解三角形：中线问题、角平分线问题、高线问题、最值与范围问题专项训练
考点目录
中线问题
角平分线问题
高线问题
最值与范围问题
1．（24-25 高三上·浙江杭州·阶段练习）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，若
sin
sin
sin ,
3
c
a
A
c
C
b
B b
-
=
-
=
，则AC 边上中线长度的最大值为（ ）
A．3 2
2
B．4 3
3
C．3 3
2
D．4 2
3
【答案】C
【详解】
sin
sin
sin
c
a
A
c
C
b
B
-
=
-
，由正弦定理可得
2
2
c
a a
c
b
-
=
-
，
即
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，则
1
cos
,
0,
,
2
3
B
B
B
p
p
=
Î
\
=
Q
，
又
3
b =
，所以
2
2
9
a
c
ac
+
-
=
，因为
2
2
2
a
c
ac
+
£
，当且仅当
3
a
c
=
=
时等号成立，
所以
2
2
2
2
9
2
a
c
a
c
+
+
-
£
，则
2
2
18
a
c
+
£
．
设AC 边上中线的长度为h ，则
2
2
2
2
2
2
2
cos
2
9
27
3 3
3
h
a
c
ac
a
c
p
=
+
-
=
+
-
£
=
，
所以AC 边上中线长度的最大值为3 3
2
．
故选：C
2．（24-25 高三上·江苏南京·阶段练习）在锐角
ABC
V
中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若
60
B =
° ，
2
b =
，则边AC 上中线BD 的取值范围为（ ）
A．
21 , 3
3
é
ù
ê
ú
ë
û
B．
21 , 3
3
æ
ù
ç
ú
çè
û
C．
1, 3
D．1, 3ùû
【答案】B
【详解】因为BD 是
ABC
V
边AC 上的中线，所以
1 (
)
2
BD
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则
2
2
2
2
2
2
2
1
1
π
1
2
2
cos
4
4
3
4
BD
BA
BC
BA BC
c
a
ca
a
c
ac
æ
ö
=
+
+
×
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
由正弦定理得
2
4 3
sin
sin
sin
sin 60
3
a
c
b
A
C
B
=
=
=
=
°
，
考点一
中线问题
可得
4 3 sin
3
a
A
=
，
4 3 sin
3
c
C
=
，
所以
2
2
2
2
2
1 16
16
16
4
sin
sin
sin
sin
(sin
sin
sin
sin
)
4
3
3
3
3
BD
A
C
A
C
A
C
A
C
æ
ö
=
+
+
=
+
+
ç
÷
è
ø
uuur
，
而
2
2
2
2
2
3
1
3
3
1
sin
sin (
)
cos
sin
cos
sin
cos
sin
2
2
4
2
4
C
A
B
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
=
+
=
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
2
3
1
3
1
sin
sin
sin
sin(
)
sin
cos
sin
sin
cos
sin
2
2
2
2
A
C
A
A
B
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
，
所以
2
2
2
2
2
4
3
3
1
3
1
sin
cos
sin
cos
sin
sin
cos
sin
3
4
2
4
2
2
BD
A
A
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
+
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
uuur
2
4
3
2
2 3
4
π
5
sin
3sin
cos
1 cos2
sin 2
1
sin 2
3
4
3
3
3
6
3
A
A
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
-
+
+ =
-
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，
π
3
B =
，则
2π
π
0
3
2
π
0
2
C
A
A
ì <
=
-
<
ïïí
ï <
<
ïî
，即π
π
6
2
A
<
<
，
所以π
π
5π
2
6
6
6
A
<
-
<
，所以1
π
sin 2
1
2
6
A
æ
ö
<
-
£
ç
÷
è
ø
，
所以当
π
3
A =
时，
2
BD
uuur
取得最大值4
π
5
sin
3
3
2
3
+
=
，
2
BD
uuur
的最小值大于4
π
5
7
sin
3
6
3
3
+
=
，
所以BD
uuur
的最大值为
3 ，最小值大于
7
21
3
3
=
，即BD 的取值范围为
21 , 3
3
æ
ù
ç
ú
çè
û
．
故选：B．
3．（24-25 高一下·浙江台州·期中·多选）在
ABC
V
中，设
6
a =
，
5
c =
，
18
CA CB
×
=
uuur uuur
，则下列说法正确的是（ ）
A．
ABC
V
的面积为12
B．
ABC
V
外接圆的周长是25 π
4
C．若D 为AC 的中点，则中线BD 长度为
97
2
D．
ABC
V
内切圆的面积是5 π
2
【答案】ABC
【详解】对于A，
2
2
2
2
11
6,
5,
cos
·
18
2
2
a
b
c
b
a
c
CA CB
ab
C
ab
ab
+
-
+
=
=
×
=
=
=
=
uuur uuur
，解得
5
b =
，
故
5
AB
AC
=
=
，故BC 边上的高为
2
2
5
3
4
-
=
，
故
ABC
V
的面积为1
6 4
12
2 ´ ´
=
，故A 正确，
对于B，由余弦定理得
2
2
2
36
25
25
3
cos
2
2 6 5
5
a
c
b
B
ac
+
-
+
-
=
=
=
´ ´
，而B 为三角形内角，
所以
2
4
sin
1 cos
5
B
B
=
-
=
，
ABC
V
外接圆的周长是
5
25
π 2
π
π
π
4
sin
4
5
b
R
B
×
=
×
=
×
=
，故B 正确；
对于C，因为
1
2
BD
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
故
2
2
2
2
1
1
1
1
4
4
4
2
BD
BA
BC
BA
BC
BA BC
=
+
=
+
+
×
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
1
1
1
3
25
25
72
97
25
36
5 6
9
9
4
4
2
5
4
4
4
+
´
+
´
+
´ ´ ´
=
+
+
=
=
，
故
97
2
BD =
uuur
，故C 正确；
对于D，
ABC
V
内切圆的面积是
1
2 a
b
c r
S
+
+
=
，故
4 6
3
5
5
6
2
r
´
=
=
+ +
，
故
2
9
π
π
4
r =
，故D 不正确.
故选：ABC.
4．（2024·内蒙古赤峰·三模）在ABC
V
中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 已知
2
2
²
2
10
c
a
b
=
+
=
，
，
,
BC AC 边上的中线AM ，BN 相交于点P ， 则直线
,
AM BN 的夹角为
.
【答案】2
p /90°
【详解】
2
2
2
2,
10,
c
a
b
=
+
=
Q
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
\
=
+
-
，
2
10
2
cos
,
ab
C
\
=
-
cos
4,
ab
C
\
=
cos
cos
4
CA CB
CA CB
C
ba
C
\
×
=
×
=
=
uuur uuur
uuur
uuur
，
因为
1
2
AM
CM
CA
CB
CA
=
-
=
-
uuuur
uuuur
uuur
uuur
uuur
，
1
2
BN
CN
CB
CA
CB
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
2
2
1
1
1
1
1
2
2
4
2
2
AM BN
CB
CA
CA
CB
CA CB
CB
CA
CA CB
æ
ö æ
ö
×
=
-
×
-
=
×
-
-
+
×
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
uuuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
uuur
uuur uuur
2
2
2
2
1
1
1
1
4
4
1
4
4
2
2
2
a
b
a
b
=
´ -
-
+
= -
+
+
1
1
10
4
5
5
0
2
= -
´
+
=
-
=
，
AM
BN
\
^
uuuur
uuur
，即AM
BN
^
.
故答案为：π
2
5．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）在
ABC
V
中，角、、
A
B
C 所对的边分别为a
b
c
、、，已知
3
3 cos
3 sin
a
b
C
c
B
=
+
，若点M 为AC 中点，且
3
b =
，则中线BM 的最大值是
．
【答案】3
2
【详解】由3
3 cos
3 sin
a
b
C
c
B
=
+
,结合正弦定理边化角得：
3sin
3sin
cos
3sin
sin
A
B
C
C
B
=
+
，
再由三角形内角和定理得：
3sin
3sin
cos
3sin
sin
B
C
B
C
C
B
+
=
+
，
即3sin
cos
3cos
sin
3sin
cos
3sin
sin
B
C
B
C
B
C
C
B
+
=
+
，
3cos
sin
3sin
sin
B
C
C
B
Þ
=
因为
0,π
BÎ
，所以sin
0
B >
，即可得
3cos
3sin
tan
3
B
B
B
Þ
=
Þ
=
，
又因为
0,π
BÎ
，所以
π
3
B =
,
在
ABC
V
中，
3
b =
，
π
3
B =
，可知三角形的外接圆半径为
3
2
2
1
sin
3
2
b
r
r
B
=
=
=
Þ
= ，
故点B 的轨迹是以
3
AC =
为弦，所对角
π
3
B =
的圆弧，且是优弧，
由平面几何知识得，当AC 边上的中线BM 就是AC 边上的高，
即当且仅当
3
a
c
=
=
时，BM 最大值为3
2 .
故答案为：3
2 .
6．（24-25 高一下·广东汕尾·期中）如图，在
ABC
V
中，已知
2
AB =
，
6 2
AC =
，
45
BAC
Ð
=
° ，BC，AC 边上的
两条中线AM，BN 相交于点P．
(1)求BN ；
(2)求∠MPN 的余弦值．
【答案】(1)
10
BN=
(2)13 10
50
【详解】（1）因为
6 2
AC =
，N 为AC 的中点，所以
3 2
AN =
,
在ABN
V
中，
2
2
2
2
cos
BN
AB
AN
AB AN
BAC
=
+
-
×
Ð
2
2
2
3 2
2 2 3 2
cos45
10
=
+
- ´ ´
´
=
o
，
所以
10
BN=
（2）因为N 为AC 的中点，所以
1
2
BN
AN
AB
AC
AB
=
-
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
又
1
2
AM
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
1
1
1 1
1
2
2
2 2
2
AM BN
AB
AC
AC
AB
AC
AC AB
AB
æ
ö
æ
ö
×
=
+
×
-
=
-
×
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
,
所以
2
2
1 1
1
1 1
1
=
72
12
4 =13
2 2
2
2 2
2
AM BN
AC
AC AB
AB
æ
ö
æ
ö
×
=
-
×
-
´
-
´
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
uuuur uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
2
1
= 18 12
4
10
2
BN
AC
AB
æ
ö
=
-
-
+
=
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
，
所以
13
13 10
cos
=
=
=
50
5
10
AM BN
AM BN
AM
BN
×
´
×
uuuur uuur
uuuur uuur
uuuur
uuur
，
，
又
MPN
Ð
与
,
AM BN
uuuur uuur
的夹角相等，
所以
13 10
cos
=
50
MPN
Ð
，
所以
MPN
Ð
的余弦值为13 10
50
.
7．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
，
3
b =
.
(1)求角B ；
(2)若
2
a
c
+
=
，求边AC 上的角平分线BD 长；
(3)求边AC 上的中线BE 的取值范围.
【答案】(1)
π
3
B =
(2)
3
6
(3)
3 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
【详解】（1）因为
3sin
sin
3 cos
sin
A
C
C
B
+
=
，
所以
sin
sin
3sin
cos
3sin
3sin
cos
3 cos
sin
B
C
B
C
B
C
B
C
B
C
+
=
+
=
+
，
所以sin
sin
3 cos
sin
B
C
B
C
=
，
又sin
0
C >
，所以tan
3
B =
，
又
0,π
BÎ
，所以
π
3
B =
；
（2）由
π
3
B =
及余弦定理得
2
2
2
π
2
cos 3
b
c
a
ac
=
+
-
，
即
2
2
2
3
3
c
a
ac
a
c
ac
=
+
-
=
+
-
，
又因为
2
a
c
+
=
，所以
1
3
ac =
，
所以
1
π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
6
2
6
2
3
ABC
ABD
BCD
S
S
S
c BD
a BD
ac
=
+
=
×
×
+
×
×
=
V
V
V
，
所以
π
π
sin
sin
6
3
BD
a
c
ac
×
+
×
=
，
即
1
3
3
3
2
1
6
2
2
BD
´
=
=
´
；
（3）因为E 是AC 的中点，所以
1
2
BE
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则
2
2
2
2
2
1
1
3
2
2
4
4
4
ca
BE
BA
BA BC
BC
c
a
ac
+
=
+
×
+
=
+
+
=
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
由正弦定理得，
2
sin
sin
4sin
sin
4sin
sin
π
sin
sin
3
b
b
ac
A
C
A
C
A
A
B
B
æ
ö
=
×
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
即
2
π
2 3sin
cos
2sin
3sin 2
cos2
1
2sin 2
1
6
ac
A
A
A
A
A
A
æ
ö
=
+
=
-
+ =
-
+
ç
÷
è
ø
，
因为
2
0,π ,
π
0,π
3
A
C
A
Î
=
-
Î
，
所以
2π
0, 3
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
π 7π
2
,
6
6
6
A
æ
ö
-
Î -
ç
÷
è
ø，
所以
π
1
sin 2
,1
6
2
A
æ
ö
æ
ù
-
Î -
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
û ，
所以
π
2sin 2
1
0,3
6
ac
A
æ
ö
=
-
+ Î
ç
÷
è
ø
，
所以
2
3
2
3 9
,
4
4 4
ca
BE
+
æ
ù
=
Îç
ú
è
û
uuur
，
所以
3 3
,
2
2
BE
æ
ù
Îç
ú
çè
û
，
即边AC 上的中线BE 的取值范围为
3 3
,
2
2
æ
ù
ç
ú
çè
û
.
