必修第一册
第一章 集合与常用逻辑用语
1.常见的数集及其表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
表示符号 N N¿ N Z Q R
或 +
2.集合间的基本关系与运算：子集 (包括真子集 和相等) 、交集 、并集 、
补集 、全集 、空集 (是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集).
3.含 n 个元素的集合个数：子集有 2 n 个；真子集有 个；非空子集有 个；
n
非空真子集有 2 －2 个．
4．性质：(1)A∩B＝A A B； (2)A∪B＝A A B
5. 充分条件、必要条件与充要条件的概念
⇔ ⊆ ⇔ ⊇
技巧：小范围推大范围，大范围不能推小范围， 即小的推大的，大的不能推小的
若p q，则p是q的充分条件，
A B
q是p的必要条件
p是q的充⇒分不必要
p q且q p ⊆
条件
p是q的必要不充分
p ⇒ q且q ⇏ p BA
条件
p是q的充要条件 ⇏p q⇒
p是q的既不充分也 ⇔
p q且q p
不必要条件
⇏ ⇏
6.全称量词命题与存在量词命题的否定：（改量词，否结论，条件不变）
(1)全称量词命题： 它的否定：
(2)存在量词命题： 它的否定：第二章 一元二次函数、方程和不等式
1. 基本不等式（一正二定三相等）：
(1) 公式： 积定和最小，和定积最大
(2) 变形：(1) ; (2) .
(3) 方法：（1）“1”的代换；(2)配凑法
2. 三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac
判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
有两个相等的实
有两个不相等的实 没有
求方程y＝0的解 数根
数根x，x(x＜x) 实数根
1 2 1 2
x＝x＝－
1 2
解不等式y
画函数y＝ax2＋
＞0或y＜0
bx＋c(a＞0)的图
的步骤
象
不等式 y＞0 { x | x ＜ x _ 或 x ＞ x} R
1 2
解集
y＜0 { x | x ＜ x ＜ x} ∅ ∅
1 2
3. 分式不等式（先化整式）
(1) ; (2) ;
(2) ; (4)
(5) 通分，再化为整式不等式.
4. 绝对值不等式(大于取两边，小于取中间)(1) ; (2)
第三章 函数
1. 函数的定义域 (写成集合或区间的形式)
(1)分式 ； (2)偶次根式： ； (3)x0：
(4)对数函数 ： ； (5)三角函数
2. 求函数的解析式的方法
(1)换元法 (注意新元的范围) (2)配凑法
(3)待定系数法(已知函数的类型) (4)解方程组法：f(x)与f( ) f(－x)解方程组．
3．函数的值域
(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0): R. (2)反比例函数 (k≠0): (−∞，0)∪(0，＋∞)．
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0):看开口方向与对称轴
(4)指数函数
(5)对数函数
4.函数的单调性：(1)定义法；(2)导数法.
(1)若x<x，f(x)<f(x) f(x)是增函数；若 是增函数.
1 2 1 2
(2)若x<x，f(x)>f(x) f(x)是减函数；若 是减函数.
1 2 1 2
(3)复合函数 同增异减.5. 函数的奇偶性（首先看函数定义域是否关于原点对称）
(1) 是偶函数 图象关于 轴对称.
(2) 是奇函数 图象关于原点对称.
6. 函数的对称性
(1)对称轴： f(a＋x)＝f(a－x) f(x)图像关于直线 x＝a 对称． f(a＋x)＝f(b－x) 对称轴x =
⇔ ⇔
(2)对称中心： f(a＋x)＋f(a－x)＝2b f(x)图像关于点(a ，b)对称． f(a＋x)＋f(b－x)＝0 对称中心
⇔ ⇔
.
