1,
MB
x
y
ty
n
y
=
+
=
+
+
uuur
因为
0
MA MB
×
=
uuur uuur
，所以
1
2
1
2
1
1
0
ty
n
ty
n
y y
+
+
+
+
+
=
即
2
2
1
2
1
2
1
1
1
0
t
y y
t n
y
y
n
+
+
+
+
+
+
=
即
2
2
2
2
2
8
8
16
1
1
1
0
8
1
8
1
n
tn
t
t n
n
t
t
-
æ
ö
+
×
+
+
-
+
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
即
2
2
2
2
2
1 8
8
16
1
8
1
1
0
t
n
t n n
t
n
+
-
-
+
+
-
+
=
，得
2
7
2
9
0
n
n
-
-
= ，解得
9
7
n =
或1
- .
当
1
n = - 时，直线
:
1
AB x
ty
=
- ，直线AB 过点
( 1,0)
M -
，不符合题意，舍去；
当
9
7
n =
时，直线
9
7
: x
t
B
y
A
=
+
，满足
0
D >
，则直线AB 过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
故直线AB 过定点9 ,0
7
æ
ö
ç
÷
è
ø
2．（24-25 高二下·广东清远·期末）已知双曲线
2
2
1
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
与椭圆
2
2
2 :
1
36
16
x
y
C
+
= 的焦点相同，且离
心率之比为3:1.
(1)求双曲线
1
C 的方程；
(2)若直线:
3
0
l x
ny
-
+
=
与双曲线
1
C 的左､右两支分别交于,
P Q 两点，记点P 关于x 轴的对称点为P¢ ，证明：直线
P Q
¢
过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)
2
2
1
4
16
x
y
-
=
(2)证明见解析，定点的坐标为
4 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø .
【详解】（1）由题知，
2
2
2
2
36 16
1
3
16
1
36
a
b
b
a
ì
+
=
-
ï
ïï
+
í
=
ï
ï
-
ïî
，化简得
2
2
2
2
20
4
a
b
b
a
ì
+
=
ïí
=
ïî
.
解得
2
4
a
b
=
ì
í =
î
，
所以双曲线
1
C 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
-
= .
（2）证明：设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
1
,
P x
y
¢
-
，
联立
2
2
1,
4
16
3
0,
x
y
x
ny
ì
-
=
ïí
ï -
+
=
î
消去x 整理得
2
2
4
1
24
20
0
n
y
ny
-
-
+
=
，
所以
1
2
1
2
2
2
24
20
,
4
1
4
1
n
y
y
y y
n
n
+
=
=
-
- ，
所以
1
2
1
2
5
6
ny y
y
y
=
+
，
又直线P Q
¢
的斜率
2
1
2
1
y
y
k
x
x
+
=
-
，
所以直线P Q
¢
的方程为
2
1
2
2
2
1
y
y
y
y
x
x
x
x
+
-
=
-
-
，
由对称性易知，若直线P Q
¢
过定点，则该定点在x 轴上，
令
0
y =
，得
1
2
2
1
1
2
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
3
3
4
3
ny
y
ny
y
x y
x y
x y
x y
x
x
y
y
y
y
y
y
-
+
-
-
+
=
+
=
=
= -
+
+
+
，
所以直线P Q
¢
过定点，且该定点的坐标为
4 ,0
3
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
3．（2025·宁夏中卫·三模）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为2，其右焦点F 到一条渐近线的距离
为
3 .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若直线l ：
0,
0
y
kx
m k
m
=
+
>
>
与双曲线C 交于不同的两点A，B，且以线段AB 为直径的圆经过点
1,0
P
，
证明：直线l 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)证明见解析
【详解】（1）因为双曲线C 的右焦点为
,0
F c
，渐近线方程为
0
bx
ay
±
=
，
所以右焦点为
,0
F c
到渐近线的距离为
2
2
3
bc
a
b
=
+
，
因为双曲线的离心率为2 ，所以
2
c
a =
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
c
a
bc
a
b
c
a
b
ì
=
ï
ïïí
=
ï
+
ï
=
+
ïî
，解得
1
3
2
a
b
c
=
ì
ï =
í
ï =
î
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= ．
（2）如图，
设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立
2
2
1
3
y
kx
m
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，得
2
2
2
3
2
3
0
k
x
kmx
m
-
-
-
-
=
，
则
2
2
2
3
0
Δ
12
3
0
k
m
k
ì -
¹
ïí
=
-
+
>
ïî
，
1
2
2
2
3
km
x
x
k
+
=
-
，
2
1
2
2
3
3
m
x
x
k
-
-
×
=
-
，
所以
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
3
3
m
k
y
y
kx
m
kx
m
k x x
km x
x
m
k
-
×
=
+
+
=
+
+
+
=
-
，
1
2
1
2
1
2
2
6
2
3
m
y
y
kx
m
kx
m
k x
x
m
k
+
=
+
+
+
=
+
+
=
-
，
因为以线段AB 为直径的圆经过点
1,0
P
，所以PA
PB
^
，
所以
1
2
1
2
1
1
0
PA PB
x
x
y y
×
=
-
-
+
=
uuur uuur
，即
1
2
1
2
1
2
1
0
x x
x
x
y y
-
+
+ +
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
3
2
3
3
1
0
3
3
3
m
km
m
k
k
k
k
-
-
-
-
+ +
=
-
-
-
，
化简得
2
2
2
0
m
km
k
-
-
=
，即
2
0
m
k
m
k
-
+
=
，
因为
0
k >
，
0
m >
，所以
2
m
k
=
，
所以直线l 的方程为
2
2
y
kx
m
kx
k
k x
=
+
=
+
=
+
，
所以直线l 过定点
2,0
-
.
4．（24-25 高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为10
3
，
,
A B 分别为其左、右顶
点，点
3 2,1 在C 上. P 为直线
2
x =
上的动点，PA 与双曲线C 的另一交点为M ，PB 与双曲线C 的另一交点为
N ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)证明：直线MN 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
9
x
y
-
=
(2) 9 0
2 ,
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）由题意得，
10
3
=
c
a
，
2
2
18
1
1
a
b
-
= ，
2
2
2
c
a
b
=
+
，
解得
2
2
2
9,
1,
10
a
b
c
=
=
=
，
故双曲线C 的方程为
2
2
1
9
x
y
-
= .
（2）由（1）知，双曲线C 的左顶点
( 3,0)
A -
，右顶点
(3,0)
B
，
设直线
2
x =
上的动点
(2, )
P
t ，
于是直线PA 的斜率
5
PA
k
t
=
，直线PA 的方程为
(
3)
5
t
y
x
=
+
，
由
2
2
(
3)
5
9
9
t
y
x
x
y
ì
=
+
ïí
ï
-
=
î
得，
2
2
2
2
(25
9
)
54
81
225
0
t
x
t x
t
-
-
-
-
=
，
2
25
0
9t
-
¹
，
设
(
,
)
M
M
M x
y
，则
2
2
81
225
3
25
9
M
t
x
t
-
-
-
=
-
，则
2
2
27
75
25
9
M
t
x
t
+
=
-
，
2
2
2
27
75
30
(
3)
3
5
5
25
9
25
9
M
M
t
t
t
t
y
x
t
t
æ
ö
+
=
+
=
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
，
故
2
2
2
27
75
30
,
25
9
25
9
t
t
M
t
t
æ
ö
+
ç
÷
-
-
è
ø
，
直线PB 的斜率
PB
k
t
= - ，直线PB 的方程为
(
3)
y
t x
= -
-
，
由
2
2
(
3)
9
9
y
t x
x
y
= -
-
ì
í
-
=
î
，得
2
2
2
2
(1 9
54
81
9
0
)
t
x
t x
t
-
+
-
-
=
，
2
1 9
0
t
-
¹
，
设
(
,
)
N
N
N x
y
，则
2
2
81
9
3
1 9
N
t
x
t
-
-
=
-
，
2
2
27
3
1 9
N
t
x
t
-
-
=
-
，
2
2
2
27
3
6
(
3)
3
1 9
1 9
N
N
t
t
y
t x
t
t
t
æ
ö
-
-
= -
-
= -
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
，
则
2
2
2
27
3
6
,
1 9
1 9
t
t
N
t
t
æ
ö
-
-
ç
÷
-
-
è
ø
，
由双曲线的对称性知，若直线MN 过定点，则定点必在x 轴上，
不妨设这个定点为
( ,0)
Q m
，
则
2
2
2
27
75
30
,
25
9
25
9
t
t
QM
m
t
t
æ
ö
+
=
-
ç
÷
-
-
è
ø
uuuur
，
2
2
2
27
3
6
,
1 9
1 9
t
t
QN
m
t
t
æ
ö
-
-
=
-
ç
÷
-
-
è
ø
uuur
，
因
//
QM QN
uuuur uuur
，则
2
2
2
2
2
2
27
75
6
27
3
30
25
9
1 9
1 9
25
9
t
t
t
t
m
m
t
t
t
t
æ
ö
æ
ö
+
-
-
-
×
=
-
×
ç
÷
ç
÷
-
-
-
-
è
ø
è
ø
，
当
0
t ¹
时，整理得
2
9
2
9
5
0
m
t
-
+
=
，解得
9
2
m =
，则直线MN 过点
9 ,0
2
Qæ
ö
ç
÷
è
ø ，
当
0
t =
时，直线MN 与x 轴重合，直线MN 也过点
9 ,0
2
Qæ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以直线MN 经过定点
9 ,0
2
Qæ
ö
ç
÷
è
ø
.
5．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线为
2
y
x
= ±
，双曲线的左顶点为
( 1,0)
P -
，直线:l y
kx
m
=
+
与双曲线C 相交于A，B（异于点P）两点．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若AB 的中点为
2,1
M
，求直线l 的方程；
(3)若以AB 为直径的圆恒过点P，试判断直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明
理由．
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x -
=
(2) 4
7
0
x
y
-
-
=
(3)过定点，定点坐标为(3,0)．
【详解】（1）双曲线
2
2
2
2
:
1
x
y
C a
b
-
= 的渐近线为
b
y
x
a
= ±
，依题意，
2
b
a =
，
而双曲线C 的左顶点为
( 1,0)
P -
，则
1,
2
a
b
=
=
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= ．
（2）由（1）知，双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x -
= ，设
1
1
2
2
(
)
A x y
B x
y
,
, (
,
)，
由
2
2
2
2
y
kx
m
x
y
=
+
ì
í
-
=
î
消去y 得，
2
2
2
(
2)
2
2)
0
(
k
x
kmx
m
-
+
+
+
=
，
2
2
2
2
2
(2
)
4(
2)(
2)
8(
2
)
0
km
m
k
m
k
D =
-
+
-
=
+
-
>
，且
2
k ¹ ±
，
1
2
2
2
2
km
x
x
k
-
+
=
-
，由
(2,1)
M
为AB 的中点，得
2
2
1
2
4
2
k
m
km
k
+
=
ìï -
í
=
ï
-
î
，解得
4,
7
k
m
=
= - ，满足
0
D >
，
所以直线l 的方程为
4
7
y
x
=
-
，即4
7
0
x
y
-
-
=
.
（3）由（2）知，
2
1
2
1
2
2
2
2
2
,
2
2
km
m
x
x
x x
k
k
-
+
+
=
=
-
-
．
1
1
2
2
(
1,
),
(
1,
)
PA
x
y
PB
x
y
=
+
=
+
uuur
uuur
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
PA PB
x
x
y y
x
x
kx
m
kx
m
×
=
+
+
+
=
+
+
+
+
+
uuur uuur
2
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
(
1)(
)
(
1)
(
1)
(
1)
(
1)
(
)
2
2
m
km
k
x x
km
x
x
m
k
km
m
k
k
=
+
-
+
+
+
+
+
+
=
+
+
+
×
+
+
-
-
2
2
2
2
2
2
3
2
(3
)(
)
k
km
m
k
m k
m
k
k
=
+
-
-
-
-
=
-
，由以AB 为直径的圆恒过点P，得
0
PA PB
×
=
uuur uuur
，
于是(3
)(
)
0
k
m k
m
+
-
=
，解得m
k
=
或
3
m
k
= -
，
当m
k
=
时，直线:
(
1)
l y
k x
=
+
过
( 1,0)
P -
，不符合题意；
当
3
m
k
= -
时，直线:
(
3)
l y
k x
=
-
过定点(3,0)，
所以直线l 过定点，该定点坐标为(3,0).
6．（2025·湖北黄冈·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
左顶点
1,0
A -
到其渐近线的距离为
3
2
.过右焦
点F 的直线分别交双曲线的左，右两支及直线
1
:
2
l x =
于
,
,
M N P 三点，过N 作平行于x 轴的直线交直线AP 于点
G，点G 满足NG
GH
=
uuur
uuur
.
(1)求C 的方程；
(2)证明：直线MH 过定点.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)证明见解析
【详解】（1）因为C 的一条渐近线方程为
0
bx
y
-
=
，
所以点A 到渐近线的距离为
2
3
2
1
b
b
，
所以
2
3
b =
，所以双曲线C 的方程是
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）由题意双曲线C 的右焦点
2,0
F
，直线PF 的斜率不为0，
故可设直线PF 的方程为
2
x
my
=
+
，
因为直线PF 与双曲线左，右两支分别交于
,
M N 两点，
所以
3
3
,
,
3
3
m
¥
¥
æ
ö
æ
ö
Î -
-
È
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，将直线PF 的方程代入
2
2
1
3
y
x -
= 中，
得到
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
，
则
1
2
2
12
3
1
m
y
y
m
+
= -
- ，
1
2
2
9
3
1
y y
m
=
- ，所以
1
2
1
2
3
4
my y
y
y
= -
+
，
直线PF 的方程
2
x
my
=
+
，又直线
1
:
2
l x =
，联立可得
1
3
( ,
)
2
2
P
m
-
，
所以直线AP 的方程为
1
1
y
x
m
= -
+
，
又直线GN 的方程是
2
y
y
=
，联立可得
2
2
1
,
G
my
y
- -
，
又NG
GH
=
uuur
uuur
，所以H 的坐标是
2
2
2
2
2
,
x
my
y
- -
-
，
所以直线MH 的方程是：
2
1
1
1
2
2
1
2
2
y
y
y
y
x
x
x
my
x
-
-
=
-
- -
-
-
令
0
y =
，由
1
1
2
x
my
=
+
，
2
2
2
x
my
=
+
，
得
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
3
2
4
4
2
4
1
y
y
y
y
my y
y
y
y
y
x
y
y
y
y
y
y
-
+
+
+
+
+
-
=
=
=
= -
-
-
-
，
所以直线MH 过定点
1,0
-
.
7．（24-25 高二下·河南南阳·期末）已知
1
2
,
F F 分别是双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点，A 是C 的右顶
点，
1
3
AF =
，且C 与椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 有相同的焦点.
(1)求C 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与C 的公共点个数为1，求k 的值；
(3)已知
,
M N 是C 上不同的两点，直线
,
AM AN 的斜率分别为
1
2
,
,
k k
A不在直线MN 上，且
1 2
3
k k =
，证明：直线MN
过定点.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)
3
±
或2
±
(3)证明见解析
【详解】（1）椭圆
2
2
1
5
x
y
+
= 的焦点为
2,0 , 2,0
-
，所以双曲线C 的焦点也为
2,0 , 2,0
-
，即
2
c =
.