8．（24-25 高三上·云南临沧·期中）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，
π
3
B =
．
(1)当
4 3
c =
，
3 3
ABC
S
=
V
时，
（i）若线段BD 是角B 的内角平分线，点D 在边AC 上，求BD 的长；
（ii）若点O 是
ABC
V
的外心（即各边垂直平分线的交点），求BO AC
×
uuur uuur
的值；
(2)当
4 3
c =
，AC 边上的中线
21
BM =
时，求A 的大小．
【答案】(1)（i）
12
5
BD =
；（ii）
45
2
-
(2)
π
6
A =
【详解】（1）（i）由题意知：
1
π
4 3
sin
3 3
2
3
ABC
S
a
=
×
×
=
V
，所以
3
a =
，
由
1
π
1
π
4 3
sin
3
sin
3 3
2
6
2
6
ABC
S
BD
BD
=
´
´
´
+
´
´
´
=
V
，
解得
12
5
BD =
；
（ii）设点N 是AC 的中点，连接ON ，则ON
AC
^
，
0
·
NO AC =
uuur uuur
，
则
BO AC
BN
NO
AC
×
=
+
×
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
1
·
·
·
2
BN AC
NO AC
BA
BC AC
=
+
=
+
uuur uuur
uuur uuur
uuur
uuur uuur
2
2
1
1
45
·
2
2
2
BA
BC
BC
BA
BC
BA
=
+
-
=
-
= -
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
.
（2）设
=
=
AM
MC
x ，
由cos
cos
AMB
CMB
Ð
= -
Ð
，
则根据余弦定理得，
2
2
2
21 48
21
2
21
2
21
x
x
a
x
x
+
-
+
-
= -
×
×
，
化简得：
2
2
2
6
x
a
=
+
，①
在
ABC
V
中，根据余弦定理得，
2
2
4
48
4 3
x
a
a
=
+
-
，②
由①②得：
2
4 3
36
0
a
a
+
-
=
，解得
2 3
a =
或
6 3
a = -
（舍去），
从而
3
x =
，即
6
b =
，由正弦定理可得
6
4 3
π
sin
sin 3
C
=
，解得sin
1
C = ，
因为C 是三角形ABC 的内角，所以
π
2
C =
，则
π
6
A =
．
9．（24-25 高三上·云南昭通·期中）已知在
ABC
V
中，
1
AB
AC
=
= ，E ，F 分别为边AB ，BC 上的点，且
AE
EB
=
，2BF
FC
=
．
(1)若
90
BAC
Ð
=
o ，用向量方法求证：CE
AF
^
；
(2)若
3
BC =
，求AB 边上的中线CE 的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
7
2
CE =
．
【详解】（1）
证明：因为AE
EB
=
，所以
1
2
CE
CA
AE
AC
AB
=
+
= -
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
．
又因为2BF
FC
=
，所以
1
1
1
2
3
3
3
3
AF
AB
BC
AB
AC
AB
AC
AB
=
+
=
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
．
因为
90
BAC
Ð
=
o ，
1
AB
AC
=
= ，所以
0
AB AC
×
=
uuur uuur
，
所以
2
2
1
1
2
1
1
1
0
2
3
3
3
2
3
CE AF
AC
AB
AC
AB
AC
AC AB
AB
æ
ö æ
ö
×
= -
+
×
+
= -
-
×
+
=
ç
÷ ç
÷
è
ø è
ø
uuur uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
即
0
CE AF
×
=
uuur uuur
，得证．
（2）在
ABC
V
中，由余弦定理得：
1 3 1
3
cos
2
2 1
3
B
+ -
=
=
´ ´
，
在EBC
V
中由余弦定理得：
2
2
2
2
2
1
1
3
7
2
cos
3
2
3
2
2
2
4
CE
BE
BC
BE BC
B
æ
ö
=
+
-
×
=
+
- ´
´
´
=
ç
÷
è
ø
，则
7
2
CE =
．
10．（24-25 高三上·四川成都·期中）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为a ，b ，c ，且
sin
sin
sin
sin
b
B
a
A
c
C
a
C
=
+
+
.
(1)若cos
sin
0
a
C
c
A
b
+
-
=
，求角C ；
(2)若cos
cos
2
b
C
c
B
+
=
，3sin
2sin
A
C
=
，求AC 边的中线BD 的长；
(3)若角B 的内角平分线BE 的长为2，求4a
c
+ 的最小值.
【答案】(1)
π
12
C =
(2)
7
2
(3)18
【详解】（1）由sin
sin
sin
sin
b
B
a
A
c
C
a
C
=
+
+
利用正弦定理可得
2
2
2
b
a
c
ac
=
+
+
；
又
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，因此可得
1
cos
2
B = -
，
又
0,π
BÎ
，可得
2π
3
B =
；
由cos
sin
0
a
C
c
A
b
+
-
=
利用正弦定理可得
sin cos
sin
sin
sin
sin cos
sin
sin
sin cos
cos
sin
0
A
C
C
A
A
C
A
C
C
A
A
C
A
C
+
-
+
=
+
-
-
=
；
即sin
sin
cos
sin
0
C
A
A
C
-
=
，因此sin
cos
A
A
=
，
即tan
1
A = ，可得
π
4
A =
；
所以
π
2π
π
π
π
4
3
12
C
A
B
-
=
-
=
=
-
-
.
（2）设
ABC
V
的外接圆半径为R ，
由cos
cos
2
b
C
c
B
+
=
可得
2 sin
cos
2 sin
cos
2 sin
+
2 sin
2
R
B
C
R
C
B
R
B C
R
A
+
=
=
=
；
即
2
2
sin
R
A =
，又
2
sin
a
R
A =
，因此可得
2
a =
；
由3sin
2sin
A
C
=
利用正弦定理可得3
2
a
c
=
，可得
3
c = ，如下图：
易知
1
2
BD
BA
BC
=
+
uuur
uuur
uuur
，且
3,
2
BA
c
BC
a
=
=
=
=
uuur
uuur
；
因此
2
2
2
1
1
1
1
7
2
9
4
2 3 2
4
4
4
2
2
BD
BA
BC
BA
BC
BA BC
æ
ö
=
+
=
+
+
×
=
+
- ´ ´ ´
=
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，
因此AC 边的中线BD 的长为
7
2
（3）若角B 的内角平分线BE 的长为2，
由等面积法可得
ABC
ABE
CBE
S
S
S
=
+
△
△
△
，
即1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
2
2
B
B
ac
B
BE c
BE a
=
×
+
×
，可得
2
2
ac
c
a
=
+
，
即1
1
1
2
a
c
+
=
，
又
0,
0
a
c
>
>
，所以
1
1
4
4
4
2 4
2 4
1
2 5
2
18
a
c
a c
a
c
a
c
a
c
c
a
c
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
+
=
+
+
+
³
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
；
当且仅当4a
c
c
a
=
，即
3,
6
a
c
=
=
时，等号成立，
即4a
c
+ 的最小值为18.
11．（24-25 高一下·广东·阶段练习）记△ABC 中的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且4 cos
2 cos
b
A
c
a
B
-
=
.
(1)判断△ABC 的形状；
(2)若
2
a =
，
2π
3
C =
，求△ABC 内切圆的直径；
(3)设AD 为BC 边上的中线，若
3
c = ，2
34
AD =
，求a.
【答案】(1)等腰三角形．
(2) 4 3
6
-
(3)
4
a =
【详解】（1）由正弦定理可得4sin
cos
sin
2sin
cos
B
A
C
A
B
-
=
，
又A，B，C 为△ABC 的内角，故
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
．
代入可得
4sin
cos
sin
cos
cos
sin
2sin
cos
B
A
A
B
A
B
A
B
-
+
=
，
也即3sin
cos
3sin
cos
0
B
A
A
B
-
=
，即
sin
0
B
A
-
=
.
又
0,π
AÎ
，
0,π
BÎ
，则A
B
=
，故△ABC 为等腰三角形．
（2）由正弦定理可得
2π
π
sin
sin
3
6
c
a
=
，
故
2 3
c =
，
故△ABC 的周长
4
2 3
l =
+
，面积
sin
3
2
ab
C
S =
=
，
由等面积法可得其内切圆半径
2
2 3
2 3
3
4
2 3
S
r
l
=
=
=
-
+
，
故△ABC 内切圆的直径为4 3
6
-
.
（3）在△ABC 中，有
2
2
2
cos
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
，
化简得
3
cos
2
B
a
=
.
在△ABD 中，有
2
2
2
cos
2
AB
BD
AD
B
AB
BD
+
-
=
×
×
，
且
1
1
2
2
BD
BC
AC
=
=
，
即
2
1
17
9
4
2
cos
1
2 3 2
a
B
a
+
-
=
× ×
，
代入解得
4
a =
.
12．（2025·湖南长沙·模拟预测）记
ABC
V
中内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
cos
sin
a
B
b
A
c
+
=
.
(1)求A；
(2)若
2
c =
，AC 边上的中线BD 长为10 ，求
ABC
V
的面积.
【答案】(1)
π
4
A =
(2)4
【详解】（1）因为cos
sin
a
B
b
A
c
+
=
，
由正弦定理可得sin
cos
sin
sin
sin
A
B
B
A
C
+
=
，
又
sin
sin
sin
cos
cos
sin
C
A
B
A
B
A
B
=
+
=
+
，
所以sin
sin
cos
sin
A
B
A
B
=
，
因为
0,π
BÎ
，sin
0
B ¹
，所以sin
cos
A
A
=
，
又因为cos
0
A ¹
，
0,π
AÎ
，所以tan
1
A = ，
π
4
A =
.
（2）在
ABD
△
中，因为
2
AB =
，
10
BD =
，
π
4
A =
，由余弦定理可得：
2
2
2
2
cos
BD
AB
AD
AB AD
A
=
+
-
×
×
，
即
2
2
8
0
AD
AD
-
-
=
，解得
4
=
AD
，所以
8
AC =
，
所以
1
1
2
sin
2 8
4
2
2
2
ABC
S
AB
AC
A
=
×
×
×
=
×
× ×
=
V
.
13．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）在
ABC
V
中，
3
AC
AB
=
，且BC 边上的中线AD 长为1．
(1)若
5π
6
BAC
Ð
=
，求BC 的长；
(2)若
2
ABC
DAC
Ð
= Ð
，求BC 的长．
【答案】(1)
2 7
BC =
(2)2
【详解】（1）设
,
,
AC
b AB
c BC
a
=
=
=
，则
3
b
c
=
，
在
ABD
△
中，
2
2
2
cos
2
AD
BD
AB
ADB
AD
BD
+
-
Ð
=
×
×
，
在ACD
V
中，
2
2
2
cos
2
AD
CD
AC
ADC
AD
CD
+
-
Ð
=
×
×
，
在
ABC
V
中，AD 为中线，则
1
2
2
a
BD
CD
BC
=
=
=
，
π
ADB
ADC
Ð
+ Ð
=
，
则
2
2
2
2
1
1
4
4
2 1
2 1
2
2
a
a
c
b
a
a
+
-
+
-
= -
´ ´
´ ´
，化简可得
2
2
8
4
a
c
=
-
，
由
2
2
2
cos
2
AC
AB
BC
BAC
AC
AB
+
-
Ð
=
×
×
，则
2
2
2
2
5π
3
8
4
cos 6
2 3
c
c
c
c
+
-
+
=
，解得
2
c =
，
所以
2
8
4
2 7
a
c
=
-
=
.