7. 函数的周期性
(1)f(x＋a)＝f(x)，T＝a ． (2)f(x＋a)＝－f(x)，T＝2a． (3)f(x＋a)＝ T＝
2a．
(4)f(x＋a)＝ T＝2a． (5)f(a＋x)＝f(b＋x)，T＝ a 一 b ．
(6) 两个对称轴是半个周期 T：f(x)关于直线x ＝a，x ＝b 对称，那么 T＝2a 一 b ．
(7) 两个对称中心也是半个周期 T：f(x)关于点(a ，0) (b ，0) 对称，那么 T＝2a 一 b
．
(8) 对称轴与对称点是 ： f(x)关于直线x ＝a、点(b，0) 对称，那么 T＝4a 一 b ．第四章 指、对、幂函数
1. 指数运算
(1)分数指数幂：① ； ②
(2) ; (3) ; (4) .
2. 对数运算
x
⑴ 指数与对数互化：x = log N a = N (a > 0, a 1, N > 0)
a
loga N N
⑵ 对数恒等式：⑴ log
a
1 = 0 ⑵ log
a
a = 1 ⑶ a = N ⑷ logaa ＝N
⑶ 常用对数：lg N ＝ ； 自然对数： ln N ＝log N
e
⑷ 对数的运算:
①加乘： ② 减除：
n
③ 顶在外： loga b = n loga b ④ 顶在外，体位不变：
⑤ 换底公式： .
3. 指数函数图象与性质
a>1 0<a<1
图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，y>1；
当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1
在(－∞，＋∞)上是增函
在(－∞，＋∞)上是减函数
数
4. 对数函数及其性质
a>1
0<a<1
图象
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
性质
当x>1时，y>0； 当x>1时，y<0；
当0<x<1时，y<0 当0<x<1时，y>0
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
5. 幂函数:
(1)常见的5种幂函数的图象 (2)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，
0)，
且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1),
且在(0，＋∞)上单调递减.
6.零点问题
方程f(x)＝0 有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
函数零点存在性定理：函数y＝f(x)在区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0 ，则存在零点．
若函数单调，则存在一个零点。
函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点；(2)利用函数图象的交点个数判断
(3)利用零点存在性定理，再结合函数的单调性确定零点个数；
7.图象变换
(1) 平 移 变 换 ： 左 + 右 -, 上 + 下 - (2) 对 称 、 翻 折 变 换 ①；
② ；③ ；
④ ；
⑤ .
（3） 变换：
伸缩
第五章 三角函数
1. 角度制与弧度制的互化：
2.扇形弧长、面积公式：(1)圆的周长： ；面积
⑵ 扇形的弧长公式： ；
⑶ 扇形面积公式：
3.三角函数在各象限的符号
口诀：“一全正，二 ，三 ，四 ”．
4.同角三角函数的基本关系（知一求二）
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．(2)商数关系：
5.三角函数的诱导公式： 奇变偶不变，符号看象限
6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)上
在
是递增函数，在 在(k∈Z)
单调性 (k∈Z)上是递增函数，
[2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 上是递增函数
(k∈Z)上是递减函数
上是递减函数
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)， 周期是2kπ(k∈Z且 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，
周期性
T=2π k≠0)，T=2π T=π
对称轴是x＝
kπ(k∈Z)，对称中
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，
对称性 心是
对称中心是(kπ，0)(k∈Z) 对称中心是
7.两角和差公式
⑴ S ：sin(α±β)＝sinα cosβ ±cosα sinβ； ⑵ C ：cos(α±β)＝cosα cos β sinα
α±β α±β
sinβ；
∓
⑶ T ： ； (上同下异)
α±β
8.二倍角公式
(1)
(2)
(3)
9.辅助角公式
其中
10.解三角形1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝b2＋c2－2bc·cosA
＝＝＝2R．
内容 b2＝c2＋a2－2ca·cosB
(R为△ABC外接圆半径)
c2＝a2＋b2－2ab·cosC
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； cos A＝
变形
a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC； cos B＝
形式
sin A＝，sin B＝，sin C＝ cos C＝
2．三角形常用面积公式 S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A；
在△ABC中，(1) sin (A＋B)＝sin C； (2) cos (A＋B)＝－cos C．
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第六章 平面向量
1.向量的有关概念：零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量
2.向量的线性运算：平行四边形法则、三角形法则
3.平面向量的坐标运算
运算 坐标表示
和(差)
＝(x，y)， ＝(x，y)， ＋ ＝(x＋x，y＋y)， － ＝(x－x，y－y)
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2
数乘
已知 ＝(x，y)，则λ ＝(λx ，λy )，其中λ是实数
1 1 1 1
任一向量的
已知A(x，y)，B(x，y)，则AB＝(x－x，y－y)
1 1 2 2 2 1 2 1
坐标
4.向量的夹角
定义 图示 范围 共线与垂直
设 是 与 的
已知两个非零向量 和 ，作
夹角，则 的取
⇔ ∥ ；
，OB＝ ，则∠AOB就是 与 的夹
值范围是0°≤
角 ＝90°⇔ ⊥
≤180°
5. 平面向量的数量积：投影： 叫做向量 在 方向上的投影， 叫做向量 在 方向上的投影.
