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专题09 数列的通项公式、数列求和及综合应用
【目录】
......................................................................................................................................1
........................................................................................................................................3
......................................................................................................................................3
......................................................................................................................................6
......................................................................................................................................8
考点一：等差、等比数列的基本量问题........................................................................................................8
考点二：证明等差等比数列.........................................................................................................................10
考点三：等差等比数列的交汇问题..............................................................................................................12
考点四：数列的通项公式.............................................................................................................................14
考点五：数列求和........................................................................................................................................17
考点六：数列性质的综合问题.....................................................................................................................21
考点七：实际应用中的数列问题.................................................................................................................23
考点八：以数列为载体的情境题.................................................................................................................24
考点九：数列的递推问题.............................................................................................................................25
数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有．其中，小题重点考查等差数列、等
比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显（特别是与函数、导数的结合问
题），浙江卷小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综
合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等偏难程度．往往在解决数列基本问题后考查
数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合．在考查等差数列、等比数列的求和基础上，
进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．数列与
数学归纳法的结合问题，也应适度关注．
考点要求
考题统计
考情分析
等差、等比数列
2023 年甲卷第5、13 题，10 分
2022 年乙卷第13 题，5 分
2021 年II 卷第17 题，10 分
2023 年II 卷第8 题，5 分
【命题预测】
2024 年高考将重点考查：①由递推
公式求通项公式与已知前
项和或
前
项和与第
项的关系式求通项
为重点，特别是数列前
项和
与
关系的应用，难度为中档题，题
型为选择填空小题或解答题第1 小
题，同时要注意对数列单调性与周
期性问题的复习与训练.②数列求和
部分仍将重点裂项相消法和错位相
减法及与不等式恒成立等相关的数
列综合问题，求和问题多为解答题
第二问，难度为中档，数列综合问
题为小题压轴题，为难题．
数列通项
2023 年乙卷第18 题，12 分
2023 年II 卷第18 题，12 分
2022 年I 卷第17 题，10 分
2022 年上海卷第21 题，18 分
数列求和
2023 年甲卷第17 题，12 分
2022 年甲卷第18 题，12 分
2021 年I 卷第16 题，5 分
2021 年乙卷第19 题，12 分
2021 年I 卷第17 题，10 分
1、利用定义判断数列的类型：注意定义要求的任意性，例如若数列
满足
（常数）（
，
）不能判断数列
为等差数列，需要补充证明
；
2、数列
满足
，则
是等差数列；
3、数列
满足
，
为非零常数，且
，则
为等比数列；
4、在处理含
，
的式子时，一般情况下利用公式
，消去
，进而求
出
的通项公式；但是有些题目虽然要求
的通项公式，但是并不便于运用
，这时可以考虑先消去
，得到关于
的递推公式，求出
后再求解
．
5、遇到形如
的递推关系式，可利用累加法求
的通项公式，遇到形如
的
递推关系式，可利用累乘法求
的通项公式，注意在使用上述方法求通项公式时，要对第一项是否满足
进行检验．
