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圆锥曲线：轨迹方程问题、离心率问题、弦长问题专项训练
考点目录
轨迹方程问题
离心率问题
弦长问题
考点一 轨迹方程问题
1
例1．（25-26 高二上·陕西汉中·月考）如图所示，椭圆
的左、右顶点分别为
，左、右
焦点分别为
，以
为直径的圆与椭圆
在第二象限交于
且
，则椭圆
的离心率为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例2．（25-26 高二上·安徽蚌埠·月考）已知双曲线
的两个焦点为
，以
的实轴为直
径的圆记为
，过
作
的切线，与
的两支交于
两点，且
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
例3．（25-26 高二上·甘肃陇南·期末）已知
，
分别为双曲线C：
（
，
）的左、右焦点，
过点
的直线与C 的左支交于A，B 两点，且
周长的最小值为8a，则C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．2
D．3
考点二 离心率问题
2
例4．（2026·陕西咸阳·一模）设椭圆的左、右焦点分别是
、
，
为椭圆上的一点，且
，
，则该椭圆的离心率为 .
3
例5．（25-26 高三上·辽宁·期末）已知
为椭圆
的左焦点，过
且斜率为
的直线与
在第四象限相交于点
，设
为坐标原点，若
为等腰三角形，则
的离心率为 .
例6．（25-26 高三上·四川巴中·月考）已知双曲线
的左右焦点分别为
，过
作双曲
线
的一条渐近线的垂线，垂足为
，直线与双曲线
的左支交于
点 ，且
恰为线段
的中点，则双曲线
的离心率为 .
变式1．（24-25 高二上·广东汕头·期末）已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，
为右顶点，
、
为上、下顶点，若在线段
上存在
（不含端点），使得
，则椭圆
的离心率的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
变式2．（25-26 高二上·辽宁铁岭·期末）已知椭圆
的左焦点为F，以F 为圆心，
为半径
的圆与E 交于M，N 两点，若
，则E 的离心率为（ ）
A．
或
B．
或
C．
或
D．
或
4
变式3．（25-26 高三上·河北·月考）已知双曲线
的左、右焦点分别为
，
为
上一
点，若
，
（
为坐标原点），则
的离心率为 （ ）
A．
B．2
C．
D．
5
变式4．（25-26 高三上·河南南阳·月考）双曲线C 的两个焦点为
，
，以C 的实轴为直径的圆记为D，过
作
D 的切线与C 交于M，N 两点，且
，则C 的离心率为
变式5．（25-26 高二上·陕西延安·月考）已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，离心率为．
若椭圆上存在点P，使得
，该离心率的取值范围是 ．
变式6．（25-26 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线
，直线
，若直线
与双曲线
的两个交点分别在双曲线的两支上，则双曲线
的离心率的取值范围是 .
6
例1．（25-26 高二上·海南儋州·期末）已知椭圆
：
的离心率为
，且过点
.
(1)求椭圆
的方程；
(2)设直线与椭圆
交于A，B 两点，若线段
的中点为
，求直线的方程及线段
的长度.
例2．（25-26 高二上·河北衡水·月考）已知点
在椭圆
上，
是坐标原点，
是
椭圆的右顶点，
的面积是
.
(1)求椭圆
的标准方程；
(2)已知斜率为1 的直线交椭圆
于不同的两点
，
，求
的取值范围.
考点三 弦长问题
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例3．（25-26 高二上·辽宁辽阳·期末）已知椭圆
：
（
）过点
与
，
是椭圆
的左焦点，
是椭圆
上的一动点（点
不在
轴上），直线
交椭圆
于另一点
.
(1)求椭圆
的离心率;
(2)求
的取值范围.
例4．（25-26 高二上·四川成都·期末）已知
为坐标原点，双曲线
的实轴长为2，且经
过点
.
(1)求
的方程；
(2)若直线与
交于
，
两点，且
，求
的取值范围；
(3)已知点
是
上的动点，是否存在定圆
，使得当过点
能作圆
的两条切线
，
时
（其中
，
分别是两切线与
的另一交点），总满足
?若存在，求出圆
的半径，若不存在，请说
明理由.
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变式1．（25-26 高三上·广东深圳·月考）已知双曲线
的一条渐近线的倾斜角为
，点
在双曲线
上.
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)已知点
，
为双曲线
的左、右顶点，直线
与双曲线
交于
，
两点，当
时，求
.
变式2．（25-26 高二上·辽宁朝阳·期末）已知双曲线
的焦点在
轴上，中心在坐标原点，虚轴长为4，左、右焦
点分别为
，过
的直线交双曲线
于
两点且
的面积为
．
(1)求双曲线
的标准方程；
(2)过点
的直线交双曲线
于
两点，且点
是线段
的中点，求直线的方程及直线被双曲线截得
的弦长
．
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变式3．（25-26 高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知
是抛物线
的焦点，
是
上的
一点，且
.
(1)求
的方程.
(2)已知点
均在
上，且点
与
均不重合.
（i）若直线
经过点
，且
，求直线
的方程.
（ii）若直线
与直线
的倾斜角互补，判断直线
的斜率是否是定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理
由.
变式4．（25-26 高三上·上海·期中）已知拋物线
的焦点为
，点
是抛物线上任意一点，过点
作拋物
线
的切线，该切线与
轴交于点
.
(1)求抛物线的焦点坐标和准线方程；
(2)若点
的坐标为
，求
的面积；
(3)证明：
.
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