文档文本内容
专题02 不等式与复数
【目录】
..............................................................................................................................................1
...............................................................................................................................................2
..............................................................................................................................................3
..............................................................................................................................................4
............................................................................................................................................11
考点一：基本不等式二元式..................................................................................................................................11
考点二：和式与积式..............................................................................................................................................13
考点三：柯西不等式二元式..................................................................................................................................16
考点四：齐次化与不等式最值..............................................................................................................................18
考点五：复数的四则运算......................................................................................................................................22
考点六：复数的几何意义......................................................................................................................................23
有关不等式的高考试题，是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多章节，
且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题，考试形式多以一道选择题为主，
分值5 分．复数的代数运算、代数表示及其几何意义是高考的必考内容，题型多为选择题或填空题，分值
5 分，考题难度为低档.
考点要求
考题统计
考情分析
基本不等式
2023 年上海卷第6 题，4 分
2022 年上海卷第14 题，5 分
2022 年新高考II 卷第12 题，5 分
【命题预测】
预测2024 年高考，多以小题形式出
现，不等式在高考中主要考查基本不等
式求最值、大小判断，求取值范围问
2021 年上海卷第16 题，5 分
2023 年天津卷第13 题，5 分
题；预测2024 年高考仍将以复数的基
本概念以及复数的代数运算为主要考
点，其中复数的除法运算、共轭复数及
复数的几何意义是最可能出现的命题角
度！
复数的四则运算
2023 年新高考I 卷第2 题，5 分
2023 年新高考甲卷第2 题，5 分
2023 年新高考乙卷第1 题，5 分
2022 年新高考II 卷第2 题，5 分
复数的几何意义
2023 年新高考II 卷第1 题，5 分
2023 年上海卷第11 题，5 分
2022 年新高考乙卷第2 题，5 分
1、几个重要的不等式
（1）
（2）基本不等式：如果
，则
（当且仅当“
”时取“ ”）．
特例：
（
同号）．
（3）其他变形：
①
（沟通两和
与两平方和
的不等关系式）
②
（沟通两积
与两平方和
的不等关系式）
③
（沟通两积
与两和
的不等关系式）
④重要不等式串：
即
调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）．
2、均值定理
已知
．
（1）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即“和为定
值，积有最大值”．
（2）如果
（定值），则
（当且仅当“
”时取“=”）．即积为定值，
和有最小值”．
3、常见求最值模型
模型一：
，当且仅当
时等号成立；
模型二：
，当且仅当
时等号成立；
模型三：
，当且仅当
