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专题7-3 圆锥曲线离心率归类
目录
题型01 离心率基础...............................................................................................................................................................1
题型02 第一定义求离心率...................................................................................................................................................3
题型03 中点型求离心率.......................................................................................................................................................6
题型04 点差法型求离心率（第三定义型）.......................................................................................................................9
题型05 渐近线型离心率.....................................................................................................................................................12
题型06 渐近线中点型求离心率.........................................................................................................................................13
题型07 构造a、b、c 齐次式型.........................................................................................................................................17
题型08 焦半径型离心率.....................................................................................................................................................19
题型09 焦点三角形求离心率.............................................................................................................................................21
题型10 双焦点三角形余弦定理型.....................................................................................................................................23
题型11 焦点三角形双角度型.............................................................................................................................................27
题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率.................................................................................................................................30
题型13 借助均值不等式求共焦点型.................................................................................................................................32
题型14 焦点三角形内心型求离心率.................................................................................................................................35
题型15 焦点三角形重心型求离心率.................................................................................................................................39
题型16 小题大做型求离心率.............................................................................................................................................41
高考练场..............................................................................................................................................................................45
题型01 离心率基础
【解题攻略】
求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得
得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于
的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不
等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
【典例1-1】.P 是椭圆
上的一点，F 为椭圆的右焦点，
轴，过点P 作斜率为
的直线恰好经过左顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】如图所示，求出
，化简方程
即得解.
1
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【详解】
如图所示，
，
由题得
所以
.
故选：C
【典例1-2】（2021 秋·山西晋城·高三晋城市第一中学校校考阶段练习）双曲线
的离心率用
来表示，则
（ ）
A．在
上是增函数
B．在
上是减函数
C．在
上是增函数，在
上是减函数
D．是常数
【答案】D
【分析】根据双曲线
的渐近线为坐标轴，结合等轴双曲线的离心率为定值，即可求解.
【详解】由题意，双曲线
的渐近线为
轴和
轴，即坐标轴，
其中坐标轴互相垂直，即该双曲线为等轴双曲线，
所以双曲线
的离心率为
，即
（常数）.
故选：D.
【变式1-1】（2023 秋·高三课时练习）实轴长和虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，则等轴双曲线的离
心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】A
【分析】依题意可得
，即可得到，从而求出离心率.
【详解】依题意可得等轴双曲线中
，则
，
所以离心率
.
故选：A
【变式1-2】已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点P 为C 上一点，若
，且
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
2
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【分析】先根据
，且
求得
，再根据勾股定理列出关于
的方
程，解出 即可
【详解】
点椭圆
上的点，
，且
在
中，
即
，整理得：
即
故选：D
【变式1-3】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，P 为椭圆C 上一点，若
的周长为18，长半轴长为5，则椭圆C 的离心率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为
的周长为18，所以
，结合题意可得
，代入离心率公式
运
算求解．
【详解】设焦距为
．
因为
的周长为18，所以
，所以
．
因为长半轴长为5，即
所以椭圆C 的离心率为
故选：B．
题型02 第一定义求离心率
【解题攻略】
解题时要把所给的几何特征转化为
的关系式．求离心率的常用方法有：
（1）根据条件求得
，利用
或
求解；
（2）根据条件得到关于
的方程或不等式，利用
将其化为关于的方程或不等式，然后解方程或
不等式即可得到离心率或其范围．
【典例1-1】已知椭圆
的右焦点为F（5，0），点A，B 为C 上关于原点对称的两点，
3
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且
，
，则C 的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得
，结合
，
求得
，
，继而可求出
，求得
答案.
【详解】因为点A，B 为C 上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB 过原点O，
又因为
，
，故
，
又
，所以
，
，取C 的左焦点为
，连接
，则
，
所以
，所以
，所以C 的离心率为
，故答案为：
【典例1-2】设椭圆
(
)的一个焦点
点
为椭圆
内一点,若椭圆
上存在一点
，使得
，则椭圆
的离心率的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A【解析】
记椭圆的左焦点为
，则
，即
，
，
，即
，即
，
椭圆
的离心率的取值范围是
，故选A.
【变式1-1】.椭圆
的左右焦点分别为
､
，直线
与
交于A､
两点，若
，
，当
时，
的离心率的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
4
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【分析】结合题干条件得到
，表达出
，
，利用椭圆定义得到
关系，结合
的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接
，由题知点A､
关于原点对称，
，
，
，则
，
，又
，即
，
，由
得
，所以
，D
正确.
故选：D
【变式1-2】.已知椭圆
的右焦点为F（5，0），点A，B 为C 上关于原点对称的两
点，且
，
，则C 的离心率为___________.
【答案】
【分析】根据题意可得
，结合
，
求得
，
，继而可求出
，求得
答案.
【详解】因为点A，B 为C 上关于原点对称的两点，故连接AB，则AB 过原点O，
又因为
，
，故
，
又
，所以
，
，取C 的左焦点为
，连接
，则
，
所以
，所以
，所以C 的离心率为
，故答案为：
【变式1-3】.设椭圆
的左右焦点分别为
，
，焦距为
，点
在椭圆的内部，点P 是
椭圆上的动点，且
恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用点
在椭圆的内部，以及
列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取
值范围.
【详解】因为点
在椭圆的内部，所以
①，而
②，，由①②得
，即
.所以
.
因为
，而
，所以
，即
，由三
角形的性质可得
，因为
是椭圆
上的动点，且
恒成立，所以
，所以
，即
，所以椭圆离心率的取值范围是
.
故选：A
.
题型03 中点型求离心率
【解题攻略】
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况
处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点M ( x0, y0)， x0= x1+x2
2
， y0= y1+ y2
2
【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知双曲线
：
的左，右焦点分
别为
，
，正六边形
的一边
的中点恰好在双曲线
上，则双曲线
的离心率是（ ）
6
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
的中点为P，连接OP，
，求出
，
，即得解.
【详解】设
的中点为P，连接OP，
，得
，
，所以
，
，在
中，
由余弦定理得
，
所以
，所以
，所以双曲线
的离心率
.故选：B.
【典例1-2】（2021 秋·福建厦门·高三福建省厦门集美中学校考阶段练习）已知双曲线
的左右焦点分别为
，
，过
的直线交双曲线的右支于
，
两点.点
为线
段
的中点，且
.若
，则双曲线
的离心率是（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，根据双曲线的定义得出
，从而求出
，在
中利用余
弦定理以及离心率的定义即可求解.
【详解】点
为线段
的中点，且
，则
, 设
，则
，
又
为直角三角形，
，即
，
，
，由双曲线的定义可得
，
，
，
，
7
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，又
，在
中，由余弦定理可得
，
，
离心率
.故选：A
【变式1-1】（2022 春·陕西安康·高三统考）已知双曲线
的左，右焦点分别为
、
，过点
作倾斜角为
的直线l 交双曲线C 的右支于A，B 两点，其中点A 在第一象限，若
，
且双曲线C 的离心率为2．则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合双曲线的性质和余弦定理,即可求解.