因为
1
3
AF
a
c
=
+
=
，所以
1
a = ，所以
2
2
2
3
b
c
a
=
-
=
，
故双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）联立
2
2
1
1
3
y
kx
y
x
ì
=
+
ïïí
ï
-
=
ïî
，得
2
2
3
(
1)
3
0
x
kx
-
+
-
=
，即
2
2
3
2
4
0
k
x
kx
-
-
-
=
.
①当
2
3
0
k
-
=
，即
3
k = ±
时，直线l 与C 的渐近线平行，只有1 个交点；
②当
2
2
2
Δ
4
16 3
48 12
0
k
k
k
=
+
-
=
-
=
，即
2
k = ± 时，
直线l 与C 相切，只有1 个交点.
综上，当直线l 与C 的公共点个数为1 时，
3
k = ±
或2
± ；
（3）
易知
1,0
A
，如图，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
显然直线MN 不与y 轴垂直，则设MN 的方程为x
my
n
=
+
，且
1
n ¹ .
联立
2
2
1
3
x
my
n
y
x
ì =
+
ïïí
ï
-
=
ïî
，消去x 得
2
2
2
3
1
6
3
3
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
，
显然
2
2
2
6
4 3
1 3
3
0
mn
m
n
D =
-
-
-
>
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
3
3
,
3
1
3
1
6
n
y
y
y
m
y
m
m
n
-
-
+
=
=
-
-
，
因为
1
2
1
2
1
2
3
1
1
y
y
k k
x
x
=
×
=
-
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
3
1
1
3
1
1
y y
x
x
my
n
my
n
=
-
-
=
+
-
+
-
，
化简得
2
2
1
2
1
2
3
1
3
1
3(
1)
0
m
y y
m n
y
y
n
-
+
-
+
+
-
=
，即
2
2
2
2
2
2
3
1 3
3
18
1
3(
1)
0
3
1
3
1
m
n
m n n
n
m
m
-
-
-
-
+
-
=
-
-
，
又
1
n ¹ ，化简得
0
n =
，所以直线MN 过定点
0,0 .
8．（2025·广东广州·模拟预测）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，点
2,2 在C 上，A，B
为C 的左、右顶点．
(1)求C 的方程；
(2)若点M，N 在C 的右支上（M 在第一象限），直线AM，BN 分别交y 轴于P，Q 两点，且
3
OQ
OP
=
uuur
uuur
．
（ⅰ）探究：直线MN 是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由；
（ⅱ）设
1S ，
2S 分别为AMN
V
和BMN
V
的面积，求
1
2
S
S
-
的取值范围．
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x -
=
(2)（ⅰ）过定点，定点坐标
2,0 ，理由见解析；（ⅱ）
4 3,
é
+¥
ë
【详解】（1）因为离心率
5
c
e
a
=
=
，所以
2
2
5
c
a
=
，而
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
4
b
a
=
．
所以双曲线的方程为
2
2
2
2
1
4
x
y
a
a
-
= ．
将点
2,2 代入双曲线方程，得
2
2
2
4
1
4
a
a
-
= ，所以
2
2
1,
4
a
b
=
=
．
所以C 的方程为
2
2
1
4
y
x -
= ．
（2）（ⅰ）直线MN 过定点
2,0 ．
由双曲线C 的方程可知
1,0 ,
1,0
A
B
-
，设
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
．
方法一：由
3
OQ
OP
=
uuur
uuur
，可设
0,
,
0,3
P
t
Q
t ，则直线
(
AM 即
)
AP 的方程为
1
y
t x
=
+
．
联立
2
2
1,
4
1 ,
y
x
y
t x
ì
-
=
ïí
ï
=
+
î
整理得
2
2
2
2
4
2
4
0
t
x
t x
t
-
-
-
-
=
.
由题设知
2
4
0
t
-
¹
，且Δ
64
0
=
>
．
由根与系数关系，得
2
1
2
4
1
4
t
x
t
-
-
-
×
=
-
，所以
2
1
2
4
4
t
x
t
+
=
-
．
所以
2
1
2
2
4
8
1
4
4
t
t
y
t
t
t
æ
ö
+
=
+
=
ç
÷
-
-
è
ø
，即
2
2
2
4
8
,
4
4
t
t
M
t
t
æ
ö
+
ç
÷
-
-
è
ø
．
又直线
(
BN 即
)
BQ 的方程为
3
1
y
t x
= -
-
，
联立
2
2
1,
4
3
1 ,
y
x
y
t x
ì
-
=
ïí
ï
= -
-
î
得
2
2
2
2
4
9
18
9
4
0
t
x
t x
t
-
+
-
-
=
，
由题设知
2
4
9
0
t
-
¹
，且
2
2
2
Δ
324
4 4
9
9
4
64
0
t
t
t
=
+
-
+
=
>
．
由根与系数关系，得
2
2
2
9
1
4
9
4
t
x
t
-
×
=
-
-
，所以
2
2
2
9
9
4
4
t
x
t
=
-
+
，
所以
2
2
2
2
9
4
24
3
1
9
4
9
4
t
t
y
t
t
t
æ
ö
+
-
= -
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
.
∴
2
2
2
9
4
24
,
9
4 9
4
t
t
N
t
t
æ
ö
+
-
ç
÷
-
-
è
ø
．
当
1
2
x
x
¹
时，直线MN 的斜率
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
2
24
8
24
4
8 9
4
8
9
4
4
9
4
4
4
3
9
4
4
4
9
4
9
4
4
MN
t
t
t
t
t
t
y
y
t
t
t
k
t
t
x
x
t
t
t
t
t
t
t
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
=
=
=
=
+
+
-
-
+
-
-
+
-
-
-
-
．
直线MN 的方程为
2
2
2
2
8
8
4
4
4
3
4
t
t
t
y
x
t
t
t
æ
ö
-
+
-
=
-
ç
÷
-
-
-
è
ø
．
化简整理得
2
8
2
4
3
t
y
x
t
= -
-
-
，直线MN 过定点
2,0 ．
当
1
2
x
x
=
时，
1
2
y
y
= -
，即
2
2
8
24
4
9
4
t
t
t
t
-
=
-
-
，
解得
2
1
2
4 ,
2
3
t
x
x
=
=
=
．直线MN 也过定点
2,0 ．
综上，直线MN 过定点
2,0 ．
法二：设直线MN 的方程为x
my
n
=
+
，联立
2
2
1,
4
,
y
x
x
my
n
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
整理得
2
2
2
4
1
8
4
4
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
，
则
2
1
2
1
2
2
2
8
4
4
,
4
1
4
1
mn
n
y
y
y y
m
m
-
+
= -
=
-
- ．
所以
2
1
2
1
2
1
2
n
y
y
mny y
-
+
=
．
直线
1
1
:
1
1
y
AM
y
x
x
=
+
+
．令
0
x =
，得
1
1
0,
1
y
P
x
æ
ö
ç
÷
+
è
ø
．
直线
2
2
:
1
1
y
BN y
x
x
=
-
-
，令
0
x =
，得
2
2
0,
1
y
Q
x
æ
ö
-
ç
÷
-
è
ø
．
由
3
OQ
OP
=
uuur
uuur
，得
2
1
2
1
3
1
1
y
y
x
x
-
=
-
+
，
即
2
1
1
2
1
3
1
0
y
x
y
x
+
+
-
=
，
所以
2
1
1
2
1
3
1
0
y
my
n
y my
n
+
+
+
+
-
=
．
即
1
2
2
1
4
1
3
1
0
my y
n
y
n
y
+
+
+
-
=
．
因为
2
1
2
1
2
1
2
n
y
y
mny y
-
+
=
，
所以
2
1
2
2
1
2 1
1
3
1
0
n
y
y
n n
y
n n
y
-
+
+
+
+
-
=
．
整理可得
1
2
1
2
2
1
0
n
n
y
n
n
y
-
-
-
-
+
=
．
所以
2
n =
，所以直线MN 过定点
2,0
T
．
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线MN 过定点
2,0
T
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3 1
2
2
S
S
AT
BT
y
y
y
y
y
y
-
=
-
-
=
´
-
-
=
-
．
由（ⅰ）知
2
1
2
1
2
2
2
8
4
4
,
4
1
4
1
mn
n
y
y
y y
m
m
-
+
= -
=
-
- ，
2
n =
∴
1
2
1
2
2
2
16
12
,
4
1
4
1
m
y
y
y y
m
m
+
= -
=
-
- ．
2
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
48 4
1
256
4
3
4
4
.
4
1
4
1
4
1
m
m
m
S
S
y
y
y
y
y y
m
m
m
-
+
\
-
=
-
=
+
-
=
-
=
-
-
-
又点
,
M N 在双曲线C 的右支上，双曲线C 的渐近线方程为
1
2
x
y
= ±
．
所以
1
1
2
2
m
-
<
<
．
令
2
4
3
u
m
=
+
，则
3,4
u Î
，
于是
1
2
2
4
4 (
4)
16
8
u
S
S
u
u
u
-
=
=
-
+
-
．
令
16
f u
u
u
=
+
，
3,4
u Î
，则
2
16
1
0
f
u
u
=
¢
-
<
，
16
f u
u
u
=
+
在
3,4 单调递减，
所以
1
2
4
16
8
S
S
u
u
-
=
+
-
在
3,4 单调递增，
当
3
u =
，即
0
m =
时，
1
2
S
S
-
取得最小值4 3 ．
所以
1
2
S
S
-
的取值范围是
4 3,
é
+¥
ë
．
9．（2025·浙江嘉兴·一模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左､右焦点分别是
1
2
( 2 3,0),
(2 3,0)
F
F
-
，并且
经过点
(2 3,4)
A
.
(1)求C 的方程；
(2)过点
2F 的直线交双曲线的右支于
,
M N 两点（点M 在第一象限），过点M 作直线
2 3
3
x =
的垂线，垂足为D .
（i）求证：直线DN 经过定点；
（ii）记
ODN
△
的面积为S ，求S 的取值范围.
【答案】(1)
2
2
1
4
8
x
y
-
= ；
(2)（i）证明见解析；（ii）16 3
[
,
)
3
+¥
【详解】（1）依题意，双曲线半焦距
2 3
c =
，则
2
2
2
2
12
12
16
1
a
b
a
b
ì
+
=
ïí
-
=
ïî
，解得
2,
2 2
a
b
=
=
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
4
8
x
y
-
= .
（2）（i）设
1
1
2
2
( ,
),
(
,
),
:
2 3
M x y
N x
y
x
N
my
M
=
+
，则
1)
2 3
(
,
3
D
y
，
由
2
2
2 3
2
8
x
my
x
y
ì =
+
ïí
-
=
ïî
消去x 得
2
2
(2
1)
8 3
16
0
m
y
my
-
+
+
=
，
则
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
0
Δ
64(
1)
0
8 3
2
1
16
0
2
1
m
m
m
y
y
m
y y
m
ì
- ¹
ï
=
+
>
ï
ï
-
í
+
=
ï
-
ï
ï
=
<
-
î
，解得
2
1
0
2
m
£
<
，
1
2
1
2
2
16
2 (
2
1
3
)
m
my y
y
y
m
=
= -
+
-
，
直线DN 的方程为
2
1
1
2
2 3
(
)
3
2 3
3
y
y
y
y
x
x
-
-
=
-
-
，即
2
1
1
2
2 3
(
)
3
2 3
2 3
3
y
y
y
x
y
my
-
=
-
+
+
-
，
而
2
1
2
1
1
1
2
2
2 3
2 3
(
)
(
)
3
3
2 3
4 3
2 3
3
3
y
y
y
y
x
y
x
y
my
my
-
-
-
+
=
-
+
+
-
+
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
3(
)
2 3
2 3
(
)
(
)
3
2(
)
3
2
4 3
(
)
3
3
y
y
y
y y
x
y
x
y
y
y
y
y
y
-
-
=
-
+
=
-
+
-
-
+
+
1
1
1
3
3
2 3
4 3
(
)
(
)
2
3
2
3
y
y
x
y
x
= -
-
+
= -
-
，因此直线DN 的方程为
1
3
4 3
(
)
2
3
y
y
x
= -
-
，
所以直线DN 经过定点4 3
(
,0)
3
.
或令
0
y =
，得
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
3
3
3
3
(
)
(
)
y x
y
y x
y
y my
x
y
y
y
y
y
y
-
-
-
+
=
-
=
=
-
-
-
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2 3
2 3
2 3
2 3
2 3
(
3
3
3
)
y
y
my y
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
-
+
+
=
=
-
-
2
1
2
1
2
1
2
1
4 3
4 3
4 3 (
)
4 3
3
3
3
3
y
y
y
y
y
y
y
y
-
-
=
=
=
-
-
，
所以直线DN 经过定点4 3
(
,0)
3
.
（ii）由（i）知
2
1
0
2
m
£
<
，
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1 4 3
2 3
16 3
1
(
)
4
2
3
3
3
(2
1)
m
S
y
y
y
y
y y
m
+
=
×
-
=
×
+
-
=
×
-
，
而
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
3
(2
1)
1 2
3
2(1
)
2 1
1
m
m
m
m
m
m
m
m
+
+
+
=
=
=
-
-
-
+
-
+
+
，令
2
6
1
[1,
)
2
m
t
+
= Î
，
因此
16 3
1
3
3
2
S
t
t -
=
×
在
6
[1,
)
2
上单调递增，则
16 3
3
S ³
，
所以S 的取值范围是16 3
[
,
)
3
+¥ .
10．（25-26 高三上·黑龙江·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
2 ，点O 为坐标原点，过
C 的右焦点的直线l 交C 的右支于,
P Q 两点，当l
x
^
轴时，
2 2
PQ =
.
(1)求C 的方程；
(2)过点P 作直线
1
x = 的垂线，垂足为N .
①证明：直线QN 过定点；
②求
OQN
△
面积的最小值.
