第一章 集合与常用逻辑用语、不等式综合测试卷
（新高考专用）
（考试时间：120分钟；满分：150分）
注意事项：
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填
写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求.
1．（5分）（2024·黑龙江哈尔滨·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A={−1,0,1,2) B={x|x3=x) A∩B=
A．{−1) B．{−1,1) C．{0,1) D．{−1,0,1)
【解题思路】化简集合B，由集合的交集定义计算即可.
【解答过程】因为 ，
B={x|x3=x)={−1,0,1)
所以A∩B={−1,0,1).
故选：D.
1 1
2．（5分）（2024·贵州遵义·一模）已知命题p:∀x>1，lnx> − ，则¬p为（ ）
3 3x3
1 1 1 1
A．∀x>1，lnx≤ − B．∃x≤1，lnx< −
3 3x3 3 3x3
1 1 1 1
C．∃x≤1，lnx≤ − D．∃x>1，lnx≤ −
3 3x3 3 3x3
【解题思路】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将∃改为∀，再将结论否定.
1 1
【解答过程】由命题p:∀x>1，lnx> − 可知，
3 3x31 1
¬p为∃x>1，lnx≤ − ，故D正确；ABC错误；
3 3x3
故选：D.
3．（5分）（2024·四川成都·三模）满足M⊆{a,b,c,d)且M∩{a,b,c)={a)的集合M的个数为（
）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据交集的结果，以及子集的关系，确定集合M中的元素，即可求解集合M的个数.
【解答过程】由M∩{a,b,c)={a)可得：{a)⊆M，a∈M，b,c∉M.又因为M⊆{a,b,c,d)，
所以M={a)或M={a,d).
故选：B.
4．（5分）（2024·贵州·模拟预测）设x∈R，则“|x−2)<1”是“1<x<2”的（ ）
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件 D．必要不充分条件
【解题思路】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解.
【解答过程】|x−2|<1的解集为{x|1<x<3}，所以“|x−2)<1”是“1<x<2”的必要不充分条件.
故选：D.
5．（5分）（2024·北京丰台·二模）若a,b∈R，且a>b，则（ ）
1 1
A． < B．a2b>ab2
a2+1 b2+1
a+b
C．a2>ab>b2 D．a> >b
2
【解题思路】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
1 1 1 1 1
【解答过程】由于a>b，取a=1,b=−1， = = ，a2b=ab2=1，无法得到 < ，
a2+1 b2+1 2 a2+1 b2+1
a2b>ab2，故AB错误，
取a=0,b=−2,则a2=0,ab=0,b2=4，无法得到a2>ab>b2，C错误，
a+b
由于a>b，则2a>b+a>2b，所以a> >b，
2
故选：D.
6．（5分）（2024·浙江·模拟预测）若不等式kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数，则实数k的取值范围
是（ ）
A．2≤k≤18 B．−18<k<−2C．2<k<18 D．0<k<2
【解题思路】分类讨论k=0与k≠0两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【解答过程】当k=0时，不等式kx2+(k−6)x+2>0可化为−6x+2>0，显然不合题意；
当k≠0时，因为kx2+(k−6)x+2>0的解为全体实数，
所以{ k>0 )，解得 ；
2<k<18
Δ=(k−6) 2−4k×2<0
综上：2<k<18.
故选：C.
7．（5分）（2024·广东·一模）已知 且 ，则“ 的解集为 ”是“
a,b,c∈R a≠0 ax2+bx+c>0 {x|x≠1))
a+b+c=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解题思路】
根据一元二次不等式的解及充分条件、必要条件求解.
【解答过程】由题意，二次不等式 的解集为 ，
ax2+bx+c>0 {x|x≠1))
a>0
{ )
则等价于 b ，即 ，即 ，
− =1 a=c>0,b=−2a a+b+c=0
2a
Δ=b2−4ac=0
当a+b+c=0时，不能推出a=c>0,b=−2a，
所以“ 的解集为 ”是“ ”的充分不必要条件，
ax2+bx+c>0 {x|x≠1)) a+b+c=0
故选：A.