【详解】由双曲线的定义知，
，∵
，
∴
，即
，
∴
，
在
中，由余弦定理知，
，
∵
，故选A．
【变式1-2】（2021 春·河北唐山·高三唐山市第十一中学校考阶段练习）已知双曲线
：
的左、右焦点分别为
，
，点
，
分别在其左、右两支上，且
，
为线段
的中点，若
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】若
，
，
，由
求得
，进而可求
、
，在
中有
得到关于a、c 的齐次方程，即可求离心率.
8
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【详解】
由题意，若
，
，
，
∴
，即
，得
，
∵
，得
，
∴在
中，
，即
，
∴
.故选：A
【变式1-3】（2022 春·新疆·高三八一中学校考）设
，
分别为双曲线
的左、右
焦点．若
为
右支上的一点，且
为线段
的中点，
，
，则双曲线
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意可得
，再由双曲线定义可得
，在
中，利用勾股定理
可得
，同除
解方程即可求解.
【详解】由题意可得
，由双曲线定义可得
，
则
，
．在
中，
，又
，
，
整理可得
，即
，
解得
或
（舍去）．
故选：B
题型04 点差法型求离心率（第三定义型）
【解题攻略】
9
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设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入椭圆方程，得
x
12
a2 +
y
12
b2 =1；
x
22
a2 +
y
22
b2 =1；
将两式相减，可得
x
12−x
22
a2
+
y
12−y
22
b2
=0；( x1+x2)( x1−x2)
a2
=−( y1+ y2)( y1−y2)
b2
；
最后整理得：1=−a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=−k⋅a2
b2⋅y0
x0
同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：1=a2( y1+ y2)( y1−y2)
b2( x1+x2)( x1−x2) ⇒
1=k⋅a2
b2⋅y0
x0
设直线和曲线的两个交点A(x1, y1)，B( x2, y2)，代入抛物线方程，得y
12=2 px 1； y
22=2 px 2 ；
将两式相减，可得( y1−y2)( y1+ y2)=2 p( x1−x2)；整理得：
y1−y2
x1−x2
=
2 p
y1+ y2
【典例1-1】已知点
是椭圆
上的两点，且线段
恰好为圆
的一条直径，
为椭圆
上与
不重合的一点，且直线
的斜率之积为
，则椭圆
的离心率
为____________．
湖南省株洲市第二中学2021-2022 学年高三下学期数学试题
【答案】
【分析】根据给定条件，设出点A，M 的坐标，表示出点B 的坐标，利用斜率坐标公式结合椭圆方程即可
计算作答.
【详解】设
，
，依题意，
，两式相减得
，
因线段
恰好为圆
的一条直径，则
，
于是得直线
的斜率之积为
，解得
，
所以椭圆
的离心率为
.
故答案为：
【典例1-2】已知直线y=−x+1与椭圆
x2
a2 + y2
b2 =1(a>b>0)
相交于A ,B 两点，且线段AB 的中点在直
线x−2 y=0 上，则此椭圆的离心率为_______
【答案】
√2
2 试题分析：直线y=−x+1与x−2 y=0的交点为
M ( 2
3 , 1
3 )
，点
M ( 2
3 , 1
3 )
即为
中点，
10
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设y=−x+1与
x2
a2 + y2
b2 =1
的交点分别为A( x1, y1),B( x2, y2)，所以
。将点
A( x1, y1),B( x2, y2)代入椭圆方程，两式相减整理可得
，即
，
由直线方程y=−x+1可知
，所以
，即
。因为
，所以
a2=2c2
，即
，
。
【变式1-1】（2023·四川雅安·统考三模）已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率等于
，
点
在双曲线C 上，椭圆E 的焦点与双曲线C 的焦点相同，斜率为
的直线与椭圆E 交于A、B 两
点．若线段AB 的中点坐标为
，则椭圆E 的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由离心率和点
求出双曲线的方程，进而求出焦点，设出椭圆的方程及
的坐标，由点
差法得到
，结合中点坐标及斜率求得
，
再利用焦点坐标，即可求解.
【详解】设双曲线方程为
，则
，解得
，故双曲线方程为
，焦点为
；
设椭圆方程为
，则椭圆焦点为焦点为
，故
，设
，则
，
两式相减得
，整理得
，即
，解得
，故
，椭圆方程为
.故选：D.
【变式1-2】（2021 秋·河南·高三校联考阶段练习）已知斜率为
的直线与双曲线
相交于A，B 两点，O 为坐标原点，AB 的中点为P，若直线OP 的斜率为
，
则双曲线C 的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】C
【分析】利用点差法，结合直线斜率公式、中点坐标公式、双曲线离心率公式进行求解即可.
11
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【详解】设
，
，
，则
，
两式相减得
，所以
.
因为
，
，所以
.
因为
，
，
所以
，
，故
.故选：C
【变式1-3】（2022 秋·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第一中学校考）已知双曲线
的离心率
为2，过点
的直线与双曲线C 交于A，B 两点，且点P 恰好是弦
的中点，则直线
的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】运用点差法即可求解
【详解】由已知得
，又
，
，可得
.
则双曲线C 的方程为
.设
，
，
则
两式相减得
，
即
.
又因为点P 恰好是弦
的中点，所以
，
，
所以直线
的斜率为
，
所以直线
的方程为
，即
.
经检验满足题意故选：C
题型05 渐近线型离心率
【典例1-1】（2021 秋·重庆南岸·高三重庆市南坪中学校校考阶段练习）经过双曲线
的左焦点作倾斜角为
的直线，若与双曲线
的左支有两个不同的交点，则
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】只需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率，再利用双曲线中
关系以及离心
12
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率的范围即得.
【详解】要使直线与双曲线有两个交点，需使双曲线的其中一渐近线方程的斜率小于直线的斜率即
，
即
，整理得
，
即
，
又双曲线
故的范围是
故选：B
【典例1-2】（2023 春·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知点
在双曲线
的渐近线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】将P 点坐标代入渐近线方程，求出a 与b 的关系，再根据
求出离心率.
【详解】渐近线方程为：
，由于P 点坐标在第二象限，选用
，
将P 点坐标代入得：
，又
；
故选：D.
【变式1-1】（2023 秋·甘肃天水·高三校考）已知双曲线：
的渐近线方程为：
，
则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】根据渐近线方程求出
，从而根据
求出离心率.
【详解】
的渐近线方程为
，
故
，故双曲线的离心率为
.
故选：A
【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】求出双曲线一条渐近线斜率，即
，从而求出离心率.
【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率
，
所以双曲线离心率
.
13
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故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线
（
，
）与直线
无公共点，
则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与
没有公共点，则
，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为：
，若双曲线
（
，
）与直线
无公共点，
则应有
，所以离心率
，
故选：D
.