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
-
=
(2)①证明见解析；②3 2
2
【详解】（1）由题可知
2
2
2
2,
c
a
b
c
a =
+
=
，
则
,
2
a
b c
a
=
=
，
由l
x
^
轴时，
2 2
PQ =
，可令
2 ,
2
P
a
，
代入双曲线得
2
2
2
2
2
1
a
a
b
-
= ，
解得
2
2
2
a
b
=
=
，
则所求方程为
2
2
1
2
2
x
y
-
= ；
（2）①证明：设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
1
1,
N
y
，
由l 斜率不为0，可设:
2
l x
my
=
+
，
联立双曲线并整理得
2
2
1
4
2
0
m
y
my
-
+
+
=
，
则
2
1
0
m - ¹
，
2
8
8
0
m
D =
+
>
，
所以
1
2
1
2
2
2
4
2
,
1
1
m
y
y
y y
m
m
+
= -
=
-
- ，
由
2
1
x ¹ ，直线
2
1
1
2
:
1
1
y
y
NQ y
x
y
x
-
=
-
+
-
，
根据双曲线的对称性，直线NQ 所过定点必在x 轴上，
令
0
y =
，则
2
1
1
2
1
0
1
y
y
x
y
x
-
-
+
=
-
，解得
2
1
2
2
1
y
y x
x
y
y
-
=
-
，
因为
2
2
2
x
my
=
+
，所以
2
1
2
1
2
1
2
y
my y
y
x
y
y
-
-
=
-
，
而
1
2
1
2
2
y
y
m
y y
+
= -
，所以
1
2
1
2
2
y
y
my y
+
= -
，则
1
2
2
1
2
1
2
3
2
2
y
y
y
y
x
y
y
+
+
-
=
=
-
，
所以NQ 过定点
3 ,0
2
M æ
ö
ç
÷
è
ø ；
②
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
3
3 2
1
4
2
4
2
1
OQN
m
S
OM y
y
y
y
y y
m
+
=
-
=
+
-
=
×
-
V
，
由①得
2
2
1
2
2
1
0
8
1
0
2
0
1
m
m
y y
m
ì
ï
- ¹
ïï
+
>
í
ï
ï
=
<
ï
-
î
，解得
2
0
1
m
£
< ，
令
2
1
1,0
t
m
=
- Î -
，
则
2
2
2
3 2
2
3 2
2
1
3 2
1
1
1
2
2
2
2
4
8
OQN
t
S
t
t
t
t
+
æ
ö
=
×
=
×
+
=
×
+
-
ç
÷
è
ø
V
，
因为
1,0
t Î -
，所以
1
, 1
t
¥
Î -
-
，则
3 2
2
OQN
S
³
V
，当
1
t = - 时取等号，
所以
OQN
SV
的最小值为3 2
2
.
1．（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知双曲线C 的中心为坐标原点，上焦点为
0,2 5 ，离心率为
5 .记C 的上、
下顶点分别为
1A ，
2
A ，过点
0,4 的直线与C 的上支交于M，N 两点.
(1)求C 的方程；
(2)直线
1A M 和
2
A N 的斜率分别记为
1k 和
2k ，求
2
1
2
2
3
k
k
+
的最小值；
(3)直线
1A M 与
2
A N 交于点P，证明：点P 在定直线上.
【答案】(1)
2
2
1
4
16
y
x
-
=
(2) 1
-
(3)证明见解析
【详解】（1）设双曲线的标准方程为
2
2
2
2
1(
0,
0)
y
x
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意可得
2
2
2
5
2 5
c
e
a
c
a
b
c
ì =
=
ï
ï
=
+
í
ï =
ï
î
，解得
2,
4
a
b
=
=
，
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
4
16
y
x
-
= ；
（2）双曲线的上下顶点为
1 0,2
A
，
2(0, 2)
A
-
，设直线MN 的方程为
4
y
kx
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，
联立
2
2
4
1
4
16
y
kx
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，消去y ，可得
2
2
(4
1)
32
48
0
k
x
kx
-
+
+
=
，
则
1
2
1
2
2
2
32
48
,
4
1
4
1
k
x
x
x x
k
k
+
= -
=
-
- ，且
2
4
1
0
k - <
，
所以
1
2
1
2
3 (
)
2
kx x
x
x
= -
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
1
2
6
6
3
3 (
)
3 (
)
2
6
2 x
x
k
x
y
x
kx
x
kx x
x
x
y
x
kx
kx x
x
x
k
x
x
-
+
+
-
+
+
=
=
=
=
= -
+
+
-
+
+
+
g
g
，
考点二
双曲线中的定值问题
所以
2
1
3
k
k
= -
，所以
2
2
2
1
2
1
1
1
2
2
1
1
3
k
k
k
k
k
+
=
-
=
-
- ，
当
1
1
k = 时，
2
1
2
2
3
k
k
+
的最小值为1
- ；
（3）直线
1A M 的方程为
1
2
y
k x
=
+
，直线
2
A N 的方程为
2
2
y
k x
=
-
，
联立
1
2
2
2
y
k x
y
k x
=
+
ì
í
=
-
î
，得
1
2
2
1
2
3
k
y
y
k
-
=
= -
+
，解得
1
y = ，
即点P 在定直线上
1
y = .
2．（2025·山西·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，点
2,2
A
在双曲线C 上．
(1)求C 的方程；
(2)过双曲线C 右支上一动点M 分别作C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于P ，Q ，O 为坐标原点，证
明：平行四边形MPOQ 的面积为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x -
=
(2)证明见解析，定值1
【详解】（1）由已知可得
5
c
e
a
=
=
，所以
5
c
a
=
，
又因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，得
2
2
4
b
a
=
①；
将点
2,2
A
代入双曲线方程，得
2
2
2
4
1
4
a
a
-
= ②，
联立①②得
2
1
a = ，所以
2
4
b =
，
所以双曲线方程为：
2
2
1
4
y
x -
= ．
（2）由（1）得双曲线渐近线方程为1
2
:
l
y
x
=
，2 :
2
= -
l
y
x ，
设
,
M m n ，则
:
2
2
MQ
l
y
x
n
m
=
+
-
，
:
2
2
MP
l
y
x
n
m
= -
+
+
，
联立1l 和MP
l
，解得交点
2
2
,
4
2
n
m n
m
P
+
+
æ
ö
ç
÷
è
ø，
则平行线1l 和MQ
l
之间的距离
2
5
n
m
d
-
=
，
则平行四边形MPOQ 的面积
2
2
2
2
5
2
4
2
2
2
2
4
2
4
4
5
5
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
S
OP d
+
-
-
-
+
+
æ
ö
æ
ö
=
=
×
+
=
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
由于M 在双曲线上，则
2
2
1
4
n
m -
= ，所以
2
2
4
4
m
n
-
=
，
所以平行四边形MPOQ 的面积为定值1.
3．（2025·湖南长沙·三模）已知动点
,
M x y 与定点
3 2,0
F
的距离与它到定直线
3 2
:
2
l x =
的距离的比是常数
2 ，
(1)求动点M 的轨迹；
(2)过上述轨迹上一点P 作轨迹的切线与两直线y
x
= ± 分别交于A 、B 两点，证明：三角形AOB 的面积是定值．
【答案】(1)
2
2
1
9
9
x
y
-
=
(2)证明见解析
【详解】（1）根据题意得
2
2
3 2
2
3 2
2
x
y
x
-
+
=
-
，则可得
2
2
3 2
3 2
2
2
x
y
x
-
+
=
-
，
将上式两边平方，得
2
2
2
3 2
3 2
2
2
x
y
x
æ
ö
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
整理得
2
2
2
6 2
18
2
6 2
9
x
x
y
x
x
-
+
+
=
-
+
，所以
2
2
9
x
y
-
=
，
所以
2
2
1
9
9
x
y
-
=
（2）设点M 坐标为
0
0
,
x
y
，设曲线在点M 处的切线方程为
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
，
与双曲线方程联立
0
0
2
2
(
)
9
y
y
k x
x
x
y
-
=
-
ì
í
-
=
î
，消去y ，可得
2
2
0
0
(
)
9
x
k x
x
y
-
-
+
=
，
整理得
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
9
0
k
x
k x
ky
x
k x
ky x
y
-
+
+
-
-
+
-
=
，
所以
2
1
0
k
-
¹
且
2
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
4 1
2
9
0
k x
ky
k
k x
ky x
y
D =
+
-
-
-
-
+
-
=
，
解得
0
0
k
y
x
=
，代入
0
0
(
)
y
y
k x
x
-
=
-
，得
2
2
0
0
0
0
y y
y
x x
x
-
=
-
，
所以切线方程为
0
0
9
x x
y y
-
=
，
与y
x
=
联立得
0
0
9
A
x
x
y
=
-
，与y
x
= - 联立得
0
0
9
Bx
x
y
=
+
，
故
2
2
0
0
1
81
81
2
2
9
2
9
AOB
A
B
S
x
x
x
y
=
×
=
=
=
-
△
.
4．（2025·江苏·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，若C 上任一点到两条直线
3
2
y
x
=
和
2
3
y
x
=
的距离的平方差为10
13 ．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)设点
0
0
(
,
)
P x
y
为C 上任意一点，
0
0
2
2
:
1
x x
y y
l
a
b
-
= 为过P 的直线．
①记过F 且与x 轴垂直的直线为m ．若l 与m 交于点A ，l 与直线
1
x = 交于点B ，证明：当
0
0
y ¹
时，
AF
BF 为定
值，并求出这个定值；
②设点F 关于直线l 的对称点为M ，试求M 点的轨迹．
【答案】(1)
2
2
1
2
2
x
y
-
=
(2)①证明见解析，定值为2 ；②答案见解析
【详解】（1）设C 上任一点
,x y ，而直线
3
2
,
2
3
y
x y
x
=
=
转化为3
2
0,2
3
0
x
y
x
y
-
=
-
=
.
根据点到直线的距离公式可得：
2
2
2
2
1
2
3
2
2
3
,
9
4
4
9
x
y
x
y
d
d
-
-
=
=
+
+
.
根据题意
2
2
2
2
1
2
3
2
2
3
10
9
4
4
9
13
x
y
x
y
d
d
-
-
-
=
-
=
+
+
，化简得
2
2
5
5
10
x
y
-
=
，
即
2
2
1
2
2
x
y
-
= .
（2）由（1）可知
2
a
b
=
=
，所以
2
2
2
c =
+
=
，所以点
2,0
F
.
①证明：依题意可知直线m 的方程为
2
x =
.
因为直线
0
0
:
1
2
2
x x
y y
l
-
= 与直线m 交于点A ，所以将
2
x =
代入直线l 方程
可得到点A 的坐标为
0
0
2
1
2,
x
A
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
因为线
0
0
:
1
2
2
x x
y y
l
-
= 与直线
1
x = 交于点B ，所以将
1
x = 代入直线l 方程
可得到点B 的坐标为
0
0
2
1, x
B
y
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
.
所以
0
0
2
1
x
AF
y
-
=
，
2
0
0
2
1
x
BF
y
æ
ö
-
=
+ ç
÷
è
ø
，
所以
0
2
0
0
2
2
2
0
0
0
0
2
1
4
1
2
2
1
x
y
x
AF
BF
x
y
x
y
-
-
=
=
-
+
æ
ö
-
+ ç
÷
è
ø
.
因为直线l 过点P ，所以
2
2
0
0
2
x
y
-
=
，即
2
2
0
0
2
y
x
=
-
.
所以
2
2
0
0
0
2
2
2
0
0
0
0
4
1
4
8
4
2
2
4
2
2
2
x
AF
x
x
BF
x
x
x
x
-
-
+
=
=
=
-
+
-
+
-
为定值，且定值为2 .
②设点
2,0
F
关于直线
0
0
:
2
l x x
y y
-
=
的对称点
1
1
,
M x y
，
当
0
0
y =
时，:
2
l x = ±
，此时M 的轨迹为点
2 2
2,0
±
-
.
当
0
0
y ¹
时，设
0
0
0
2
:
x
l y
x
y
y
=
-
，
则
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
2
2
2
2
2
x
y
x
y
x
y
x
y
y
ì
×
= -
ï
-
ïí
+
ï
=
×
-
ïî
，解得
1
0
2
2
1
1
1
0
2
2
1
1
4 2
4
4
4
x
x
x
y
y
y
x
y
ì
-
=
ï
-
-
ïí
ï
=
ï
-
-
î
，
因为点
0
0
,
P x
y
在双曲线
2
2
2
x
y
-
=
上，
所以
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
4 2
4
2
4
4
x
y
x
y
x
y
-
é
ù
æ
ö
-
=
ç
÷
ê
ú
-
-
-
-
è
ø
ë
û
，即
2
2
2
2
2
1
1
1
1
8 2
8
4
x
y
x
y
-
-
=
-
-
，
化简得：
2
2
2
2
1
1
1
4
4
x
y
x
+
=
-
.
所以
2
2
1
1
1
4
4
x
y
x
+
=
-
，即
2
2
1
1
2
0
x
y
-
+
=
，M 点轨迹与
2,0
F
重合，不合题意；
或
2
2
1
1
1
4
4
0
x
y
x
+
+
-
=
，即
2
2
1
1
2
8
x
y
+
+
=
，
所以M 点轨迹为以
2,0
-
为圆心，半径为2 2 的圆，此时
2 2
2,0
±
-
也在圆上.
5．（25-26 高三上·重庆·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的虚轴长为2，一条渐近线方程为
2
0
x
y
+
=
.
(1)求双曲线C 的方程；
(2)已知,
,
P Q R 是C 上的三个不同点.
①若
,0
P a
，点
,
Q R 在双曲线C 的同一支上，且PQR
V
是等边三角形，求QR ；
②若D （异于原点O ）是PQR
V
外接圆的圆心，直线
,
,
,
PQ QR RP OD 的斜率均存在，并分别记为
1
2
3
4
,
,
,
k k k k ，求
1
2
3
4
k k k k 的值.
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)①8 3 ；②
1
4
-
【详解】（1）由题意
1
b = ，且
1
2
b
a =
，所以
2
a =
，
故曲线C 的方程为
2
2
:
1
4
x
y
-
= .
（2）如图，
①若
2,0
P
，设
2
2
3
3
,
,
,
Q x
y
R x
y
，
因为PQ
PR
=
，所以
2
2
2
2
2
2
3
3
2
2
x
y
x
y
-
+
=
-
+
.
因为
,
Q R 在双曲线C 上，所以
2
2
2
2
3
2
2
3
1,
1
4
4
x
x
y
y
-
=
-
= .
以上三个方程联立，解得
2
3
x
x
=
或
2
3
16
5
x
x
+
=
.
当
2
3
x
x
=
时，则
2
3
y
y
= -
，由PQ
QR
=
，得
2
2
2
2
2
2
2
4
x
y
y
-
+
=
，
再由
2
2
2
2
1
4
x
y
-
= ，可解得
2
2
14,
4 3
x
y
=
=
.
此时
2
2
4
8 3
QR
y
=
=
.
当
2
3
16
5
x
x
+
=
时，因为
,
Q R 在同一支上，则
2
3
16
4
5
x
x
+
=
<
不满足条件，舍，
所以
8 3
QR =
.
②根据条件
1
2
3
4
,
,
,
k k k k 均存在知
1
2
3
4
,
,
,
k k k k 均不为零，
设点
1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
P x y
Q x
y
R x
y
，三角形外心
0
0
,
D x
y
，
则有
2
2
2
2
2
2
3
1
2
1
2
3
1,
1,
1
4
4
4
x
x
x
y
y
y
-
=
-
=
-
= ，
两两相减可得：
2
3
2
3
1
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
2
1
2
2
3
2
3
1
3
1
3
,
,
4
4
4
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
k
k
k
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
-
+
-
+
-
+
=
=
=
=
=
=
-
+
-
+
-
+
，
则PQ的中垂线为
1
2
1
2
1
1
2
2
y
y
x
x
y
x
k
+
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
è
ø，
将
1k 代入则：
1
2
1
2
1
2
1
2
4
2
2
y
y
y
y
x
x
y
x
x
x
+
+
+
æ
ö
-
= -
-
ç
÷
+
è
ø ，整理得
1
2
1
2
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
，
又D 点在直线上，所以有
0
0
1
2
1
2
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
①
同理有QR 的中垂线为
2
3
2
3
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
，
又D 点在直线上，所以有
0
0
2
3
2
3
4
5
2
y
x
y
y
x
x
= -
+
+
+
②
由①- ②得，
0
0
0
0
1
2
2
3
2
3
1
2
4
4
y
y
x
x
y
y
y
y
x
x
x
x
-
=
-
+
+
+
+
，
整理得：
0
2
3
3
1
1
2
0
1
2
2
3
3
1
4
y
y
y
x
x
y
y
x
x
x
x
x
y
y
+
-
+
= -
×
×
+
+
-
，即
4
1
2
3
1
1
1
4
4
4
k
k
k
k
= -
×
×
，
则有
1
2
3
4
1
4
k k k k = -
.