6. 与向量的模、夹角相关的三个重要公式
①模：设 ，则 .
②距离：若A（x ，y ），B（x ，y ），则
1 1 2 2
③夹角公式：
7.平行：
垂直：
第七章 复数
1. 定义： ， 实部： ； 虚部： . 轴：实轴； 轴：虚轴.
当 时， 是实数；当 时， 是虚数；
当 时， 是纯虚数.
2. 共轭复数：
3. 复数的模：
结论：①
4.
③若 为虚数，则
②
① ② ③ ④
第八章 立体几何
1．斜二测画法：
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
侧面展开图 侧面积公式 表面积 体积
圆
棱柱
柱 S 圆柱侧 ＝2πrl S 表 ＝S 侧 ＋2S 底 V＝Sh
圆柱圆
锥 S 圆锥侧 ＝πrl S 表 ＝S 侧 ＋S 底
圆锥
圆
棱台
S ＝π(r＋r)l S ＝S ＋S ＋S
台 圆台侧 1 2 表 侧 上 下
圆台
棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面
球 S＝4πR2
积--不外乎三角形面积，平行四边形面积
3. 平行
图形 符号 应用
线面平行的判定 线线平行
线面平行
线面平行的性质 线面平行
线线平行
面面平行的判定 线面平行
面面平行
面面平行的性质 面面平行
线线平行
面面平行
线面平行
4 .垂直
图形 符号 应用
线面垂直的判定 线线垂直
线面平行
线面垂直的性质 线面垂直
线线平行
面面垂直的判定 线面垂直
面面垂直面面垂直的性质 面面垂直
线面垂直
线面垂直
线线垂直
第九章 统计
1. 频率分布直方图
横轴表示样本数据，纵轴表示 . 小长方形的面积＝组距× ＝频率
2. 总体集中趋势的估计
众数 一组数据中出现次数最多的数
中位数 一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.
如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数
平均数
百分位数
从小到大排列， ，若 是整数，取 ；
若 不是整数，取下一个数据.
3. 总体离散程度的估计
方差： 标准差：
第十章 概率
1.事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）
互斥事件： ，事件A与B不能同时发生
对立事件：A∪B=Ω,且A∩B=⌀，事件A与B有且只有一个发生.
2.事件的运算
(1)并事件(和事件)： ；
(2)交事件(积事件)：3.概率的基本性质
性质1：对任意的事件A，都有P（A）≥0
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（Ω）＝1，P（∅）＝0
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P（B）＝1－P（A），P（A）＝1－P
（B）
性质5：如果A⊆B，那么P（A）≤P（B）
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有
4. 独立事件：
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第一章 空间向量与立体几何
要点 1 共线、共面向量基本定理
1 ．共线向量基本定理
对任意两个空间向量 a ，b(b≠0) ，a∥b 的充要条件是存在实数 λ ，使 a＝
λb.