题型06 渐近线中点型求离心率
【典例1-1】（2021 秋·陕西渭南·高三统考）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为
、
，
过
的直线分别交双曲线C 的两条渐近线于点M、N.若点M 是线段
的中点，且
，则双曲线C
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】C
【分析】根据三角形中位线得
，又M 是线段
的中点，又可得
，则可得渐近线
的倾斜角为
，从而求得
的值，即可得双曲线离心率.
【详解】双曲线C：
的渐近线方程为
，
因为O 是线段
的中点，M 是线段
的中点，所以
又
，所以
，所以
，
所以
所以渐近线
的倾斜角为
，则
，又
，
所以
，则离心率
.故选：C.
14
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【典例1-2】（2023 秋·河南安阳·高三校考）已知双曲线
的左焦点为
，右顶点为
A，两条渐近线为
.设
关于的对称点为
，且线段
的中点恰好在
上，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】方法1：根据几何性质分析可得：
，运算求解；方法2：根据点关于线对称求点
，再求线段
的中点
，代入渐近线方程
运算求解.
【详解】方法1：
如图，设
为坐标原点，
，直线
与
交于点
，则
，且
为线段
的中点，设线段
中点为
，则
在
上，∵
，则
，
设直线
与
轴的交点为
，则
为线段
的中点，且
轴，则
，
∵
，则
，∴
，即
，整理得
设双曲线的离心率为
，则
，解得
或
（舍去）.
方法2：由题意可得：
，不妨设直线
，
，则
，解得
，即
，设线段
中点为
，点
，则
，
将
点坐标代入方程
得
，整理得
，
设双曲线的离心率为
，则
，解得
或
（舍去）.故选：C.
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线
与椭圆
．过椭圆
上一点
作椭圆的切线l，l 与x 轴交于M 点，l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于N、Q，且N 为
MQ 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）
15
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出切线方程，与椭圆方程联立后利用根的判别式求出
，求出切线方程，从而得到M 点坐
标，再联立渐近线得到N，Q 的横坐标，利用中点得到方程，求出
，从而求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程为
，设切线方程为
，联立
得：
，由
得：
，
解得：
，所以切线方程为
，令
得：
，所以
，联立
与
，解得：
，联立
与
，解得：
，因为N 为MQ 的中点，
所以
，解得：
，所以离心率为
故选：A
【变式1-2】（2022 春·广西南宁·高三南宁二中校考阶段练习）已知双曲线
的右
焦点为F，左顶点为A，M 为C 的一条渐近线上一点，延长FM 交y 轴于点N，直线AM 经过ON（其中O
为坐标原点）的中点B，且
，则双曲线C 的离心率为（ ）．
A．2
B．
C．3
D．4
【答案】A
【分析】因为
，且
，可得
，再结合双曲线的知识可得
，利
用几何知识可得
为等边三角形，
，进而求
．
【详解】记M 为双曲线
的渐近线
上的点，因为
，且
，
所以
，
．所以
．因为右焦点
到渐近线
的距离
，所以
．所以
，所以
，
所以
≌
，所以
，又因为
，
．
16
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所以
为等边三角形，所以
，所以
，即
，
所以
．故选：A．
【变式1-3】（2022·河北沧州·统考模拟预测）已知双曲线
的左右焦点分别为F1，
F2，右顶点为A，M 为OA 的中点，P 为双曲线C 右支上一点且
，且
，则说法错
误的是（ ）
A．C 的离心率为2
B．C 的渐近线方程为
C．PM 平分
D．
【答案】B
【分析】由题设及双曲线性质可得
且
，即可判断A、B；根据角平分线性质只需判断
、
是否相等判断C；利用向量线性运算的几何意义，用
表示
即可判断D.
【详解】由题设
，
且
，又
，所以
，而
，
故
，
由
，则
，
，故
，所以C 的离心率为2，A 正确；
由上可得
，故C 的渐近线方程为
，B 错误；
由
，则
，故
，
而M 为OA 的中点，则
，
，故
，
由角平分线性质易知：PM 平分
，C 正确；
，D 正确.故选：B
题型07 构造a、b、c 齐次式型
【解题攻略】
只需要根据一个条件得到关于a，b，c 的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c 的齐次式，然后等式(不等
式)两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)．
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【典例1-1】（2023 春·湖北·高三统考阶段练习）已知双曲线
为双曲线的右焦
点，过点
作渐近线的垂线
，垂足为
，交另一条渐近线于
，若
，则
双曲线
的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，根据
列式，根据
的取值范围求得
的取值范围，进而求得
离心率的取值范围.
【详解】依题意可知
在第一象限，
在第二象限，
到渐近线
的距离为
，
即
，设
，则
，
，
由
得
，
故
，
，
.
故选:C
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）过双曲线
的右焦点F 作一条直线，当直线
斜率为1 时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3 时，直线与双曲线右支有两个不同
的交点，则双曲线离心率的取值范围为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先写出直线的方程，联立双曲线的方程消去y，由k＝1 得到
，即
．由k＝3
得到
，即
，再求离心率
的范围．
【详解】双曲线右焦点为
，设过右焦点的直线为
，
与双曲线方程联立消去y 可得到：
，
由题意可知，当k＝1 时，此方程有两个不相等的异号实根，
∴
，得0＜a＜b，即
；
当k=3 时，此方程有两个不相等的同号实根，∴
，得0＜b＜3a，
；
又
，∴离心率的取值范围为
．故选：C.
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【变式1-1】（2023 秋·全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：
的左顶点为A，
右焦点为F，以线段AF 为直径的圆M 与双曲线的一条渐近线相交于B，D 两点，且满足
（O
为坐标原点），若圆M 的面积S 满足
，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由
结合圆的相交弦定理得
，由圆M 的面积S 满足
，即可求出双
曲线C 的离心率e 的取值范围.
【详解】设双曲线C 的半焦距为c，∵
，∴
.
由圆的相交弦定理知，
.
又圆M 的半径
，∴
，
∴
，∴
，∴
，
∴
.又
，∴
，∴
.故选:B.
【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线
的上、下焦点分别是
，
若双曲线C 上存在点P 使得
，
，则其离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质、双曲线的离心率公式进行求解
即可.
【详解】设
，
利用向量加法法则知
，则
即
，
故
①，
设
，
则
，
②，
由①②得
，即
，
又
，所以
，即
，即
所以双曲线离心率的值大于3，故选：D
【变式1-3】（2008·湖南·高考真题）若双曲线
上横坐标为
的点到右焦点的距离大
于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题设条件可得基本量的关系，从而可求离心率.