6．（25-26 高三上·内蒙古·开学考试）已知双曲线C：
2
2
2
2
1
x
y
a
b
-
= （
0
a >
，
0
b >
）的一个焦点为(5,0) ，点
(4 2,3)
P
在C 上.
(1)求C 的方程；
(2)已知点
3
(4 2,
)
Q
-
，
(2 2,0)
A
，B 为线段PQ 上一点，且直线AB 交C 于D，E 两点，证明：
AD
BE
AE
BD
×
=
×
.
【答案】(1)
2
2
1
16
9
x
y
-
= ；
(2)证明见解析.
【详解】（1）由双曲线C 的一个焦点为(5,0) ，得
2
2
25
a
b
+
=
，
由点
(4 2,3)
P
在双曲线C 上，得
2
2
32
9
1
a
b
-
= ，解得
4
a =
，
3
b =
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
16
9
x
y
-
= .
（2）设
(4 2, )
B
t ，
1
1
2
2
( ,
),
(
,
)
D x y
E x
y
，则直线AB 方程为
(
2 2)
2 2
t
y
x
=
-
，
由
2
2
(
2 2)
2 2
1
16
9
t
y
x
x
y
ì
=
-
ïïí
ï
-
=
ïî
，消去y 得
2
2
2
2
(9
2 )
8 2
16
144
0
t
x
t x
t
-
+
-
-
=
，
由直线AB 交C 于D，E 两点，得
2
4
2
2
9
2
0
128
64 2
9
9
0
t
t
t
t
ì
-
¹
ïíD =
-
-
+
>
ïî
，
解得3
3
t
- < <
，且
3 2
| |
2
t ¹
，且
2
1
2
2
8 2
2
9
t
x
x
t
+
=
-
，
2
1
2
2
16
144
2
9
t
x x
t
+
=
-
，
当
3 2
| |
2
t <
时，
,
D E 在A 的异侧，在B 的同侧；当3 2
| | 3
2
t
<
<
时，
,
D E 在A 的同侧，在B 的异侧，
则总有AD
BE
AE
BD
DA EB
DB AE
×
-
×
=
×
-
×
uuur uuur
uuur uuur
，
1
1
2
2
1
1
2
2
(2 2
,
)
)
(4 2
,
)
(4 2
,
) (
2 2,
DA EB
DB AE
x
y
x t
y
x t
y
x
y
×
-
×
=
-
-
×
-
-
-
-
-
×
-
uuur uuur
uuur uuur
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
6 2(
)
(
)
32
x x
y y
x
x
t y
y
=
+
-
+
-
+
+
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
6 2(
)
(
)
32
(
2 2
2
)(
2 2)
4 2
4
2
t
t
x
x
x x
x
x
x
x
=
+
+
-
-
-
+
+
-
-
2
2
2
1
2
1
2
3 2
(2
)
(
6 2)(
)
4
32
4
4
t
x x
t
x
x
t
=
+
-
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
4(
8)(
9)
4
3
24)
4
32
0
2
(
2
9
9
t
t
t
t
t
t
t
+
+
+
=
-
+
+
=
-
-
，
所以AD
BE
AE
BD
×
=
×
.
7．（24-25 高三上·河南周口·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右焦点分别为
1F 、
2F ，焦距为
2 5 ，且点
2F 到其渐近线的距离为1．
(1)求C 的标准方程．
(2)若点
0
0
,
P x
y
是C 上第一象限的动点，过点
0
0
,
P x
y
作直线l （l 不与渐近线平行），若l 与C 只有一个公共点，
且l 与x 轴相交于点T （与点P 不重合）．
（i）证明：
1
1
2
2
PF
TF
PF
TF
=
．
（ii）若点N 在直线l 上，且
2
2
F N
F P
^
，那么点N 是否在定直线上？若在定直线上，求出该直线方程；若不在定
直线上，请说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)（i）证明见解析；（ii）在，且定直线方程为
4 5
5
x =
，理由见解析.
【详解】（1）由题意可知
1
2
2
2 5
F F
c
=
=
，可得
5
c =
，
双曲线C 的渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
，即
0
bx
ay
±
=
，
点
2F 到其渐近线的距离为
2
2
1
bc
bc
b
c
b
a
=
=
=
+
，所以，
2
2
5 1
2
a
c
b
=
-
=
- =
，
因此，双曲线C 的方程为
2
2
1
4
x
y
-
= .
（2）（i）因为
0
0
,
P x
y
是C 上第一象限的动点，则
2
2
0
0
1
4
x
y
-
= ，可得
2
2
0
0
1
4
x
y =
- 且
0
2
x >
，
易知点
1
5,0
F -
、
2
5,0
F
，
所以，
2
2
2
2
2
0
0
2
0
0
0
0
0
5
5
2 5
5
1
2 5
4
4
4
x
x
PF
x
y
x
x
x
=
-
+
=
-
+ +
- =
-
+
0
0
5
5
2
2
2
2
x
x
=
-
=
-
，
由双曲线的定义可得
1
2
0
0
5
5
2
2
4
2
2
2
PF
PF
a
x
x
=
+
=
-
+
=
+
，
所以，
0
1
0
2
0
0
5
2
5
4
2
5
5
4
2
2
x
PF
x
PF
x
x
+
+
=
=
-
-
，
先证明出双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= 在点P 处的切线方程为
0
0
1
4
x x
y y
-
= ，
联立
0
0
2
2
1
4
1
4
x x
y y
x
y
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
可得
2
2
2
2
0
0
0
1
4
4
x y
x x
y
æ
ö
-
-
=
ç
÷
è
ø
，整理可得
2
0
0
x
x
-
=
，解得
0
x
x
=
，
所以，双曲线
2
2
1
4
x
y
-
= 在点P 处的切线方程为
0
0
1
4
x x
y y
-
= ，
在直线l 的方程
0
0
1
4
x x
y y
-
= 中，令
0
y =
，可得
0
4
x
x
=
，即点
0
4 ,0
T
x
æ
ö
ç
÷
è
ø
，且
0
4
0
2
x
<
<
，
所以，
1
0
0
2
0
0
4
5
5
4
4
5
4
5
TF
x
x
TF
x
x
+
+
=
=
-
-
，因此，
1
1
2
2
PF
TF
PF
TF
=
；
（ii）如下图所示：
直线
2
PF 的斜率为
2
0
0
5
PF
y
k
x
=
-
，
因为
2
2
F N
F P
^
，则直线
2
F N 的斜率为
2
2
0
0
5
1
F N
PF
x
k
k
y
-
= -
= -
，
所以，直线
2
F N 的方程为
0
0
5
5
x
y
x
y
-
= -
-
，
联立直线
2
F N 和直线l 的方程
0
0
0
0
5
5
1
4
x
y
x
y
x x
y y
ì
-
= -
-
ïïí
ï
-
=
ïî
，
可得
0
0
5
5
5
4
4
x
x
x
æ
ö
-
=
-
ç
÷
è
ø
，解得
4 5
5
x =
，
因此，点N 在定直线
4 5
5
x =
上.
8．（24-25 高三下·广东广州·阶段练习）已知O 为坐标原点，双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，且
过点
5 ,1
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
(1)求C 的标准方程；
(2)过C 的右焦点F 的直线1l 与双曲线C 的左、右两支分别交于两点A、B，点Q 是线段AB 的中点，过点F 且与1l
垂直的直线2l 交直线OQ 于M 点，
①判断点M 是否在一条定直线上，请说明理由；
②记
MFQ
△
面积为S ，证明：
4
S >
.
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x -
=
(2)①点M 在定直线
5
5
x =
，理由见解析；②证明解析
【详解】（1）由已知双曲线离心率
2
2
1
5
c
b
e
a
a
=
=
+
=
，即
2
2
4
b
a
=
，
则双曲线方程为
2
2
2
2
1
4
x
y
a
a
-
= ，又曲线过点
5 ,1
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，即
2
2
1
1
5
4
4
a
a
-
= ，解得
2
1
a = ，
所以双曲线方程为
2
2
1
4
y
x -
= ；
（2）由（1）得
( 5
)
,0
F
，
①由已知直线1l 的斜率k 存在且
0
k ¹
，
设直线1 :
(
5)
l
y
k x
=
-
，
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，且
1
2
0
x x <
，
联立直线与双曲线
2
2
1
4
5
y
x
y
k x
ì
-
=
ï
í
ï
=
-
î
，得
2
2
2
2
4
2 5
5
4
0
k
x
k x
k
-
+
-
-
=
，
2
2
2
2
2
Δ
2 5
4 4
5
4
64
64
0
k
k
k
k
=
-
-
-
-
=
+
>
恒成立，
且
2
2
1
2
1
2
2
2
2 5
5
4
,
4
4
k
k
x
x
x x
k
k
-
-
+
= -
=
-
-
，
即
2
2
5
4
0
4
k
k
-
-
<
-
，解得2< <2
k
-
，
又Q 为A，B 中点，
则
2
1
2
2
5
2
4
Q
x
x
k
x
k
+
=
= -
-
，则
2
4 5
5
4
Q
Q
k
y
k x
k
=
-
= -
-
，
即
2
2
2
5
4 5
,
4
4
k
k
Q
k
k
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
-
-
è
ø
，
则直线
4
:
OQ y
x
k
=
，又直线2l 垂直于直线1l ，且2l 过点F，则2
1
:
(
5)
l
y
x
k
= -
-
，
联立1l 与2l ，即
4
1
5
y
x
k
y
x
k
ì
=
ïïí
ï
= -
-
ïî
，解得
5
5
4 5
5
x
y
k
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，
即
5 4 5
,
5
5
M
k
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
即点M 在定直线
5
5
x =
上.，
②由
1
5
2
2
M
Q
M
Q
S
OF
y
y
y
y
=
×
-
=
-
，即证
8 5
5
M
Q
y
y
-
>
，
2
2
2
2
1
4 5
4 5
4
4
16
4 5
5
4
4
5
5
4
M
Q
k
k
k
k
y
y
k
k
k
k
k
+
+
-
=
+
=
=
-
-
-
，
利用对称性，不妨设0
2
k
<
<
，
则1
2
k
k +
³
，
2
4
0,4
k
-
Î
，则
2
1
2
1
4
4
2
k
k
k
+
>
=
-
，
则
2
1
16
16
2
8 5
4
4
5
5
5
M
Q
k
k
y
y
k
æ
ö
+
ç
÷
-
=
>
´
=
ç
÷
-
ç
÷
è
ø
，
故
4
S >
成立.
1．（24-25 高二下·上海宝山·阶段练习）已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为
2 5,0 ，离心率为
5 ．记C
的左、右顶点分别为
1A 、
2
A .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)双曲线上任意一点E （不与
1A 、
2
A 重合），求证：
1
2
A E
A E
k
k
×
为定值；
(3)过点
4,0
-
的直线与C 的左支交于M 、N 两点，直线
1
MA 与
2
NA 交于点P ．证明：点P 在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
16
x
y
-
=
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设双曲线C 的方程为
2
2
2
2
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
，
由题意可得
2
2
2
2 5
5
c
c
a
c
a
b
ì =
ïï
=
í
ï
=
+
ïî
，解得
2
4
2 5
a
b
c
ì =
ï =
í
ï =
î
，所以，双曲线C 的方程为
2
2
1
4
16
x
y
-
= ．
（2）由（1）可得
1
2,0
A -
、
2 2,0
A
，设
0
0
,
E x y
，则
2
2
0
0
1
4
16
x
y
-
= ，可得
2
2
0
0
4
16
y
x
=
-
，
因为
1
0
0
2
A E
y
k
x
=
+
，
2
0
0
2
A E
y
k
x
=
-
，所以，
1
2
2
2
0
0
2
2
0
0
4
16
4
4
4
A E
A E
y
x
k
k
x
x
-
×
=
=
=
-
-
为定值.
