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第 32 讲 解析几何中长度面积和、差、商、积
【典型例题】
例1．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆
上一点，且到 ， 的距离之和为8.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设 为 关于原点 的对称点，斜率为 的直线与线段 （不含端点）相交于点 ，与椭圆 相交于
点 ，若 为常数，求 与 面积的比值.
例2．（2024·高三·全国·专题练习）设椭圆M： 的离心率为 ，且内切于圆
．
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线 交椭圆于 、 两点，椭圆上一点 ，求 面积的最大值．
例3．（2024·辽宁鞍山·二模）焦点在 轴上的椭圆 的左顶点为 ， ， ，
为椭圆上不同三点，且当 时，直线 和直线 的斜率之积为 ．
(1)求 的值；
(2)若 的面积为1，求 和 的值；
(3)在（2）的条件下，设 的中点为 ，求 的最大值．例4．（2024·上海·二模）在 中，已知 ， ，设 分别是 的重心、垂心、外
心，且存在 使 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)求 的外心 的纵坐标 的取值范围；
(3)设直线 与 的另一个交点为 ，记 与 的面积分别为 ，是否存在实数 使
？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.
例5．（2024·高三·重庆·阶段练习）从圆 上任取一点 向 轴作垂线段 为垂足.当点 在
圆上运动时，线段 的中点 的轨迹为曲线 （当 为 轴上的点时，规定 与 重合）.
(1)求 的方程，并说明曲线 的类型；
(2)若 与 轴和 轴的交点分别为 （ 在 左侧； 在 下侧），点 在线段 上，过点
且平行于 的直线 交 于点 （异于 ），交 轴于点 ，直线 交 于点 （异于点 ，直
线 交 轴于点 .
从下列两个问题中选择一个进行作答：
①证明： ；
② 与 的面积是否相等？请说明理由.
例6．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆 上一动点 作椭圆 的两条切线，切
点分别记为 ，直线 分别与圆 相交于异于点 的 两点.
(1)求证： .
(2)求 的面积的取值范围.例7．（2024·浙江温州·二模）已知直线 与椭圆 交于 两点， 是椭圆 上一动点
（不同于 ），记 分别为直线 的斜率，且满足 ．
(1)求点 的坐标（用 表示）；
(2)求 的取值范围．
例8．（2024·天津河西·一模）已知椭圆 的上、下顶点为 、 ，左焦点为 ，定
点 ， ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作斜率为 （ ）的直线 交椭圆 于另一点 ，直线 与 轴交于点 （ 在 ， 之间），
直线 与 轴交于点 ，若 ，求 的值．
例9．（2024·湖南衡阳·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过
的直线 与 交于 两点， 的周长为8．
(1)求 的方程；
(2)若直线 与 交于 两点，且原点 到直线 的距离为定值1，求 的最大值．
【过关测试】
1．（2024·天津河东·一模）已知椭圆 的离心率为 ，点 到椭圆右焦点距
离等于焦距.
(1)求椭圆标准方程；(2)过点 斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，且与 轴交于点 ，线段 的垂直平分线与 轴， 轴
分别交于点 ，点 为坐标原点，求 的值.
2．（2024·北京石景山·一模）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为坐标原点，过点 分别作直线 ，直线 与椭圆相切于第三象限内的点 ，直线 交椭
圆 于 两点．若 ，判断直线 与直线 的位置关系，并说明理由．
3．（2024·安徽黄山·一模）设点 、 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆
上任意一点，且 的最小值为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)求椭圆 的外切矩形 的面积 的最大值．
4．（2024·高三·陕西安康·阶段练习）设椭圆 ， ， 分别是C的左、右焦点，C
上的点到 的最小距离为1，P是C上一点，且 的周长为6．(1)求C的方程；
(2)过点 且斜率为k的直线l与C交于M，N两点，过原点且与l平行的直线与C交于A，B两点，求证：
为定值．
5．（2024·贵州毕节·二模）在椭圆 上任取一点 ，过点 作 轴的垂线段 ， 为垂足，
点 在线段 上，且满足 .