【详解】根据双曲线的第二定义，双曲线上横坐标为
的点到右焦点的距离为
，而该点到左
准线的距离为
．故由条件知
．整理得
．
综合
，解得
． 故选：B
题型08 焦半径型离心率
【解题攻略】
圆锥曲线焦半径统一结论
，其中p 为交点到准线的距离，对椭圆和双
曲线而言
对于抛物线，则
【典例1-1】（2023 秋·高三课时练习）已知双曲线
左，右焦点分别为
，若双曲线右支上存在点
使得
，则离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在
中，由正弦定理可得
，再由已知可得
，根据点
在双
曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.
【详解】由题意可得点
不是双曲线的顶点，否则
无意义
在
中，由正弦定理得
，因为
，所以
，所
以
，
因为点
在双曲线右支上，所以
，所以
，得
，由双曲线的性
质可得
，所以
，化简得
，所以
，解得
，
因为
，所以
，即双曲线离心率的取值范围为
，故选：C
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【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线
（
，
）左、右焦点分别为
，
，若双曲线右支上存在点
使得
，则离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由正弦定理得
，
，可得
在双曲线的右支上，由双曲线的定义，
得
，根据
在双曲线右支上，得关于的不等式，从而求出的范围
【详解】解：由题意，点
不是双曲线的顶点，否则
无意义，
在
中，由正弦定理得
，又
，∴
，即
，
∵
在双曲线的右支上，由双曲线的定义，得
，∴
，即
，
由双曲线的几何性质，知
，∴
，即
，
∴
，解得
，又
，双曲线离心率的范围是
．故选：C．
【变式1-1】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，椭圆上点
到焦点
的
最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为
，最小值为
，可求出
，即可计算出离心率
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得
，解得
，
，所以椭圆C 的离心率
，
故选：A.
【变式1-2】设
是椭圆
的右焦点，
是椭圆
的左顶点，
为直线
上
一点，
是底角为
的等腰三角形，则椭圆
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】B【详解】如图，设直线
与
轴的交点为
，因为由椭圆性质可知，
，由题意可知
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解得
，故选B.
【变式1-3】设
，
分别为椭圆
的左，右焦点，若直线
上存在
点
，使
，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题设易知
，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.
【详解】由题设，
，则
，而
，
所以
.故答案为：
.
题型09 焦点三角形求离心率
【典例1-1】已知
分别是椭圆
的上下两个焦点，若椭圆上存在四个不同点
,使得
的面积为
，则椭圆
的离心率的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设椭圆的上顶点为A,问题转化为
的面积大于
解不等式即可.
【详解】由题知a=2,b=
设椭圆的右顶点为A(
,0),
的面积为
,
∴
的面积的最大值时为
>
<3, ∴
, ∴
故选A.
【典例1-2】已知
是椭圆E 的两个焦点，P 是E 上的一点，若
，且
，
则E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆定义得到
，由
得到
，由勾股定理得到
，两式结合求出
，结合
得到
，求出离心
率.
【详解】由题意得：
，则
，
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由椭圆定义可知：
，
所以
，即
，所以
，
又
，所以
，即
故E 的离心率为
.故选：C.
【变式1-1】.已知
是椭圆
的一个焦点，若直线
与椭圆相交于
两点，且
，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】将
与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和
余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】如图设
分别为椭圆的左、右焦点，设直线
与椭圆相交于
，连接
.
根据椭圆的对称性可得：四边形
为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当
时取等号，又
的斜率存在，故
不可能在
轴上.
所以等号不能成立,即即
，所以
故选：A
【变式1-2】如图，椭圆
的左右焦点分别是
，点
、
是
上的两点，若
，且
，则椭圆
的离心率为（ ）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】延长
交椭圆
于点
，在
和
两个直角三角形中结合勾股定理和椭圆的几
何性质建立等量关系求解.
【详解】延长
交椭圆
于点
，得
，
，
设
，则
，据椭圆的定义有
，
，在
中，
，
在
中，
．故选：A
【变式1-3】已知椭圆
的左，右焦点分别为
，
，直线
与C 交于点M，
N，若四边形
的面积为
且
，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意可知四边形
为平行四边形，设
，进而得
，
根据四边形面积求出点M 的坐标，再代入椭圆方程得出关于e 的方程，解方程即可.
【详解】如图，不妨设点
在第一象限，
由椭圆的对称性得四边形
为平行四边形，设点
，由
，得
，
因为四边形
的面积为
，所以
，得
，
由
，得
，解得
，所以
，即点
，代入椭圆方程，
得
，整理得
，由
，得
，
解得
，由
，得
.故选：A
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题型10 双焦点三角形余弦定理型
【解题攻略】
圆锥曲线具有中心对称性质，内接焦点四边形性质：
1.
焦点四边形具有中心对称性质。
2.
焦点四边形可分割为两个焦点三角形，具有焦点三角形性质。
3.
焦点四边形可分割为两个余弦定理形双三角形，可以用双余弦定理求解
【典例1-1】椭圆的两个焦点为
，
，过
的直线交椭圆于
，
两点，
，
，
则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】设椭圆
，设
，运用椭圆的定义，可得
，
，即有
，取
的中点
，连接
，则
，由勾股定理可得a,c 的另
一关系式，联立解得
，，运用离心率公式计算即可得到答案．
【详解】设椭圆
，
，
，
，如图示：
设
，则
，由椭圆的定义可
得
，
，即有
，即
，①取
的中点
，连接
，则
，
由
,则
，由勾股定理可得
，
即为
，②由①②解得
，
，则离心率
，故答案为：
【典例1-2】已知椭圆
以
为左右焦点，点P、Q 在椭圆上，且
过右焦点
，
，若
，则该椭圆离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意不妨设
，则
，根据椭圆的定义可求得
，从而可求得
25
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，即可得解.
【详解】解：根据题意可得如图椭圆，
是直角三角形，
，
不妨设
，则
，因为
，所以
，
，所以离心率
．
故选：A．
【变式1-1】如图所示，
为椭圆的左右焦点，过
的直线交椭圆于B．D 两点且
，E 为
线段
上靠近
的四等分点．若对于线段
上的任意点P，都有
成立，则椭圆的离心
率为________．
【答案】
【分析】取
的中点Q，连EQ．PQ．根据向量的加法和减法转化
，
同理
，等价于
，由点
的任意性判断
，得到
，根
据几何关系和椭圆定义得到边长，根据余弦定理建立方程求椭圆的离心率.
【详解】解：取
的中点Q，连EQ．PQ．
，
同理
，
恒成立等价于
，因为点
是线段
上的任意
一点，故
，得到
，设
，则
，
，
由
，得
，
，
，在
中，
，
26
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在
中，又
所以
，解得
．
故答案为：
【变式1-2】已知椭圆
的左焦点
和右焦点
，上顶点为
，
的中垂线交椭圆于点
，若左焦点
在线段
上，则椭圆离心率为____．
【答案】
【详解】
如图，设
，由椭圆的定义可得
．
∵
的中垂线交椭圆于点
，∴
，∴
．又
，
∴
，解得
，∴
．
在
中，
，∴
．
在
中，由余弦定理得
，∴
，
∴
，∴
，即椭圆的离心率为
．故答案为：
．
【变式1-3】.已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点，若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可表示出
、
、
，在在
和
中利用余弦定理，再根据
，得到方程，解得.