推论：若存在实数 t ，使 ＝ ＋t ＝(1 －t) ＋t (O 为空间任意一点)
，则 P，A， B 三点共线．
2 ．共面向量基本定理
如果两个向量 a ，b 不共线，那么向量p 与向量 a ，b 共面的充要条件
是存在唯一的有序 实数对(x，y) ，使p＝xa＋yb.
推论： 已知空间任意一点 O 和不共线的三点A，B，C，则满足向量关系式 ＝
x ＋y ＋z (其中 x＋y＋z＝1)的点 P 与点A ，B ，C 共面．
要点 2 空间向量的坐标运算：
aa ,a ,a ,bb,b ,b
1 2 3 1 2 3
向量和 a＋b＝(a＋b，a＋b，a＋b)
1 1 2 2 3 3
向量差 a－b＝(a －b，a－b，a－b)
1 1 2 2 3 3
数量积 a·b＝ab＋ab＋ab
1 1 2 2 3 3
共线 a∥b⇒a＝λb，a＝λb，a＝λb(λ∈R，b≠0)
1 1 2 2 3 3
垂直 a⊥b⇔a b＋ab＋ab＝0
1 1 2 2 3 3
夹角公式 cos〈a，b〉＝要点3 空间向量在立体几何中的应用
设直线 l ，m 的方向向量分别为 a ，b ，平面 α，β 的法向量分别为 u
，v ，则
线线平行 l∥m⇒a∥b⇔a＝kb ，k∈R
线面平行 l∥α⇒a⊥u⇔a·u＝0
面面平行 α∥β⇒u∥v⇔u＝kv ，k∈R
线线垂直 l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0
线面垂直 l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku ，k∈R
面面垂直
α⊥β⇔
线线夹角
l ，m 的夹角为 θ ，cos θ＝
线面夹角
l ，α 夹角为 θ ，
面面夹角
α，β 的夹角为 θ ，
注 意 ：
①线线夹角 0<θ≤ ；两向量的夹角为[0，π]②二面角的范围为[0，π]，解题时应
具体分析二面角是锐角还是钝角。
第二章 直线和圆的方程
要点 1 直线的倾斜角与斜率
1、倾斜角α的取值范围：0°≤α<180°.
2、倾斜角为α(α≠90°)的直线的斜率k＝tanα，倾斜角为90°的直线斜率不存在．
、
3
要点 2 直线的方程
(1)点斜式: y－y ＝k(x－x ) (2)斜截式:y＝kx＋b
0 0(3)两点式: (4)截距式:
(5)一般式：
要点 3 两条直线的位置关系
斜截式 一般式
l : y k x b
方程 1 1 1
l : y k x b
2 2 2
相交 k k
1 2
垂直 k k −1 A A B B 0
1 2 1 2 1 2
平行 k k 且b b
1 2 1 2 或
要点 4 平面上的距离公式
(1) 任 意 两 点 间 的 距 离 ： 若 P (x ， y ) ， P (x ， y ) ， 则
1 1 1 2 2 2
(2)点到直线的距离：点 P (x ，y )到直线 Ax＋By＋C＝0 的距离为
0 0 0
两条平行直线间的距离： 直线Ax＋By＋C ＝0，Ax＋By＋C ＝0(其中A 与
1 2
(3)
B 不同时为0 ，且 C ≠C )间的距离
1 2
要点 5 圆的方程
1 ．圆的标准方程
圆心为(a ，b) ，半径为 r(r>0)的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2 ＝r2 .