（2）由题可知
,
3 ,
1,
2
a
AB
c AC
c AD
BD
DC
=
=
=
=
=
，
设
2 ,
,
ABC
DAC
ADB
q
q
a
Ð
=
Ð
=
Ð
=
，则
π
ADC
a
Ð
=
-
，
在
ABD
△
中，由正弦定理得sin
sin
AB
AD
ADB
ABD
=
Ð
Ð
，即
1
sin
sin 2
c
a
q
=
，
在
ADC
△
中，由正弦定理得sin
sin
AC
DAC
D
A C
C
D
=
Ð
Ð
，即
3
2
sin
sin(π
)
a
C
q
a
=
-
，
所以
1
sin 2
2 3sin
a
q
q
=
，则
3
cos
a
q
=
，①
在
ABD
△
和
ADC
△
中，出余弦定理得
2
2
2
2
2
2
1
1
( 3 )
2
2
cos
cos
0
2
1
2
1
2
2
a
a
c
c
ADB
ADC
a
a
æ
ö
æ
ö
+
-
+
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
Ð
+
Ð
=
+
=
´
´
´
´
，
所以
2
2
4
8
a
c
+
=
，②
在
ADC
△
中，由余弦定理得
2
2
2
2
cos
DC
AD
AC
AD AC
DAC
=
+
-
×
×
Ð
，
即
2
2
2
1
( 3 )
2 1
3
cos
2
a
c
c
q
æ
ö =
+
- ´ ´
´
ç
÷
è
ø
，即
2
2
1
1 3
4
cos
2 3
c
a
c
q
+
-
=
，③
将
2
2
8
4
a
c
=
-
代入得
2
2
cos
2 3
c
c
q
+
=
，④
由①④得
2
2
2
3
2
2 3
c
a
c
æ
ö
æ
ö
+
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，即
2
2
2
2
2
3
8
4
12
c
c
c
+
=
-
，即
2
2
4
2
9
2
1
4
4
c
c
c
c
=
-
+
+
，
即
6
4
2
2
7
5
4
0
c
c
c
+
-
-
=
，即
2
2
2
1
2
1
4
0
c
c
c
-
+
+
=
，
因为
0
c >
，所以
2
1
c = ，则
2
2
8
4
4
a
c
=
-
=
，所以
2
a =
．
故BC 的长为2．
1．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）在
ABC
V
中，记角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，若
2
2
2
c
a
b
ab
=
+
+
，点D 在边
AB 上，CD 平分
ACB
Ð
，且
1
2
CD =
，则4
9
a
b
+
的最小值为（ ）
A．25
2
B．25
C．25
4
D．24
【答案】A
【详解】由
2
2
2
1
2π
cos
,
0,π
2
3
c
a
b
ab
C
C
C
=
+
+
Þ
= -
Î
\
=
Q
，
又S
=
+
V
V
V
ABC
ACD
BCD
S
S
，
1
2π
1
π
1
π
1
1
sin
sin
sin
2
,
2
2
3
2
3
2
3
ab
b CD
b CD
ab
a
b
a
b
\
×
=
×
+
×
Þ
=
+
\
+
=
uuur
uuur
，
0,
0
a
b
>
>
Q
，
1
1
1
1
9
4
1
9
4
25
4
9
4
9
13
13
2
2
2
2
2
b
a
b
a
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
æ
ö
æ
ö
æ
ö
\
+
=
+
×
+
=
+
+
³
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
当且仅当9
4
2
3
b
a
b
a
a
b
=
Þ
=
取等号；又1
1
2
a
b
+
=
，即当且仅当
5
5
,
4
6
a
b
=
=
取到最小值25
2 .
故选：A.
2．（23-24 高一下·四川宜宾·期末）在
ABC
V
中，
2
BC
AB
=
，
60
ABC
Ð
=
° ，
ABC
Ð
的角平分线交AC 于点D，
2
BD = ，则
ABC
V
的面积为（ ）
A．
3
4
B．
3
2
C．
3
D．3 3
2
【答案】D
【详解】设
,
2
AB
t BC
t
=
=
,
1
3
1
1
1
1
,
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ABC
BCD
ABD
S
S
S
t
t
t
t
=
+
´ ´
´
=
´ ´ ´
+
´
´ ´
V
V
V
，
所以
2
2 3
6 ,
3
t
t t
=
=
,
所以
2
1
3
3
3 3
2
.
2
2
2
2
ABC
S
t
t
t
=
´ ´
´
=
=
V
故选：D.
3．（23-24 高三上·宁夏银川·阶段练习）已知在
ABC
V
中，角A 和角B 的角平分线交点为
,
M M 到AB 的距离为2，
ABC
V
的周长为4，
π
3
C =
，则BC CA
×
=
uuur uuur
（ ）
A．
8 3
3
-
B．
16 3
3
-
C．8 3
3
D．16 3
3
【答案】A
考点二
角平分线问题
【详解】设
,
,
AB
c BC
a AC
b
=
=
=
，
角A 和角B 的角平分线交点为
,
M M 到AB 的距离为2，
所以M 点为
ABC
V
的内心，且M 点到各边的距离都为2 ，
ABC
V
的周长为4，所以
4
a
b
c
+
+
=
，
所以
ABC
V
的面积为：
1
2
4
2
ABC
MAC
MBC
MAB
S
S
S
S
a
b
c
=
+
+
=
+
+
×
=
V
V
V
V
，
又因为
1
3
sin
2
4
ABC
S
ab
C
ab
=
=
V
，所以
3
4
4 ab =
，解得：
16 3
3
ab =
，
16 3
1
8 3
cos
cos
3
2
3
BC CA
CB CA
C
ab
C
×
= -
×
= -
= -
´
= -
uuur uuur
uuur uuur
.
故选：A.
4．（24-25 高一下·福建厦门·期中·多选）已知
ABC
V
中
1
4
13
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
，D 在BC 上，AD 平分
BAC
Ð
，下
列结论正确的是（ ）
A．
1
cos
2
BAC
Ð
=
B．
ABC
V
的面积为
3
C．
1
4
CD
BD =
D．
4 3
5
AD =
【答案】ABD
【详解】对于A，在
ABC
V
中，已知
1
4
13
AB
AC
BC
=
=
=
，
，
，
2
2
2
2
2
2
1
4
( 13)
1 16 13
4
1
cos
2
2 1 4
8
8
2
AB
AC
BC
BAC
AB AC
+
-
+
-
+
-
Ð
=
=
=
=
=
×
×
´ ´
，
，
因此，选项A 正确；
对于B，由A 知
1
cos
0 ,180
60
2
BAC
BAC
BAC
Ð
=
Ð
Î
°
° \Ð
=
o
Q
，
，
，
故
1
1
3
sin60
1 4
3
2
2
2
ABC
S
AB
AC
=
´
´
´
=
´ ´ ´
=
o
V
，故B 正确；
对于C，根据角平分线定理，在ABC
V
中，若AD 平分
BAC
Ð
且交BC 于D，则BD
AB
DC
AC
=
，
已知
1
4
AB
AC
=
=
，
，代入得：
1
4
BD
DC =
⟹
4
CD
BD = ，
因此，C 选项中
1
4
CD
BD =
是错误的．故C 不正确；
对于D，由余弦定理可知：
13 16 1
7
cos
2 4
13
2 13
C
+
-
=
=
´ ´
，
3
sin
2 13
C
AD
\
=
Q
，
平分
30
BAC
DAC
Ð
\Ð
=
o
，
，
3
1
3
3
7
1
5
sin
sin 180
30
sin
30
sin
cos
2
2
2
2
2 13
2 13
2 13
ADC
C
C
C
C
é
ù
\
Ð
=
°-
+
=
+
=
+
=
´
+
´
=
ë
û
o
o
，
在ACD
V
中，由正弦定理可得：sin
sin
AD
AC
C
ADC
=
Ð
，
故
3
4
sin
4 3
2 13
5
sin
5
2 13
AC
C
AD
ADC
´
=
=
=
Ð
，故D 正确．
故选：ABD.
5．（23-24 高三下·江西·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且
2π
3
BAC
Ð
=
，AD 平分
BAC
Ð
交BC 于D ，
1
AD = ，则
ABC
V
面积S 的最小值为
；若
2 5
a =
，则
ABC
V
的面积为
．
【答案】
3
5 3
4
/ 5
3
4
【详解】由题意，
2π ,
3
BAC
AD
Ð
=
平分
BAC
Ð
交BC 于D 且
1
AD = ，
可得
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，即1
2π
1
π
1
π
sin
sin
sin
2
3
2
3
2
3
bc
c AD
b AD
=
×
+
×
，
整理得bc
b
c
=
+ ，所以
2
bc
b
c
bc
=
+
³
，所以
4
bc ³
，当且仅当b
c
=
时，等号成立，所以
ABC
V
面积的最小值
min
1
3
4
3
2
2
ABC
S
=
´ ´
=
V
，
因为
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，即
2
2
2
20
b
c
bc
b
c
bc
=
+
+
=
+
-
，
又因为b
c
bc
+
=
，所以
2
20
0
bc
bc
-
-
=
，即
5
4
0
bc
bc
-
+
=
，
因为
0
bc >
，解得
5
bc = ，因此
1
3
5 3
sin
2
4
4
ABC
S
bc
BAC
bc
=
Ð
=
=
△
．
故答案为：
3 ；5 3
4
.
6．（2025·北京·三模）在锐角
ABC
V
中，
60
BAC
Ð
=
°，
2
AB =
，
6
=
BC
，
BAC
Ð
的角平分线交BC 于D，则
ACB =
∠
；AD = .
【答案】
π
4
2
【详解】
如图所示，在
ABC
V
根据正弦定理可得sin
sin
AB
BC
C
BAC
=
Ð
，即
6
2
π
sin
sin 3
C =
，解得
2
sin
2
C =
，
因为
ABC
V
为锐角三角形，所以
π
4
C =
，可知
5π
12
B =
，
已知AD 是
BAC
Ð
的角平分线，所以
π
6
DAC
Ð
=
,根据三角形外角性质得
π
π
5π
6
4
12
BDA
Ð
=
+
=
,
所以BAD
V
是等腰三角形，
2
AB
AD
=
=
.
故答案为：π
4 ；2.
7．（2025·陕西西安·一模）已知△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，
π
3
A =
，D 为BC 上一动点.
(1)若AD 平分
BAC
Ð
，求证：AB
BD
AC
DC
=
；
(2)若D 为BC 上靠近B 的三等分点，当
2
c =
，
1
b = 时，求AD 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
21
3
【详解】（1）设AE
BC
^
，垂足为E ，
在
ABD
△
中，
1
1
=
sin
2
2
ABD
S
AB AD
BAD
BD AE
×
×
Ð
=
×
V
，
在ACD
V
中，
1
1
=
sin
2
2
ACD
S
AC AD
CAD
CD AE
×
×
Ð
=
×
V
，
因为AD 平分
BAC
Ð
，
所以
BAD
CAD
Ð
= Ð
，于是有sin
sin
BAD
CAD
Ð
=
Ð
，
因此有
1
1
sin
2
2
1
1
sin
2
2
AB AD
BAD
BD AE
AB
BD
AC
CD
AC AD
CAD
CD AE
×
×
Ð
×
=
Þ
=
×
×
Ð
×
；
（2）因为D 为BC 上靠近B 的三等分点，
所以
1
1
3
3
BD
BC
AC
AB
=
=
-
uuur
uuur
uuur
uuur
，
因为
1
2
1
3
3
3
AD
AB
BD
AB
AC
AB
AB
AC
=
+
=
+
-
=
+
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
2
2
2
2
1
4
1
4
4
1
4
1
21
4
1
2 1
.
3
3
9
9
9
9
9
9
2
3
AD
AB
AC
AB
AC
AB AC
æ
ö
=
+
=
+
+
×
=
´ +
´ +
´ ´ ´
=
ç
÷
è
ø
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
8．（24-25 高三下·浙江·开学考试）在ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
2
2
3
sin
sin
2
2
2
C
A
ac
a
c
a
b
c
+
=
+
+
.