【详解】解：
，
，
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在
和
中利用余弦定理可得
。
即
化简可得
同除
得：
解得
或
（舍去）故选：
题型11 焦点三角形双角度型
【解题攻略】
设椭圆
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2
中，记
,
,
，则有
.[来源:学科网ZXXK]
设双曲线
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在
△PF1F2中，记
,
,
，则有
.
【典例1-1】（2023 秋·河北保定·高三校考）已知椭圆
的两个焦点分别为
，点
为椭圆上一点，且
，则椭圆
的离心率为 ．
【答案】
/
【分析】由题意得到
，即
，进而求得
，结合
，得到
，即可求得椭圆的离心率．
【详解】因为
，
，则
，所以
，
28
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且
，所以
，
又由
，即
，即
，
所以
．故答案为：
．
【典例1-2】（2023·上海·高三专题练习）已知椭圆
的左、右焦点分别为
，若椭圆上存在一点
使
，且
，则
．
【答案】
.
【分析】根据正弦定理和已知条件可得
，结合椭圆的定义可得
，再根据
即可求解.
【详解】由正弦定理得
，又
，所以
，所以
，
所以
，所以
，所以
，
因为
(不等式两边不能取等号，否则题目中分式的分母为0，无意义)，
所以
，即
，所以
，
即解得
，
所以
.故答案为:
.
【变式1-1】（2023·重庆·统考三模）已知
，
分别为椭圆的左右焦点，P 是椭圆上一点，
，
，则椭圆离心率的取值范围为 ．
【答案】
【分析】设
，可得
，
.然后根据正弦定理可求出
，
.根据椭圆的定义可推得，
，化简整理可得，
.求出
，令
，构造函数
，根据函数的单调性，即可得出答案.
29
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【详解】
设
，则
，
.由正弦定理可得，
，
所以
，
.根据椭圆的定义可知，
，所以有
，
所以有
.
因为，
，所以
，令
，则
，设
，
则函数
在
上单调递增.又
，
，
所以，
，即
.故答案为：
.
【变式1-2】已知
，
分别为椭圆
的两个焦点，P 是椭圆E 上的点，
，
且
，则椭圆E 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得
，利用椭圆定义及勾股定理求得椭圆参数关系，即可求离心率.
【详解】由题意及正弦定理得：
，
令
，则
，
，可得
，
所以椭圆的离心率为：
.故选：B
【变式1-3】设P 为椭圆上一点，且
，其中
为椭圆的两个焦点，则椭圆的
离心率e 的值等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设
，利用正弦定理，求得
与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
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【详解】设
，
在
中，由正弦定理得
，
可得
，
又由
，所以
，
所以
.故选：B.
题型12 共焦点型椭圆双曲线离心率
【解题攻略】
椭圆与双曲线共焦点
、
，它们的交点
对两公共焦点
、
的张角为
，椭圆与双曲线
的离心率分别为
、
，则．
【典例1-1】（2023 春·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知椭圆
和双曲线
的焦
点相同，记左、右焦点分别为
，
，椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，设点
为
与
在第一象
限内的公共点，且满足
，若
，则
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得
，
，(
分别为椭圆的长半轴长及双曲线
的实半轴长)，从而得
，再代入
中，求解即可.
【详解】设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为
，半焦距为，双曲线的实半轴长、虚半轴长分别为
，半焦距为，
则有
，
又因为点
为
与
在第一象限内的公共点，且满足
，所以
且
，
由椭圆的定义可得
，所以
，
31
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由双曲线的定义可得
，所以
，所以
所以
，又因为
，解得
(舍)或
，故选：A.
【典例1-2】（2022 秋·江西南昌·高三南昌县莲塘第一中学校考阶段练习）已知椭圆
，双曲线
，
，
为
的焦点，
为
和
的交点，若△
的内切圆的圆心的横坐标为1，
和
的离心率之积为
，则实数
的值为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】设
的内切圆的圆心为
，且与
，
，
的切点为
，
，
，由切线长相等，
以及双曲线的定义，可得内切圆的圆心横坐标为
，运用离心率公式，可得
．
【详解】
不妨设点P 在第一象限，设
的内切圆的圆心为
，且与
，
，
的切点为
，
，
，
可得
，
，
由双曲线的定义可得
，即有
，
又
，可得
，可得内切圆的圆心
的横坐标为
，
和
的离心率之积为
，可得
解得
，
故选：
【变式1-1】（2023·高三课时练习）已知椭圆
（
）与双曲线
（
，
）有公共焦点
，
，且两条曲线在第一象限的交点为P．若
是以
为底边的等
腰三角形，曲线
，
的离心率分别为
和
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】设曲线
，
的焦距为2c，则可得
，然后结合椭圆和双曲线的定义可求出
的关系，变形后可得结果.
【详解】设曲线
，
的焦距为2c．
是以
为底边的等腰三角形，则
．
由点P 在第一象限，知
，即
，即
，
即
．故选：B
32
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【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆
和双曲线
有相同的左、右焦点
，
，若
，
在第一象限内的交点为P，且满足
，设
，
分别是
，
的离心率，则
，
的关系
是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结合外角定理可得
，然后可得
，
再结合椭圆和双曲线定义、勾股定理列式整理可得.
【详解】因为
，
所以
，所以
所以
，
记椭圆长半轴长为
，双曲线实半轴长为
，
则由椭圆和双曲线定义可得：
…
①
…②①
2+②2可得
由勾股定理知，
，代入上式可得
整理得
，即
所以
故选：D
【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知
分别是椭圆
和双曲线
的公共的左右焦点，
是
的离心率，若
在第一象限内的交点为
，且满足
，则
的关系是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先确定
，再利用勾股定理、椭圆、双曲线的定义，即可得出结论.
【详解】解：设椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，
，
因为
，所以
，所以
，
所以
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，即
，所以
，
所以
.故选：A.
33
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题型13 借助均值不等式求共焦点型
【典例1-1】、已知
是椭圆和双曲线的公共焦点，
是它们一个公共点，且
，
椭圆、双曲线的离心率分别为
，则
的最小值__________．
【答案】
【解析】由题意，可设椭圆的长半轴为
，双曲线的实半轴为
，由椭圆和双曲线的定义可知，
，则
，
，又
，由余弦定理可
得
，整理得
，即
，
则
，所以
.
【典例1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有共同的焦点
，
，
是它们的一个交点，
且
，记椭圆和双曲线的离心率分别为
，
，则当
取最大值时，
，
的值分别是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】A
【分析】设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
，
，
，
，根据
，利用余弦定理得到
，进而得到
，再利用基本
不等式求解.