6、遇到下列递推关系式，我们通过构造新数列，将它们转化为熟悉的等差数列、等比数列，从而求
解该数列的通项公式：
（1）形如
（
，
），可变形为
，则
是以
为首项，以
为公比的等比数列，由此可以求出
；
（2）形如
（
，
），此类问题可两边同时除以
，得
，设
，从而变成
，从而将问题转化为第（1）个问题；
（3）形如
，可以考虑两边同时除以
，转化为
的形式，设
，
则有
，从而将问题转化为第（1）个问题．
7、公式法是数列求和的最基本的方法，也是数列求和的基础．其他一些数列的求和可以转化为等差
或等比数列的求和．利用等比数列求和公式，当公比是用字母表示时，应对其是否为进行讨论．
8 、用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：
，
，裂项后产生可以连续相互抵消的项．抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，
也有可能前面剩两项，后面也剩两项，但是前后所剩项数一定相同．
常见的裂项公式：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
．
9、用错位相减法求和时的注意点：
（1）要善于通过通项公式特征识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
（2）在写出“
”与“
”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“
”的表达式；
（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1 和不等于1 两种情况求解．
10、分组转化法求和的常见类型：
（1）若
，且
，
为等差或等比数列，可采用分组求和法求
的前
项和；
（2）通项公式为
，其中数列
，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求
和；
（3）要善于识别一些变形和推广的分组求和问题．
11、在等差数列
中，若
（
，
，，，
），则
．
在等比数列
中，若
（
，
，，，
），则
．
12、前
项和与积的性质
（1）设等差数列
的公差为
，前
项和为
．
①
，
，
，…也成等差数列，公差为
．
②
也是等差数列，且
，公差为
．
③若项数为偶数
，则
，
．
若项数为奇数
，则
，
．
（2）设等比数列
的公比为
，前
项和为
①当
时，
，
，
，…也成等比数列，公比为
②相邻
项积
，
，
，…也成等比数列，公比为
．
③若项数为偶数
，则
，
；项数为奇数时，没有较好性质．
13、衍生数列
（1）设数列
和
均是等差数列，且等差数列
的公差为
，
，
为常数．
①
的等距子数列
也是等差数列，公差为
．
②数列
，
也是等差数列，而
是等比数列．
（2）设数列
和
均是等比数列，且等比数列
的公比为
，
为常数．
①
的等距子数列
也是等比数列，公比为
．
②数列
，
，
，
，
，
也是等比数列，而
是等差数列．
14、判断数列单调性的方法
（1）比较法（作差或作商）；（2）函数化（要注意扩展定义域）．
15、求数列最值的方法（以最大值项为例，最小值项同理）
方法：利用数列的单调性；
方法2：设最大值项为
，解方程组
，再与首项比较大小．
1．（2023•甲卷）记
为等差数列
的前
项和．若
，
，则
A．25
B．22
C．20
D．15
2．（2023•新高考Ⅱ）记
为等比数列
的前
项和，若
，
，则
A．120
B．85
C．
D．
3．（2023•甲卷）已知正项等比数列
中，
，
为
前
项和，
，则
A．7
B．9
C．15
D．30
4．（2022•乙卷）记
为等差数列
的前
项和．若
，则公差
．
5．（2023•甲卷）记
为等比数列
的前
项和．若
，则
的公比为 ．
6．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．
规格为
的长方形纸，对折1 次共可以得到
，
两种规格的图形，它们的
面积之和
，对折2 次共可以得到
，
，
三种规格的图形，它
们的面积之和
，以此类推．则对折4 次共可以得到不同规格图形的种数为 ；如果对折
次，
那么
．
7．（2021•新高考Ⅱ）记
是公差不为0 的等差数列
的前
项和，若
，
．
（Ⅰ）求数列
的通项公式
；
（Ⅱ）求使
成立的
的最小值．
8．（2023•乙卷）记
为等差数列
的前
项和，已知
，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
9．（2022•上海）数列
对任意
且
，均存在正整数
，
，满足
，
，
．
（1）求
可能值；
（2）命题
：若
，
，
，
成等差数列，则
，证明
为真，同时写出
逆命题
，并判断命
题
是真是假，说明理由；
（3）若
，
成立，求数列
的通项公式．
10．（2023•甲卷）已知数列
中，
，设
为
前
项和，
．
（1）求
的通项公式；
（2）求数列
的前
项和
．
11．（2021•新高考Ⅰ）已知数列
满足
，
（1）记
，写出
，
，并求数列
的通项公式；
（2）求
的前20 项和．
考点一：等差、等比数列的基本量问题
利用等差数列中的基本量（首项，公差，项数），等比数列的基本量（首项，公比，项数）翻译条件，
将问题转换成含基本量的方程或不等式问题求解．
例1．（2023·全国·模拟预测）记数列
的前
项和为
，若等差数列
的首项为5，第4 项为8，则
（ ）
A．14
B．23
C．32
D．140
例2．（2023·全国·模拟预测）已知各项均为正数的数列
的前
项和为
，若
，
则
（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
例3．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）已知等比数列
的前
项和为
，则
（ ）
A．18
B．54
C．128
D．192
例4．（2023·宁夏银川·高三银川唐徕回民中学校考期中）已知等比数列
满足
，公比
，则
（ ）
A．32
B．64
C．128
D．256
例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列
满足
，若
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例6．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）等差数列
中的前
项和分
别为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二：证明等差等比数列
判断或证明数列是等差、等比数列常见的方法如下．
（1）定义法：对于
的任意正整数：
①若
为一常数，则
为等差数列；
②若
为常数，则
为等比数列．
（2）通项公式法：
①若
，则
为等差数列；
（2）若
，则
为等比数列．
（3）中项公式法：
①若
，则
为等差数列；
②若
，则
为等比数列．
（4）前
项和法：若
的前
项和
满足：
①
，则
为等差数列．
②
，则
为等比数列．
例7．（2023·河北承德·统考模拟预测）已知数列
满足
，
(1)证明：数列
为等差数列；
(2)若将数列
中满足
的项
，
称为数列
中的相同项，将数列
的前40 项中所有的
相同项都剔除，求数列
的前40 项中余下项的和.