2 ．圆的一般方程
当 D2＋E2 －4F>0 时，方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 叫做圆的一般方程，圆心为半径为
3 ．求圆的方程的方法
（1）几何性质法：利用圆的任意弦的垂直平分线过圆心求出圆心，再求圆的方
程．
(2)待定系数法： 设出圆的标准方程(条件与圆心或半径有关)(x －a)2＋(y －b)2
＝r2 或一般方 程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 ，利用条件求出 a ，b ，r 或 D ，
E，F 即可．
要点 6 直线与圆的位置关系
1 ．直线与圆的位置关系的判定方法
关系 相交 相切 相离
几何法 d<r d＝r d>r
代数法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
2 ．求弦长的方法
(1)利用垂径定理：已知半径 r、弦心距 d、弦长 l ，则
(2)利用弦长公式： 联立直线与圆的方程，消元得到关于 x(或y)的一元二
次方程，利用根与系数的关系得到 x ＋x ，x x (或y ＋y ，y y ) ，则弦长为
1 2 1 2 1 2 1 2
或
3.求切线方程的方法
若切线斜率存在，记为k，且不为 0.
(1)几何法：利用圆心到直线的距离等于半径，求出k，即得切线方程．(2)代数法： 将切线方程与圆的方程联立，消元得一元二次方程，令 Δ＝
0 ，求出k，即得 切线方程．
要点 6 圆与圆的位置关系
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
几何法 d>R＋r d＝R＋r R －r<d<R＋r d＝R －r d<R －r
代数法 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
第三章 圆锥曲线的方程
要点 1 椭圆、双曲线、抛物线的比较
椭圆 双曲线 抛物线
标准方程
几何图形
{M||MF| ＝点
集合表示 M 到直线 l
的距离}
焦点 F ( －c,0) ，F (c,0) F ( －c,0) ，F (c,0)
1 2 1 2
－a≤x≤a，
范围 |x|≥a，y∈R x≥0，y∈R
－b≤y≤b
A ( －a,0) ，A (a,0) ，
1 2
顶点 A ( －a,0)，A (a,0) O(0,0)
1 2
B (0 ，－b) ，B (0 ，b)
1 2
中心 原点(0,0) 原点(0,0) 无
离心率 e＝1
2b2 2b2
通径长 2p
a a
渐近线：
是椭圆
已知
上的两个不焦点弦：
同的点， 是线段
的中点，则：
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第四章 数列
要点 1 等差数列
1. 等差数列的有关公式
(1)定义： a n1 a n d （d 为常数）
x，A，y 2A x y
等差中项： 成等差数列
(2)
(3)通项公式：
(4)前n项和公式：
a
2.等差数列的性质： n 是等差数列
mn pq a a a a ；
(1)若 ，则 m n p q
{a },{a },{a } S ，S S ，S S ……
(2)数列 2n−1 2n 2n+1 仍为等差数列， n 2n n 3n 2n 仍为等差数列，
n2d
公差为 ;
n S ，T
若 是等差数列，且前 项和分别为 n n，则
(3)
a
(4)项数为奇数
2n−1
的等差数列 n 有
，S n
奇
=
S =(2n−1)a (a 为中间项) S −S =a S n−1
2n−1 n n ， 奇 偶 n ， 偶 .
3.等差数列与函数的关系
(1) ,当 时，它是关于n的一次函数；
a S an2 bn a，b n
(2) n 为等差数列 n （ 为常数，它是关于 的常数项为0的二次函
数）
S S an2 bn a
n的最值可求二次函数 n 的最值；或者求出 n 中的正、负分界项，
a 0
n
a 0，d 0 a 0 S n
即：当 1 ，解不等式组 n1 可得 n达到最大值时的 值.
a 0
n
当
a
1
0，d 0 ，由a
n1
0
可得
S
n达到最小值时的
n
值.
要点 2 等比数列
1. 等比数列的有关公式
a
n1 q
a q q0
(1)定义： n （ 为常数， ）
x、G、y G2 xy G xy
等比中项： 成等比数列 ，或
(2) .
(3)通项公式：
前n项和公式：
(4)
a
2.等比数列的性质： n 是等比数列
mn pq a· a a· a
(1)若 ，则 m n p q
S ，S S ，S S ……
(2) n 2n n 3n 2n 仍为等比数列,公比为 .