（3）设点
1
1
,
M x y
、
2
2
,
N x y
，
若直线MN 与x 轴重合，此时，直线MN 与双曲线C 的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意，
设直线MN 的方程为
4
x
my
=
-
，
联立
2
2
4
4
16
x
my
x
y
=
-
ì
í
-
=
î
可得
2
2
4
1
32
48
0
m
y
my
-
-
+
=
，
考点三
双曲线中的定直线问题
由于直线MN 与双曲线C 的左支有两个不同的交点，
则
2
2
2
2
1
2
2
4
1
0
Δ
32
192 4
1
0
48
0
4
1
m
m
m
y y
m
ì
ï
- ¹
ïï
=
-
-
>
í
ï
ï
=
<
ï
-
î
，解得
1
1
2
2
m
-
<
<
，
由韦达定理可得
1
2
2
32
4
1
m
y
y
m
+
=
- ，
1
2
2
48
4
1
y y
m
=
- ，
直线
1
MA 的方程为
1
1
2
2
y
y
x
x
=
+
+
，直线
2
NA 的方程为
2
2
2
2
y
y
x
x
=
-
-
，
联立直线
1
MA 与直线
2
NA 的方程可得：
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
2
6
6
y
x
y
my
my y
y
y
y
x
x
y
x
y
my
my y
y
+
-
-
+
+
+
=
=
=
-
-
-
-
1
1
2
2
2
1
1
2
2
48
32
16
2
2
2
1
4
1
4
1
4
1
48
48
3
6
6
4
1
4
1
m
m
m
y
y
m
m
m
m
m
y
y
m
m
-
×
- ×
+
+
-
-
-
=
=
= -
´
-
-
-
-
，
由
2
1
2
3
x
x
+
= -
-
可得
1
x = - ，即
1
P
x = - ，据此可得点P 在定直线
1
x = - 上运动．
2．（2025·甘肃白银·三模）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的一条渐近线的方程为
7
3
y
x
=
，虚轴的一个端点
到渐近线的距离为3 7
4
．双曲线C 的右焦点为F，点M 在C 上，且MF
x
^ 轴，过点M 与C 相切的直线l 与x 轴
交于点P．
(1)求双曲线C 的方程．
(2)若点M 在x 轴上方，求以线段MP 为直径的圆的一般方程．
(3)过点P 的直线交双曲线C 于D，E 两点（点D 在双曲线的左支上，且不为左顶点），G 为线段PF 的中点，直线
GE 与MF 交于点H，求证：直线DH 与x 轴平行．
【答案】(1)
2
2
1
9
7
x
y
-
=
(2)
2
2
25
7
9
0
4
3
x
y
x
y
+
-
-
+
=
(3)证明见解析
【详解】（1）双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
，
由一条渐近线的方程为
7
3
y
x
=
，得
7
3
b
a =
,
由虚轴的一个端点到渐近线的距离为3 7
4
，不妨设一个端点为(0, )
b ，则3
3 7
4
4
b =
,
所以
7,
3
b
a
=
=
，
则双曲线C 的方程为
2
2
1
9
7
x
y
-
= ．
（2）由（1）知点
(4,0)
F
，因为点M 在C 上，且MF
x
^ 轴，所以
7
4, 3
M æ
ö
ç
÷
è
ø．
设:l x
my
n
=
+
，与双曲线
2
2
1
9
7
x
y
-
= 联立，
得
2
2
2
7
9
14
7
63
0
m
y
mny
n
-
+
+
-
=
．因为直线l 与双曲线C 相切，
所以
2
2
2
2
2
Δ
14
4 7
9
7
63
0
m n
m
n
=
-
-
-
=
，整理得
2
2
7
9
0
m
n
+
-
=
①，
又直线:l x
my
n
=
+
过点
7
4, 3
M æ
ö
ç
÷
è
ø，得
7
4
3 m
n
=
+
②，
由①②得
3
9
,
4
4
m
n
=
=
，所以直线l 的方程为
3
9
4
4
x
y
=
+
，
所以点P 的坐标为9 ,0
4
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
所以以线段MP 为直径的圆的方程为
9
7
(
4)
(
0)
0
4
3
x
x
y
y
æ
ö
æ
ö
-
-
+
-
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
即
2
2
25
7
9
0
4
3
x
y
x
y
+
-
-
+
=
．
（3）如图，设直线DE 的方程为
1
1
9 ,
,
4
x
ky
D x y
=
+
，
2
2
25
,
,
,0
8
E x
y
Gæ
ö
ç
÷
è
ø ，
将
9
4
x
ky
=
+
代入
2
2
1
9
7
x
y
-
= ，
整理得
2
2
63
441
7
9
0
2
16
k
y
ky
-
+
-
=
，则
1
2
2
1
2
2
63
2 7
9
441
16 7
9
k
y
y
k
y y
k
ì
+
= -
ï
-
ïí
ï
= -
ï
-
î
，
得
1
2
1
2
8
7
y
y
k
y y
+
=
，得
2
1
2
7
8
7
y
y
ky
=
-
，
直线EG 的方程为
2
2
25
25
8
8
y
y
x
x
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø
-
，令
4
x =
，得
2
2
7
4, 8
25
y
H
x
æ
ö
ç
÷
-
è
ø
，
而
2
2
2
1
2
2
2
7
7
7
9
8
25
8
7
8
25
4
y
y
y
y
x
ky
ky
=
=
=
-
-
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
，
所以
1
4,
H
y
，即直线DH 与x 轴平行．
3．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
Γ :
1
0,
0
x
y
a
b
a
b
-
=
>
>
过点
3, 6
P
，渐近线方程为
3
y
x
= ±
．
(1)求Γ 的方程；
(2)已知点(
)
1,0
A
，过点
1,2
Q
作动直线l 与双曲线右支交于不同的两点B 、C ，点H 在线段BC 上（不含端点）．
①若H 为BC 的中点，AQH
V
的面积为7 ，求直线l 的斜率；
②直线AB 、AH 、AC 分别与y 轴交于点D 、E 、F ，若E 为DF 的中点，证明：点H 恒在定直线3
2
3
0
x
y
-
-
=
上．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)（i）2
- ；（ii）证明见解析
【详解】（1）由题意，得
3
b
a =
，则
3
b
a
=
①，
将点
3, 6
P
代入双曲线方程，得
2
2
3
6
1
a
b
-
= ②，
联立①②解得
2
2
1
3
a
b
ì
=
í
=
î
，故Γ 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）若直线l 的斜率不存在，则直线l 与双曲线右支只有一个交点，不符合题意，故直线l 的斜率存在.
设直线l 的方程为
2
1
y
k x
-
=
-
，
与
2
2
1
3
y
x -
= 联立得
2
2
2
2
3
2
4
4
7
0
k
x
k
k x
k
k
-
+
-
-
+
-
=
.
设
1
1
,
B x y
、
2
2
,
C x
y
，由题意，得
2
2
1
2
2
2
1
2
2
3
0
Δ
12 7
4
0
2
4
0
3
4
7
0
3
k
k
k
k
x
x
k
k
k
x x
k
ì -
¹
ï
=
-
>
ï
ï
-
í
+
=
>
-
ï
ï
-
+
ï
=
>
-
î
，解得
3
k < -
.
（i）因为H 为BC 中点，所以
2
2
2
3
H
k
k
x
k
-
=
-
.
由
2
2
1
2
1
1
7
2
3
AQH
H
k
k
S
AQ x
k
-
=
-
=
- =
-
V
，得
2
7
2
24
7
12
2
0
k
k
k
k
+
-
=
-
+
=
.
又
3
k < -
，解得
2
k = - ，所以直线l 的斜率为2
- .
（ii）设直线AB 的方程为
1
1
1
1
y
y
x
x
=
-
-
，令
0
x =
，得
1
1
1
D
y
y
x
-
=
- .
同理可得，
1
H
E
H
y
y
x
-
=
- ，
2
2
1
F
y
y
x
-
=
- ，
因为E 为DF 中点，所以2
E
D
F
y
y
y
=
+
，即
1
2
1
2
2
1
1
1
H
H
y
y
y
x
x
x
-
-
-
=
+
-
-
- .
又因为点B 、C 、H 都在直线l 上，
所以
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
1
H
H
k x
k x
x
k x
x
x
x
x
é
ù
é
ù
é
ù
-
+
-
+
-
+
-
+
-
ë
û
ë
û
ë
û
=
-
-
-
，
整理，得
1
2
1
2
2
4
4
2
2
1
1
1
H
x
x
k
k
x
x
x
+
-
+
=
+
-
-
-
，
代入韦达定理，得
2
7
2
3
H
k
x
k
-
=
-
，所以
6
1
2
2
3
H
H
y
k x
k
-
=
-
+
=
-
.
因为
2
7
6
6
9
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
H
H
k
k
x
y
k
k
k
-
-
-
-
= ×
- ×
=
=
-
-
-
，所以点H 恒在定直线3
2
3
0
x
y
-
-
=
上.
4．（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5 ，且过点
2,2 3 .
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)设双曲线C 的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点T ，
求证：点T 在定直线上．
【答案】(1)
2
2
1
4
y
x -
=
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意，
5
c
a =
，
2
2
4
12
1
a
b
-
= ，
2
2
2
c
a
b
=
+
，
联立解得
1,
2,
5
a
b
c
=
=
=
，
双曲线C 的标准方程为
2
2
1
4
y
x -
= ．
（2）因为直线PQ 过右焦点
5,0
F
，且与双曲线交于P，Q 两点，故直线PQ 不与x 轴平行，
设直线方程为
5
x
my
=
+
，设
1
1
,
P x y
，
2
2
,
Q x
y
，
由
2
2
4
4
0
5
x
y
x
my
ì
-
-
=
ïí =
+
ïî
消去x 可得
2
2
4
1
8 5
16
0
m
y
my
-
+
+
=
，
因
2
2
2
320
64 4
1
64
1
0
m
m
m
D =
-
-
=
+
>
,
1
2
2
8 5
4
1
m
y
y
m
-
+
=
-
，
1
2
2
16
4
1
y y
m
=
- ，
则有
1
2
1
2
2 5
5
my y
y
y
= -
+
（*）
由题知，
1,0
A -
，
1,0
B
，设
,
T n t ，
则直线
1
1
:
1
1
y
AP y
x
x
=
+
+
，直线
2
2
:
1
1
y
BQ y
x
x
=
-
-
，
将
,
T n t 代入两式，可得
1
1
1
1
y
t
n
x
=
+
+
，
2
2
1
1
y
t
n
x
=
-
-
，
两式相除得
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
1
1
2
1
5
1
5
1
1
1
1
1
5
1
5
1
my
y
my y
y
x
y
n
n
x
y
my
y
my y
y
+
+
+
+
+
+
=
=
=
-
-
+
-
+
-
,将（*）代入，可得
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2 5
3 5
2 5
1
5
1
2
3
5
5
5
1
3
5
5
1
2
2 5
3 5
2 5
3
5
2
5
1
1
5
5
5
y
y
y
y
y
y
y
n
n
y
y
y
y
y
y
y
æ
ö
-
+
+
ç
÷
-
+
+
+
-
+
+
+
- -
è
ø
=
=
=
=
-
æ
ö
-
-
-
+
+
-
-
-
ç
÷
è
ø
,
即
1
3
5
1
2
n
n
+
- -
=
-
，解得
5
5
n =
，
所以点T 在定直线
5
5
x =
上．
5．（25-26 高三上·福建·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的右焦点为F ，离心率为2，圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点.
(1)求C 的方程；
(2)设A 为C 的左顶点，过F 且斜率存在的直线交C 的右支于
,
M N 两点，直线
,
AM AN 分别交圆O 的另一点于,
P Q .
（i）证明：
,
,
P O Q 三点共线；
（ii）设直线MN 与直线PQ交于D ，证明：点D 在定直线上.
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【详解】（1）因为圆
2
2
:
1
O x
y
+
= 与C 恰有两个交点，
由双曲线及圆的对称性知，圆过双曲线的左右顶点，
所以
1
a = ，
又
2
c
e
a
=
=
，所以
2
c =
，故
2
2
2
4
1
3
b
c
a
=
-
=
- = ，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）（i）由（1）知，
2,0 ,
1,0
F
A -
,
设过F 的直线方程为
2
x
my
=
+
，
1
1
2
2
,
,
,
M x y
N x
y
，如图，
由
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
+
ìïí
-
=
ïî
，可得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
+
+
=
，
1
2
1
2
2
2
12
9
3
1
,
1
3
m
y
y
y y
m
m
-
\
+
=
=
-
- ，其中
3
3
3
3
m
-
<
<
，
1
2
1
2
4
3
my y
y
y
\-
=
+
，
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
3
3
3
9
AP
AQ
y
y
y y
y y
k
k
x
x
my
my
m y y
m y
y
\
´
=
´
=
=
+
+
+
+
+
+
+
2
2
2
2
2
2
2
9
9
3
1
1
1
9
12
9
36
27
9
3
9
3
3
1
m
m
m
m
m
m
m
m
m
=
=
= -
-
-
+
-
+
-
×
-
×
+
-
，
90
PAQ
\Ð
=
°，
PQ
\
为圆O 的一条直径，
,
,
P O Q
\
三点共线.
（ii）不妨设直线
1
2
:
1,
:
1
AM x
m y
AN x
m y
=
-
=
- ，其中
1
2
1
2
1
2
,
1
1
x
x
m
m
y
y
+
+
=
=
，
由（i）可知
1
2
1
m m = - ，
由
1
2
2
1
1
x
m y
x
y
=
-
ì
í
+
=
î
，可得
2
2
1
1
1
2
0
m
y
m y
+
-
=
，解得
1
2
1
2
1
P
m
y
m
=
+ ,
故可得
2
1
2
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
P
m
x
m
m
m
-
+
=
=
+
-
，即
2
1
1
2
2
1
1
1
2
,
1
1
m
m
P m
m
æ
ö
-
ç
÷
+
+
è
ø
，
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2 1
2 1
1
OP
m
k
x
x
my
my
m
m
m
m
m
y
y
y
y
\
=
=
=
=
=
+
+
+
+
+
+
-
+
-
+
+
1
2
1
2
1
2
2
2
2
1
12
1
1
2
3
2
3
2
3
9
y
y
m
m
m
m
m
y y
y
y
=
=
=
= -
+
-
æ
ö
+ ×
+ ×
+
+
ç
÷
è
ø
，
\直线
:
OP x
my
= -
，
由
2
x
my
x
my
= -
ì
í =
+
î
，可解得
1
D
x = ，
\点D 在定直线
1
x = 上.
6．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
y
x
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的上下焦点分别为
1 0,
F
c 、
2 0,
F
c
-
，离
心率为
6
2
，点
1F 到渐近线的距离为1，过点
1F 且斜率为k 的直线1l 在第一象限交双曲线C 于点P ，过点
2F 且斜率
为k 的直线2l 在第四象限交双曲线C 于点Q ，
2
PF 与
1
QF 交于点M .
(1)求双曲线C 的方程；
(2)若
1
2
2
PF
QF
-
=
，求k 的值；
(3)证明：
1
2
MF
MF
+
是定值.
【答案】(1)
2
2
1
2
y
x
-
=
(2)
2
2
(3)证明见解析
【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为
a
y
x
b
=
，即
0
ax
by
-
=
，
则焦点
1F 到渐近线的距离为
2
2
|
|
1
bc
b
a
b
=
=
+
，
又因为双曲线C 的离心率
6
2
c
e
a
，
2
2
2
a
b
c
+
=
，所以
2
2
a =
，
2
1
b = ，
则双曲线C 的方程为
2
2
1
2
y
x
-
= .
（2）设
1
1
,
P x y
、
2
2
,
Q x
y
，Q 关于原点的对称点记为
3
3
,
N x
y
，则
3
2
x
x
= -
，
2
3y
y
= -
.
因为
1
1
1
3
PF
y
k
x
-
=
，
1
2
2
3
NF
y
k
x
+
=
，
2
2
2
3
QF
y
k
x
+
=
，所以
1
2
NF
QF
k
k
=
，
又因为
1
2
PF
QF
k
k
=
，即
1
1
PF
NF
k
k
=
，故P 、
1F 、N 三点共线，
又因为NQ 与
1
2
F F 互相平分，所以四边形
1
2
F NF Q 为平行四边形，故
1
2
NF
QF
=
，
所以
1
2
1
1
2
PF
QF
PF
NF
-
=
-
=
，
设
1
PF 的直线方程为
3
y
kx
=
+
，
代入双曲线方程整理得：
2
2
2
2 3
1
0
k
x
kx
-
+
+ =
，
所以
2
2
2
2
2
0
Δ
12
4
2
8
8
0
k
k
k
k
ì
-
¹
ïí
=
-
-
=
+
>
ïî
，可得
2
k ¹ ±
，
故
1
3
2
2 3
2
k
x
x
k
+
= -
-
，
1
3
2
1
2
x x
k
=
-
，
直线
1
PF 与双曲线只有两个交点，所以
1
3
2
1
0
2
x x
k
=
<
-
，解得
2
k <
.
由弦长公式得：
2
2
2
2
1
1
1
3
1
3
2
2 3
1
1
1
1
2
2
k
PF
NF
k
x
k
x
k
x
x
k
k
æ
ö
-
=
+
-
+
=
+
+
=
+
-
=
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
，
则
4
2
2
7
4
0
k
k
+
-
=
，即
2
2
2
1
4
0
k
k
-
+
=
，
且由题意可知
2
1
1
2
2 3
1
2
0
2
k
PF
NF
k
k
æ
ö
-
=
+
-
=
>
ç
÷
ç
÷
-
è
ø
，可得
0
k >
，解得
2
2
k =
.