8．（5分）（2024·陕西西安·模拟预测）下列说法错误的是（ ）
1 1
A．若正实数a,b满足a+b=1，则 + 有最小值4
a b
B．若正实数a,b满足a+2b=1，则2a+4b≥2❑√2
C．y=❑√x2+3+
1
的最小值为
4❑√3
❑√x2+3 3
D．若a>b>1，则ab+1<a+b1 1 (1 1) 1 1
【解题思路】对于A，利用 + =(a+b) + 即可证明 + ≥4，再给出取等的情况即可得到A正确；
a b a b a b
对于B，利用 即可证明 ，得到B正确；对于C，利用换元法与对勾函数单
2a+22b≥2❑√2a ⋅22b 2a+4b≥2❑√2
调性判断；对于D，验证当a=3，b=2时不等式不成立，得到D错误.
【解答过程】对于A，若正实数a,b满足a+b=1，则
1
+
1
=(a+b)
(1
+
1)
=2+
b
+
a
≥2+2❑
√b
⋅
a
=2+2=4
，而当
a=b=
1时，有
a+b=1
，1
+
1
=4
，从
a b a b a b a b 2 a b
1 1
而 + 的最小值是4，故A正确；
a b
对于B，若正实数 满足 ，则 ，故B正确；
a,b a+2b=1 2a+4b=2a+22b≥2❑√2a ⋅22b=2❑√2a+2b=2❑√2
1 1 4❑√3
对于C，设❑√x2+3=t∈[❑√3,+∞)，则y=t+ (t≥❑√3)，由对勾函数单调性得最小值是❑√3+ = ，
t ❑√3 3
故C正确；
对于D，当a=3，b=2时，有a>b>1，但ab+1=3⋅2+1=7>5=3+2=a+b，故D错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．（5分）（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知集合 ，集合 ，能使
A={x|x≤3)) B={x|x≤m+1))
A∩B=A成立的充分不必要条件有（ ）
A．m>0 B．m>1 C．m>3 D．m>4
【解题思路】由A∩B=A成立的充要条件求出对应的参数m的范围，结合充分不必要条件的定义即可得解.
【解答过程】A∩B=A当且仅当A是B的子集，当且仅当m+1≥3，即m≥2，
对比选项可知使得m≥2成立的充分不必要条件有m>3，m>4.
故选：CD.
10．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知a>b>0,c>0，则下列式子正确的是（ ）
1 1 a+b 1 a a+c
A．c−b>c−a B． < C． ≥ D． <
❑√ac ❑√bc a+2❑√2ab 2 b b+c
【解题思路】根据不等式的性质可得A、B的正误；根据基本不等式可得C的正误；利用作差法可得D的正误.
【解答过程】由a>b>0,c>0，得−a<−b<0，所以c−a<c−b，A正确．
1 1
因为a>b>0,c>0，所以ac>bc>0，所以❑√ac>❑√bc>0，所以 > >0，B正确．
❑√bc ❑√ac
因为a>b>0，所以a+2❑√2ab≤a+(a+2b)=2(a+b)，当且仅当a=2b时取等号，
a+b a+b 1
所以 ≥ = ，C正确．
a+2❑√2ab 2(a+b) 2
a a+c a(b+c)−b(a+c) (a−b)c a a+c
因为 − = = >0，所以 > ，D错误．
b b+c b(b+c) b(b+c) b b+c
故选：ABC．
x
11．（5 分）（2024·全国·模拟预测）非空集合 A 具有如下性质：①若x,y∈A，则 ∈A；②若
y
x,y∈A，则x+ y∈A下列判断中，正确的有（ ）
2022
A．−1∉A B． ∈A
2023
C．若x,y∈A，则xy∈A D．若x,y∈A，则x−y∈A
【解题思路】
根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】
x
对于A，假设−1∈A，则令x= y=−1，则 =1∈A，
y
令x=−1,y=1，则x+ y=0∈A，
x
令x=1,y=0，不存在 ，即y≠0，矛盾，
y
∴−1∉A，故A对；
对于B，由题，1∈A，则1+1=2∈A,2+1=3∈A,⋯,2022∈A,2023∈A,
2022
∴ ∈A，故B对；
2023
1
对于C，∵1∈A，x∈A，∴ ∈A，
x
1 y
y∈A, ∈A,∴ =xy∈A,
∵ x 1 故C对；
x
对于D，∵1∈A，2∈A，若x=1,y=2，则x−y=−1∉A，故D错误．故选：ABC．
12．（5分）（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式 的解集是{ | 1 ))
4x2−5x+1>0 x x> 或x<1
4
B．不等式 的解集是{ | 3 ))
2x2−x−6≤0 x x≤− 或x≥2
2
C．若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，则a的取值范围是∅
1
D．若关于x的不等式2x2+px−3<0的解集是(q,1)，则p+q的值为−
2
【解题思路】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对a分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式
的解集与一元二次方程的根的关系，先求得p,q，然后即可判断.