例8．（2023·辽宁鞍山·高二鞍山一中校考期中）已知数列
的前n 项和为
，若
，
．
(1)记
判断
是否为等差数列，若是，给出证明；若不是，请说明理由．
例9．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知数列
满足：
，
，
，
.
(1)证明：数列
为等差数列，并写出数列
的通项；
例10．（2023·辽宁朝阳·高三建平县实验中学校联考阶段练习）在数列
中，
，
.
(1)求证：
为等差数列；
例11．（2023·辽宁大连·高三大连市金州高级中学校考期中）设
是数列
的前n 项和，已知
，
(1)证明：
是等比数列，并求
的通项公式；
(2)证明：当
时，
.
例12．（2023·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
，且
，
．
(1)求证：数列
是等比数列．
(2)判断是否存在正整数p，q，r（
）使得
，
，
成等差数列．若存在，求出p，q，r 的一组
值；若不存在，请说明理由．
考点三：等差等比数列的交汇问题
在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过
程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可
以达到减少运算量的目的．
例13．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期中）若
是公差不为0 的等差数列，
，
，
成
等比数列，
，
为
的前n（
）项和，则
的值为 ．
例14．（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知正项等差数列
的前
项和为
，若
成等比
数列，则
的最小值为 ．
例15．（2023·江苏南通·高三统考期中）已知等差数列
前3 项和
，
，
，
成等比
数列，则数列
的公差
．
例16．（2023·江苏南通·高三统考期中）设等差数列
的前
项和为
，且
，
是等比数列，
满足
，则
.
例17．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知数列
是公差不为0 的等差数列，数
列
为等比数列，数列
的前三项分别为1，2，6，则数列
的通项公式为 ．
例18．（2023·北京·高三统考开学考试）已知数列
的前n 项和为
，且
，其中k，b 不
同时为0．给出下列四个结论：
①当
时，
为等比数列；
②当
时，
一定不是等差数列；
③当
时，
为常数列；
④当
时，
是单调递增数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
考点四：数列的通项公式
常见求解数列通项公式的方法有如下六种：
（1）观察法：根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法猜想其通项公式．
（2）累加法：形如
的解析式．
（3）累乘法：形如
（4）公式法
（5）取倒数法：形如
的关系式
（6）构造辅助数列法：通过变换递推关系，将非等差（比）数列构造为等差（比）数列来求通项公
式．
例19．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考期中）（1）已知数列
满足
，
，求
的通项．
（2）数列
中，
，
（n 为正整数），求
．
例20．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
的前
项和为
，
，
，
．
(1)写出数列
的前4 项；
(2)求出数列
的通项公式．
例21．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足
（
），且
，求数列
的通项公式．
例22．（2023·全国·高三专题练习）在数列
中，
，且
，求
.
例23．（2023·全国·高三专题练习）设数列
中，
，
（其中
为常数
），求
．
例24．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
满足：
求通项
.
例25．（2023·全国·高三专题练习）设正项数列
满足
，
，求数列
的通项公式．
例26．（2023·全国·高三专题练习）已知数列
中，
，求
的通项公式．
例27．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，
，求数列
的通项公式．
例28．（2023·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
，则数列
的通项公式为
.
例29．（2023·全国·高二专题练习）已知数列
满足
，
，
.若
，求数列
的通项公式.
例30．（2023·全国·模拟预测）已知数列
的前n 项和
满足
，
，且
，若数列
的通项公式为
，将数列
与
的公共项按从小到大的顺序排列得到数列
，则
的
前n 项和为 ．
例31．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第一二二中学校校考期中）如图的形状出现在南宋数学家杨辉
所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1 个球，第二层有3 个球，第
三层有6 个球，...，设第
层有
个球，则
.