（3）因为直线
1
PF 与直线
2
QF 斜率相等，所以
1
2
//
PF
QF ，则
1
2
PF M
F QM
△
∽△
，
所以
1
1
2
MF
PF
MQ
QF
=
，故
1
1
1
1
2
MF
PF
QF
PF
QF
=
+
，同理可得
2
2
2
1
2
MF
QF
PF
PF
QF
=
+
，
所以
1
2
2
1
1
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2 2
2 2
PF
QF
QF
PF
PF
QF
QF
PF
MF
MF
PF
QF
PF
QF
+
+
+
×
+
×
+
=
=
+
+
1
2
1
1
2
2
2 2
2 2
1
1
1
1
PF
QF
PF
NF
=
+
=
+
+
+
因为
2
2
2
2
1
3
2
2
2
1
1
1
3
1
3
2
12
4
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2 2
1
1
1
1
2
k
k
k
x
x
PF
NF
x
x
x x
k
k
k
k
-
-
-
æ
ö
æ
ö
-
+
=
+
=
=
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
+
+
+
è
ø
è
ø
-
.
所以
1
2
2
5 2
2 2
2
2 2
MF
MF
+
=
+
=
，故
1
2
MF
MF
+
为定值.
7．（24-25 高二下·江苏连云港·期末）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率为
5
2
，且过点
2 2,1 ．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)已知直线l 经过点
2,2 ，
①若直线l 与双曲线C 的左支相切，求直线l 的方程；
②若双曲线C 的右顶点为P，直线l 与双曲线C 交于A，B 两点，直线PA 的斜率为
1k ，直线PB 的斜率为
2k ，证
明：
1
2
k
k
+
为定值．
【答案】(1)
2
2
1
4
x
y
-
=
(2)①5
8
6
0
x
y
-
+
=
②证明见解析
【详解】（1）由
5
2
c
e
a
=
=
，可得
2
2
2
2
2
2
2
5
1
4
c
a
b
b
a
a
a
+
=
= +
=
，即
2
2
4
a
b
=
，
所以双曲线方程为
2
2
2
4
4
x
y
b
-
=
，代入点
2 2,1 ，
可得
2
2
1,
4
b
a
=
=
，
所以双曲线方程为
2
2
1
4
x
y
-
= .
（2）如图，
①由题意，直线斜率存在，设直线l 的方程为
2
2
y
k x
-
=
-
，
联立
2
2
2
2
1
4
y
k x
x
y
ì -
=
-
ïí
-
=
ïî
，消元可得：
2
2
2
2
1 4
16
16
32
20
0
k
x
k
k x
k
k
-
+
-
-
+
-
=
，
由直线与双曲线相切，则
2
2
2
2
2
Δ
16
16 1
4
4
8
5
0
k
k
k
k
k
=
-
-
-
-
+
-
=
，
即8
5
0
k
-
+
=
，解得
5
8
k =
,
所以直线l 的方程为
5
2
2
8
y
x
-
=
-
，即5
8
6
0
x
y
-
+
=
.
②由题意知，
(2,0)
P
，
设
1
1
2
2
,
,
,
A x y
B x
y
，直线l 的方程为
2
2
y
m x
-
=
-
，
联立双曲线方程，化简可得，
2
2
2
2
1 4
16
16
32
20
0
m
x
m
m x
m
m
-
+
-
-
+
-
=
，
由①知
5
8
m >
，
所以
2
1
2
1
2
2
2
16
1
16
32
20
,
4
1
4
1
m m
m
m
x
x
x
x
m
m
-
-
+
+
=
×
=
-
-
，
1
2
1
2
1
2
,
2
2
PA
PB
y
y
k
k
k
k
x
x
=
=
=
=
-
-
，
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
m x
m x
y
y
k
k
m
x
x
x
x
x
x
-
+
-
+
æ
ö
+
=
+
=
+
=
+
+
ç
÷
-
-
-
-
-
-
è
ø
2
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
2
2
2
16
1
4
4
4
4
1
2
2
2
2
2
32
1
2
2
2
4
16
32
20
4
4
1
4
1
m m
x
x
x
x
m
m
m
m m
x
x
x x
x
x
m
m
m
m
-
-
+
-
+
-
-
=
+
=
+
=
×
-
-
-
-
+
+
-
+
-
+
-
-
2
2
16
4
4
1
2
2
16
4
1
m
m
m
m
-
+
-
=
+ ×
-
1
1
2
2
2
2
m
m
=
-
+
=
，
即
1
2
k
k
+
为定值
1
2 .
8．（25-26 高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
的焦距为4，左右焦点分别为
1
2
,
F F ，若点
P 为双曲线C 上一点，过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线
,
PM PN ，与两条渐近线分别交于点
,
M N ，四
边形OMPN 的面积为
3
2
．设点
,
A B 分别为双曲线C 的左右顶点，过点(4,0) 的直线与双曲线C 交于点
,
D E （不同
于点
,
A B ．设直线AD 与BE 交于点G，直线AE 与BD 交于点H，双曲线在点
,
D E 处的切线交于点R．
(1)求双曲线C 的标准方程；
(2)试探究
GR
RH 是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
= .
(2)1.
【详解】（1）已知双曲线
2
2
2
2
:
1,(0
)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
<
<
焦距为4，即2
4
c =
，故
2
c =
.
又因为
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
4
a
b
+
=
.
如图，设点
0
0
(
,
)
P x
y
在双曲线上，满足
2
2
0
0
2
2
1
x
y
a
b
-
= ，双曲线的渐近线方程为
b
y
x
a
= ±
.
而四边形OMPN 的面积为
3
2
，且由题意得四边形OMPN 为平行四边形，
因为
0
0
:
PM
b
l
y
y
x
x
a
-
= -
-
，
b
y
x
a
=
，
解得
0
0
2
2
x
ay
x
b
=
-
，
0
0
2
2
bx
y
y
a
= -
+
，则
0
0
0
0
,
2
2
2
2
x
ay
bx
y
M
b
a
æ
ö
-
-
+
ç
÷
è
ø
，
同理可得
0
0
0
0
,
2
2
2
2
x
ay
bx
y
N
b
a
æ
ö
+
+
ç
÷
è
ø
，
由平行四边形面积公式得S
OM
h
=
´
=
3
2
（h 为P 点到直线OM 的距离）.
因为
2
2
0
0
0
0
2
2
2
2
x
ay
x
ay
OM
b
b
æ
ö
æ
ö
=
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
；渐近线OM 为
0
bx
ay
-
=
.
所以
0
0
2
2
bx
ay
h
a
b
-
=
+
；代入得
2
ab
S
OM
h
=
´
=
，可得
3
2
2
ab =
，
所以解得
3
ab =
，解得
1
a = ，
3
b =
.
所以双曲线的标准方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）易知斜率不存在时候不符合题意，
故设直线方程为
(
4)
y
k x
=
-
，
0
k ¹
，
代入双曲线方程联立可得
2
2
4
1
3
k x
x
-
é
ù
ë
û
-
= ，
化简得
2
2
2
2
3
8
16
3
0
k
x
k x
k
-
+
-
+
=
.
且
2
2
2
2
2
Δ
8
4
3
16
3
180
36
0
k
k
k
k
=
+ ´
-
+
=
+
>
；
如图，设
1
1
( ,
)
D x y ，
2
2
(
,
)
E x
y
，其中
(
4)
i
i
y
k x
=
-
，
则由韦达定理得
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
+
=
- ，
2
1
2
2
16
3
3
k
x x
k
+
=
-
.
直线AD 过
( 1,0)
A -
和
1
1
( ,
)
D x y ，方程为
1
1
(
1)
1
y
y
x
x
=
+
+
.
直线BE 过
(1,0)
B
和
2
2
(
,
)
E x
y
，方程为
2
2
(
1)
1
y
y
x
x
=
-
-
.
直线AD 与BE 交于点G ，可得
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
x
x
x
x
+
=
-
+
-
，
则
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
+
=
-
+
+
-
- ，可得
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
x
-
= -
-
+
-
+
- ，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
(
)
1
1
1
1
y
y
y
y
x
x
x
x
x
-
-
=
+
+
-
+
- ，
可得
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
x
k x
x
k x
x
k x
x
k x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
é
ù
-
-
+
-
-
-
+
-
-
-
=
+
ê
ú
+
-
+
-
+
-
+
-
ë
û
，
则
2
1
1
2
2
1
1
2
1
2
1
2
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1) (
4)
(
1)(
1)
(
1)(
1)
x
k x
x
k x
x
k x
x
k x
x
x
x
x
x
é
ù
-
-
-
+
-
-
-
+
+
-
-
=
ê
ú
+
-
+
-
ë
û
，
可得
2
1
1
2
2
1
1
2
(
1)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
4)
(
1)(
4)
x
x
x
x
x
x
x
x
x
-
-
+
+
-
= -
-
-
-
+
-
，
得到
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
4
4
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
-
-
+
-
+
-
= -
-
-
-
-
+
+
-
+
，
则
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
4
4
4
4
4
4
x x
x
x
x x
x
x
x
x x
x
x
x x
x
x
-
-
+
-
+
-
+
= -
-
-
-
+
+
-
+
，故
1
2
1
2
1
2
2
5
3
3
5
8
x x
x
x
x
x
x
-
= -
-
+
-
，
因为
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
+
=
- ，所以
2
1
2
2
8
3
k
x
x
k
=
-
-
，
则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
8
3
8
8
16
3
2
5(
)
3
(
)
3
3
5
k
x
k
k
k
x
k
x
x
x
k
+
´
-
-
-
= -
-
-
-
-
+
-
，
得到
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
40
3
24
8
32
6
5
3
3
5
3
k
x
k
k
k
x
k
x
x
x
k
+
-
-
-
= -
-
+
-
- 3
+
-
，则
2
2
2
2
2
2
32
24
3
8
6
2
3
8
k
k
x
k
x
x
k
-
+
-
+
-
-
-
= -
，
故
2
2
2
2
2
2
8
6
2
3
8
6
4(
4
3
1
2
)
k
k
x
k
k
x
x
-
+
-
= -
=
-
-
-
+
+
+
，故解得
1
4
G
x =
，
同理直线AE 与BD 交于点H ，其横坐标为
1
4
H
x
=
.
而双曲线在点D 和E 处的切线方程分别为
1
2
1
2
1,
1
3
3
yy
yy
xx
xx
-
=
-
= ，
联立解得切线交点R 的坐标为
1
4
Rx =
，
3
4
R
y
k
=
.
因此，点G ，R ，H 均在直线
1
4
x =
上；
设
1 ,
4
G
G
y
æ
ö
ç
÷
è
ø，
1 ,
4
R
R
y
æ
ö
ç
÷
è
ø ，
1 ,
4
H
H
y
æ
ö
ç
÷
è
ø .
由中点坐标公式得中点坐标为
1
2
1
2
1 5
5
2
2 4
1
4
1
G
H
y
y
y
y
x
x
é
ù
+
=
×
+
×
ê
ú
+
+
ë
û
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
4
4
(
4)(
1)
(
1)(
4)
5
5
8
1
1
8
(
1)(
1)
x
x
x
x
x
x
k
k
x
x
x
x
æ
ö
æ
ö
-
-
-
+
+
+
-
=
+
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
è
ø
è
ø
2
2
2
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
2
2
2
16
3
8
2
3
8
2
3(
)
8
5
5
3
3
16
3
8
8
1
8
1
3
3
k
k
x x
x
x
k
k
k
k
k
k
x x
x
x
k
k
æ
ö
+
´
- ´
-
ç
÷
æ
ö
-
+
-
-
-
=
=
ç
÷
ç
÷
+
+
+
+
ç
÷
è
ø
+
+
ç
÷
-
-
è
ø
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
16
3
8
8
24
2
3
5
5
6
3
3
3
3
16
3
8
3
8
8
5
4
3
3
3
R
k
k
k
k
k
k
k
k
y
k
k
k
k
k
k
k
k
æ
ö
+
-
´
- ´
-
ç
÷
-
-
-
=
=
×
=
=
ç
÷
+
-
ç
÷
+
+
ç
÷
-
-
-
è
ø
，
故R 为G 和H 的中点，即GR
RH
=
，因此
1
GR
RH = .
1．（2025·河南·一模）已知等轴双曲线
1
2
,
C C 的对称中心均为坐标原点O ，焦点分别在x 轴和y 轴上，且焦距均为
4．设
,
A B 两点分别在
1
2
,
C C 上，满足直线
,
OA OB 的斜率之积为1，点P 为
1
C 上异于A 的另一点，过P 分别作平行
于
,
OA OB 的直线，交
,
OB OA于
,
N M 两点．
(1)求双曲线
1
2
,
C C 的方程；
(2)证明：OA
OB
=
；
(3)设OM
OA
l
=
uuuur
uuur
，ON
OB
m
=
uuur
uuur
，证明：
2
2
l
m
-
为定值．
【答案】(1)
1
C 的方程为
2
2
2
x
y
-
=
，
2
C 的方程为
2
2
2
y
x
-
=
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设
2
2
2
1 :
C
x
y
m
-
=
，
2
2
2
2 :
C
y
x
m
-
=
，
因此2 2
4
m =
，所以
2
m =
，
1
2
,
C C 的方程分别为
2
2
2
x
y
-
=
，
2
2
2
y
x
-
=
；
（2）设点
,
A
A a y
，
,
B
B b y
，
因此
1
A
B
y
y
a
b
´
= ，
A
B
y y
ab
=
，且
2
2
2
A
y
a
=
-
，
2
2
2
B
y
b
=
+
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
2
2
4
A
B
y y
a b
a b
b
a
=
=
-
+
-
，
因此
2
2
2
a
b
-
=
，
A
y
b
= ± ，
B
y
a
= ± ，
所以
2
2
OA
OB
a
b
=
=
+
；
（3）由题意OP
OM
ON
OA
OB
l
m
=
+
=
+
uuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
，设点
,
P
P
P x
y
，
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
考点四
双曲线中的向量问题
因此
1
1
2
2
1
2
1
2
,
,
,
,
P
P
x
y
x y
x
y
x
x
y
y
l
m
l
m
l
m
=
+
=
+
+
，
又
2
2
2
P
P
x
y
-
=
，从而
2
2
1
2
1
2
2
x
x
y
y
l
m
l
m
+
-
+
=
，
整理得
2
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
2
2
0
x
y
x
y
x x
y y
l
m
lm
-
+
-
+
-
-
=
，
由（2）可知
1
2
1
2
x x
y y
=
，因此
2
2
1
l
m
-
= 为定值．
2．（2025·山东泰安·二模）已知双曲线
2
2
2
Γ :
1
0
y
x
b
b
-
=
>
，左､右顶点分别为
1
2
,
A A ，过
2,0
M -
的直线交双曲线
于,
P Q 两点.
(1)若
10 ,
4
b
P
=
在第一象限，
2
MA P
V
是等腰三角形，求P 的坐标；
(2)连接QO 并延长交双曲线于R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围.