【详解】解：不妨设椭圆与双曲线的标准方程分别为：
，
，
，
．
设
，
．
．则
，
，∴
，
．
因为
，
所以
，
即
．
∴
，∴
，
∴
，则
，当且仅当
，
时取等号．
故选：A．
34
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【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）已知
是椭圆
和双曲线
的一个交点，
是椭圆和双曲线的公共焦点，
分别为椭圆和双曲线的离心
率，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的定义和双曲线的定义，以及余弦定理列方程，转化为离心率的形式，并用基本不等式
求得最小值.
【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点
在第一象限，那么
，半焦距为，
根据椭圆与双曲线的定义有：
，
，
解得
，
，
在
中，由余弦定理，可得：
，
整理得
，
所以
，
∴
，
当且仅当
取等号.
故选：D.
【变式1-2】．（2022 秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考）已知椭圆和双曲线有相同焦点
与
，设椭圆和双曲线的离心率分别为
，
为两曲线的一个公共点，且
(其中O 为坐
标原点），则
的最小值为（ ）
A．
B．10
C．
D．15
【答案】C
【分析】利用椭圆、双曲线的定义，确定
，利用离心率的定义，结合基本不等式，即可得出
结论．
【详解】解：由题意设焦距为
，椭圆的长轴长
，双曲线的实轴长为
，不妨令
在双曲线的右支上
由双曲线的定义
①，
由椭圆的定义
②，
又
，即
，所以
，即
，
故
③，
①
②得
④，
将④代入③得
，
，
当且仅当
，即
时取等号；
故选：C
35
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【变式1-3】（2022·高三课时练习）已知椭圆
与双曲线
有相同的焦点
，
点是曲线
与
的一个公共点，
分别是
和
的离心率，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意设焦距为
，椭圆长轴长
，双曲线实轴长为
，取椭圆与双曲线在一象限的交点为
，
由已知条件结合椭圆双曲线的定义推出
，可得
，再利用基本不等式即可求出
的最小值.
【详解】由题意设焦距为
，椭圆长轴长
，双曲线实轴长为
，
取椭圆与双曲线在一象限的交点为
，由椭圆和双曲线定义分别有
，
，
因为
，所以
，③因为
，
所以
，④所以
，即
，
所以
，即
，则
当且仅当
即
，
时等号成立，所以
最小值为
，故选：B.
题型14 焦点三角形内心型求离心率
【解题攻略】
双曲线中，焦点三角形的内心I 的轨迹方程为x=a(−b< y<b, y≠0).
证明：设内切圆与
的切点分别为
，则由切线长定理可得
,因为
，
，所以
，所以点
的坐标为
，所以点
的横坐标为定值a.
36
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【典例1-1】（2022 秋·黑龙江鹤岗·高三鹤岗一中校考）已知双曲线
的左、右焦点分
别为
，
，O 为坐标原点，点M 在C 的右支上运动，
的内心为I，若
，则C 的离心率
为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】A
【分析】首先设双曲线
的右顶点为A，
的内切圆I 与
、
、
分别相切于点P、Q、N，
根据双曲线的概念得到
，从而得到A 与N 重合，再结合题意得到
，即可得
到答案.
【详解】设双曲线
的右顶点为A，
的内切圆I 与
、
、
分别
相切于点P、Q、N，如图所示：
.
所以
，
，
，
则
，
而
，所以
，即A 与N 重合，
即内切圆I 与
相切于点A，所以
，又
，所以A 为
的中点，
所以
，故
.故选：A.
【典例1-2】．（2023 春·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知双曲线
(
)的左右焦点分别为
､
为双曲线上的一点，
为
的内心，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】延长
到
且
，延长
到
且
，结合向量的线性关系知
是△
的重心，
根据重心和内心的性质，进而得到
，由双曲线定义得到齐次方程，即可求离心率.
【详解】如下图示，延长
到
且
，延长
到
且
，
所以
，即
，
37
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故
是△
的重心，即
，又
，
所以
，而
是
的内心，则
，
由
，则
，故
，即
.
故选：D
【变式1-1】（2022·全国·高三专题练习）点P 是双曲线C：
右支上一点，
，
分
别是双曲线C 的左，右焦点，M 为
的内心，若双曲线C 的离心率
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【分析】设出
内切圆的半径，表示出
，由
得
，结合双曲线的定义及离心率即可求解.
【详解】
设
内切圆的半径为，则
，
由
可得
，化简得
，
又
，故
.故选：D.
【变式1-2】（2022 秋·四川宜宾·高三宜宾市叙州区第一中学校校考）已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，且
，点
为双曲线右支一点，
为
的内心，若
成立，给出下列结论：
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①当
轴时，
②离心率
③
④点
的横坐标为定值
上述结论正确的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①③④
D．②③④
【答案】D
【解析】当
轴时，求出
，判定①不正确；通过求解离心率，可判定②正确；设
的内切圆半径为，利用面积公式求得
，可判定③正确；设内切圆与
,
的切点分别为
，结合双曲线的定义，求得
的横坐标，可判定④正确.
【详解】当
轴时，可得
，此时
，所以①不正确；
因为
，所以
，整理得
，
可得
（其中为双曲线的离心率，
），所以
，所以②正确；
设
的内切圆半径为，
由双曲线的定义可得
，
其中
，
因为
，所以
，
解得
，所以③正确；
设内切圆与
,
的切点分别为
，
可得
，
因为
，
可得
，则点
的坐标为
，
所以
点横坐标为
，所以④正确.
故选：D.
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【变式1-3】（2023 秋·高三课时练习）已知
、
分别为双曲线
的左、右焦点，且
，点
为双曲线右支上一点，
为
内心，若
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，
，
，可得
，可以将
，转换为
，结合双曲线的定义以及
即可求解.
【详解】如图所示：
由题意
为
内心，
设
，
，
，
内切圆半径为，
所以
，又因为
，
即
，
化简得
，
由双曲线定义可知
，因此有
；
注意到
，且
以及
，
联立并化简得
，即
，
解得
或
（舍去，因为
）故选：C
题型15 焦点三角形重心型求离心率
【典例1-1】（2020·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）设
，
是双曲线
的左、
右焦点，点
是双曲线
右支上一点，若
的内切圆
的半径为
，且
的重心
满足
，则双曲线
的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C
【分析】根据
，得到
，
，然后由等面积法由
，结合
，解得
，再利用距离公式得到
，
40
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进而得到A 的坐标，代入双曲线方程求解即可.
【详解】如图所示：
因为
，所以
，所以
，
，所以
，又
，解得
，
设
，
，所以
，
.