时等号成立；
模型四：
，当且仅当
时
等号成立．
4、对复数几何意义的理解及应用
（1）复数
，复平面上的点
及向量
相互联系，即
；
（2）由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解
题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
1．（2022•上海）若实数
、
满足
，下列不等式中恒成立的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为
，所以
，当且仅当
时取等号，
又
，所以
，故
正确，
错误，
，当且仅当
，即
时取等号，故
错误，
故选：
．
2．（2021•乙卷）下列函数中最小值为4 的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】对于
，
，
所以函数的最小值为3，故选项
错误；
对于
，因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
因为
，所以等号取不到，
所以
，故选项
错误；
对于
，因为
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以函数的最小值为4，故选项
正确；
对于
，因为当
时，
，
所以函数的最小值不是4，故选项
错误．
故选：
．
3．（2021•上海）已知两两不相等的
，
，
，
，
，
，同时满足①
，
，
；
②
；③
，以下哪个选项恒成立
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】设
，
，
，
，
根据题意，应该有
，
且
，
则有
，
则
，
因为
，
所以
，
所以
项正确，
错误．
，
而
上
面
已
证
，
因为不知道
的正负，
所以该式子的正负无法恒定．
故选：
．
4．（2023•新高考Ⅰ）已知
，则
A．
B．
C．0
D．1
【答案】
【解析】
，
则
，
故
．
故选：
．
5．（2023•新高考Ⅱ）在复平面内，
对应的点位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】
【解析】
，
则在复平面内，
对应的点的坐标为
，位于第一象限．
故选：
．
6．（2023•甲卷）
A．
B．1
C．
D．
【答案】
【解析】
．
故选：
．
7．（2023•乙卷）
A．1
B．2
C．
D．5
【答案】
【解析】由于
．
故选：
．
8．（2022•新高考Ⅱ）
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
．
故选：
．
9．（2022•甲卷）若
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
，
，
则
．
故选：
．
10．（2022•乙卷）已知
，且
，其中
，
为实数，则
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】
【解析】因为
，且
，
所以
，
所以
，
解得
，
．
故选：
．
11．（2022•新高考Ⅰ）若
，则
A．
B．
C．1
D．2
【答案】
【解析】由
，得
，
，则
，
．
故选：
．
12．（2021•甲卷）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】因为
，
所以
．
故选：
．
13．（2021•新高考Ⅰ）已知
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】
，
．
故选：
．
14．（2021•新高考Ⅱ）复数
在复平面内对应点所在的象限为
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】
【解析】
，
在复平面内，复数
对应的点的坐标为
，
，位于第一象限．
故选：
．
15．（2021•乙卷）设
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】设
，
，
是实数，
则
，
则由
，
得
，
得
，
得
，得
，
，
即
，
故选：
．
16．（多选题）（2022•新高考Ⅱ）若
，
满足
，则
A．
B．
C．
D．
【答案】
【解析】方法一：由
可得，
，
令
，则
，
，
，故
错，
对，
，
，
故
对，
错，
方法二：对于
，
，由
可得，
，即
，
，
，故
错，
对，
对于
，
，由
得，
，
，故
对；
，
，
，故
错误．
故选：
．
17．（2023•上海）已知正实数
、
满足
，则
的最大值为 ．
【答案】
．
【解析】正实数
、
满足
，则
，当且仅当
，
时等号
成立．
故答案为：
．
18．（2021•天津）已知
，
，则
的最小值为 ．
【答案】
．
【解析】法一：
，
，
，
当且仅当
且
，即
时取等号，
的最小值为
，
法二：
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
的最小值为
，
故答案为：
．
19．（2023•上海）已知
，
且
为虚数单位），满足
，则
的取值范围为
．
【答案】
，
．
【解析】设
，则
，
因为
，所以
，
所以
，
显然当
时，原式取最小值0，
当
时，原式取最大值
，
故
的取值范围为
，
．
故答案为：
，
．
考点一：基本不等式二元式
如果a>0 ，b>0，那么
√ab≤a+b
2
，当且仅当a=b 时，等号成立．其中，
a+b
2
叫作a ，b的算术平均
数，√ab 叫作a ，b的几何平均数．即正数a ，b的算术平均数不小于它们的几何平均数．
不等式可变形为：(√a+√b)2≥4√ab 或
，其中a ，b∈R
+
．
例1．（2023·福建厦门·高三厦门外国语学校校考期中）已知
，
，且
，则
的最大值
为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【解析】