(1)当点 在椭圆 上运动时，求点 的轨迹 的方程；
(2)若曲线 与 ， 轴的正半轴分别交于点 ， ，点 是 上第三象限内一点，线段 与 轴交于点
，线段 与 轴交于点 ，求四边形 的面积.
6．（2024·山西·模拟预测）已知 为椭圆 的右焦点，过点 且斜率为 的直线与椭圆 交于
点 ， ， 且 ．
(1)求 的取值范围；
(2)过点 作直线 与椭圆 交于点 ， ，直线 的倾斜角比直线 的倾斜角大 ，求四边形
面积的最大值．
7．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线 经过点 ，离心率为 ，直线 过点
且与双曲线 交于两点 （异于点 ）.
(1)求证：直线 与直线 的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，记 的面积分别为 ，求 的
最大值.8．（2024·广东广州·一模）已知 为坐标原点，双曲线 的焦距为 ，且经过点
.
(1)求 的方程：
(2)若直线 与 交于 ， 两点，且 ，求 的取值范围：
(3)已知点 是 上的动点，是否存在定圆 ，使得当过点 能作圆 的两条切线 ，
时（其中 ， 分别是两切线与 的另一交点），总满足 ？若存在，求出圆 的半径 ：
若不存在，请说明理由.
9．（2024·福建泉州·模拟预测）已知中心在原点、焦点在x轴上的圆锥曲线E的离心率为2，过E的右焦
点F作垂直于x轴的直线，该直线被E截得的弦长为6．
(1)求E的方程；
(2)若面积为3的 的三个顶点均在E上，边 过F，边 过原点，求直线 的方程：
(3)已知 ，过点 的直线l与E在y轴的右侧交于不同的两点P，Q，l上是否存在点S满足
，且 ？若存在，求点S的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由．
10．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 在椭圆 上，且在
第一象限内，满足 .
(1)求 的平分线所在的直线 的方程；
(2)在椭圆 上是否存在关于直线 对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线 与椭圆 有共同的焦点，且双曲线 与椭圆 相交于 ，若四边形 的面
积最大时，求双曲线 的标准方程.11．（2024·新疆·一模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，
是 上一点，且 ， 的周长为 12.
(1)求C的方程;
(2)过 的直线 与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明：
为定值.
12．（2024·高三·浙江宁波·阶段练习）已知抛物线 与双曲线 相交于
两点 ， 是 的右焦点，直线 分别交 于 两点（不同于 点），直线 分别交
轴于 两点.
(1)求 的取值范围；
(2)记 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求 的值.
13．（2024·高三·上海闵行·阶段练习）已知双曲线 的左、右焦点为 ．
(1)若双曲线的离心率为 ，且 ， 是正三角形，求 的方程；(2)若 ，点 在双曲线 的右支上，且直线 的斜率为 ．若 ，求
(3)在（1）的条件下，若动直线 与 恰有1个公共点 且与 的两条渐近线分别交于 记 的面积
为 ， 的面积为 （ 是坐标原点），问： 是否存在最小值？若存在，求出该最小值，若不
存在，请说明理由.
14．（2024·高三·安徽亳州·期末）已知双曲线 经过点 ，直线 与
交于 两点，直线 分别与 轴相交于点 .
(1)证明：以线段 为直径的圆恒过点 ；
(2)若 ，且 ，求 .