所以
，解得
，所以
，代入双曲线方程得：
，
解得
，所以
.故选：C
【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）在双曲线
：
的右支上存在点
，使得点
与双曲线的左、右焦点
，
形成的三角形的内切圆
的半径为
，若
的重心
满足
，
则双曲线
的离心率为
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】如图，由
平行于
轴得
则
所以
的面积
又
由焦半径公式
，
因此
代入椭圆方程得
故选C．
【变式1-1】（2022 春·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）设双曲线
的左右
焦点分别为
若在曲线
的右支上存在点
，使得
的内切圆半径为
，圆心记为
，又
的重心为
，满足
,则双曲线
的离心率为．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
，可得
，则
，由
，
41
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结合双曲线的定义可求得
，代入椭圆方程中化简可求出离心率
【详解】由
轴得：
，则
，所以
，
又
，得
，由
，得
，化简得
，因此
，代入椭圆方程得
，
化简得
，所以离心率
.故选：C
【变式1-2】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线
的左顶点为A，若在双曲线的右支
上存在两点M，N，使△AMN 为等边三角形，且右焦点为△AMN 的重心，则该双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】设双曲线的右焦点为
，左焦点为
，由重心性质可求
，根据双曲线定义求
，
在
中由余弦定理列方程可得
关系，由此可求离心率.
【详解】设双曲线的右焦点为
，左焦点为
，如图，连接MF，
．
由△AMN 为等边三角形，F 为△AMN 的重心，得
．
由图形的对称性可知，
．又因为△AMF 是等腰三角形，所以
．
在
中，由余弦定理得
，
即
，整理得
，即
，
由于
，
，则
，所以
，故双曲线的离心率
，故选：C．
【变式1-3】（2023 春·山东济南·高三山东省实验中学校考开学考试）已知双曲线
的右
焦点为
，过点
作一条渐近线的垂线，垂足为
，若
的重心
在双曲线上，则双曲线的离心率
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依次求出点
、
的坐标，然后由点
在双曲线上可建立方程求解.
【详解】不妨设
在
，令
，则有
，
42
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解得
，所以
，
，
因为点
在双曲线上，所以
，解得
，故选：B.
题型16 小题大做型求离心率
【典例1-1】已知椭圆
，若存在过点
且互相垂直的直线，
，使得，
与
椭圆C 均无公共点，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】判断l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0，两直线中有一条与椭圆相交，当两直线斜率存在
且不为0 时，可设
，联立椭圆方程，由于判别式小于0，以及求根公式，结合两直线垂直的
条件，可将
换为
，解不等式，考虑不等式有解，可得m 的范围，即可得到所求离心率的范围．
【详解】椭圆
，
过点A（3，1）的直线l1，l2中一条斜率不存在和另一条斜率为0 时，斜率为0 的直线与椭圆相交，当两直
线的斜率存在且不为0 时，设
，即
，
联立椭圆方程可得
，
由直线和椭圆无交点，可得
，
化简得
，解得
或
；
由两直线垂直的条件，可将
换为
，即有
，化为
，
解得
．由题意可得
，可得
；
同样
，解得
．则
．故选：C．
【典例1-2】如图，椭圆
的离心率为e，F 是
的右焦点，点P 是
上第一象限内任意
一点.且
，
，
，若
，则离心率e 的取值范围是
（ ）
43
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据题设条件求出
，从而得到一个关于直线
的斜率恒成立的不等式，故可得关于基本量的
不等式，据此可求离心率的范围.
【详解】因为点P 是
上第一象限内任意一点，故
为锐角，所以
，
设直线
的斜率为
，则
.
由
可得
，故
，
所以
，
因为
，故
，所以
，
解得
，因为
对任意的
恒成立，
故
，整理得到
对任意的
恒成立，
故
即
即
.故选：B.
【变式1-1】存在过椭圆
左焦点
的弦
，使得
，则椭圆C 的离心率的
最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】当
轴
，即
，结合
即可求得离心率，②当
不垂直于
轴时，设
的方程为：
，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出
和
，即可
44
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求得弦长
，设直线
的倾斜角为
，化简得到
，进一步可得
，利用
的范围，即可取得离心率的最小值.
【详解】①当
轴时，有
，得
，所以
，又因为
，
所以
，即
，所以离心率
，
②当
不垂直于
轴时，
，设
的方程为：
，
代入
得
，
设
，
，则
，
，
由弦长公式知：
，
化简得：
，
设直线
的倾斜角为
，则
，
所以
，
又因为
，所以
，即
，
即
，所以
，所以
，
因为
，所以
，又由
，所以
，
综上所述：离心率的最小值是
，故选：D
当
不垂直于
轴时，
，设
的方程为：
，与椭圆方程联立，设直线
的倾斜角
为
，则
，令其等于
，即可得关于
的齐次式利用
的范围即可求出离
心率的范围，进而可求得最小值.
【变式1-2】已知椭圆
内有一定点
，过点P 的两条直线，分别与椭圆
交于A、C 和B、D 两点，且满足
，
，若
变化时，直线CD 的斜率总为
，则椭圆
的离心率为
45
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设出
四点的坐标，将
两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将
两点坐
标代入椭圆方程并化简，根据
化简上述两个式子，由此求得
的值，进而求得
椭圆离心率.
【详解】设
因为
，且
，所以
，
同理
.将
两点坐标代入椭圆方程并化简得
，即
，同理
，由于
，
，所以
，即
，即
，两式相加得
，即
，所以
，所以
，故选A.
【变式1-3】过原点的一条直线与椭圆
=1（a＞b＞0）交于A，B 两点，以线段AB 为直径的圆过该
椭圆的右焦点F2，若∠ABF2∈[
]，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】以AB 为直径的圆的圆周角∠ABF2∈[
]，故圆心角
，所以当斜率存在时，
斜率
，然后将斜率
转化为
的关系式，求解离心率的取值范围；当斜率不存在时，易得
，
易解离心率的值，综上便可得出答案．
【详解】解：当过原点的直线斜率不存在时，因为以AB 为直径的圆经过右焦点，所以有
，此时
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；
当过原点的直线斜率存在时，设过原点的直线为
，
，因为∠ABF2∈[
]
所以圆心角
，所以
，即
，直线与椭圆联立方程组
，
解得
，因为以AB 为直径的圆经过右焦点，所以，以AB 为直径的圆方程为
，
所以有
，即
，
故
，即
，所以
，解得
故得到
综上：
，故选B
高考练场
1..已知椭圆
的左右焦点分别
，左顶点为A，上顶点为B，点P 为椭圆上一点，且
，若
，则椭圆的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先根据题意得到
，根据
得到
，再计算离心率即可.
【详解】由题知：
，因为
，
所以
，整理得
，所以
，得
，
.故选：A
2.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
为椭圆
上一点，且
，
若
关于
平分线的对称点在椭圆
上，则该椭圆的离心率为______．
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【答案】
【详解】
因为
关于
的对称点
在椭圆
上，则
，
，
为正三角形，
，又
，
所以
轴，设
，则
，即
，故答
案为
.