，当且仅当
时取等号．
即
的最大值为．
故选：A
例2．（2023·山西太原·高三统考期中）已知
（
，且
），
，则下列结论正
确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，首先
，所以由基本不等式有
，但是由于
的单调性不能确定，
故
不能比较大小，故C 错误；
对于D，由于
，所以由基本不等式可得
，
故D 正确．
故选：D．
例3．（2023·福建莆田·高三莆田一中校考期中）实数
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【解析】因为
，
所以
所以
，当且仅当
取等号
故选：D．
例4．（2023·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）已知函数
，若对任意的正数、，满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对任意的
，
，所以，函数
的定义域为，
因为
，即函数
为奇函数，
又因为
，且函数
在上为增函数，
所以，函数
在上为增函数，
对任意的正数、，满足
，则
，
所以，
，即
，
所以，
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为．
故选：B．
考点二：和式与积式
已知式
目标式
方法选取
和式
积式
基本不等式
积式
和式
基本不等式
和式
和式
柯西不等式
积式
积式
柯西不等式
例5．（多选题）（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知a，b 为正实数，
且
，则（ ）
A．ab 的最大值为8
B．
的最小值为8
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】ABC
【解析】因为
，当且仅当
时取等号，
则
，
解不等式得
，即
，故
的最大值为8，A 正确；
由
得
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，此时取得最小值，B 正确；
，
当且仅当
，即
时取等号，C 正确；
，
当且仅当
时取等号，此时
取得最小值
，D 错误．
故选：ABC
例6．（多选题）（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知
，
，则
（ ）
A．
的最小值为4
B．
的最大值为
C．
的最小值为
D．
的最小值为
【答案】BCD
【解析】对于A，
，
，当且仅当
，
即
取等号，故A 错误，
，当且仅当
，即
取等号，故B 正确，
，故当
时，取到最小值，此时
，满足题意，
故C 正确，
，当且仅当
，即
时等号成立，所以D 正确
故选：BCD
例7．（多选题）（2023·湖北·高三校联考期中）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】因为
，
，且
，且
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，故A 正确；
易知
，即
，所以
，
所以
，故
，当且仅当
时取等号，故B 正确；
因为
，又
，所以
，
所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
，即
时，等号成立，故C 正确；
因为
，
，且
，所以
，
当且仅当
时取等号，又
，
所以
，故D 错误．
故选：ABC
例8．（多选题）（2023·广东佛山·统考一模）已知
，
，且
，则（ ）
A．
的最小值是1
B．
的最小值是
C．
的最小值是4
D．
的最小值是4
【答案】BC
【解析】对于A，由
，得
，当且仅当
等号成立，A 错误；
对于B，由
，
，
当且仅当
时，
的最小值是，故B 正确；
对于C，
，当且仅当
，
时，等号成立，故C 正确；
对于D，
，
当且仅当
，
时等号成立，故D 错误，
故选：BC．
例9．（多选题）（2023·新疆·高三校联考期中）已知实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】对于选项A、B：由
，整理得
，
因为
，当且仅当
时，等号成立，
即
，解得
，
故A 正确，B 错误；
因为
，整理得
，
对于选项C：因为
，当且仅当
时，等号成立，
即
，解得
，故C 正确；
对于选项D：因为
，当且仅当
时，等号成立，
即
，解得
，故D 正确；
故选：ACD．
考点三：柯西不等式二元式
设a ，b ，c ，d ∈R+ ，有(a+b)(c+d)≥(√ac+√bd )2
当且仅当
a
c = b
d 时等号成立．
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知
，且
，则
的最小
值是
【答案】36
【解析】由
，
所以
，当且仅当
，即
时取等号．
故答案为：36
例11．（2023·浙江台州·高三统考期末）已知正实数
满足
，则
的最小值为 ．
【答案】/0．5
【解析】由柯西不等式
而
，所以
时等号成立，
故答案为：．
例12．（2023·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b 满足
，则
的最小值为
．
【答案】/
【解析】由题设，
，则
，
又
，
∴
，当且仅当
时等号成立，
∴
，当且仅当
时等号成立．
∴
的最小值为．
故答案为：．
例13．（2023·浙江宁波·高三镇海中学校考开学考试）若非负实数a，b，c 的和为1，则
的最小值是 ．
【答案】2
【解析】由于非负实数，，的和为1，即
，
根据对称性知，当
时，
，即取得最小值为
2，
不妨设
，，
，
，
，
，
则
，
，
此时
，
利用不等式
，得
，
要证不等式
成立，只需证明
，
两边平方，化简得
，由柯西不等式知该不等式成立，
所以不等式
成立，当且仅当
或其中一个为1、其余两个为0 时等号成立．
