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第二章 函 数
§2.8 指、对、幂的大小比较
【高考考向预测】
近三年高考指数、对数、幂函数值大小比较考查频次极高，多为选择填空高频小题，常
结合函数单调性、中间值法、作差法解题，题型灵活且区分度适中；预测2027 年仍会持续重点考
查，命题趋向数值形式多样化，侧重构造函数、放缩估算及多类型式子混合比较，愈发注重解题
方法灵活选用，强化数形结合与逻辑推理能力考查。
【核心梳理●明考点】
重点解读 函数“比大小”是非常经典的题型，难度不定，方法无常，很受命题者的青睐.每年高考
基本都会出现，难度逐年上升.高考命题中，常常在选择题中出现，往往将幂函数、指数函数、对数函
数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法可以从代数和几何方面加以探寻，即利用函数的
性质与图象解答.
题型一 直接法比较大小
命题点1 利用函数的性质
7 (2) −0.1
例1 (2026·湘东教学联盟高三联考)若a=log ，b=70.1，c= ，则a，b，c的大小关系为(
72 7
)
A.c<a<b B.a<b<c
C.a<c<b D.c<b<a
【答案】C
7
【解析】因为函数y=log x在(0，+∞)上单调递增，所以log 1<log <log 7，即0<a<1，
7 7 72 7
(2) −0.1 (7) 0.1
因为b=70.1，c= = ，
7 2
函数y=x0.1在(0，+∞)上单调递增，
(7) 0.1 (7) 0
所以70.1> > ，即b>c>1，
2 2
故b>c>a.
命题点2 找中间值
2
例2 (2020·全国Ⅲ卷)设a=log 2，b=log 3，c= ，则( )
3 5 3
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
【答案】A【解析】∵3log 2=log 8<2，
3 3
2
∴log 2< ，即a<c.
3 3
∵3log 3=log 27>2，
5 5
2
∴log 3> ，即b>c.
5 3
∴a<c<b.
命题点3 特殊值法
1
例3 已知a>b>1，0<c< ，则下列结论正确的是( )
2
A.ac<bc B.abc<bac
C.alog c<blog c D.log c<log c
b a a b
【答案】C
1
【解析】取特殊值，令a=4，b=2，c= ，
4
1 1
则ac=
44
，bc=
24
，∴ac>bc，故A错误；
1 9 1 3
abc=4× 24= 24 ，bac=2× 44= 22 ，
∴abc>bac，故B错误；
1 1
log c=log =-1，log c=log =-2，
a 44 b 24
alog c=-8，blog c=-2，
b a
∴alog c<blog c，log c>log c，故C正确，D错误.
b a a b
【思维升华】利用特殊值作“中间量”
1
在指数、对数中通常可优先选择“-1，0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可
2
以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log 3，可知
2
1=log 2<log 3<log 4=2，进而可估计log 3是一个1~2之间的小数，从而便于比较.
2 2 2 2
(2) 3 (3) 2
【跟踪训练】1 (1)已知a= 4，b= 3，c=log e，则( )
3 4 2
A.a>b>c B.b>c>a
C.b>a>c D.c>b>a
【答案】D
(2) x 2 3
【解析】∵y= 在R上单调递减，且 < ，
3 3 4
(2) 2 (2) 3
∴ 3> 4，
3 32 2 3
又y= x3 在(0，+∞)上单调递增，且
3
<
4
，
(2) 2 (3) 2
∴ 3< 3，
3 4
(2) 3 (3) 2
∴ 4< 3<1，
3 4
又log e>1，∴a<b<c.
2
(2)设a=0.20.5，b=log 3，c=50.2，则a，b，c的大小关系是 ( )
5
A.a<b<c B.a<c<b
C.c<b<a D.c<a<b
【答案】A
❑√5 ❑√2.52 1
【解析】0<a=0.20.5= < = ，
5 5 2
1 1
1>b=log 3>log = ，
5 552 2
c=50.2>50=1，所以a<b<c.
题型二 利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
命题点1 作差法
例4 已知a=log 2，b=log 4，c=log 5，则( )
6 40 45
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.a>c>b
【答案】C
1 ln3
【解析】 =log 6=1+log 3=1+ ，
a 2 2 ln2
1 ln10 ln❑√10
=log 40=1+log 10=1+ =1+ ，
b 4 4 ln4 ln2
1 2ln3
=log 45=1+log 9=1+ ，
c 5 5 ln5
1 1 ln3−ln❑√10
∵ - = <0，
a b ln2
1 1
∴ < ，
a b
1 1 ln3 2ln3
∵ - = -
a c ln2 ln5
ln3×(ln5−2ln2) ln3×(ln5−ln4)
= = >0，
ln2×ln5 ln2×ln51 1
∴ > ，
a c
1 1 1
综上有 > > >0，
b a c
∴c>a>b.
