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第 25 讲 数列不等式的经典放缩问题
【典型例题】
例1．（2024·辽宁辽阳·一模）已知数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，证明： .
例2．（2024·广东广州·二模）已知数列 中， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，记 为 的前 项和，证明： 时， .
例3．（2024·江西鹰潭·一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差
数列．
(1)求 的通项公式;
(2)令 ， 为数列 的前 项积，证明： ．
例4．（2024·宁夏·一模）已知公差不为零的等差数列 的前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比
数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，证明： ．例5．（2024·高三·河北·期末）设 为数列 的前 项和，已知 为等比数列，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)已知 ，设 ，记 为数列 的前 项和，证明： ．
例6．（2024·高三·河北邢台·开学考试）已知数列 的前 项和 ， ， ．
(1)求数列 的通项公式;
(2)证明： ．
例7．（2024·高三·山东青岛·期末）在各项均为正数的数列 中， ， ， ．
(1)证明数列 为等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，记数列 的前n项和为 ．
（i）求 ；（ii）证明： ．
【过关测试】1．（2024·福建漳州·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 为 ，
的等比中项.
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 为数列 的前 项和，证明： .
2．（2024·高二·四川内江·期末）设 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)数列 是否是等比数列？若是，则求出通项公式，若不是请说明理由；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
3．（2024·高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列 的首项 ，且满足 .
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ，证明： .
4．（2024·广东茂名·一模）设 为数列 的前 项和，已知 是首项为 、公差为 的等差数
列.
(1)求 的通项公式；
(2)令 ， 为数列 的前 项积，证明： .5．（2024·高二·上海青浦·期末）已知数列 的前n项和为 ，且满足 ，
．
(1)判断 是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求 和 ；
(3)求证： ．
6．（2024·安徽淮北·一模）已知数列 为递增的等比数列， ，记 、 分别为数列
、 的前项和， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明：当 时， .
7．（2024·高三·山东泰安·阶段练习）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足
， .
(1)求 的通项公式：
(2)设数列 满足 ，
①求 前 项中所有奇数项和 ，②若 的前n项和为 ，证明： .8．（2024·高三·重庆·阶段练习）已知公差不为0的等差数列 的首项 ，且 成等比数列，
记 的前 项和为 .
(1)求 的通项公式及 ;
(2)记 ，证明: .
9．（2024·广西玉林·模拟预测）记 为数列 的前 项和，已知 ， ．
(1)证明：当 时，数列 是等比数列，并求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
10．（2024·高三·黑龙江大庆·阶段练习） 为数列 的前 项和.已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和为 ，证明 .
11．（2024·高三·吉林白城·阶段练习）已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，且
成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，数列 的前 项和为 ，证明： .12．（2024·高三·天津和平·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 的首项
为2，且满足
(1)求 和 的通项公式
(2)记集合 ，若集合 的元素个数为2，求实数 的取值范围．
(3)设 ，证明： ．
13．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知数列 的前 项和为 ，且 ______请在
是公差为 的等差数列； 是公比为 的等比数列，
这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.
(1)求 的通项公式
(2)在 与 之间插入 个实数，使这 个数依次组成公差为 的等差数列，数列 的前 项和 ，
证明：
14．（2024·全国·模拟预测）已知正项数列 的前n项和为 ，且满足 ．
(1)证明：数列 为等比数列；
(2)若 ，数列 的前n项和为 ，证明： ．15．（2024·高三·江西萍乡·期中）已知正项数列 中， ，前 项和为 ，且__________.
请在①②中任选一个条件填在题目横线上，再作答：① ，② .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： .
16．（2024·高三·广东东莞·期中）已知数列 是公比大于0的等比数列， ， .数列 满足：
（ ）.
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： 是等比数列；
(3)证明： .
17．（2024·高三·天津·期中）已知数列 的前n项和 ，数列 满足： ，
．
(1)证明： 是等比数列；
(2)设数列 的前 项和为 ，且 ，求
(3)设数列 满足： ．证明： ．18．（2024·高三·山东青岛·期中）数列 是等差数列，数列 是等比数列，满足：
， ．
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)数列 和 的公共项组成的数列记为 ，求 的通项公式；
(3)记数列 的前 项和为 ，证明：
19．（2024·全国·模拟预测）已知 是数列 的前 项和， ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式．
(2)设 ，数列 的前 项和为 ，证明： ．