(1)求角B 的大小；
(2)设D 是边AC 上一点，满足
2
AD
DC
=
，且BD 平分
ABC
Ð
，若
2
a =
，求ABC
V
的面积.
【答案】(1) 3
p
(2) 2 3
【详解】（1）在ABC
V
中，
2
2
1 cos
1 cos
cos
cos
sin
sin
2
2
2
2
2
2
a
C
c
A
C
A
a
c
a
C
c
A
a
c
-
-
+
+
+
=
+
=
-
2
2
2
2
2
2
1
1
cos
cos
2
2
2
2
2
2
2
a
c
a
c
a
b
c
b
c
a
a
c
b
a
C
c
A
a
c
ab
bc
æ
ö
+
+
+
-
+
-
+ -
=
-
+
=
-
´
+ ´
=
ç
÷
è
ø
，
因为
2
2
3
sin
sin
2
2
2
C
A
ac
a
c
a
b
c
+
=
+
+
，所以
3
2
2
a
c
b
ac
a
b
c
+ -
=
+
+
，
化简得
2
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
，
由余弦定理得
2
2
2
1
cosB
2
2
a
c
b
ac
+
-
=
=
，又
0,
B
p
Î
，所以
3
B
p
=
.
（2）由题意，
2
BA
AD
BC
DC
=
=
，又
2
BC =
，所以
4
BA =
则
1
sin
2 3
2
ABC
S
ac
B
=
=
V
.
9．（24-25 高三上·江苏苏州·期末）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
cos
3sin
b
c
a
C
C
+
=
+
，
D 为边BC 上一点，
2
,
3
BD
DC AD
=
=
．
(1)求A ；
(2)若AD 平分
BAC
Ð
，求a ．
【答案】(1)
π
3
A =
(2)
9
2
a =
．
【详解】（1）因为
cos
3sin
b
c
a
C
C
+
=
+
，
由正弦定理得
sin
sin
sin
cos
3sin
B
C
A
C
C
+
=
+
，
则
sin
sin
sin
cos
3sin
A
C
C
A
C
C
+
+
=
+
，
即cos
sinC sin
3sin
sin
A
C
C
A
+
=
，
因为
0, π
C Î
，所以sin
0
C ¹
，所以3sin
cos
1
A
A
-
= ，即
π
1
sin
6
2
A
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
．
又因为
0, π
AÎ
，所以
π
3
A =
．
（2）因为AD 平分
BAC
Ð
，所以
2
c
BD
b
DC
=
=
，即
2
c
b
=
，
由面积相等得1
π
1
π
1
π
3 2
sin
3
sin
2
sin
2
6
2
6
2
3
b
b
b
b
× ×
×
+
× × ×
=
× ×
×
，
解得
3 3
2
b =
，所以
3 3
c =
．
由余弦定理得
2
2
2
3 3
3 3
π
81
3 3
2
3 3 cos
2
2
3
4
a
æ
ö
=
+
- ×
×
×
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
，所以
9
2
a =
．
10．（24-25 高一下·河南三门峡·阶段练习）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3 sin
cos
,
a
B
b
BAC
b D
Ð
+
=
为BC 边上的一点，且AD 平分
BAC
Ð
.
(1)求
BAC
Ð
的大小；
(2)若
BAC
Ð
的平分线交BC 于点D ，且
1
AD = ，求
ABC
V
周长的最小值.
【答案】(1) 2π
3
(2) 2 3
4
+
【详解】（1）∵3 sin
cos
a
B
b
BAC
b
Ð
+
=
，
∴3sin
sin
sin cos
sin
BAC
B
B
BAC
B
Ð
Ð
+
=
，
∵
0,π
BÎ
，∴sin
0
B ¹
，
∴3sin
cos
1
BAC
BAC
Ð
Ð
+
= ，故
π
2sin
1
6
BAC
æ
ö
Ð
+
=
ç
÷
è
ø
，即
π
1
sin
6
2
BAC
æ
ö
Ð
+
=
ç
÷
è
ø
，
∵
0,π
BAC
Ð
Î
，∴
π
π 7π
,
6
6
6
BAC
æ
ö
Ð
+
Îç
÷
è
ø ，
∴
6
π
6
5π
BAC
Ð
+
=
，故
2π
3
BAC
Ð
=
.
（2）
∵AD 为
BAC
Ð
的平分线，∴
π
3
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
.
∵
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，∴1
1
1
sin
sin
sin
2
2
2
bc
BAC
c AD
BAD
b AD
CAD
Ð
=
×
×
Ð
+
×
×
Ð
，
∵
1
AD = ，∴bc
b
c
=
+ ，
由
2
b
c
bc
+
³
得，
2
bc
bc
³
，由
0
bc >
得
4
bc ³
，当且仅当
2
b
c
=
=
时，等号成立，
min
4
bc
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得，
2
2
2
2
2
2π
2
cos 3
a
b
c
bc
b
c
bc
bc
bc
=
+
-
=
+
-
=
-
，
令
4
t
bc t
=
³
，则
2
2
a
t
t
=
- ，
∵二次函数
2
y
t
t
=
- 的对称轴为直线
1
2
t =
，
∴当
4
t =
时，
2
min
16
4
12
a
=
-
=
，故
min
2 3
a
=
，
∴
ABC
V
周长的最小值为2 3
4
+
.
11．（2025·河南·三模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，且
2 sin cos
tan cos
sin
cos
a
C
A
c
B
C
c
C
B
+
=
.
(1)证明：
2
B
C
A
+
=
；
(2)若AD 平分
BAC
Ð
交BC 于点D ，且4
9
25
b
c
+
=
，求AD 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
3
【详解】（1）证明：由正弦定理及
2 sin cos
tan cos
sin
cos
a
C
A
c
B
C
c
C
B
+
=
，
得
2
sin sin cos
2sin sin cos
sin
cos
cos
B
C
C
C
A
A
C
B
B
+
=
，
因为0
π
C
<
<
，所以sin
0
C >
，
所以sin cos
sin cos
2sin cos
B
C
C
B
A
A
+
=
，
即
sin
sin
2sin cos
A
B
C
A
A
=
+
=
，
因为0
π
A
<
<
，所以sin
0
A >
，
所以2cos
1
A = ，即
1
cos
2
A =
，
又因为
0,π
AÎ
，所以
π
3
A =
，
又
π
A
B
C
+
+
= ，所以
2
B
C
A
+
=
.
（2）解：由AD 平分
BAC
Ð
，则
π
6
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
，
因为
ABC
ABD
ACD
S
S
S
=
+
V
V
V
，
即1
3
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
bc
AD c
AD b
×
=
× ×
+
× ×
，整理可得
3
1
1
AD
b
c
=
+
，
又因为4
9
25
b
c
+
=
，
则
3
1
1
1
1
4
9
1
4
9
4
9
13
13
2
1
25
25
25
b
c
b
c
b
c
AD
b
c
c
b
c
b
æ
ö
æ
ö
æ
ö
=
+
+
=
+
+
³
+
×
=
ç
÷
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
，
可得
3
AD £
，当且仅当4
9
b
c
c
b
=
，即
5
5
,
2
3
b
c
=
=
时取等号，
所以AD 的最大值为
3 .
12．（2025·四川·模拟预测）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c
ABC
V
的面积S 满足：
2
2 3
cos
sin sin
0.
S
C
c
A
B
×
+
=
(1)求C ；
(2)若
2
,
AD
DB CD
=
uuur
uuur
平分
ACB
Ð
，且
2
CD =
，求c ．
【答案】(1)
2π
3
C =
(2)
3 7
c =
【详解】（1）已知
2
2 3
cos
sin
sin
0
S
C
c
A
B
×
+
=
，根据三角形面积公式
in
1
2
s
S
ab
C
=
，将其代入已知条件可得：
2
1
2 3
sin
cos
sin
sin
0
2 ab
C
C
c
A
B
´
×
+
=
由正弦定理得：
2
1
2 3
(2 sin
)(2 sin
)sin
cos
(2 sin
) sin
sin
0
2
R
A
R
B
C
C
R
C
A
B
´
´
×
+
=
因为
,
(0, π)
A BÎ
，所以sin
0
A ¹
，sin
0
B ¹
，等式两边同时除以
2
4
sin
sin
R
A
B 得
2
3sin
cos
sin
0
C
C
C
+
=
因为
(0,π)
C Î
，所以sin
0
C ¹
，等式两边同时除以sinC 得：3 cos
sin
0
C
C
+
=
即sin
3cos
C
C
= -
，所以
sin
tan
3
cos
C
C
C
=
= -
.又因为
(0,π)
C Î
，所以
2π
3
C =
.
（2）因为
2
AD
DB
=
uuur
uuur ，所以
2
1
ACD
BCD
S
S
=
V
V
.
又因为CD 平分
ACB
Ð
，所以
π
3
ACD
BCD
Ð
= Ð
=
.
根据三角形面积公式，可得
1
π
sin
2
2
3
1
π
1
sin
2
3
ACD
BCD
b CD
S
b
S
a
a CD
×
×
=
=
=
×
×
V
V
，即
2
b
a
=
.
在
ABC
V
中，根据余弦定理，将
2
b
a
=
，
2π
3
C =
代入可得：
2
2
2
2π
(2 )
2
2
cos 3
c
a
a
a
a
=
+
-
´
´
，化简得
2
2
7
c
a
=
在ACD
V
中，根据余弦定理，将
2
b
a
=
，
2
CD =
代入可得：
2
2
2
1
(2 )
2
2 2
2
2
AD
a
a
=
+
- ´
´ ´
，即
2
2
4
4
4
AD
a
a
=
+
-
，
在
BCD
△
中，根据余弦定理，将
2
CD =
代入可得：
2
2
2
1
2
2
2
2
BD
a
a
=
+
-
´ ´
，即
2
2
4
2
BD
a
a
=
+
-
，
因为
2
AD
DB
=
uuur
uuur ，所以
2
AD
BD
=
，即
2
2
4
AD
BD
=
，则有：
2
2
4
4
4
4(
4
2 )
a
a
a
a
+
-
=
+
-
，即
2
2
4
4
4
4
16
8
a
a
a
a
+
-
=
+
-
，即4
12
a =
，
解得
3
a =
.将
3
a =
代入
2
2
7
c
a
=
可得
2
2
7 3
63
c =
´
=
，所以
3 7
c =
.
13．（2024·山东·模拟预测）从①
cos π
2
cos
C
c
a
b
B
-
+
=
，②sin
sin
sin
sin
A
C
b
c
B
C
a
+
-
=
+
，③
2
2 sin
3 sin
2
B
a
b
A
=
这三个条件中
任选一个，补充在下面的问题中.
已知
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______.
(1)求角B 的大小；
(2)若A 的角平分线交边BC 于点D ，且
6
AD =
，
2
c =
，求边b .
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1) 2π
3
(2)2 3
【详解】（1）若选择①，则因为
2
cos(
)
cos
c
a
C
b
B
+
p -
=
，
由正弦定理得sin
cos
cos
sin
2sin
cos
0
B
C
B
C
A
B
+
+
=
，
所以sin(
)
2sin
cos
0
B
C
A
B
+
+
=
，即sin
(2cos
1)
0
A
B +
=
，
从而
1
cos
2
B = -
，
因为
0,
B
p
Î
，所以
2π
3
B =
．
若选择②则：因为sin
sin
sin
sin
A
C
b
c
B
C
a
+
-
=
+
，
由正弦定理得
2
2
2
b
a
c
ac
=
+
+
，
又由余弦定理
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，
从而
1
cos
2
B = -
，
0,
B
p
Î
，所以
2π
3
B =
．
若选择③则：因为
2
2 sin
3 sin
2
B
a
b
A
=
，所以
1 cos
3 sin
a
B
b
A
-
=
，
由正弦定理得
sin
1 cos
3sin
sin
A
B
B
A
-
=
，
整理得3sin
cos
1
B
B
+
= ，所以
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
因为
0,
B
p
Î
，所以
π
π 7π
,
6
6
6
B
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø ，
所以
π
5π
6
6
B +
=
，所以
2π
3
B =
.