命题点2 作商法
例5 (2025·成都模拟)若a= 3 − 4
1
，b=
(3
2
)−
3
1
，c=log 1 5
2
，则a，b，c的大小关系为( )
2
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>a>b D.c>b>a
【答案】D
1
【解析】因为0<a=
3
− 4<30=1，
(3)− 1 (3) 0
0<b= 3< =1，
2 2
1
−
3 4
a 1 1 1 1 1
令 b = (3)− 1= 3 − 4 + 3× 2 − 3= 312× 2 − 3，
3
2
而 ( 31 1 2×2 − 3 1) 12 = ( 31 1 2 ) 12 ×( 2 − 3 1 )12
3
=3×2-4= <1，
16
1 1
即 312×
2
− 3<1，所以a<b，
2 4 5 1
又因为c=log =log >log =log =1，所以c>b>a.
1 5 1 10 1 10 1 2
2 2 2 2
命题点3 乘方法
4
例6 已知a=log 5，b=log 7，c= ，则( )
3 5 3
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
【答案】D
4 4
【解析】因为53=125> (33) 3=81，所以5> 33 ，
4 4
所以log
3
5>log 333=
3
，即a>c.
4 4
因为73=343< (53) 3=625，所以7< 53 ，4 4
所以log
5
7<log 553=
3
，即b<c.所以a>c>b.
【思维升华】求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数
的大小关系，要熟练运用指数、对数的公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的形式.
(1) −0.3 3
【跟踪训练】2 (1)(2025·天津河西区模拟)设a= ，b=20.4，c=ln ，则a，b，c的大小关系为
3 2
( )
A.b<c<a B.a<c<b
C.c<a<b D.c<b<a
【答案】D
(1) −0.3
【解析】a= =30.3>1，b=20.4>1，
3
a10=33=27，b10=24=16，故a10>b10，所以a>b>1，
3
又c=ln <ln e=1，所以c<b<a.
2
(2)(2025·柳州模拟)已知137<216，346<217，设a=log 21，b=log 13，c=log 8，则( )
34 21 13
A.a<b<c B.b<a<c
C.c<a<b D.c<b<a
【答案】D
【解析】由137<216，得log 137<log 216，
21 21
6
即7log 13<6，则log 13< ，
21 21 7
6
由346<217，得log 346<log 217，即6<7log 21，则log 21> ，则log 13<log 21，即b<a.
34 34 34 34 7 21 34
又log 13>0，log 8>0，则
log
13
8
=log 8×log 21<
(log
13
8+log
13
21) 2
=(log ❑√168)2<1，
21 13 log 13 13 13 2 13
21
因此log 8<log 13，即c<b，所以c<b<a.
13 21
【限时训练】
（30分钟）
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
(1) −0.6
1.(2025·保定模拟)设a=50.4，b= ，c=log 2，则a，b，c的大小关系为( )
5 3
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<c<a D.b<a<c
【答案】B(1) −0.6
【解析】由指数函数y=5x的单调性可知，b= =50.6>a=50.4>1，
5
又c=log 2<log 3=1，所以c<a<b.
3 3
1 1
2.(2025·海南省直辖县级单位模拟)已知a= log 3，b= ，c=log 3，则( )
4 2 2 5
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<c<a D.b<a<c
【答案】A
1 1 1 1
【解析】因为a= log 3= log ❑√3< ，c=log 3>log ❑√5= ，所以a<b<c.
4 2 2 2 2 5 5 2
(2) 1 π 1
3.(2025·天津北辰区模拟)设a= 3 2，b= 2 sin 6 ，c= 3 − 4 ，则a，b，c的大小关系为( )
A.c<b<a B.a<c<b
C.a<b<c D.c<a<b
【答案】D
(2) 1 (2) 0 π 1
【解析】因为0<
3
2<
3
，则0<a<1，而b=
2
sin 6= 22=❑√2>1，则a<b，
1
又0<
3
− 4<30，即0<c<1，
(2) 1 (4) 1 (1) 1
a= 2= 4> 4=c，
3 9 3
故c<a<b.
π
4.已知a=log 2，b=log 3，c=tan ，则a，b，c的大小关系为 ( )
3 4 3
A.c>a>b B.a>c>b
C.b>c>a D.c>b>a
【答案】D
π
【解析】c=tan =❑√3>1，a=log 2<log 3=1，
3 3 3
b=log 3<log 4=1.
4 4
ln2 ln3 ln2×ln4−(ln3) 2
方法一 a-b= - = ，
ln3 ln4 ln3×ln4
1 1
因为ln 2>0，ln 4>0，则ln 2+ln 4>2❑√ln2×ln4 ln 2×ln 4< ×(ln 8)2< ×(ln 9)2=(ln 3)2，
4 4
又ln 3>0，ln 4>0，则a-b<0，故a<b. ⇒
方法二 因为3a=3log 2=log 8<log 9=2，
3 3 32
所以a< ，
3
同理3b=3log 3=log 27>log 16=2，
4 4 4
2
则b> ，故a<b.