例32．（2023·陕西渭南·高三校考阶段练习）数列
的前
项和为
，若
，则
．
例33．（2023·上海徐汇·高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知数列
的前
项和
，
．若
是等差数列，则
的通项公式为 ．
例34．（2023·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考阶段练习）已知等比数列
的前
项和
，且
，则数列
的通项公式为 ．
考点五：数列求和
求数列前
项和
的常见方法有以下四种．
（1）公式法：利用等差、等比数列的前
项和公式求数列的前
项和．
（2）裂项相消法：将数列恒等变形为连续两项或相隔若干项之差的形式，进行消项．其方法核心有
两点：一是裂项，将一个式子分裂成两个式子差的形式；二是要能相消．常见的裂项相消变换有以下形式．
①分式裂项：
；
②根式裂项：
；
③对数式裂项
；
④指数式裂项
（3）错位相减法
（4）分组转化法
例35．（2023·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期中）在数列
中，
．
(1)证明：数列
为常数列．
(2)若
，求数列
的前
项和
．
例36．（2023·天津滨海新·高三天津市滨海新区塘沽第一中学校考阶段练习）已知数列
为等差数列，
数列
为等比数列，且
，
，
，
（
）.
(1)求
，
的通项公式；
(2)已知
，求数列
的前
项和
；
(3)求证：
（
）.
例37．（2023·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）记
为数列
的前
项和，已知：
，
（
）．
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列
的通项公式；
(2)求和：
．
例38．（2023·河南·高三安阳县高级中学校联考阶段练习）已知数列
的各项均为正数，其前
项和记
为
，
，且
（
为常数）.
(1)若
构成等比数列，求
的值；
(2)若
，且
恒成立，求实数
的最小值.
例39．（2023·全国·模拟预测）已知等比数列
的前
项和为
，各项均为正数的数列
的前
项和为
，满足
.
(1)分别求数列
和
的通项公式；
(2)求数列
的前
项和.
例40．（2023·广西南宁·南宁二中校联考模拟预测）已知数列
的前n 项和为
，
，
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，
，求数列
的前n 项和
．
例41．（2023·全国·高三对口高考）数列
是等比数列，前n 项和
，数列
满足
.
(1)求p 的值及通项
；
(2)求和
.
例42．（2023·黑龙江大庆·铁人中学校考二模）已知数列
的前n 项和为
，___________，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)已知数列
，当
时，
，
.记数列
的前n 项和为
，求
.
在下面三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.
①
；②
；③
.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
例43．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列
的前
项和为
，且
，
．
(1)求
；
(2)在数列
的每相邻两项
、
之间依次插入
、
、
、
，得到数列
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
，求
的前
项和
．
例44．（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知数列
满足
，
，
.
(1)证明：数列
是等比数列；
(2)求数列
的前
项和
.
考点六：数列性质的综合问题
例45．（2023·上海杨浦·统考一模）等比数列
的首项
，公比为
，数列
满足
（
是正整数），若当且仅当
时，
的前
项和
取得最大值，则
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例46．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知数列
的前 n 项和
，不等式
对任意
恒成立， 则实数m 的最大值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．2
例47．（2023·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）在
中，角
所对的边
分别是
，且
为
的等差中项，则角
最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例48．（2023·湖北·高三校联考阶段练习）已知数列
的前
项和为
，且
，若
恒成立，
则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5
例49．（2023·全国·模拟预测）已知正项等比数列
中，
，数列
满足
，
则使得不等式
成立的
的最小值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
例50．（2023·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知
数列
的前
项和，
，
且
，若
，（其中
），则
的最小值是（ ）
A．4
B．2
C．2023
D．
例51．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知数列
满
（
），且对任意
，
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例52．（2023·江苏南京·高三南京市江宁高级中学校联考期中）已知数列