（2）如图：在
ABD
△
中，sin
sin
AD
c
B
ADB
=
Ð
，
所以
sin
2
sin
2
c
B
ADB
AD
Ð
=
=
，
所以
π
4
ADB=
Ð
，所以
π
12
BAD
DAC
Ð
= Ð
=
，
所以
π
6
ACB
BAC
Ð
Ð
=
=
，
所以
ABC
V
是等腰三角形，且a
c
=
，
所以
2 cos
2 3
6
b
a
p
=
=
．
14．（2025·江西·三模）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
．
(1)求A；
(2)若∠BAC 的角平分线AD 与边BC 交于点D，且
4
b
c
+
=
，求1
1
BD
DC
+
的最小值．
【答案】(1)
2π
3
A =
(2) 2 3
3
【详解】（1）在
ABC
V
中，由
cos2
2 cos
cos
0
b
c
c
A
a
A
C
+
+
+
=
，得
2
2 cos
2 cos
cos
0
b
c
A
a
A
C
+
+
=
，
由正弦定理得sin
2cos
(sin
cos
sin
cos
)
0
B
A
C
A
A
C
+
+
=
，即sin
2cos
sin(
)
0
B
A
A
C
+
+
=
，
则sin
2cos
sin
0
B
A
B
+
=
，而sin
0
B >
，解得
1
cos
2
A = -
，又0
π
A
<
<
，
所以
2π
3
A =
.
（2）由（1）知
π
3
BAD
CAD
Ð
= Ð
=
，设
2π
,0
3
ADB
q
q
Ð
=
<
<
，
在
,
ABD
ACD
△
△
中，由正弦定理得sin
sin
BD
AB
BAD
ADB
=
Ð
Ð
，sin
sin
CD
AC
CAD
ADC
=
Ð
Ð
，
则
3
3
,
2sin
2sin
c
b
BD
CD
q
q
=
=
，令
3
3
[
,
)
2sin
2
l
q
=
Î
+¥ ，
(
)
4
a
BD
CD
b
c
l
l
=
+
=
+
=
，
在
ABC
V
中，由余弦定理得
2
2
2
2
2
16
(
)
16
16
a
b
c
bc
b
c
bc
bc
l =
=
+
+
=
+
-
=
-
<
，
解得1
1
l
- <
< ，因此
3
[
,1)
2
l Î
，
2
2
1
1
1
1
4
4
1
(16 16
)
4 (1
)
BD
DC
c
b
bc
l
l
l
l
l
l
l
+
=
+
=
=
=
-
-
，
令
2
(1
)
( )
f
l
l
l
=
-
，求导得
2
1 3
0
( )
f
l
l
-
=
<
¢
，函数
( )
f l 在
3
[
,1)
2
上单调递减，
则
max
3
3
( )
(
)
2
8
f
f
l
=
=
，所以1
1
BD
DC
+
的最小值为2 3
3
.
1．（24-25 高一下·河南安阳·期末）已知
ABC
V
的内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，记BC 边上的高为h ，若A 为
锐角，
2 sin
b
a
B
=
，则h
a 的最大值为（ ）
A．
2
2
B．
2
1
2
+
C．
3
1
2
+
D．
3
2
【答案】B
【详解】因为
2 sin
b
a
B
=
，由正弦定理得sin
2sin sin
B
A
B
=
，
又sin
0
B >
，则
2
sin
2
A =
，因为A 为锐角，所以
2
cos
2
A =
，
由余弦定理可知
2
2
2
2
2
2
cos
2
*
a
b
c
bc
A
b
c
bc
=
+
-
=
+
-
．
由等面积法可知1
1
sin
2
2
bc
A
ah
=
，即
2
2 bc
ah
=
，即
2
2
**
2
bc
h
a
a
=
．
将
* 代入
** ，则
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
h
bc
bc
bc
a
a
b
c
bc
b
c
bc
=
=
=
+
-
+
-
2
2
2
2
2
2
1
4
2
4
2 2
2
2 2
2 2
bc
b
c
bc
bc
+
=
£
=
=
-
+
-
-
，当且仅当b
c
=
时取等号，
则h
a 的最大值为
2
1
2
+ ．
故选：B.
2．（24-25 高一下·辽宁大连·期末）三角形ABC 中，角, ,
A B C 对的边分别为, ,
a b c ，
6 5
a =
，若
2
2
2
11
2
6
sin
b
c
a
bc
A
+
=
+
，则BC 边上的高为（ ）.
A．
5
B．18 5
13
C．2 5
D．30 5
13
【答案】B
【详解】由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，代入
2
2
2
11
2
6
sin
b
c
a
bc
A
+
=
+
，
可得
2
2
2
2
11
2
2
cos
6
sin
b
c
b
c
bc
A
bc
A
+
=
+
-
+
，
化简得
2
2
10
6
si
2
cos
n
A
b
c
c
A
bc
b
-
+
=
，
两边同时除以2bc 得，
5
3sin
cos
2
b
c
A
A
c
b
-
=
+
，
一方面，
3sin
cos
10 sin
10
A
A
A j
-
=
-
£
，
考点三
高线问题
其中
3 10
cos
10
j =
，
10
π
sin
0
10
2
j
j
æ
ö
=
<
<
ç
÷
è
ø
，当
sin
1
A j
-
= 时等号成立；
另一方面，由均值不等式，有5
10
2
b
c
c
b
+
³
，当且仅当
10
c
b
=
时等号成立，
依题可得：
5
3sin
cos
10
2
b
c
A
A
c
b
-
=
+
=
，此时
sin
1
A j
-
= 且
10
c
b
=
，
π
2 π,
2
A
k
k
j
\
-
=
+
ÎZ ，
0
π
A
<
<
Q
，
π
0
φ
2
<
<
，
π
φ
2
A
\
=
+
，
π
3 10
sin
sin φ
2
10
A
cosj
æ
ö
\
=
+
=
=
ç
÷
è
ø
，
π
10
cos
cos φ
2
10
A
sinj
æ
ö
=
+
= -
= -
ç
÷
è
ø
，
由余弦定理，
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
，又
10
c
b
=
，
6 5
a =
，
联立解得
6 65
13
b =
，
30 26
13
c =
，
设BC 边上的高为h ，则
1
1
sin
2
2
ABC
S
bc
A
ah
=
=
V
，
故
6
30
3
65
26
10
sin
18 5
13
13
10
13
6 5
bc
A
h
a
´
´
=
=
=
，即BC 边上的高为18 5
13
.
故选：B.
3．（2025·河南·模拟预测·多选）记
ABC
V
的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，
2
b
c
=
，BC 边上的高为2，则（ ）
A．tan
2
B =
B．
2 5
b =
C．
ABC
V
的周长为3
3 5
+
D．
ABC
V
的面积为3
【答案】AB
【详解】对A，已知
2
cos
sin
a
b
C
c
B
-
=
，由正弦定理得到
2 sin
sin cos
sin sin
A
B
C
C
B
-
=
，
因为
sin
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
B
C
p
=
-
+
=
+
=
+
，
代入上式可得：
2 sin cos
cos sin
sin cos
sin sin
B
C
B
C
B
C
C
B
+
-
=
，
2cos sin
sin sin
B
C
C
B
=
，因为
0,
C
p
Î
，所以sin
0
C ¹
，得到2cos
sin
B
B
=
，则tan
2
B =
，故选项 A 正确.
对B，由
sin
tan
2
cos
B
B
B
=
=
，且
2
2
sin
cos
1
B
B
+
= ，因为
0,
B
p
Î
，tan
0
B >
，所以
0 2
B
p
æ
ö
Îç
÷
è
ø
，
，
可得
5
cos
5
B =
，
2 5
sin
5
B =
.
已知
2
b
c
=
，由正弦定理得sin
2sin
B
C
=
，则
5
sin
5
C =
，
2
5
2 5
cos
1
5
5
C
æ
ö
=
-
=
ç
÷
ç
÷
è
ø
.
2 5
2 5
5
5
sin
sin
sin cos
cos sin
1
5
5
5
5
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
=
´
+
´
= ，
因为
0,
A
p
Î
，所以
2
A
p
=
.
设BC 边上的高为
2
h =
，因为
2
A
p
=
，
sin
h
c
B
=
，已知
2
h =
，
2 5
sin
5
B =
，则
5
c =
，
2
2 5
b
c
=
=
，选项B 正
确.
对C，因为
2
A
p
=
，
2 5
b =
，
5
c =
，根据勾股定理
2
2
2
2
(2 5)
( 5)
5
a
b
c
=
+
=
+
=
，
ABC
V
的周长为
5
2 5
5
5
3 5
a
b
c
+
+
=
+
+
=
+
，故选项C 错误.
对D，
ABC
V
的面积
1
1
5 2
5
2
2
S
ah
=
=
´ ´
=
，故选项D 错误.
故选：AB.
4．（2025·河南·二模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，BC 边上的高为h .若
4
a =
，
3
2
h =
，
则bc 的最小值为
；若
3
6
h
a
=
，则
2
2
b
c
bc
+
的最大值为
.
【答案】
6
4
【详解】若
3
4,
2
a
h
=
=
，由
1
1
1
3
sin
4
3
2
2
2
2
ABC
S
bc
A
ah
=
=
=
´ ´
=
V
，
所以
sin
6
bc
A
bc
=
£
，当且仅当sin
1
A = ，即
o
90
A =
时，取等号，
所以bc 的最小值为6.
若
3
6
h
a
=
，
1
1
3
sin
2
2
6
ABC
S
bc
A
a
a
=
=
´
V
，解得
2
2 3
sin
a
bc
A
=
,
由余弦定理得
2
2
2 3
sin
2
cos
bc
A
b
c
bc
A
=
+
-
，
整理得
2
2
3
1
π
4
sin
cos
4
sin
2
2
6
b
c
bc
A
A
bc
A
æ
ö
æ
ö
+
=
+
=
+
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
2
2
π
4sin
6
b
c
A
bc
+
æ
ö
\
=
+
ç
÷
è
ø
，当
π
3
A =
时，
2
2
b
c
bc
+
取得最大值4.
故答案为：6，4.
5．（24-25 高三上·河北唐山·期末）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知8sin
3sin
A
B
=
，
2
2
5
8
b
c
ab
-
=
．
(1)求角C；
(2)若
ABC
V
的面积为6 3 ，求AB 边上的高．
【答案】(1) π
3 ；
(2)12 3
7
.
【详解】（1）由8sin
3sin
A
B
=
，结合正弦定理角化边得：8
3
a
b
=
又由
2
2
5
8
b
c
ab
-
=
，代入
3
8
b
a =
，得：
2
2
5 3
8
8
b
b
c
b
-
=
×
，解得：
7
8
b
c =
，
再由余弦定理得：
2
2
2
2
2
2
2
9
49
1
64
64
cos
3
2
2
4
b
b
b
a
b
c
C
b
ab
+
-
+
-
=
=
=
，
又因为
0,π
C Î
，所以
π
3
C =
；
（2）由
ABC
V
的面积为6 3 ，则
1
1
3
sin
6 3
2
2
2
S
ab
C
ab
=
=
=
，解得：
24
ab =
，
又因为
3
8
b
a =
，代入解得：
8
b =
，
3
a =
，代入
7
8
b
c =
得，
7
c = ，
所以设AB 边上的高为h ，则
1
7
6 3
2
2
S
ch
h
=
=
=
，解得：
12 3
7
h =
,
故AB 边上的高为12 3
7
.
6．（2024·四川成都·三模）在
ABC
V
中，
1
5,
6,cos
8
BC
AC
B
=
=
=
．
(1)求AB 的长；
(2)求AC 边上的高．
【答案】(1)4
(2) 5 7
4
【详解】（1）由题，
5
a =
，
6
b =
，
1
cos
8
B =
，由余弦定理得，
2
1
25
36
8
2 5
c
c
+
-
\
=
´
，解得
4
c =
，即
4
AB =
.
（2）在
ABC
V
中，
1
cos
8
B =
，
3 7
sin
8
B
\
=
，设AC 边上的高为h ，
则1
1
sin
2
2
bh
ac
B
=
，即
3 7
6
5 4
8
h = ´ ´
，解得
5 7
4
h =
.
所以AC 边上的高为5 7
4
.