所以
的最小值为2．
故答案为：2．
考点四：齐次化与不等式最值
关于齐次化，就是将不等式最值转化为方程的实根分布，从而实现不等式与函数方程的无缝切换。
例14．（2023·陕西咸阳·高二统考期中）已知
（
），则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
所以
的最小值是；
故选：A
例15．（2023·重庆·高三校联考阶段练习）对于所有的正实数
，都有
成立，则整数
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【解析】由题设
，令
，则
，
所以
，在
上恒成立，
当
，则
，不满足题设；
当
，
对称轴为
，只需
，可得
．
综上，
，故整数的最小值为2．
故选：B
例16．（2023·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）已知
，
，
，则
的最小
值为（ ）
A．7
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】∵
，
，
，
∴
，
当且仅当
，即
时取得等号．
故选：A
例17．（2023·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知
，
，
，则
的最小
值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，
，
，
所以原式
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
．
故选：D．
例18．（2023·江西南昌·高三南昌二中校考阶段练习）已知正数，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
令
，
，则
，
，
，
当且仅当
且
，即
，
时，等号成立，
所以
，故
有最小值．
故选：D．
例19．（2023·河南洛阳·高二洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）已知正数，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，
令
，
，则
，
，
，
当且仅当
，即
，
时，等号成立，故
有最小值．
故选：B
例20．（2023·山东青岛·高一统考开学考试）已知
，
，
，则
（ ）
A．S 的最大值是
B．S 的最大值是
C．S 的最大值是
D．S 的最大值是
【答案】B
【解析】∵
，
令
，
∵
，
，则
，当且仅当
，即
时等号成立，
故
，可得
，
又∵
在
上单调递增，则
，
∴
，即S 的最大值是
．
故选：B．
考点五：复数的四则运算
1、复数运算
（1）
（2）
其中
，叫z 的模；
是
的共轭复数
．
（3）
．
实数的全部运算律（加法和乘法的交换律、结合律、分配律及整数指数幂运算法则）都适用于复数．
例21．（2023·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考期中）已知
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，
所以
．
故选：A
例22．（2023·全国·模拟预测）
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．
故选：B
例23．（2023·浙江·统考一模）若复数满足
（为虚数单位），则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，
所以
．
故选：A
例24．（2023·浙江杭州·高三统考期中）设复数
（i 为虚数单位），则
（ ）
A．
B．0
C．
D．2
【答案】B
【解析】因为
，
所以
，
所以
．
故选：B．
例25．（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）已知是虚数单位，则复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意得
．
故选：D．
考点六：复数的几何意义
复数的几何意义
（1）复数
对应平面内的点
；
（2）复数
对应平面向量
；
（3）复平面内实轴上的点表示实数，除原点外虚轴上的点表示虚数，各象限内的点都表示复数．
（4）复数
的模
表示复平面内的点
到原点的距离．
例26．（2023·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）若复数
（为虚数单位），则复数在
复平面上对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】
在复平面上对应的点为
，该点在第一象限，
故选：A．
例27．（2023·山西·校考模拟预测）已知复数满足
，则复数在复平面内对应的点位于
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意可得
，
则复数在复平面内对应的点为
，该点位于第二象限．
故选：B．
例28．（2023·青海西宁·高三统考开学考试）已知复数满足
，则在复平面内复数对应的
点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
在复平面内复数对应的点为
，位于第一象限．
故选：A．
例29．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）设复数z 满足条件|z|＝1，那么
取最大值时的
复数z 为（ ）
A．
+ i
B．
+ i
C．
i
D．
i
【答案】A
【解析】复数满足条件
，它是复平面上的单位圆，那么
表示单位圆上的点到
的
距离，
要使此距离取最大值的复数，就是
和
连线和单位圆在第一象限的交点
．
点
到原点距离是2．单位圆半径是1，又
，所以
．
故对应的复数为
．
故选：A