通项公式为
，若对任意
，都有
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点七：实际应用中的数列问题
解数列应用题的一般步骤
（1）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
（2）根据题意数列问题模型．
（3）应用数列知识求解．
（4）将数列问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
例53．（2023·河南·高二校联考期末）如图，有一台擀面机共有10 对轧辊，所有轧辊的半径r 都是
mm，面带从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出，每对轧辊都将面带的厚度压缩为输入该对轧辊时
的0.8 倍（整个过程中面带宽度不变，且不考虑损耗）.若第k 对轧辊有缺陷，每滚动一周在面带上压出一
个疵点，则在擀面机最终输出的面带上，相邻疵点的间距
（ ）
A．
mm
B．
mm
C．
mm
D．
mm
例54．（2023·辽宁大连·高二统考期末）刚考入大学的小明准备向银行贷款
元购买一台笔记本电脑，然
后上学的时通过勤工俭学来分期还款．小明与银行约定：每个月还一次款，分10 次还清所有的欠款，且每
个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为．则小明每个月所要还款的钱数为（ ）元．
A．
B．
C．
D．
例55．（2023·贵州安顺·高二统考期末）“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的
发展和社会的进步，人们的环境保护意识日益增强，贵州某家化工厂产生的废气中污染物的含量为
，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，贵州省环保部门为了保护好贵州优越的
生态环境，要求废气中该污染物的含量不能超过
，若要使该工厂的废气达标排放，那么该污染
物排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：
，
）
A．7
B．8
C．9
D．10
考点八：以数列为载体的情境题
1、应用数列知识解决此类问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——等差、等比数列模型．
2、需要读懂题目所表达的具体含义，观察给定数列的特征，进而判断出该数列的通项与求和公式．
3、求解时要明确目标，认清是求和、求通项、还是解递推关系问题，然后通过数学推理与计算得出
结果，并回归实际问题中，进行检验，最终得出结论．
例56．（2023·全国·模拟预测）若
为函数
的导函数，数列
满足
，则称
为“牛顿数列”.已知函数
，数列
为“牛顿数列”，其中
，则
.
例57．（2023·湖南·湖南师大附中校联考一模）把个位十位百位上的数依次成等差数列（公差小于
､
､
0）
的三位数称为“下阶梯数”，则所有的“下阶梯数”共有 个.
例58．（2023·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列
满足
.给出定义：使数列
的
前
项和为正整数的
叫做“好数”，则在
内的所有“好数”的和为 .
例59．（2023·河南新乡·统考一模）已知数列
共有10 项，且
，若
，则
符合条件的不同数列有 个．
考点九：数列的递推问题
利用构造或猜想，解决数列递推问题
例60．（2023·全国·高三对口高考）平面上有
个圆，每两个圆都相交于两点，且任三个圆都不共点，若
个圆将平面分成的部分为
，则
与
的关系为 ．
例61．（2023·上海·高三专题练习）已知数列6，9，14，21，30，…，对于任意的正整数
与
之间
满足关系式： .
例62．（2023·山东德州·高三统考阶段练习）如图，一个粒子从原点出发，在第一象限和两坐标轴正半轴
上运动，在第一秒时它从原点运动到点
，接着它按图所示在
轴､
轴的垂直方向上来回运动，且每
秒移动一个单位长度，那么，在2022 秒时，这个粒子所处的位置在点 .
例63．（2023·全国·高三专题练习）某电视频道在一天内有x 次插播广告的时段，一共播放了y 条广告，
第一次播放了1 条以及余下的
条的
，第2 次播放了2 条以及余下的
，第3 次播放了3 条以及余下的
，以后每次按此规律插播广告，在第
次播放了余下的x 条．
(1)设第
次播放后余下
条，这里
，
，求
与
的递推关系式．
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x 与广告的条数y．
例64．（2023·浙江杭州·高二浙江省淳安中学校联考期中）阿司匹林（分子式
，分子质量180）对
血小板聚集的抑制作用，使它能降低急性心肌梗死疑似患者的发病风险.对于急性心肌梗死疑似患者，建议
第一次服用剂量300
，嚼碎后服用以快速吸收，以后每24 小时服用200
.阿司匹林口服后经胃肠道完
全吸收，阿司匹林吸收后迅速降解为主要代谢产物水杨酸（分子式
，分子质量138），降解过程生
成的水杨酸的质量为阿司匹林质量的
，水杨酸的清除半衰期（一般用物质质量衰减一半所用的时间来描
述衰减情况，这个时间被称作半衰期）约为12 小时.（考虑所有阿司匹林都降解为水杨酸）
(1)求急性心肌梗死疑似患者第1 次服药48 小时后第3 次服药前血液中水杨酸的含量（单位
）；
(2)证明：急性心肌梗死疑似患者服药期间血液中水杨酸的含量不会超过230
.
例65．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液500ml，同
时从甲、乙两个容器中取出100ml 溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一次调和．记
，
，经
次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为
，
．
(1)试用
，
表示
，
．
(2)证明：数列
是等比数列，并求出
，
的通项．