7．（24-25 高三上·广东中山·期中）在
ABC
V
中，内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
2
c
b
=
，sin
3cos
sin
A
C
C =
．
(1)求a
b 的值；
(2)若
ABC
V
的面积为3 7
2
，求AB 边上的高．
【答案】(1)
3 2
2
a
b =
(2) 3 7
4
【详解】（1）∵sin
3cos
sin
A
C
C =
，
由正余弦边角关系得，
2
2
2
3
2
a
b
c
a
c
ab
+
-
=
´
①，
又
2
c
b
=
，②
由①②得，
2
2
2
2
3
4
a
a
b
b
=
+
-
，
∴
2
2
9
3 2
2
2
a
b
a
b
=
Þ
=
，∴
3 2
2
a
b =
（2）由（1）得，
3 2
sin
2
2
cos
3sin
3
6
4
b
A
a
C
C
c
b
=
=
=
=
，
∵C 为锐角，∴
14
sin
4
C =
，
∴
ABC
V
的面积
2
1
1
3 2
14
3 7
sin
2
2
2
4
2
S
ab
C
b
=
=
´
´
=
，
∴
2
b =
，设AB 边上的高为h ，
则
ABC
V
的面积
1
3 7
2
2
S
ch
bh
=
=
=
，
∴
3 7
4
h =
，即AB 边上的高为3 7
4
．
8．（2025·河北·三模）在
ABC
V
中，三个内角, ,
A B C 所对的边分别为
π
, , ,
,
7,
3
a b c A
a
D
=
=
是BC 的三等分点，且
2
BD
DC
=
.
(1)当
ABC
V
的面积
3 3
2
S =
时，求AD 的长；
(2)当
7
3
AD
BC
AC
×
+
=
uuur
uuur
uuur
时，求AB 边上的高.
【答案】(1)
37
3
AD =
或2 13
3
.
(2)
3
【详解】（1）
π ,
7
3
A
a
=
=
Q
，
\由余弦定理得
2
2
2
2
2
7
2
cos
a
b
c
bc
A
b
c
bc
=
=
+
-
=
+
-
，
由
1
3 3
sin
2
2
S
bc
A
=
=
，得
6
bc =
，
解得
2,
3
b
c
=
= 或
3,
2
b
c
=
=
，
由题知
2 7
3
BD =
，
当
2,
3
b
c
=
= 时，由余弦定理得
2
2
2
2 7
cos
2
7
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
，
则
2
28
2 7
2 7
37
9
2 3
9
3
7
9
AD =
+
- ´ ´
´
=
，即
37
3
AD =
；
同理当
3,
2
b
c
=
=
时，
2 13
3
AD =
，
综上所述，
37
3
AD =
或2 13
3
.
（2）
3
2
3
1
3
3
2
2
AD
AB
AB
AB
BD
BC
AC
A
B
B
AC
A
=
+
=
=
+
+
=
+
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
Q
，
2
1
2
1
2
2
3
3
3
3
AD
BC
AC
AC
AB
BA
AC
AC
AB
AB
AC
æ
ö
æ
ö
\
×
+
=
+
×
+
=
+
×
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
-
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
2
2
1
7
4
3
3
AC
AB
=
-
=
uuur
uuur
，
即
2
2
4
7
b
c
-
=
，
联立
2
2
7
b
c
bc
+
-
=
，可得
2
2
3
2
0
b
bc
c
+
-
=
，即
2
3
b
c
=
，
解得
2,
3,
b
c
AB
=
=
\
边上的高为
sin
3
h
b
A
=
=
.
1．（2024·广东梅州·一模）已知
ABC
V
是锐角三角形，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为
ABC
V
的面
积，
2
2
2
2S
b
c
a
=
+
-
，则c
b 的取值范围为（ ）
A．
5 , 5
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
B．2 5 , 5
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．2 5 ,2
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
D．
5 ,2
5
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
【答案】A
【详解】依题意，
2
2
2
2
sin
S
bc
A
b
c
a
=
=
+
-
，
2
2
2
sin
2
2cos ,tan
2
2
b
c
a
A
A
A
bc
+
-
=
=
=
，
由
2
2
sin
2cos
sin
cos
1
π
0
2
A
A
A
A
A
ì
ï
=
ï
+
=
í
ï
ï <
<
î
解得
2 5
5
sin
,cos
5
5
A
A
=
=
.
sin
sin
sin
cos
cos
sin
sin
sin
sin
A
B
c
C
A
B
A
B
b
B
B
B
+
+
=
=
=
2 5
1
5
5
tan
5
B
=
+
，
由于三角形ABC 是锐角三角形，所以
π
0
2
π
2
B
A
B
ì <
<
ïïí
ï
+
>
ïî
，
所以
π
π
0
2
2
A
B
<
-
<
<
，所以
π
tan
tan 2
B
A
æ
ö
>
-
ç
÷
è
ø，
所以
π
cos
1
1
sin
2
0
tan
2
π
π
tan
cos
tan
sin
2
2
A
A
A
B
A
A
A
æ
ö
-
ç
÷
è
ø
<
<
=
=
=
=
æ
ö
æ
ö
-
-
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
，
所以
2 5
1
4 5
5
2 5
1
5
0
,
5
5
tan
5
5
5
tan
5
B
B
<
<
<
+
<
.
故选：A
2．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ．若
3,
2
a
b
=
=
，则B
C
+
的取值范
围是（ ）
A．2π 5π
,
3
6
é
ù
ê
ú
ë
û
B．2π ,π
3
é
ö
÷
êë
ø
考点四
最值与范围问题
C．5π ,π
6
é
ö
÷
êë
ø
D．π 5π
,
2
6
æ
ù
ç
ú
è
û
【答案】B
【详解】根据三角形三边关系可得2
3
2
3
c
-
<
<
+
，
即
2
2
2
2
2
4
3
1
1
1
cos
2
4
4
4
b
c
a
c
c
A
c
bc
c
c
c
+
-
+
-
+
æ
ö
=
=
=
=
+
ç
÷
è
ø
，
由对勾函数
1
y
x
x
=
+
单调性可知，其在
2
3,1
-
上单调递减，在
1,2
3
+
单调递增；
即
1
1
1
cos
,1
4
2
A
c
c
æ
ö
é
ö
=
+
Î
ç
÷
÷
ê
è
ø
ë
ø ，可得
π
0, 3
A
æ
ù
Îç
ú
è
û ,所以
2π ,π
3
B
C
é
ö
+
Î
÷
êë
ø.
故选：B
3．（2024·山东日照·三模）在
ABC
V
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
2
2
a
b
bc
=
+
，且
π π
,
3 2
æ
ö
Îç
÷
è
ø
A
，则a
b
的取值范围为（ ）
A．
1, 3
B．
6
2 ,2
2
æ
ö
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
C．
2, 3
D．
3,2
【答案】C
【详解】
ABC
QV
中
2
2
a
b
bc
=
+
，
由余弦定理可得：
2
2
2
2
cos
a
b
c
bc
A
=
+
-
2
2
2
2
cos
b
bc
b
c
bc
A
\
+
=
+
-
，整理可得
1
2cos
c
b
A
=
+
，
又
2
2
a
b
bc
=
+
，则
2
2
2
2
1
2cos
2
2cos
a
b
b
A
b
A
=
+
+
=
+
，
2
2cos
a
A
b
\
=
+
，
π π
,
3 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，则
1
cos
0, 2
A
æ
ö
Îç
÷
è
ø ，
可得
2
2cos
2,3
A
+
Î
，则
2
2cos
2, 3
A
+
Î
，即
2, 3
a
b Î
，
故选：C
4．（2025·四川广安·模拟预测）已知在
ABC
V
中，角
60
A =
o ，边BC
a
=
.点D 在线段BC 上满足
1
2
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
则线段AD 长度的取值范围是（ ）
A．(0, 3)
B．
2
(
,
)
3
3
a
a
C．
3
(
,
]
3
3
a a
a
+
D．(
, )
2
a a
【答案】C
【详解】因为
1
2
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，故
:
2:1
BD DC =
，
而BC
a
=
，则
2
3
a
BD =
，
3
a
DC =
；
因为角
60
A =
o ， 设AB
c
=
，AC
b
= ，
代入正弦定理sin 60
sin
sin
a
b
c
B
C
=
=
o
化简得：
2 sin
2 sin
,
3
3
a
B
a
C
b
c
=
=
，
则
2
2
2
2
2
2
4
sin
4
sin
,
,
3
3
a
B
a
C
b
c
=
=
由
1
2
3
3
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
， 两边平方得展开计算得：
2
2
2
2
2
1
4
4
1
4
2
cos60
9
9
9
9
9
9
AD
AB
AC
AB AC
c
b
bc
=
+
+
×
×
=
+
+
o
，
2
2
2
2
2
2
2
2
4
sin
16
sin
8
sin
sin
4
(sin
4sin
2sin
sin
)
27
27
27
27
a
C
a
B
a
B
C
a
C
B
B
C
=
+
+
=
+
+
；
由
π
A
B
C
+
+
= ，则有
2π
3
B
C
=
-
，
)
3
1
sin
sin(
cos
s
π
i
2
2
3
n
2
B
C
C
C
+
-
=
=
，则
2
2
sin
4sin
2sin
sin
C
B
B
C
+
+
2
2
2
2
3
3
1
sin
4 ( cos
sin
cos
sin
)
3sin
cos
sin
4
2
4
C
C
C
C
C
C
C
C
=
+ ´
+
+
+
+
2
2
3sin
3cos
3 3sin
cos
C
C
C
C
=
+
+
3 3
3
sin 2
2
C
=
+
，
则
2
2
2
2
4
3 3
4
3 3
(3
sin 2 )
(3
sin 2 )
(4
2 3sin 2 )
27
2
9
3
2
9
a
a
a
AD
C
C
C
=
+
=
´
+
=
+
，
因为
2π
0
3
C
<
<
，
4π
0
2
3
C
<
<
，
3
sin 2
1
2
C
-
<
£ ，故1
4
2 3sin 2
4
2 3
C
<
+
£
+
，
所以
2
2
2
2
(1
3)
9
9
a
a
AD
+
<
£
，即
( 3
1)
3
3
a
a
AD
+
<
£
当且仅当
π
4
C =
，等号成立.
故选：C.
5．（24-25 高三下·海南省直辖县级单位·阶段练习·多选）在
ABC
V
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知
60 ,
4
B
b
=
°
=
，则下列判断中正确的是（ ）
A．若
3
c =
，则该三角形有一解
B．若
9
2
a =
，则该三角形有一解
C．
ABC
V
周长有最大值12
D．
ABC
V
面积有最大值4 3
【答案】ACD
【详解】对于A，由sin
sin
b
c
B
C
=
，得
sin
3sin 60
3
sin
4
8
c
B
C
b
°
=
=
=
，
由于c
b
<
，所以C
B
<
，故C 为锐角，所以只有一组解，A 正确；
对于B，同理，由sin
sin
a
b
A
B
=
，可得
3
9 3
sin
1
2
16
A
<
=
< ，
由于a
b
> ，所以A
B
>
，A 有两个解，则相应的C 有两个解，B 错误；
对于C，由
2
2
2
2
cos
b
a
c
ac
B
=
+
-
，
得
2
2
2
2
2
2
3
1
16
(
)
3
(
)
(
)
(
)
4
4
a
c
ac
a
c
ac
a
c
a
c
a
c
=
+
-
=
+
-
³
+
-
+
=
+
．
故
8
a
c
+
£
，当且仅当a
c
=
时取等号，此时三角形周长最大，最大值为12，
此时三角形为等边三角形，故C 正确；
对于D，由C 推导过程知
2
2
16
2
a
c
ac
ac
ac
ac
=
+
-
³
-
=
，
即
16
ac £
，当且仅当a
c
=
时取等号，此时三角形ABC 面积最大，最大值为
1
1
3
sin
16
4 3
2
2
2
ABC
S
ac
B
=
=
´
´
=
△
，
故D 正确，
故选：ACD
6．（2025·河北邢台·三模）
ABC
V
的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则下列说法正确的有（ ）
A．若
2
2
2
a
b
c
+
<
，则
ABC
V
是钝角三角形
B．若
13
a =
，
3
b =
，
π
3
A =
，则
ABC
V
的周长为7
13
+
C．若
π
6
A =
，
2
2
16
3
b
c
bc
+
-
=
，则
ABC
V
面积的最大值为4
2 3
+
D．若
2
c =
，
3
b =
，
π
3
A =
，则BC 边上的中线长为
7
2
【答案】AB
【详解】对于A 中，由余弦定理得
2
2
2
cos
0
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
<
，因为0
π
C
<
<
，所以
C
Ð
为钝角，
所以
ABC
V
是钝角三角形，故A 正确；
对于B 中，由
2
2
2
2
π
2
cos
9
2 3 cos
13
3
a
b
c
bc
A
c
c
=
+
-
=
+
- ´
=
，可得
2
3
4
0
c
c
-
-
=
，
解得
4
c =
或
1
c = - （舍去），所以
ABC
V
的周长为7
13
+
，所以B 正确；
对于C 中，因为
2
2
16
3
2
16
b
c
bc
bc
+
-
=
³
-
，所以
16(2
3)
bc £
+
，
当且仅当
2 2
2 6
b
c
=
=
+
时取等号，所以
1
1
sin
8
4 3
2
4
ABC
S
bc
A
bc
=
=
£
+
V
，
所以
ABC
V
面积的最大值为8
4 3
+
，所以C 错误；
对于D 中，设BC 边上的中线为AD ，则2AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方可得
2
2
2
2
2
1
4
2
2
3
2 2 3
2
AD
AB
AC
AB AC
=
+
+
×
=
+
+ ´ ´ ´
uuur
uuur
uuur
uuur uuur
，解得
19
|
|
2
AD =
uuur
，所以D 错误.