【答案】(1)
3, 5
P
(2)
30
0, 3
3,
3
b
æ
ù
Î
ç
ú
çè
û
U
【详解】（1）当
10
4
b =
时，双曲线
2
2
Γ :
1
5
8
y
x -
= ，其中
2
2,0 ,
1,0
M
A
-
，
因为
2
MA P
△
为等腰三角形，点P 在第一象限，
所以由双曲线性质可知，MP 为三角形的底边，
2
2
3
A P
MA
=
=
，
所以P 点在以
2
A 为圆心、3 为半径的圆
2
2
1
9
x
y
-
+
=
上，
设
0
0
,
P x
y
，其中
0
0
0,
0
x
y
>
>
，则有
2
2
0
0
2
2
0
0
8
1
5
1
9
y
x
x
y
ì
-
=
ïí
ï
-
+
=
î
，解得
0
0
3
5
x
y
=
ìïí
=
ïî
，即
3, 5
P
.
（2）由题意l 的斜率不为0，设直线:
2
l x
my
=
-
，
设点
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
2
2
,
R
x
y
-
-
联立得
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
3
0
1
x
my
b m
y
b my
b
y
x
b
=
-
ìï
Þ
-
-
+
=
í
-
=
ïî
由已知二次项系数
2
2
1
0
b m - ¹
，且Δ
0
>
， 即
2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
4
4
1
3
0
4
1
3
1
b
b m
b
b m
y
y
b m
b
y y
b m
ì -
-
-
´
>
ï
ïï
+
=
í
-
ï
ï
=
ï
-
î
，
所以
1
2
2
2
1
1
1,
,
1,
A R
x
y
A P
x
y
= -
+
-
=
-
uuur
uuuur
，
则
1
2
2
1
1
2
1
1
A R A P
x
x
y y
×
= -
+
-
-
uuur uuuur
2
1
1
2
2 1
2 1
my
my
y y
= -
+
+
-
-
-
2
1
1
2
3
3
1
my
my
y y
= -
-
-
-
=
即
2
1
2
1
2
1
3
10
0
y y
m
y
y
m
+
-
+
+
=
.
代入得
2
2
2
2
2
2
2
3
4
1
3
10
0
1
1
b
b m
m
m
b m
b m
+
×
-
×
+
=
-
-
，
即
2
2
2
2
2
3
1
3
4
10
1
0
b
m
m
b m
b m
+
-
×
+
-
=
，
化简得
2
2
2
3
10
0
b m
b
+
-
=
，即
2
2
3
10
b
m +
=
，所以
2
2
10
10
0,
3
3
b
m
æ
ù
=
Îç
ú
+
è
û
因为
2
2
10
3
m
b
=
- ，代入
2
2
1
0
b m - ¹
，得
2
2
10
3
1
b
b
=
-
¹ ，
所以
2
3
b ¹ 所以
2
10
0,3
3, 3
b
æ
ù
Î
Èç
ú
è
û ，
综上，
30
0, 3
3,
3
b
æ
ù
Î
Èç
ú
çè
û
3．（24-25 高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6．
(1)求E 的方程；
(2)若直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，且
25
3
OA OB
×
= -
uuur uuur
（O 为坐标原点），求l 的方程．
【答案】(1)
2
2
1
5
4
x
y
-
= ．
(2)
5
1
5
y
x
=
+ 或
5
1
5
y
x
= -
+ ．
【详解】（1）因为双曲线
2
2
2
2
:
1
0,
0
x
y
E
a
b
a
b
-
=
>
>
的离心率是3 5
5
，焦距为6，
所以
3 5
5
c
a =
，2
6
c =
，其中
2
2
c
a
b
=
+
，解得
5
a =
，
3
c = ，所以
2
2
2
b
c
a
=
-
=
．
因此，E 的方程为
2
2
1
5
4
x
y
-
= ．
（2）设
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，
联立方程
2
2
1,
1,
5
4
y
kx
x
y
=
+
ìïí
-
=
ïî
消去y ，得
2
2
4
5
10
25
0
k
x
kx
-
-
-
=
，
因为直线:
1
l y
kx
=
+ 与E 相交于
,
A B 两点，
所以
2
2
4
5
0,
Δ
400 1
0,
k
k
ì
-
¹
ïí
=
-
>
ïî
即
2
1
k < 且
2
4
5
k ¹
，
由韦达定理，得
1
2
2
10
4
5
k
x
x
k
+
=
-
，
1
2
2
25
4
5
x x
k
-
=
-
，
又
1
1
1
1
,
,
1
OA
x y
x kx
=
=
+
uuur
，
2
2
2
2
,
,
1
OB
x
y
x kx
=
=
+
uuur
，
所以
1
1
2
2
25
,
1
,
1
3
OA OB
x kx
x kx
×
=
+
×
+
= -
uuur uuur
，
即
1
2
1
2
25
1
1
3
x x
kx
kx
+
+
+
= -
，所以
2
1
2
1
2
28
1
0
3
k
x x
k x
x
+
+
+
+
=
，
将韦达定理代入上式，得
2
2
2
25
10
28
1
0
4
5
4
5
3
k
k
k
k
k
-
+
×
+
×
+
=
-
-
，即
2
1
5
k =
，
解得
5
5
k = ±
，满足
2
1
k < 且
2
4
5
k ¹
，
因此，l 的方程为
5
1
5
y
x
=
+ 或
5
1
5
y
x
= -
+ ．
4．（24-25 高二上·四川凉山·期末）已知圆锥曲线
2
2
:
1
y
C x
l
+
= ，左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2, 0
M -
的直线l 交
曲线C 于,
P Q 两点（P 在Q 的左侧）．
(1)当离心率
1
2
e =
时，求l 的值．
(2)当
4
l =
时，是否存在直线l 使得
2
PM
PA
^
，若存在，求出l 直线方程，若不存在说明理由．
(3)连接OQ ，直线OQ 交曲线C 于另一点R ，
1
2
9
A R A P
×
= -
uuur uuuur
恒成立，求l 的取值范围．
【答案】(1)
4
3
l =
或
3
4
l =
，
(2)
5
2
2
y
x
= ±
+
(3)
9
l >
或3
0
l
- <
<
或
3
l < - ，
【详解】（1）当离心率
1
2
e =
时，则曲线为椭圆，
当焦点在x 轴时，此时0
1,
l
<
<
故
1
1
2
e
l
=
-
=
，解得
3
4
l =
，
当焦点在y 轴时，此时
1,
l >
故
1
1
2
e
l
l
-
=
=
，解得
4
3
l =
，
故
4
3
l =
或
3
4
l =
，
（2）由题意可知：直线l 有斜率，设直线
2
y
k x
=
+
，
联立
2
y
k x
=
+
与
2
2
:
1
y
C x
l
+
= 可得
2
2
2
2
4
4
0
k
x
k x
k
l
l
+
+
+
-
=
，
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，且
1
2
x
x
<
，
则
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
2
4
,
4
Δ
16
4
4
0
k
x
x
k
k
x x
k
k
k
k
l
l
l
l
l
ì
+
= -
ï
+
ï
ï
-
=
í
+
ï
ï
=
-
+
-
>
ï
î
，
2
2,0 ,
1,0
M
A
-
,则
1
1
2
1
1
2,
,
1,
MP
x
y
A P
x
y
=
+
=
-
uuur
uuuur
，
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
MP A P
x
x
y y
x
x
y
×
=
+
-
+
=
+
-
+
uuur uuuur
，
当
4
l =
时，
2
2
:
1
4
y
C x +
= ，则
2
2
1
1
1
4
y
x +
= ，
当
2
PM
PA
^
时，则
2
2
2
1
1
1
2
0
MP A P
x
x
y
×
=
+
-
+
=
uuur uuuur
，
故
2
2
1
1
1
2
4 1
0
x
x
x
+
-
+
-
=
，解得
1
1
x = 或
1
2
3
x = -
，
由于
2
1
2
2
4
0
4
k
x
x
k
+
= -
<
+
且
1
2
x
x
<
，故
1
2
3
x = -
，
1
1
x = （舍去），
此时
2 2 5
,
3
3
Pæ
ö
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
或
2
2 5
,
3
3
Pæ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
故
2 5
5
3
2
2
2
3
PM
k
=
=
-
+
或
2 5
5
3
2
2
2
3
PM
k
-
=
= -
-
+
，
故直线l 的方程为
5
2
2
y
x
= ±
+
,
（3）由于直线l 交曲线C 于,
P Q 两点（P 在Q 的左侧），
故直线l 的斜率一定存在，
联立
2
y
k x
=
+
与
2
2
:
1
y
C x
l
+
= 可得
2
2
2
2
4
4
0
k
x
k x
k
l
l
+
+
+
-
=
，
故
2
1
2
2
2
1
2
2
4
2
2
2
4
,
4
Δ
16
4
4
0
0
k
x
x
k
k
x x
k
k
k
k
k
l
l
l
l
l
l
ì
ï
+
= -
+
ï
ï
-
ï
=
í
+
ï
ï
=
-
+
-
>
ï
ï +
¹
î
，且
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
2
2
,
R
x
y
-
-
,
1
2
1,0 ,
1,0
A
A
-
，
故
1
2
2
2
1
1
1,
,
1,
A R
x
y
A P
x
y
= -
+
-
=
-
uuur
uuuur
，
故
1
2
2
1
2
1
2 1
2
1
2
1
1
1
1
9
A R A P
x
x
y y
x x
x
x
y y
×
= -
+
-
-
= -
+
+
- -
= -
uuur uuuur
，
即
2
2 1
2
1
1
2
1
2
2
9
x x
x
x
k
x
x
-
+
+
- -
+
+
= - ，
2
2
2
2
1
2
1
1
2
1
4
8
0
k
x x
k
x
x
k
+
+
-
+
+
-
=
，
故
2
2
2
2
2
2
2
4
4
1
2
1
4
8
0
k
k
k
k
k
k
k
l
l
l
-
-
+
+
-
+
-
=
+
+
，
2
2
2
2
2
2
1
4
4
2
1
4
8
0
k
k
k
k
k
k
l
l
+
-
-
-
+
+
-
=
，
2
4
2
2
4
2
2
2
4
4
4
8
4
8
4
8
0
k
k
k
k
k
k
k
k
l
l
l
-
+
-
+
-
+
-
+
-
=
化简可得
2
9
3
0
k
l
l
-
+
=
，由于
0
l ¹
，故
2
9
3
0
k
- +
=
，故
3
k = ±
，
4
2
2
2
2
Δ
16
4
4
0
3
0
k
k
k
k
l
l
l
l
=
-
+
-
>
Þ
-
>
，
考虑到
2
0
k
l +
¹
，故
3
l ¹ - ，
故
2
9
0
l
l
-
>
，解得
9
l >
或3
0
l
- <
<
或
3
l < - ，
5．（24-25 高三下·江苏南京·开学考试）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
a
b
a
b
G
-
=
>
>
，左右顶点分别为
1
2
,
A A ，过点
2,0
M -
的直线l 交双曲线G 于,
P Q 两点．
(1)若双曲线G 的渐近线为
2
y
x
= ±
时，求离心率；
(2)若
1
a = ，
1
b = ，
2
MA P
△
为等腰三角形时，且点P 在x 轴上方，求点P 的坐标；
(3)若
1
a = ，连接OQ 并延长，交双曲线G 于点R ，若
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，求b 的取值范围．
【答案】(1)
3
(2) 1
19
16
2 19
,
2
2
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
或1
19
16
2 19
,
2
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
或
3,2 2
-
(3)
30
0, 3
3,
3
æ
ù
ç
ú
çè
û
U
【详解】（1）因为双曲线G 的渐近线为
2
y
x
= ±
，所以
2
b
a =
，即
2
b
a
=
，
又因为双曲线中
2
2
2
c
a
b
=
+
，所以
2
2
2
3
c
a
b
e
a
a
+
=
=
=
.
（2）当
1
a = ，
1
b = 时，双曲线
2
2
:
1
x
y
G
-
= ，且
2 1,0
A
，
2
3
A M = ，
设点
0
0
,
P x
y
，因为点P 在x 轴上方，则
0
0
y >
，
又
2
MA P
△
为等腰三角形，所以
2
2
3
A P
A M
=
=
或
2
3
PM
A M
=
=
，
所以
2
2
0
0
2
2
0
0
1
3
1
x
y
x
y
ì
-
+
=
ïí
-
=
ïî
，解得
0
0
1
19
2
16
2 19
2
x
y
ì
+
=
ïïí
+
ï
=
ïî
或
0
0
1
19
2
16
2 19
2
x
y
ì
-
=
ïïí
-
ï
=
ïî
，
2
2
0
0
2
2
0
0
2
3
1
x
y
x
y
ì
+
+
=
ïí
-
=
ïî
，解得
0
0
1
0
x
y
=
ì
í
=
î
（舍去）或
0
0
3
2 2
x
y
= -
ìïí
=
ïî
，
综上P 点坐标为1
19
16
2 19
,
2
2
æ
ö
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
或1
19
16
2 19
,
2
2
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
或
3,2 2
-
.
（3）由双曲线的方程知
1
2
1,0 ,
1,0
A
A
-
，且由题意知
,
Q R 关于原点对称.
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，则
2
2
,
R
x
y
-
-
.
由直线PQ不与y 轴垂直，可设直线PQ的方程为
2
x
my
=
-
.
联立直线与双曲线的方程得
2
2
2
2,
1,
x
my
y
x
b
=
-
ìïí
-
=
ïî
消去x ，得
2
2
2
2
2
1
4
3
0
b m
y
b my
b
-
-
+
=
，
且
2
2
1
0
b m - ¹
，即
2
2
1
m
b
¹
，得
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
4
3
,
1
1
b m
b
y
y
y y
b m
b m
+
=
=
-
-
.
1
2
2
2
1
1
1,
,
1,
A R
x
y
A P
x
y
= -
+
-
=
-
uuur
uuuur
，
由
1
2
1
A R A P
×
=
uuur uuuur
，得
2
1
1
2
1
1
1
x
x
y y
-
+
-
-
= ，
所以
2
1
1
2
1
1
1
x
x
y y
-
-
+
= - ，即
2
1
1
2
3
3
1
my
my
y y
-
-
+
= - ，
整理得
2
1
2
1
2
1
3
10
0
m
y y
m y
y
+
-
+
+
=
，
所以
2
2
2
2
2
2
2
3
4
1
3
10
0
1
1
b
b m
m
m
b m
b m
+
×
-
×
+
=
-
-
，
整理得
2
2
2
3
10
0
b m
b
+
-
=
，所以
2
2
10
10
0,
3
3
b
m
æ
ù
=
Îç
ú
+
è
û .
又
2
2
1
m
b
¹
，所以
2
2
2
2
10
10
1
3
1
3
b
b
b
b
¹
=
+
+
，解得
2
3
b ¹ ，
所以
2
10
0,3
3, 3
b
æ
ù
Î
Èç
ú
è
û ，又
0
b >
，
故b 的取值范围是
30
0, 3
3,
3
æ
ù
Èç
ú
çè
û
.