3
综上，c>b>a.
5.(2026·德州模拟)设2 024a=2 025，b=log 2 026，2 022c=2 026，则( )
2 023
A.a>c>b B.a>b>c
C.b>c>a D.c>b>a
【答案】D
log 2 026 log 2 026
【解析】依题意，c=log 2 026，b= 2 022 < 2 022 =log 2 026=c，
2 022 log 2 023 log 2 022 2 022
2 022 2 022
log 2 025 log 2 025
a=log 2 025= 2 023 < 2 023 =log 2 025<log 2 026=b，
2 024 log 2 024 log 2 023 2 023 2 023
2 023 2 023
所以c>b>a.
6.(2025·广州模拟)已知57>310，410>77.设a=log 7，b=2log 2+log 3，c=log 25，则( )
4 7 7 9
A.a<b<c B.c<a<b
C.b<c<a D.b<a<c
【答案】D
【解析】由题意可得b=log 12，c=log 5，
7 3
10 10
因为57>310，410>77，所以两边取对数并整理得log 5> ，log 7< ，所以a<c.
3 7 4 7
ln7 ln12 a (ln7) 2
又a=log 7= >1，b=log 12= >1， = ，
4 ln4 7 ln7 b ln4×ln12
ln4+ln12 ln48 ln49
且❑√ln4×ln12< = < =ln 7，即ln 4×ln 12<(ln 7)2，
2 2 2
a
所以 >1，即a>b，所以b<a<c.
b
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·保定模拟)下列不等式成立的有( )
A.log 0.2>log 0.3 B.0.30.2>0.20.3
0.3 0.2
C.log 0.2<log 0.2 D.30.2<20.3
3 2
【答案】AB
【解析】对于A，log 0.2>log 0.3=1，log 0.3<log 0.2=1，故log 0.2>log 0.3，A正确；
0.3 0.3 0.2 0.2 0.3 0.2
对于B，0.30.2>0.3 0.3 >0.20.3，故0.30.2>0.20.3，B正确；1
log 0.2 log 2 log 3
对于C，由于log 0.2<0，log 0.2<0，故 2 = 0.2 = 0.2 =log 3>1，故log 0.2>log 0.2，C错
3 2 log 0.2 1 log 2 2 3 2
3 0.2
log 3
0.2
误；
对于D，因为(30.2)10=32=9，(20.3)10=23=8，所以(30.2)10>(20.3)10，故30.2>20.3，D错误.
8.(2025·萍乡模拟)已知实数a，b，c满足0<c<1<b<a，则( )
A.ca<cb B.√a ac>√b bc
g
C.lo 1b<❑√b D.tan c<tan b
2
【答案】AC
【解析】对于A，因为0<c<1，所以y=cx在R上单调递减，又a>b，
所以ca<cb，故A正确；
1 1 1 1
对于B，令a=4，b=2，c=
2
，所以√a ac= 48= 24 ，√b bc= 24 ，所以√a ac=√b bc，故B错误；
g
对于C，因为b>1，所以lo 1b<0，❑√b>1，
2
g
所以lo 1b<❑√b，故C正确；
2
π 3π
对于D，取c= ，b= ，可得tan c=1，tan b=-1，
4 4
则tan c>tan b，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
❑√3 (1) 1
9.(2026·天津模拟)已知a=log ，b=log 3，c= 5，则a，b，c的大小关系为 .(用“>”
3 3 ❑√5 5
连接)
【答案】b>c>a
❑√3 1 1
【解析】a=log
3 3
=log
33
− 2=-
2
，
b=log 3=2log 3=log 9>log 5=1，
❑√5 5 5 5
(1) 1 (1) 0
0<c= 5< =1，
5 5
所以b>c>a.
10 11 ln2.2
10.(2025·沈阳模拟)设a=
e33
，b=ln
10
，c=
10
，则a，b，c的大小关系为 .(用“>”连
接)
【答案】a>b>c10 11 ln2.2
【解析】a= e33>e0=1，b=ln
10
<1，c=
10
<1，
11 ln2.2
故a>b，a>c，要比较ln 与 的大小，
10 10
(11) 10
即比较ln 与ln 2.2的大小，
10
等价于比较1.110与2.2的大小，等价于比较1.19与2的大小，
又1.19=1.1×1.18=1.1×1.214>1.1×1.24=1.1×1.442>1.1×1.42=1.1×1.96>2，
11 ln2.2
故1.19>2，即ln > ，即b>c，
10 10
故a>b>c.