1
【解答过程】对于A，4x2−5x+1>0⇔(x−1)(4x−1)>0⇔x< 或x>1，故A错误；
4
3
对于B，2x2−x−6≤0⇔(x−2)(2x+3)≤0⇔− ≤x≤2，故B错误；
2
若不等式ax2+8ax+21<0恒成立，
当a=0时，21<0是不可能成立的，
所以只能{ a<0 )，而该不等式组无解，综上，故C正确；
Δ=64a2−84a<0
对于D，由题意得q,1是一元二次方程2x2+px−3=0的两根，
{ q×1= −3 ) 3
从而 2 ，解得p=1,q=− ，
2
2+p−3=0
3 3
而当p=1,q=− 时，一元二次不等式2x2+x−3<0⇔(x−1)(2x+3)<0⇔− <x<1满足题意，
2 2
1
所以p+q的值为− ，故D正确.
2
故选：CD.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．（5分）（2023·吉林·二模）命题“∃x∈R，ax2+x+1<0”为假命题，则实数a的取值范围为
1
a≥ .
4
【解题思路】
分析可知命题“∀x∈R，ax2+x+1≥0”为真命题，对实数a的取值进行分类讨论，在a=0时，直接验
证即可；当a≠0时，根据二次不等式恒成立可得出关于实数a的不等式组，综合可得出实数a的取值范围.
【解答过程】由题意可知，命题“∀x∈R，ax2+x+1≥0”为真命题.
当a=0时，由x+1≥0可得x≥−1，不合乎题意；
{ a>0 ) 1
当a≠0时，由题意可得 ，解得a≥ .
Δ=1−4a≤0 4
1
因此，实数a的取值范围是a≥ .
4
1
故答案为：a≥ .
4
14．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知集合M={−2,−1,0,1)，N={x|a−3<x<1)，若M∩N中有2
个元素，则实数a的取值范围是 [1,2) ．
【解题思路】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【解答过程】因为M={−2,−1,0,1)，N={x|a−3<x<1)，若M∩N中有2个元素，
所以M∩N={−1,0)，所以−2≤a−3<−1，解得1≤a<2，
则实数a的取值范围是[1,2).
故答案为：[1,2).
2 1
15．（5分）（2024·全国·模拟预测）已知x>1，y>0，且x+ =2，则 + y的最小值是 3+2❑√2 ．
y x−1
【解题思路】利用 “1”的巧用及基本不等式即可求解.
2 2
【解答过程】由x+ =2，得x−1+ =1，
y y
因为x>1，y>0，
所以x−1>0,y>0，
所以 1 ( 2)( 1 ) 2 √ 2 ，
+ y= x−1+ + y =3+(x−1)y+ ≥3+2❑(x−1)y⋅ =3+2❑√2
x−1 y x−1 (x−1)y (x−1)y
2
当且仅当(x−1)y= ，即x=❑√2，y=2+❑√2时，等号成立，
(x−1)y1
所以 + y的最小值是3+2❑√2．
x−1
故答案为：3+2❑√2．
16．（5分）（2024·上海静安·二模）在下列关于实数a、b的四个不等式中，恒成立的是 ②③④ ．
（请填入全部正确的序号）
(a+b) 2
①a+b≥2❑√ab；② ≥ab；③|a|−|b|≤|a−b|；④a2+b2≥2b−1．
2
【解题思路】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证|a|−|b|≤|a−b|即证2|a)|b)≥2ab可判断③.