故选：AB
7．（2025·辽宁鞍山·一模）在锐角ABC
V
中，内角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，S 为ABC
V
的面积，
2
4
3
S
a
+
=
2
2
3
3
b
c
+
，则
10b
c
的取值范围为
．
【答案】
1,10
【详解】由
2
2
2
4
3
3
3
S
a
b
c
+
=
+
，则
2
2
2
3
3
3
2
sin
b
c
a
bc
A
+
-
=
，故
2
2
2
1
cos
sin
2
3
b
c
a
A
A
bc
+
-
=
=
,
由A 是ABC
V
的内角，则tan
3
A =
,
所以
3
1
sin
,cos
10
10
A
A
=
=
,
由正弦定理，
10
10 sin
10 sin
10tan
3
1
sin
3
tan
cos
sin
10
10
b
B
B
B
c
C
B
B
B
=
=
=
+
+
,
由ABC
V
是锐角三角形，
所以
tan
tan
3
tan
tan
tan
0
1
tan
tan
3tan
1
A
B
B
C
A
B
A
B
B
+
+
= -
+
= -
=
>
-
-
且tan
0
B >
,
解得
1
tan
3
B >
或tan
3
B < - (舍去),
令
1
tan
3
x
B
=
>
,设
10
30
10
3
3
x
g x
x
x
=
=
-
+
+
,
当
1
3
x >
时，
g x 单调递增，故
1
1
3
g x
g æ
ö
>
=
ç
÷
è
ø
,
而
10
g x <
,故
1
10
g x
<
<
.
故答案为：
1,10 .
8．（25-26 高三上·广东·开学考试）
ABC
V
中，D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，且
2
,
1
DAB
DAC AD
Ð
= Ð
= ，则
BC 长度的取值范围为
．
【答案】3 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø
【详解】设
DAC
a
Ð
=
，则
2
DAB
a
Ð
=
，
3
BAC
a
Ð
=
，
又0
3a
p
<
<
，即0
3
p
a
<
<
，
因为D 为边BC 上靠近点B 的三等分点，设
,
2
BD
m CD
m
=
=
，
在
ABD
△
中，根据正弦定理sin
sin
BD
AB
DAB
ADB
=
Ð
Ð
，即sin 2
sin
m
AB
ADB
a =
Ð
，
变形得：
sin
sin 2
m
ADB
AB
a
×
Ð
=
×
①，
在ACD
V
中，根据正弦定理sin
sin
AC
DAC
D
A C
C
D
=
Ð
Ð
，即2
sin
sin
m
AC
ADC
a =
Ð
，
变形得：2
sin
sin
m
ADC
AC
a
×
Ð
=
×
②，
又sin
sin
ADC
ADB
Ð
=
Ð
，
由①②得，2
sin 2
sin
,
4
cos
AB
AC
AB
AC
a
a
a
=
\
=
，
在
ABD
△
中，由余弦定理
2
2
1
2
cos
AB
m
m
ADB
= +
-
Ð
,
在ACD
V
中，由余弦定理
2
2
1
4
4
cos
AC
m
m
ADC
= +
-
Ð
,
又cos
cos
ADB
ADC
Ð
= -
Ð
，
有
2
2
2
2
3
6
AB
AC
m
+
=
+
，代入4
cos
AB
AC
a =
得：
2
2
2
2
2
2
2
3
6
2
16
cos
3
6
,
2 16cos
m
AB
AB
m
AB
a
a
+
+
=
+
\
=
+
，
在
ABC
V
中，由余弦定理，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
9
2
cos3
16cos
8cos
cos3
3
6
(1 16cos
8cos
cos3 ) 2 16cos
m
AB
AC
AB AC
AB
AB
AB
m
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
-
×
=
+
-
+
=
+
-
+
，
整理得：
2
2
2
2
9
1 16cos
8cos
cos3
3
6
2 16cos
m
m
a
a
a
a
+
-
=
+
+
，
又
3
cos3
cos(2
)
cos2 cos
sin 2 sin
4cos
3cos
a
a
a
a
a
a
a
a
a
=
+
=
-
=
-
，
所以
2
3
2
4
2
2
2
2
1 16cos
8cos
4cos
3cos
6
32cos
40cos
1
1
2
1 8cos
1 8cos
m
m
a
a
a
a
a
a
a
a
+
-
-
-
+
+
=
=
+
+
+
，
令
2
2
1
1 8cos
,
cos
8
t
t
a
a
-
+
= \
=
，
则
2
2
4
2
2
2
1
1
2
1
32
40
1
5
5 1
32cos
40cos
1
12
9
9
8
8
2
6
1 8cos
2
2
2
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
a
a
a
-
-
æ
ö
æ
ö
-
+
-
+
+
-
+
- +
ç
÷
ç
÷
-
+
+
-
+
-
æ
ö
è
ø
è
ø
=
=
=
= -
+
+
ç
÷
+
è
ø
，
1
cos
,1 ,
3,9
2
t
a
æ
ö
Î
\ Î
ç
÷
è
ø
Q
，
而对勾函数
9
2
2
t
y
t
=
+
在
3,9 单调递增，
所以
9
3,5
2
2
t
t
+
Î
，那么
9
6
1,3
2
2
t
t
æ
ö
-
+
+ Î
ç
÷
è
ø
，
则
2
2
2
2
2
6
1
3,
1
2
6
3
6
,
1
2
m
m
m
m
m
<
<
\ +
<
<
+
+
即
2
1
4
1,
2
m
m
> \
>
，
那么线段
3
3
,
2
BC
m
¥
æ
ö
=
Î
+
ç
÷
è
ø
.
故答案为：3 ,
2
¥
æ
ö
+
ç
÷
è
ø .
9．（24-25 高三下·河南焦作·阶段练习）已知
ABC
V
中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，
2
3sin 2
2cos
1
f x
cx
cx
=
-
+ ．
(1)若
f x 在0, 3
p
é
ù
ê
ú
ë
û 上单调递增，求c 的取值范围；
(2)若
1
c = ，
1
f C = - ，求a
b
+
的最大值．
【答案】(1)
0,1
(2) 2 3
3
【详解】（1）
2
π
3sin 2
2cos
1
3sin 2
cos2
2sin 2
6
f x
cx
cx
cx
cx
cx
æ
ö
=
-
+ =
-
=
-
ç
÷
è
ø．
当
π
0, 3
x
é
ù
Îê
ú
ë
û 时，
π
π 2 π
π
2
,
6
6
3
6
c
cx
é
ù
-
Î -
-
ê
ú
ë
û ，因为
2sin
y
x
=
在
π π
,
2 2
é
ù
-
ê
ú
ë
û 上单调递增，
所以2 π
π
π
3
6
2
c -
£
，所以
1
c £ ，
可得c 的取值范围为
0,1 ．
（2）
1
c = ，0
π
C
<
<
，
π
π
11π
2
6
6
6
C
-
<
-
<
，
π
2sin 2
1
6
f C
C
æ
ö
=
-
= -
ç
÷
è
ø
，
C 是三角形内角，
π
π
11π
2
6
6
6
C
-
<
-
<
，所以
π
7π
2
6
6
C -
=
，得
2π
3
C =
，
由余弦定理：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
；
即
2
2
2
2
2π
1
2
cos 3
a
b
ab
a
b
ab
=
+
-
=
+
+
2
2
a
b
ab
a
b
=
+
-
³
+
2
2
a
b
+
æ
ö
-ç
÷
è
ø
2
3
4 a
b
=
+
，可得
2
4
3
a
b
+
£
，
2 3
3
a
b
+
£
，当且仅当
3
3
a
b
=
=
时等号成立，a
b
+
取得最大值2 3
3
．
10．（2025·湖南益阳·三模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别为, ,
a b c ，已知
1
a = ，且cos
cos
1
b
A
B
-
= ．
(1)若
π
4
C =
，求A；
(2)若
ABC
V
是锐角三角形，求
ABC
V
周长的取值范围．
【答案】(1)
π
4
A =
(2)(2
2,3
3)
+
+
【详解】（1）由
1
a = ，可得cos
cos
b
A
a
B
a
-
=
，即sin
cos
sin
cos
sin
B
A
A
B
A
-
=
，
∴sin(
)
sin
B
A
A
-
=
，则B
A
A
-
=
或(
)
π
B
A
A
-
+
=
（舍），
∴
2
B
A
=
，
当
π
4
C =
，由
π
A
B
C
+
+
= ，可得
π
4
A =
.
（2）由正弦定理可得
1
sin
sin
sin
b
c
B
A
C
=
=
∴
sin
sin
B
b
A
=
，
sin
sin
C
c
A
=
sin
sin
sin 2
sin
3
sin 2
sin3
sin
sin
sin
B
C
A
A
A
A
b
c
A
A
A
p
+
+
-
+
+
=
=
=
（
）
2sin
cos
sin
cos2
cos
sin 2
sin
A
A
A
A
A
A
A
+
+
=
2
2cos
cos2
2cos
A
A
A
=
+
+
2
2
1
5
4cos
2cos
1
4 cos
4
4
A
A
A
æ
ö
=
+
- =
-
-
ç
÷
è
ø
易知
π
0
2
π
0
2
1
π
0
3
2
A
B
A
C
A
ì <
<
ï
ïï <
=
<
í
ï
ï <
=
<
ïî
，可得π
π
6
4
A
<
<
，因此
2
3
cos
,
2
2
A
æ
ö
Îç
÷
ç
÷
è
ø
，
易知
2
1
5
4 cos
4
4
A
æ
ö
-
-
ç
÷
è
ø
在
2
3
,
2
2
æ
ö
ç
÷
ç
÷
è
ø
上单调递增，所以
1
2,2
3
b
c
+ Î
+
+
，
可得周长范围为
2
2,3
3
+
+
.
11．（2025·辽宁·一模）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 所对的边分别是, ,
a b c ，且满足
3 sin
1
cos
b
A
a
B =
+
(1)求角B 的大小；
(2)若
3
b =
，求
ABC
V
面积的最大值；
(3)求sin sin
sin sin
sin sin
A
C
B
C
B
A
+
+
的取值范围.
【答案】(1)
π
3
B =
(2) 3 3
4
(3) 3 9
,
4 4
æ
ù
ç
ú
è
û
【详解】（1）由正弦定理得
3sin sin
sin
1 cos
B
A
A
B
=
+
，即
3sin sin
sin
1 cos
B
A
A
B
=
+
，
因为0
π
A
<
<
，所以sin
0
A ¹
，
所以3sin
1 cos
B
B
= +
，所以
π
1
sin
6
2
B
æ
ö
-
=
ç
÷
è
ø
，
又因为
π
π
5π
6
6
6
B
-
<
-
<
，所以
π
3
B =
.