6．（24-25 高二下·云南昆明·期中）已知双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
，离
心率为2．
(1)求双曲线C 的方程；
(2)O 为坐标原点，过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0 的直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二
象限），直线OQ 交双曲线C 于点R ，求
1
2
A R A P
uuur uuuur
g
．
【答案】(1)
2
2
1
3
y
x -
=
(2)0
【详解】（1）由双曲线
2
2
2
2
:
1(
0,
0)
x
y
C
a
b
a
b
-
=
>
>
的左、右顶点
分别为
1
2
( 1,0),
(1,0)
A
A
-
可知
1
a = ，
又由离心率为2，即
2
1
c
c
e
a
=
=
=
，可得
2
c =
，
又在双曲线中
2
2
2
c
a
b
=
+
，可得
2
3
b =
，
所以双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= .
（2）
因为直线l 过点
( 2,0)
M -
且斜率不为0，
且直线l 交双曲线C 于P，Q 两点（点P 在第一象限，点Q 在第二象限），
所以设直线l 的方程为
3
2
3
x
my
m
æ
ö
=
-
>
ç
÷
ç
÷
è
ø
（其中m 为直线l 斜率的倒数），
（由双曲线C 的方程为
2
2
1
3
y
x -
= 可知其渐近线方程为
3
y
x
= ±
，
所以直线l 的斜率
1
0
3
m
<
<
，解得
3
3
m >
）.
设
1
1
2
2
,
,
,
P x y
Q x
y
，因为直线OQ 交双曲线C 于点R ，所以
2
2
,
R
x
y
-
-
，
所以
1
2
2
1,
A R
x
y
= -
+
-
uuur
，
2
1
1
1,
A P
x
y
=
-
uuuur
，
联立
2
2
2
1
3
x
my
y
x
=
-
ìïí
-
=
ïî
，可得
2
2
3
1
12
9
0
m
y
my
-
-
+
=
，
所以由韦达定理可得
1
2
1
2
2
2
12
9
,
3
1
3
1
m
y
y
y y
m
m
+
=
=
-
- ，
所以
1
2
2
1
1
2
·
1
1
A R A P
x
x
y y
= -
+
-
-
uuur uuuur
2
1
1
2
2 1
2 1
my
my
y y
= -
+
+
-
-
-
2
1
2
1
2
1
3
9
m
y y
m y
y
= -
+
+
+
-
2
2
2
9
12
1
3
9
0
3
1
3
1
m
m
m
m
m
æ
ö
= -
+
+
-
=
ç
÷
-
-
è
ø
，
所以
1
2
0
A R A P =
uuur uuuur
g
.
7．（24-25 高三上·广东广州·模拟预测）费马原理，也称为时间最短原理：光传播的路径是光程取极值的路径．在
凸透镜成像中，根据费马原理可以推出光线经凸透镜至像点的总光程为定值（光程为光在某介质中传播的路程与
该介质折射率的乘积）．一般而言，空气的折射率约为1．如图是折射率为2 的某平凸透镜的纵截面图，其中平凸
透镜的平面圆直径MN 为6，且MN 与x 轴交于点
2,0
-
．平行于x 轴的平行光束从左向右照向该平凸透镜，所有
光线经折射后全部汇聚在点
2,0 处并在此成像．（提示：光线从平凸透镜的平面进入时不发生折射）
(1)设该平凸透镜纵截面中的曲线为曲线C ，试判断C 属于哪一种圆锥曲线，并求出其相应的解析式．
(2)设曲线F 为解析式同C 的完整圆锥曲线，直线l 与F 交于A ，B 两点，交y 轴于点H ，交x 轴于点Q （点Q 不与
F 的顶点重合）．若
1
2
HQ
k QA
k QB
=
=
uuur
uuur
uuur
，
1
2
8
3
k
k
+
= -
，试求出点Q 所有可能的坐标
【答案】(1)C 为双曲线的一部分，解析式为
2
2
1
2
1
3
y
x
x
-
=
- £
£ -
(2)
2,0 或
2,0
-
【详解】（1）设C 上任意一点
0
0
,
T x
y
，
0
0
x <
，光线从点N 至点
2,0 的光程为
1d ，光线穿过凸透镜后从T 点折
射到点
2,0 的光程为
2
d ，
则
2
2
1
1
3
4
5
d = ´
+
=
，
2
2
2
0
0
0
2
2
1
2
x
x
y
d =
´
+
+ ´
-
+
，
由题意得
1
2
d
d
=
，得
2
2
0
0
0
2
2
2
5
x
x
y
+
+
-
+
=
，化简得
2
2
0
0
0
1 2
2
x
x
y
-
=
-
+
，
2
2
2
0
0
0
0
0
1
4
4
4
4
x
x
x
x
y
\ +
-
=
+
-
+
，
2
2
0
0
1
3
y
x
\
-
= ．令
0
0
y =
，得
0
1
x = - ，
C
\
为双曲线的一部分，解析式为
2
2
1
2
1
3
y
x
x
-
=
- £
£ -
；
（2）由题意知
2
2
:
1
3
y
F x -
= ．
设
0,
H
n ，
,0
1
Q m
m ¹ ±
，
,
A
A
A x
y
，
,
B
B
B x
y
，
则
,
HQ
m
n
=
-
uuur
，
,
A
A
QA
x
m y
=
-
uuur
，
,
B
B
QB
x
m y
=
-
uuur
，
1
2
HQ
k QA
k QB
=
=
uuur
uuur
Q
uuur
，
1
1
A
A
m
k
x
m
n
k y
ì
=
-
\í
- =
î
，
2
2
B
B
m
k
x
m
n
k y
ì
=
-
í
- =
î
，
易知
1
0
k ¹
，
2
0
k ¹
，得
1
1
1
A
A
mk
m
x
k
n
y
k
+
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
2
2
2
B
B
mk
m
x
k
n
y
k
+
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
即
1
1
1
,
mk
m
n
A
k
k
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
，
2
2
2
,
mk
m
n
B
k
k
æ
ö
+
-
ç
÷
è
ø
．
将点A 的坐标代入
2
2
1
3
y
x -
= ，得
2
2
2
2
2
1
1
2
2
1
1
2
1
3
m k
m k
m
n
k
k
+
+
-
= ，
化简整理得
2
2
2
2
2
1
1
1
2
0
3
n
m
k
m k
m
æ
ö
-
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
．
同理可得
2
2
2
2
2
2
2
1
2
0
3
n
m
k
m k
m
æ
ö
-
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
，
1k
\
与
2k 为方程
2
2
2
2
2
1
2
0
3
n
m
x
m x
m
æ
ö
-
+
+
-
=
ç
÷
è
ø
的两个解，
2
1
2
2
2
1
m
k
k
m
\
+
= -
- ．
由题知
1
2
8
3
k
k
+
= -
，
2
2
2
8
1
3
m
m
\-
= -
-
，解得
2
m = ± ，
\点Q 的坐标可能为
2,0 或
2,0
-
.
8．（24-25 高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：
2
2
1
4
x
y
-
= ．过y 轴正半轴上一点T 作射线TA，TB 交C
于点
1
1
,
A x y
，
2
2
,
B x
y
，且
1
2
0
y y <
．
0,0
P x
为x 轴正半轴上一点，满足2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
．
(1)若P 为C 的右焦点，求直线AB 的方程；
(2)求
0x 的取值范围；
(3)若T 在直线AB 上，且OP
OT
=
，是否存在
0x ，使得|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
？若存在，求
0x ；若不存在，请说
明理由．
【答案】(1)
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
(2)
2
0,
(2,
)
3
æ
ö
+¥
ç
÷
è
ø
U
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）：
因为C：
2
2
1
4
x
y
-
= ，
2
a =
，
1
b = ，
5
c =
，故
0
5
x =
．
设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
( 5,
)
TP
m
=
-
uur
，
因为2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
1
2
2
3 5
2(
)
3
x
x
y
m
y
m
m
ì
+
=
ïí
-
+
-
= -
ïî
，即
1
2
1
2
2
3 5
2
0
x
x
y
y
ì
+
=
ïí
+
=
ïî
．
设AB：x
ny
t
=
+ ，联立得
2
2
1
4
x
y
x
ny
t
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，
整理得
2
2
2
4
2
4
0
n
y
nty
t
-
+
+
-
=
，
故
1
2
2
2
4
nt
y
y
n
+
= -
-
，
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
2
2
2
2
2
Δ
(4
)
4
4
4
16
4
0
nt
n
t
n
t
=
-
-
-
=
+
-
>
，
2
2
4
n
t
+
>
．
其中
1
2
2
0
y
y
+
=
，所以
1
2
2
4
nt
y
n
=
-
，
2
2
4
4
nt
y
n
= -
-
，又
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
故
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
nt
nt
t
n
n
n
-
æ
ö
× -
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
，所以
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
．
因为
1
2
1
2
1
2
3 5
2
2
2
3
3
x
x
ny
t
ny
t
n
y
y
t
t
=
+
=
+
+
+ =
+
+
=
，
所以
5
t =
，代入
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
，解得
2 41
41
n = ±
，
故直线AB 的方程为
2 41
:
5
41
AB x
y
= ±
+
，
（或者直线AB 的方程为
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
）．
法2（定比点差法）：
因为A、B 在C 上，于是
2
2
1
1
2
2
2
2
1
4
1
4
x
y
x
y
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，即
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
4
4
1
4
x
y
x
y
ì
-
=
ïïí
ï
-
=
ïî
，
两式相减得
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
4
x
x
x
x
y
y
y
y
+
-
-
+
-
=
，
因为C：
2
2
1
4
x
y
-
= ，
2
a =
，
1
b = ，
5
c =
，故
0
5
x =
．
设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
( 5,
)
TP
m
=
-
uur
，
因为2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
1
2
2
3 5
2(
)
3
x
x
y
m
y
m
m
ì
+
=
ïí
-
+
-
= -
ïî
，即
1
2
1
2
2
3 5
2
0
x
x
y
y
ì
+
=
ïí
+
=
ïî
．
故
1
2
4 5
2
5
x
x
-
=
，
联立解得
1
1
19 5
20
205
40
x
y
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
，
2
2
11 5
10
205
20
x
y
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
或
1
1
19 5
20
205
40
x
y
ì
=
ïïí
ï
= -
ïî
，
2
2
11 5
10
205
20
x
y
ì
=
ïïí
ï
=
ïî
．
第一种情况，得
205
205
40
20
11 5
205
41
205
:
10
20
2
2
19 5
11 5
20
10
AB y
x
x
æ
ö
- -
ç
÷ æ
ö
è
ø
=
-
-
= -
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
；
第二种情况，同理得
205
205
11 5
205
41
205
40
20
:
10
20
2
2
19 5
11 5
20
10
AB y
x
x
-
-
æ
ö
=
-
+
=
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
-
．
故直线AB 的方程为
41
205
2
2
y
x
= -
+
或
41
205
2
2
y
x
=
-
．
（2）设
0,
T
m ，则
1
1
,
TA
x y
m
=
-
uur
，
2
2
,
TB
x
y
m
=
-
uur
，
0
(
,
)
TP
x
m
=
-
uur
，
2
3
TA
TB
TP
+
=
uur
uur
uur
，所以
1
2
0
1
2
2
3
2(
)
3
x
x
x
y
m
y
m
m
+
=
ì
í
-
+
-
= -
î
，即
1
2
0
1
2
2
3
2
0
x
x
x
y
y
+
=
ì
í
+
=
î
，
设AB：x
ny
t
=
+ ，联立得
2
2
1
4
x
y
x
ny
t
ì
-
=
ïí
ï =
+
î
，
整理得
2
2
2
4
2
4
0
n
y
nty
t
-
+
+
-
=
，
故
1
2
2
2
4
nt
y
y
n
+
= -
-
，
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
2
2
2
2
2
Δ
(4
)
4
4
4
16
4
0
nt
n
t
n
t
=
-
-
-
=
+
-
>
，
2
2
4
n
t
+
>
．
其中
1
2
2
0
y
y
+
=
，所以
1
2
2
4
nt
y
n
=
-
，
2
2
4
4
nt
y
n
= -
-
，又
2
1
2
2
4
4
t
y y
n
-
=
-
，
故
2
2
2
2
2
4
4
4
4
4
nt
nt
t
n
n
n
-
æ
ö
× -
=
ç
÷
-
-
-
è
ø
，所以
2
2
2
9
4
4
16
t
n
t
-
=
-
．
又
0
1
2
1
2
1
2
3
2
2
2
3
3
x
x
x
ny
t
ny
t
n
y
y
t
t
=
+
=
+
+
+ =
+
+
=
，故
0x
t
= ，
故
2
2
2
0
0
9
4
4
16
x
n
x
-
=
-
，
当
2
0
9
4
0
x -
=
，即
0
2
3
x =
时，
2
2
2
0
4
16
3
n
æ
ö
×
=
´
-
ç
÷
è
ø
，无解，舍去；
当
2
0
9
4
0
x -
¹
，即
0
2
3
x ¹
时，整理得
2
2
0
2
0
4
16
0
9
4
x
n
x
-
=
>
-
，
解得
0
2
x >
或
0
2
0
3
x
<
<
．
综上所述，
0x 的取值范围是
2
0,
(2,
)
3
¥
æ
öÈ
+
ç
÷
è
ø
；
（3）不存在，理由如下：
假设存在，|
| |
| |
| |
|
PA
TB
PB
TA
×
=
×
等价于|
|
|
|
|
|
|
|
PA
TA
PB
TB
=
．
由（2）知，A、P、B 三点共线，又T 在直线AB 上，所以T、A、P、B 四点共线，
则直线
0
:
AB x
ny
x
=
+
，又
0
0,
T
x
，故
1
n = - ，
从水平方向上看，有
0
1
1
2
0
2
x
x
x
x
x
x
-
=
-
，整理得
1
2
0
1
2
2x x
x
x
x
=
+
．
从竖直方向上看，有
0
1
1
2
0
2
x
y
y
y
x
y
-
=
-
-
，整理得
1
2
0
1
2
2y y
x
y
y
=
+
．
所以
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
x x
y y
x
x
y
y
=
+
+
，
又由（2）得
0
1
2
2
2
4
nx
y
y
n
+
= -
-
，
2
0
1
2
2
4
4
x
y y
n
-
=
-
，
0
1
2
1
2
0
2
8
2
4
x
x
x
n y
y
x
n
+
=
+
+
= -
-
，
2
2
0
2
2
1
2
1
2
0
1
2
0
2
4
4
n
x
x x
n y y
nx
y
y
x
n
+
=
+
+
+
= -
-
，
所以
2
2
0
1
2
1
2
0
2
n
x
x x
x
x
x
+
=
+
，
2
0
1
2
1
2
0
4
2
x
y y
y
y
nx
-
= -
+
，代入整理得
3
2
0
4
1
n
x
n
-
=
+
．
而
1
2
0
1
2
2y y
x
y
y
=
+
，所以
2
0
0
0
4
x
x
nx
-
= -
，整理得
2
0
4
1
x
n
=
+ ，
所以
3
4
4
1
1
n
n
n
-
=
+
+
，解得
0
n =
，与
1
n = - 矛盾．
故不存在这样的
0x ．