【解答过程】对于①，取a=−1,b=1，故①错误；
(a+b) 2 a2+b2+2ab−4ab a2+b2−2ab (a−b) 2
对于②， −ab= = = ≥0，故②正确；
2 4 4 2
对于③，当 ，要证 ，即证 ，
|a)≥|b) |a|−|b|≤|a−b| (|a)−|b)) 2 ≤(|a−b)) 2
即 ，即证 ，
|a|2+)b|2−2|a)|b)≤a2+b2−2ab 2|a)|b)≥2ab
而2|a)|b)≥2ab恒成立，
当|a)<|b)时，|a|−|b|<0,|a−b|>0，所以|a|−|b|≤|a−b|，故③正确.
对于④， ，所以 ，故④正确.
a2+b2−2b+1=a2+(b−1) 2≥0 a2+b2≥2b−1
故答案为：②③④.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）（2023·山东·模拟预测）设全集U={2,4,a2−5a}，P={a−2,2}，∁ P={6}，求a的值．
U
【解题思路】由补集的概念列式求解．
【解答过程】解：∵全集U={2,4,a2−5a}，P={a−2,2}，∁ P={6}，
U
∴¿，
∴a=6．
18．（12分）（2023·重庆酉阳·一模）命题p：任意x∈R，x2−2mx−3m>0成立；命题q：存在x∈R，
x2+4mx+1<0成立.
(1)若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
(2)若命题p和q有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围.
【解题思路】（1）由q真,由判别式求得m的取值范围，进而得到q假的条件；
（2）求得p真的条件，由p和q有且只有一个为真命题，得到p真q假，或p假q真，然后分别求的m的取
值范围，再取并集即得.1 1
【解答过程】（1）由q真：Δ=16m2−4>0，得m<− 或m> ，
2 2
1 1
所以q假：− ≤m≤ ；
2 2
（2）p真：Δ=4m2+12m<0推出−3<m<0，
由p和q有且只有一个为真命题，
∴ p真q假，或p假q真，
{−3<m<0
)
{m≤−3或m≥0
)
1 1 或 1 1 ，
− ≤m≤ m<− 或m>
2 2 2 2
1 1
∴− ≤m<0或m≤−3或m> .
2 2
a2 3a−b
19．（12分）（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b为正实数，求证： ≥ ．
a+b 4
a3 b3 c3 ab+bc+ac
（2）设a，b，c为正实数，求证： + + ≥ ．
a+b b+c c+a 2
【解题思路】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.
【解答过程】（1）因为 a2 3a−b (a−b) 2，a，b为正实数，
− =
a+b 4 4(a+b)
所以(a−b) 2 ，所以 a2 3a−b，当且仅当 时，取等号．
≥0 ≥ a=b
4(a+b) a+b 4
a3 3a2−ab
（2）由（1），得 ≥ ．
a+b 4
b3 3b2−bc c3 3c2−ac
同理，得 ≥ ， ≥
b+c 4 c+a 4
a3 b3 c3 3a2−ab+3b2−bc+3c2−ac
所以 + + ≥ =
a+b b+c c+a 4
3(a2+b2+c2)−ab−bc−ac 3(ab+bc+ac)−(ab+bc+ac) ab+bc+ac，
≥ =
4 4 2
当且仅当a=b=c时，取等号．
20．（12分）（23-24高一下·湖南株洲·阶段练习）已知集合 ， 或
A={x)−3<2x+1<7) B={x)x<−4)， ．
x>2) C={x)3a−2<x<a+1)
(1)求A∩(∁ B)；
R
(2)若“p:x∈∁ (A∪B)”是“q:x∈C”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
R
【解题思路】（1）先求出集合A，再求出∁ B，最后由交集的运算求出A∩(∁ B)；
R R
（2）先求出A∪B，再求出∁ (A∪B)，再由充分不必要条件构造关于a的方程组，解出即可.
R
【解答过程】（1）因为 ，又 ，
A={x)−3<2x+1<7)={x)−2<x<3)
∁
B={x|−4≤x≤2)
R
所以A∩(∁ B)={x|−2<x≤2).