（2）由余弦定理得：
2
2
2
1
cos
2
2
a
c
b
B
ac
+
-
=
=
，代入
3
b =
得：
2
2
3
a
c
ac
+
=
+
，
根据基本不等式
2
2
2
a
c
ac
+
³
，得：
3
ac £ ，当且仅当
3
a
c
=
=
时，等号成立，
ABC
V
的面积为：1
3
3 3
sin
2
4
4
ac
B
ac
=
£
，故面积的最大值为3 3
4
.
（3）sin sin
sin sin
sin sin
A
C
B
C
B
A
+
+
=
3
2
3
2
sin sin
sin
sin
sin sin
π
sin
sin
π
2
3
2
3
A
C
A
C
A
A
A
A
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
+
=
-
+
+
-
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø
2
3
1
3 3
3
sin2
sin
sin
cos
4
2
4
4
A
A
A
A
=
+
+
+
1
π
3
π
1
sin 2
sin
2
6
2
6
4
A
A
æ
ö
æ
ö
=
-
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
令
π
6
x
A
=
+
，则
π
π
2
2
6
2
A
x
-
=
-
，
所以1
π
3
π
1
sin 2
sin
2
6
2
6
4
A
A
æ
ö
æ
ö
-
+
+
+
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
可化为：
2
2
3
1
3
13
sin
sin
sin
2
4
4
16
x
x
x
æ
ö
+
-
=
+
-
ç
÷
è
ø
因为
2π
π 5π
1
0,
,
,
,
sin
,1
3
6
6
2
A
x
x
æ
ö
æ
ö
æ
ù
Î
\ Î
\
Î
ç
÷
ç
÷
ç
ú
è
ø
è
ø
è
û ，
由二次函数的图像性质得到，
当
1
sin
,1
2
x
æ
ù
Îç
ú
è
û 时，原式大于
2
1
3
1
1
3
2
2
2
4
4
æ
ö +
´
-
=
ç
÷
è
ø
，
当sin
1
x = 时，原式取得最大值
2
3
1
9
1
1
2
4
4
+
´ -
=
，
故sin sin
sin sin
sin sin
A
C
B
C
B
A
+
+
的取值范围为3 9
,
4 4
æ
ù
ç
ú
è
û
12．（2025·河南·二模）记
ABC
V
的内角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，已知
π
3
A =
.
(1)证明：
3
sin sin
4
B
C £
；
(2)若BC 边上的中线长为
3 ，求bc 的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)4
【详解】（1）由余弦定理，得
2
2
2
2
2
1
2
cos
1
2
2
2
2
b
c
a
bc
a
a
A
bc
bc
bc
+
-
-
=
=
³
= -
，
故
2
1
1
2
2
a
bc
³ -
，即
2
1
a
bc ³ ，当且仅当b
c
=
时等号成立，
由正弦定理可得
2
sin
1
sin sin
A
B
C ³ ，
又
π
3
A =
，故3
1
1
4 sin sin
B
C
×
³ ，即
3
sin sin
4
B
C £
.
（2）
设D 为BC 的中点，则有
1
2
AD
AB
AC
=
+
uuur
uuur
uuur
，
两边平方得，
2
2
2
1
2
cos
4
AD
AB
AB AC
A
AC
=
+
+
uuur
uuur
uuur uuur
uuur
，
即
2
2
2
1
3
4
AD
b
c
bc
=
+
+
=
uuur
，
故
2
2
12
2
3
b
c
bc
bc
bc
bc
=
+
+
³
+
=
，即
4
bc £
，当且仅当
2
b
c
=
=
时等号成立，
所以bc 的最大值为4.
13．（2025·吉林·模拟预测）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别为, ,
a b c ，且
3
b =
，
2
a
c
=
.
(1)若
1
cos
4
B = -
，求
ABC
V
的周长；
(2)若
ABC
V
内切圆，外接圆的半径分别为,r R ，求rR 的取值范围.
【答案】(1)
3 6
3
2
+
(2) 1 9
,
2 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
【详解】（1）
3
b =
Q
，
2
a
c
=
，由余弦定理得，
2
2
2
1
cos
2
4
a
c
b
B
ac
+
-
=
= -
，
2
2
5
9
1
4
4
c
c
-
\
= -
，解得，
6
2
c =
或
6
2
-
（舍去）
2
6
a
c
\
=
=
，
ABC
\V
的周长为
6
3 6
6
3
3
2
2
a
b
c
+
+
=
+ +
=
+
.
（2）由余弦定理得，
2
2
2
2
cos
9
b
a
c
ac
B
=
+
-
=
，整理得，
2(5
4cos )
9
c
B
-
=
，
cos
( 1,1)
BÎ -
Q
，
2
9
(1,9)
5
4cos
c
B
\
=
Î
-
，即
(1,3)
cÎ
，
由正弦定理得，
3
2
sin
sin
b
R
B
B
=
=
，
3
2sin
R
B
\
=
，
1
1
(
)
sin
2
2
ABC
S
a
b
c r
ac
B
=
+
+
=
Q
△
，
sin
ac
B
r
a
b
c
\ =
+
+
，
2
2
sin
3
3
6
2sin
2(
)
2(3
3)
1
ac
B
ac
c
c
rR
a
b
c
B
a
b
c
c
c
\
=
×
=
=
=
+
+
+
+
+
+ ，
令
1
t
c
=
+ ，
(2,4)
t Î
，
2
2
(
1)
2
1
1
2
t
t
t
rR
t
t
t
t
-
-
+
\
=
=
= +
-
，
Q函数
1
2
y
t
t
= +
-
在(2,4) 上单调递增，
1 9
,
2 4
rR
æ
ö
\
Îç
÷
è
ø，即rR 的取值范围是1 9
,
2 4
æ
ö
ç
÷
è
ø
.
14．（2025·上海·三模）在
ABC
V
中，角A ，B ，C 所对边的边长分别为a ，b ，c ，且满足
sin
sin
sin
sin
.
c
C
b
B
a
A
B
-
=
-
(1)求角C 的值；
(2)若
3
c = ，求
ABC
V
周长的最大值.
【答案】(1)
π
3
C =
(2)9
【详解】（1）因
sin
sin
sin
sin
c
C
b
B
a
A
B
-
=
-
，
利用正弦定理：
2
2
2
,
c
b
a
ab
-
=
-
整理得
2
2
2
1
cos
,
2
2
a
b
c
C
ab
+
-
=
=
由于
(0,π),
C Î
故
π ;
3
C =
（2）由于
3,
,
3
π
c
C
=
=
利用余弦定理：
2
2
2
2
cos
c
a
b
ab
C
=
+
-
，
所以
2
9
(
)
3
,
a
b
ab
=
+
-
利用基本不等式：
2
2
3 (
)
3
(
)
9,
2
a
b
ab
a
b
+
=
+
-
´
³
整理得：
2
(
)
36
a
b
+
£
，(当且仅当
3
a
b
=
=
时，等号成立）
所以3
6,
a
b
<
+
£
故三角形的周长的最大值为3
6
9.
+
=
15．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，在
ABC
V
中，sin
3sin
C
B
=
，点D 在边BC 上，且
BAD
CAD
q
Ð
= Ð
=
，且
AD
kAC
=
．
(1)记
k
f q
=
，求k 的取值范围；
(2)若
ABC
V
的面积为3
2 ，求BC 的最小值．
【答案】(1)
3
0, 2
k
æ
ö
Îç
÷
è
ø
(2)2 2
【详解】（1）因为
ABC
ABD
ADC
S
S
S
=
+
V
V
V
，
BAD
CAD
q
Ð
= Ð
=
，
所以1
1
1
sin2
sin
sin
2
2
2
AB AC
AB AD
AC AD
q
q
q
×
=
×
+
×
，
因为
3 ,
c
b AD
kAC
=
=
，
所以3
2sin cos
3
sin
sin
AC AC
AC kAC
AC kAC
q
q
q
q
×
×
=
×
+
×
，
因为sin
0
q ¹
，所以6cos
4k
q =
，所以
3 cos
2
k
q
=
，
因为
π
0, 2
q
æ
ö
Îç
÷
è
ø，所以
cos
0,1
q Î
，所以
3
0, 2
k
æ
ö
Îç
÷
è
ø；
（2）由余弦定理得
2
2
2
2
2
cos
2
5
3cos
BC
c
b
c b
BAC
b
BAC
=
+
-
×
Ð
=
-
Ð
，
因为
3
2
ABC
S
=
V
，所以1
3
sin2
2
2
bc
q =
，因为
3
c
b
=
，所以
2
1
sin2
b
q
=
，
所以
2
2
5
3cos2
5
3cos2
2
sin2
sin2
BC
q
q
q
q
-
=
-
=
×
，
令
5
3cos2
sin2
y
q
q
-
=
，则sin2
3cos2
5
y
q
q
+
=
，
所以
2
2
9sin 2
5
9
4
y
y
y
q
j
+
+
=
£
+
Þ
³
（其中
3
tan
y
j =
），
所以当
sin 2
1
q
j
+
= 时，y 取得最小值
2
4, BC 的最小值为8．
BC 的最小值为2 2.
16．（2025·四川成都·模拟预测）在
ABC
V
中，角, ,
A B C 的对边分别是, ,
a b c ，且2 cos
2
b
C
a
c
=
-
．
(1)求角B 的大小；
(2)如图，若
ABC
V
为锐角三角形，点H 为
ABC
V
的垂心，
6
BH =
，设
HBC
a
Ð
=
，
（i）
π
6
a =
，求
ABC
V
的面积；
（ii）求AH
CH
+
的取值范围．
【答案】(1)
π
3
B =
(2)（i）27 3 ;（ii）6 3,12ùû
【详解】（1）因为2 cos
2
b
C
a
c
=
-
，由正弦定理，可得2sin cos
2sin
sin
B
C
A
C
=
-
，
又因为
π
A
B
C
+
+
= ，可得
sin
sin
sin cos
cos sin
A
B
C
B
C
B
C
=
+
=
+
，
代入上式，可得2cos sin
sin
0
B
C
C
-
=
，
因为
0,π
C Î
，可得sin
0
C >
，所以
1
cos
2
B =
，
又因为
0,π
BÎ
，所以
π
3
B =
．
（2）①若
π
6
a =
，则BH 即是
ABC
V
高线又是角平分线，且
π
3
B =
，
所以
ABC
V
等边三角形，
如图：延长AH 交BC 于D .
因为H 为
ABC
V
的垂心，所以H 也是
ABC
V
的外心和重心.
因为
6
BH =
，可得
6
AH =
，
3
HD =
，所以
9
AD =
，所以
3
2 BC
AD
=
Þ
6 3
BC =
.
所以
ABC
V
的面积为1
1
6 3
9
27 3
2
2
BC
AD
´
´
=
´
´
=
.
②如图：延长AH 交BC 于D ，连接CH 并延长交AB 于E .
因为H 为
ABC
V
垂心，所以AH
BC
^
，CE
AB
^
.
又因为
π
3
ABC
Ð
=
，所以
π
6
BCE
BAD
Ð
= Ð
=
，
π
3
HBE
a
Ð
=
-
.
因为
HBC
a
Ð
=
，且
π
0, 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø，则
6sin
HD
a
=
，
6sin
12sin
π
π
sin
sin
6
6
HD
CH
a
a
=
=
=
，
又因为
π
6sin 3
EH
a
æ
ö
=
-
ç
÷
è
ø，
π
12sin
π
3
sin 6
EH
AH
a
æ
ö
=
=
-
ç
÷
è
ø ，
则
π
π
π
12sin
12sin
12sin
,
0,
3
3
3
AH
CH
a
a
a
a
æ
ö
æ
ö
æ
ö
+
=
+
-
=
+
Î
ç
÷
ç
÷
ç
÷
è
ø
è
ø
è
ø ，
因为
π
0, 3
a
æ
ö
Îç
÷
è
ø，可得
π
π 2π
,
3
3
3
a
æ
ö
+
Îç
÷
è
ø，
当
π
π
3
3
a +
=
时，可得
π
12sin
6 3
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，所以
6 3
AH
CH
+
>
；
当
π
π
3
2
α +
=
时，可得
π
12sin
12
3
a
æ
ö
+
=
ç
÷
è
ø
，所以AH
CH
+
取得最大值12.
所以AH
CH
+
的取值范围为6 3,12ùû .