3.等差数列与函数的关系(1) 指数型函数；(2)
要点 3 求通项公式
1.累加法
a a f(n)，a a a
由 n n1 1 0，求 n，
a a f(2)
2 1
a a f(3)
3 2
…… ……
n2 时， a n a n1 f(n) 两边相加得 a n a 1 f(2) f(3)…… f(n)
a a f(2) f(3)…… f(n)
n 0
∴
2.累乘法：适用于 类型的递推关系式.
3.同除法：
4. 取倒数：① ；② ；③ ．
5.构造法：① ② ．
要点 4 数列求和
(1)公式法：对于等差等比数列，利用公式法直接求和；
(2)错位相减法：对于 型数列，其中 是等差数列， 是等比数列，利用错位
相减法求和；
(3)分组求和法：对于 型数列，利用分组求和法；
(4)裂项相消法：对于 型数列，其中 是公差为 的等差数列，利用裂
项相消法求和.
2、裂项相消法求数列和的常见类型：
如：第五章 导数
一．导数的定义：
二.导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
常数： ① ；
幂 函 数 ： ② ； ；
指数函数：③ ④ ；
对数函数：⑤ ； ⑥三角函数: ⑦ ； ⑧
法则1： ；
2：
法则
法则3：
（2）复合函数 的导数求法：
①换元，令 ，则 ②分别求导再相乘 ③回代
Δ三．导数的几何意义：
函数 在 处导数的几何意义:曲线 在点 处切线的斜率是
。
于是相应的切线方程是： 。
五．函数的单调性：设函数 在某个区间内可导，
（1） 该区间内为增函数；
（2） 该区间内为减函数；
注意：当 在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时， 在这个区
间上仍是递增（或递减）的。
（3） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（4） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
y' =f' (x)
(2)判断导函数
y' =f' (x)在区间上的符号
(3)下结论
① 该区间内为增函数；
② 该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
y=f (x)
求函数 单调区间的步骤为：
（1）确定
y=f (x)
的定义域； （2）求导数
y' =f' (x)
（3）解不等式
f' (x)>0
，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式
f' (x)<0
，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
（1） 在该区间内单调递增 在该区间内恒成立；
（2） 在该区间内单调递减 在该区间内恒成立；六、函数的极值与其导数的关系：
1、(1)导数
f' (x)看正负：
左-右+，则该点a为极小值点，极小值为 ；左+右-，
则该点b为极大值点.
f (x)
(2)原函数 看增减：左减右增，则该点a为极小值点，极小值为 ；左增右
减,则该点b为极大值点. (3)单调函数没有极值.
2.求极值的步骤：
y=f (x)
(1)确定 的定义域；
(2)求导 ；
(3)令 求根；
(4)列表，下结论.
七、函数的最值与其导数的关系：
1. 求可导函数 在闭区间 上的最值方法：
第一步；求 在区间 内的极值；
第二步：比较 的极值与 、 的大小：
第三步：下结论:最大的为最大值，最小的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最
大值和最小值点可以在极值点、不可导点、区间的端点处取得。极值≠最值。函数
f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个。最小值为极小值和
f(a) 、f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对
应最小值）
3、注意：极大值不一定比极小值大。如 的极大值为 ，极小值为2。
注意：当x=x 时，函数有极值⇒ f/(x )＝0。但是，f/(x )＝0不能得到当x=x 时，函数有极
0 0 0 0
值；
判断极值，还需结合函数的单调性说明。
选择性必修三
第 6 章 计数原理
要点 1 计数原理
1. 分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不
同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n种不
同的方法.
2.分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做
第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=mn种不同的方法.要点 2 排列
1. 排列
(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照一定的顺序排成
一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列数表示法：
(2)
(3)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列, .
阶乘式：
(4)
性质：
(5)
2.排列应用问题的主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算
优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素
捆绑法
的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素
插空法
插在前面元素排列的空档中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的
定序问题除法处理
全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
要点 3 组合
1. 组合
(1)定义：一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组,叫做从n个不
同元素中取出m个元素的一个组合.