R
（2） 或 ，所以 ，
A∪B ={x)x<−4) x>−2) ∁ (A∪B)={x|−4≤x≤−2)
R
因为“p:x∈∁ (A∪B)”是“q:x∈C”的充分不必要条件，
R
则 ，又 ，
∁ (A∪B)⊆C C={x)3a−2<x<a+1)
R
所以
{3a−2<−4)
⇒−3<a<−
2
.
a+1>−2 3
21．（12分）（2024·全国·二模）已知实数a>0,b>0，满足a+b=4❑√3.
(1)求证：a2+b2≥24；
(2)求(a2+1)(b2+1)的最小值.
ab
【解题思路】（1）将a+b=4❑√3两边平方后利用基本不等式证明；
（2）将(a2+1)(b2+1)变形后将条件代入，然后利用基本不等式求最值.
ab
【解答过程】（1）由 得 ，
a+b=4❑√3 48=(a+b) 2=a2+b2+2ab≤a2+b2+a2+b2=2(a2+b2)
当且仅当a=b=2❑√3时等号成立，
所以a2+b2≥24；
（2）由已知a>0,b>0，则ab>0，
则(a2+1)(b2+1) a2b2+a2+b2+1 a2b2+(a+b) 2−2ab+1 a2b2+48−2ab+1
= = =
ab ab ab ab
49
=ab+ −2≥2❑√49−2=12，
ab当且仅当 { ab= 49 ) ，即 一个为 ，一个为 时等号成立.
ab a,b 2❑√3+❑√5 2❑√3−❑√5
a+b=4❑√3
所以(a2+1)(b2+1)的最小值 .
12
ab
22．（12分）（23-24高一上·江苏·阶段练习）设函数 .
f(x)=ax2+(1−a)x+a−2
（1）若关于x的不等式f (x)≥−2有实数解，求实数a的取值范围；
（2）若不等式f (x)≥−2对于实数a∈[−1,1)时恒成立，求实数x的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f(x)<a−1,(a∈R).
【解题思路】(1)将给定的不等式等价转化成 ，按 与 并结合二次函数的性质
ax2+(1−a)x+a≥0 a=0 a≠0
讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成 ，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(x2−x+1)a+x≥0
(3)将不等式化为 ，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
ax2+(1−a)x−1<0
【解答过程】(1)依题意， 有实数解，即不等式 有实数解，
f (x)≥−2 ax2+(1−a)x+a≥0
当a=0时，x≥0有实数解，则a=0，
当 时，取 ，则 成立，即 有实数解，于是得 ，
a>0 x=0 ax2+(1−a)x+a=a>0 ax2+(1−a)x+a≥0 a>0
当 时，二次函数 的图象开口向下，要 有解，当且仅当
a<0 y=ax2+(1−a)x+a y≥0
1
Δ=(1−a) 2−4a2≥0⇔−1≤a≤ ，从而得−1≤a<0，
3
综上，a≥−1，
所以实数a的取值范围是a≥−1；
(2)不等式 对于实数 时恒成立，即 ，
f (x)≥−2 a∈[−1,1) ∀a∈[−1,1],(x2−x+1)a+x≥0
显然 ，函数 在 上递增，从而得 ，即
x2−x+1>0 g(a)=(x2−x+1)a+x a∈[−1,1) g(−1)≥0
−x2+2x−1≥0，解得x=1，所以实数x的取值范围是{1}；
(3) 不等式 ，
f(x)<a−1⇔ax2+(1−a)x−1<0
当a=0时，x<1，
1 1 1
当a>0时，不等式可化为(x+ )(x−1)<0，而− <0，解得− <x<1，
a a a
1
当a<0时，不等式可化为(x+ )(x−1)>0，
a
1
当− =1，即a=−1时，x∈R,x≠1，
a
1 1
当− <1，即a<−1时，x<− 或x>1，
a a
1 1
当− >1，即−1<a<0时，x<1或x>− ，
a a
所以，当a=0时，原不等式的解集为(−∞,1)，
1
当a>0时，原不等式的解集为(− ,1)，
a
1
当−1≤a<0时，原不等式的解集为(−∞,1)∪(− ,+∞)，
a
1
当a<−1时，原不等式的解集为(−∞,− )∪(1,+∞).
a