3.（2023·河南·校联考模拟预测）已知双曲线
：
的左右焦点分别为
､
，
，过
作以
为圆心､
为半径的圆的切线切点为
.延长
交
的左支于
点，若
为线段
的中点，且
，则
的离心率为（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知把
，
用
，
表示，再由勾股定理求得
，然后结合
列
式求解双曲线的离心率.
【详解】解：由题意，得
，
，
，
，
，
解得
.故选：C.
48
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4.（2021 秋·江苏扬州·高三扬州大学附属中学校考）已知直线y=x-1 与双曲线
交于A、B 两点，
若线段AB 的中点为M（2，1），则双曲线
的离心率等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合点差法，以及双曲线离心率的求法，即可求解.
【详解】根据题意，设
，
，则
，
，
由
，相减得
，即
，
因为
，所以
，即
，故离心率
.
故选：C.
5.（2022 春·新疆博尔塔拉·高三阶段练习）若双曲线
的两条渐近线与直线y＝2 围
成了一个等边三角形，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】D
【分析】根据题意得到渐近线方程的斜率，从而得到
，求出离心率.
【详解】由题意得：渐近线方程的斜率为
，
又渐近线方程为
，所以
，
所以C 的离心率为
故选：D
6.（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
，过
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，若A 为线段
的中点，且
，则C 的离
心率为（ ）
A．
B．2
C．
D．3
【答案】B
【分析】由题意可得
为直角三角形，再结合A 为线段
的中点，可得AO 垂直平分
，可表示
出直线
，再联立渐近线方程可以得到
，
，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过
的直线与C 的两条渐近线分别交于A，B 两点，当两个交点分别在第二和第三
象限时不符合，
A 为线段
的中点，当交点在
轴上方或
轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
49
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根据双曲线可得，
，
，两条渐近线方程
，
，
为
的中点，
，又
A 为线段BF1的中点，
垂直平分
，
可设直线
为
①，直线
为
②，直线
为
③，
由②③得，交点坐标
，点
还在直线
上，
，可得
，
，所以双曲线C 的离心率
，
故选：B
7.（2022·陕西·校联考模拟预测）已知双曲线
左顶点为
，左、右焦点分别为
，以
为直径的圆交双曲线一条渐近线于
两点，若
，则该双曲线离心率的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求得
两点的坐标，利用向量夹角公式列不等式，化简求得双曲线离心率的取值范围.
【详解】以
为直径的圆的方程为
，双曲线
的一条渐近线方程为
，
由
解得（不妨设）
，
，所以
，
所以
，
，
，
所以双曲线的离心率
.故选：B
8.（2023·高三课时练习）已知
，
分别为双曲线
的左、右焦点，P 为双曲线右支
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上任意一点，若
的最小值为
，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，则
，根据双曲线的定义
，再利用基本不等式求出
的最小
值，从而得到
，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：设
，则
，由双曲线的定义知
，
∴
，
，当且仅当
，即
时，
等号成立，
∴当
的最小值为
时，
，
，此时
，解得
，又
，∴
．
故选：C．
9.已知
是椭圆
的两个焦点，
为
上一点，且
，
，
则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义以及焦点三角形中的余弦定理即可建立齐次式求解.
【详解】在椭圆
中，由椭圆的定义可得
，
因为
，所以
，在
中，
，
由余弦定理得
，
即
所以
所以
的离心率
.
故选：C
10..已知椭圆
的上顶点
，左右焦点分别为
，
连接
，并延长交椭圆于
另一点P，若
，则椭圆C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得
、
的长，根据三角函数定义，求得
根据
余弦定理，可求得
，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】由题意得
，所以
，则
，
由椭圆的定义可得
，所以
，因为
，
所以
，解得
，
，在
中，
，
51
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在
中，
，因为
，
所以
，即
，所以
所以
.故选：C
11.在平面直角坐标系
中，已知
的顶点
，顶点
在椭圆
上，
___
【答案】
【解析】由题意椭圆
中．
故
是椭圆的两
个焦点，
，由正弦定理得
12.（2021 秋·安徽亳州·高三安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆
和双
曲线
有相同的焦点
，
，点
是
与
的一个交点，满足
.设椭圆的离心率为
，双曲
线的离心率为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】判断出三角形
为直角三角形，结合椭圆、双曲线的定义列方程，化简求得
.
【详解】依题意椭圆
和双曲线
有相同的焦点
，
，点
是
与
的一个交点，不妨设
在第一象
限.
由于
，所以三角形
为直角三角形.设椭圆长半轴为
，设双曲线实半轴为
，
则根据椭圆、双曲线的定义可知：
，
，
，
52
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.故选：B
13.（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆和双曲线有相同的焦点
，它们的离心率分别为
，
是它
们的一个公共点，且
.若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用椭圆和双曲线的定义把
，
用长半轴长
和实半轴长
表示，再用余弦定理求得
与的关系，从而得
的等式，结合已知可求得
．
【详解】设
，椭圆的长半轴长为
，双曲线的实半轴长为
，焦点为
，不妨设
在第
一象限，
则
，解得
，
中由余弦定理得
，即
，
所以
，
，
，又
，
，所以
，
，所以
．故选：B．
14.（2023·全国·高三专题练习）已知
，
分别为双曲线
的左､右焦点，且
，点P 为
双曲线右支上一点，M 为
的内心，若
成立，则λ 的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】根据
，可得
，从而可求得离心率，设
的内切圆半径为，根据
，可得
，再根据双曲线的定义即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，所以
，所以离心率
，设
的内切圆半径为，则
，又
，
所以
，即
，所以
，
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所以
.故选：B.
15.（2023·甘肃兰州·兰化一中校考模拟预测）已知双曲线
：
的左、右焦点分别是
，
，
是双曲线右支上一点，且
，
和
分别是
的内心和重心，若
与
轴平行，则
双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】由重心坐标求得I 的坐标，再利用圆的切线长定理和双曲线的定义得到G 的坐标，再根据
与
轴平行，由
求解.
【详解】解：如图所示：
由题意得：
，则
，
由圆的切线长定理和双曲线的定义得
，所以
，则
，因为
与
轴平行，
所以
，即
，则
，即
，解得
，故选：B
16.已知椭圆
的左、右焦点分别为
，
，
是椭圆上任意一点，直线
垂直于
且交线段
于点
，若
，则该椭圆的离心率的取值范围是______.
【答案】
【分析】设
，
，又
，
，运用向量共线的坐标表示，可得
的坐标，再由向
量垂直的条件：数量积为0，由
的坐标满足椭圆方程，化简整理可得
的方程，求得
，由
，解
不等式结合离心率公式即可得到范围．
【详解】解：设
，
，又
，
，
，
，可得
，
，
，可得
，
，又
，
，
，由
，
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可得
，化为
，由
在椭圆上，可得
，即有
，
可得
，化为
，解得
，或
（舍去），
由
，可得
，即有
，又
，可得
，
该椭圆的离心率的取值范围是
，
故答案为：
，
．
55