15．（2024·广东深圳·一模）已知动点 与定点 的距离和 到定直线 的距离的比为常数 ．
其中 ，且 ，记点 的轨迹为曲线 ．
(1)求 的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点 ，若曲线 上两动点 均在 轴上方， ，且 与 相交于点 ．
①当 时，求证： 的值及 的周长均为定值；
②当 时，记 的面积为 ，其内切圆半径为 ，试探究是否存在常数 ，使得 恒成立？若
存在，求 （用 表示）；若不存在，请说明理由．
16．（2024·高二·辽宁大连·期末）已知双曲线 ，点 ，经过点M的直线交双曲线C于
不同的两点A、B，过点A，B分别作双曲线C的切线，两切线交于点E．（二次曲线 在曲线上某点 处的切线方程为 ）
(1)求证：点E恒在一条定直线L上；
(2)若两直线与L交于点N， ，求 的值；
(3)若点A、B都在双曲线C的右支上，过点A、B分别做直线L的垂线，垂足分别为P、Q，记 ，
， 的面积分别为 ，问：是否存在常数m，使得 ？若存在，求出m的值；
若不存在，请说明理由．
17．（2024·高三·福建泉州·期末）动圆 与圆 和圆 中的一个内切，
另一个外切，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知点 轴与 交于 两点，直线 与 交于另一点 ，直线 与 交于另一
点 ，记 的面积分别为 .若 ，求直线 的方程.
18．（2024·高二·山东济南·期中）已知圆F： ，点 ，点G是圆F上任意一点，线
段EG的垂直平分线交直线FG于点T，点T的轨迹记为曲线C．
(1)求曲线C的方程；
(2)已知曲线C上一点 ，动圆N： ，且点M在圆N外，过点M作圆
N的两条切线分别交曲线C于点A，B
①求证：直线AB的斜率为定值；
②若直线AB与 交于点Q，且 时，求直线AB的方程．
19．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ， 的一条渐近线的倾斜角为 ，直线 与 轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)过点 作斜率为 的直线与 交于 ， 两点， 为线段 的中点，过点 且与 垂直的直
线交 轴于点 ，求证： 为定值.
20．（2024·高二·辽宁·期末）已知双曲线 的离心率为 ，且其焦点到渐近线的距
离为1.
(1)求 的方程；
(2)若动直线 与 恰有1个公共点，且与 的两条渐近线分别交于 两点， 为坐标原点，证明：
的面积为定值.
21．（2024·全国·模拟预测）已知长为 的线段 的中点为原点 ，圆 经过 两点且与直线
相切，圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 分别与曲线 交于点 和点 ，且 ，四边形
的面积为 ，求实数 的值.
22．（2024·高三·浙江·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线 与抛物线 交于
M，N两点 在第一象限）.
(1)当 时，求直线 的方程;
(2)若三角形OMN的外接圆与曲线 交于点 （异于点O，M，N），
（i）证明:△MND的重心的纵坐标为定值，并求出此定值;（ii）求凸四边形OMDN的面积的取值范围.
23．（2024·全国·模拟预测）第一象限的点 在抛物线 上，过点 作 轴于点 ，点
为 中点．
(1)求 的运动轨迹曲线 的方程；
(2)记 的焦点分别为 ，则四边形 的面积是否有最值？
24．（2024·辽宁·一模）已知平面上一动点 到定点 的距离比到定直线 的距离小 ，
记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)点 为 上的两个动点，若 恰好为平行四边形 的其中三个顶点，且该平行四
边形对角线的交点在第一､三象限的角平分线上，记平行四边形 的面积为 ，求证： .
25．（2024·河南·一模）在平面直角坐标系 中，已知直线 与抛物线 相切．
(1)求 的值；
(2)已知点 在抛物线 上， 分别位于第一象限和第四象限，且 ，过
分别作直线 的垂线，垂足分别为 ，求四边形 面积的最小值．
26．（2024·四川南充·二模）如图，已知四边形 的四个顶点都在抛物线 上，且A，B在第一
象限， 轴，抛物线在点A处的切线为l，且 ．(1)设直线 的斜率分别为k和 ，求 的值；
(2)P为 与 的交点，设 的面积为 ， 的面积为 ，若 ，求 的取值范围．