组合数表示法：
(2)
公式：
(3)
(4)性质：
2.组合应用问题的主要方法
(1)分组问题
①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；
②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
(2)分配问题：先分组再排列分配
要点 4 二项式定理
1. 二项式定理
(1)项数：n次二项式展开式共有n+1项
(2)二项式系数：
(3)通项： ( 的顺序不能交换，第 项)
2. 二项式系数的性质：（1）对称性：
(2)增减性：先增后减中间项最大
① 为偶数时， 最大，(奇数项)；② 为奇数时， 最大，(偶数
项).
(1)二项式系数之和：①令
②令
(4)系数之和：令未知数等于1，如
令 ；
.
第7章 随机变量及其分布
要点 1 条件概率
1. 定义：一般地，设 为两个随机事件，且 我们称
为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率.(1)
(2)当 时，当且仅当事件 相互独立时，有 ；
(3)如果 是两个互斥事件，则
要点 2 全概率公式
1. 定 义 ： 一 般 地 ， 设 是 一 组 两 两 互 斥 的 事 件 ，
则对任意的事件
要点3 离散型随机变量及其分布列
1. 离散型随机变量的分布列
(1)用表格表示：(一般涉及组合数的计算)
（2）性质：
① ②
要点4 离散型随机变量的均值与方差
1. 均值（或数学期望）： 它反映了随机变
量取值的平均水平.
2. 方差：度量随机变量 取值与均值 的偏离程度
3. 标准差：4. 性质：
（1）
（2）
（3）
要点5 概率模型
1. 两点分布
2. 二项分布：
(1)定义：在 重伯努利试验中，设每次试验中事件 发生的概率为 ，用
表示事件 发生的次数，则 的分布列为：
(2)推论：
3. 超几何分布
4. 正态分布(1) 正态曲线: 我们称f(x)＝ ，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度
函
数，称它的图象为正态密度曲线.
(2)正态曲线的特点：
①非负性：对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．
②定值性：曲线与x轴之间的面积为1.
③对称性：曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称．
④最大值：曲线在 x ＝ μ 处达到峰值.
⑤位置：当 σ 一定时，曲线的位置由 μ确定，曲线随
着μ 的变化而沿x轴平移，如图①.
⑥体型：当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的
分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②.
(3)正态分布的几何意义：若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图
中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
（4） 原则：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；
P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；
P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.
要点6 概率模型的均值与方差
1. 若X服从两点分布，则 ．
2．若X～B(n，p)，则 ．
3. 若 ，则
第8章 成对数据的统计分析要点1 样本相关系数
(1) 样本相关系数r的取值范围为 ．
(2) 当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；
当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
(3)注意点：
当|r|＝1时，表明成对样本数据都在一条直线上，即两个变量之间满足一种线性关系．
当r＝0时，表明成对数据间没有线性相关关系，但不排除它们之间有其他相关关系．
要点2 经验回归直线
1. 最小二乘法：我们将y＝bx＋a称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验
回归公式，其图形称为经验回归直线．
这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的b，a叫做b，a的最小二乘估计.
y＝bx＋a
其中
注意点：经验回归方程y＝bx＋a必过点样本点中心 ．
2.残差平方和法：
越小，模型的拟合效果越好．
3．决定系数R2可以用 来比较两个模型的拟合效果.
R2越大，模型拟合效果越好; R2越小，模型拟合效果越差．
要点3 独立性检验
1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立
性检验，读作卡方独立性检验，简称 独立性检验 .
2．方法：
（1）零假设（或原假设） ：两个分类变量 独立；
（2） 2×2列联表：
y y 合计
1 2
x a b a＋b
1
x c d c+d
2
合计 a+c b＋d a+b +c+d
(3)公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
(4)查表（题目中会给出）：常用临界值表如下：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
（5）下结论：
①当 时，我们推断 不成立，即认为 不独立，该推断犯错误的
概率不超过 ；
②当 时，我们没有充分证据推断 不成立，即可以认为 独立.
