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第三章 一元函数的导数及其应用
进阶篇 不等式恒(能)成立问题
进阶 3 分类讨论
【高考考向预测】
近三年高考不等式恒成立与能成立问题考查频次极高，为导数解答题核心必考题型，常结合
二次函数、复杂函数与参数范围求解，依据参数分界点、函数单调性、定义域区间开展分类讨论，
融合最值法、分离参数法解题；预测2027 年仍将作为压轴重点考查，命题偏向多参数分层讨论、
区间分段探究以及恒成立与能成立混合题型，强化临界值判定与范围取舍，更注重讨论标准精准
划分与逻辑完整论证，深度结合端点效应、隐零点综合设问，侧重考查条理化分析与综合解题能
力。
【核心梳理●明考点】
重点解读 导数之所以难是因为加入了参数使得确定的函数变得不确定，因此对参数进行讨论进而
确定出函数的性质非常重要，所以在做题之前需要确定题目分类讨论的依据.
【题型突破●明方向】
题型一 变号函数为一次、二次函数
1+x
例1 (2026·南通模拟)已知函数f(x)= ·e-x.
1−x
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若对任意的x∈(0，1)，恒有f(x)>eax，求实数a的取值范围.
x
【跟踪训练】1 (2025·雅安开学考)已知函数f(x)=ln -ax.
a
(1)若直线y=-1与曲线y=f(x)相切，求实数a的值；
(2)若存在x ，使得f(x )>0，求实数a的取值范围.
0 0题型二 变号函数为准一次、二次函数
例2 (2025·湖北十一校联考)已知函数f(x)=ae2x+x+1(a<0).
(1)当a=-1时，求函数y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)若不等式f(x)+(a+2)ex≤0恒成立，求整数a的最大值.
【跟踪训练】2 (2025·河北名校联考期末)设函数f(x)=x(ln x-a)2.
(1)当a=2时，求f(x)的单调区间；
(2)当x∈(0，e]时，f(x)≤4e3，求a的取值范围.
题型三 三角函数型单调性讨论sinx ( π)
例3 (2023·全国甲卷)已知函数f(x)=ax- ，x∈ 0， .
cos2x 2
(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)+sin x<0，求a的取值范围.
【跟踪训练】3 (2026·天津河西检测)已知函数f(x)=ex+cos x-2.
(1)求f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)证明：函数f(x)只有一个零点；
(3)当x∈(0，+∞)时，函数f(x)>ax-sin x恒成立，求a的取值范围.
【限时训练】
（15分钟）
1
1.(17分)已知函数f(x)= x2-aln x+(1-a)x(a>0).
2
[1 ]
(1)若a=1，求f(x)在区间 ，e 上的最值；(7分)
e
e2
(2)若f(x)≥- 恒成立，求a的取值范围.(10分)
22.(17分)已知函数f(x)=x2-2x-aln x，g(x)=ax.
(1)讨论函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性；(7分)
sinx
(2)若不等式 ≤g(x)对任意x≥0恒成立，求a的取值范围.(10分)
2+cosx
