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微专题20 圆锥曲线经典难题之一类面积、面积比问题的通性通法研究
【秒杀总结】
1、三角形面积问题
模型一：基本方法
模型二：分割三角形
模型三：三角形面积坐标表示
模型四（面积比）： “等角”“共角”“对顶角”
蝴蝶模型
蝉模型
2、四边形面积问题
模型一
模型二
1
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模型三
3、圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：
（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；
（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；
（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；
（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
4、圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：
一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；
二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、
函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．
【典型例题】
例1．（2024·江苏·模拟预测）已知椭圆
的右焦点为
，点
在椭圆
上，且
垂直于
轴．
(1)求椭圆
的方程；
(2)直线斜率存在，交椭圆
于
两点，
三点不共线，且直线
和直线
关于
对称．
（ⅰ）证明：直线过定点；
（ⅱ）求
面积的最大值．
【解析】（1）点
在椭圆
上，且
垂直于
轴，则有
2
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设椭圆
的焦距为
，则
，
点
代入椭圆方程，有
，
解得
，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）（ⅰ）设直线l 的方程为
，由
，
消去y，整理得
，
因为l 交椭圆C 于
两点，所以
，
设
，所以
，
因为直线
和直线
关于
对称，
所以
所以
所以
解得
.
所以直线l 的方程为
，
所以直线l 过定点
.
（ⅱ）设直线l 的方程为
，由
，
消去
，整理得
，
因为l 交椭圆C 于
两点，所以
，
3
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解得
，
，
所以
，
所以
令
则
，当且仅当
时取等号，
所以
面积的最大值为
.
例2．（2024·高三·江苏·专题练习）经过圆
上一动点
作椭圆
的两条切线，切
点分别记为
，直线
分别与圆
相交于异于点
的
两点.
(1)求证：
.
(2)求
的面积的取值范围.
【解析】（1）
证明：设点
．
①当直线
的斜率都存在时，
设过点
与椭圆
相切的直线方程为
．
联立
，消去
得
．
．
令
，整理得：
．
设直线
的斜率分别为
．
4
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∴
．又
．
∴
．
∴
，即
为圆
的直径，
∴
．
②当直线
或
的斜率不存在时，不妨设
，
则直线
的方程为
．
∴点
，点
，也满足
．
综上，有
．
（2）设点
，点
．
当直线
的斜率存在时，设直线
的方程为
．
联立
，消去
得
．
令
，整理得
．
则
．
∴直线
的方程为
．
化简可得
，即
．
经验证，当直线
的斜率不存在时，
直线
的方程为
或
，也满足
．
同理，可得直线
的方程为
．
∵
在直线
上，
∴
，
．
∴直线
的方程为
．
5
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联立
，消去
得
．
∴
，
，
∴
．
又点
到直线
的距离
．
，
令
，
．则
．
又
，
∴
的面积的取值范围为
例3．（2024·全国·模拟预测）已知复平面上的点
对应的复数满足
，设点
的运动轨迹
为
．点
对应的数是0．
(1)证明
是一个双曲线并求其离心率
；
(2)设
的右焦点为
，其长半轴长为
，点
到直线
的距离为
（点
在
的右支上），证明：
；
(3)设
的两条渐近线分别为
，过
分别作
的平行线
分别交
于点
，则平行四边
形
的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．
【解析】（1）设复数
，
则
两边平方得
6
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所以
是一个焦点在实轴上，顶点为
，渐近线为
的双曲线．
其离心率
.
（2）由（1）的计算得
，
，
，则直线
，
设
，则
，
，
由
得
，代入得
所以
，原式得证．
（3）由（1）得
的两条渐近线
，
，
由对称性，不妨设
，则
，
所以
，同理得
．
联立
和
：
，得
，
易知直线
，所以点
到直线
的距离
由（1）
，所以
而
，所以
，故平行四边形
的面积为定值
．
例4．（2024·天津·一模）已知椭圆
过点
，焦距是短半轴长的
倍，
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(1)求椭圆
的方程；
(2)点
是椭圆
上的三个不同点，线段
交
轴于点
异于坐标原点
，且总有
的面积
与
的面积相等，直线
分别交
轴于点
两点，求
的值.
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，由题意知
，解得
，
椭圆的方程
；
（2）因为
的面积与
的面积总相等，故
为
的中点，
结合对称性可知
两点关于
轴对称，
由题意直线
斜率
存在且不为0，并且纵截距不为0，
设直线
，故
，
，化简得
，
由
得，
，
设
，则
，
则
，
直线
，令
得，
8
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，
所以
.
例5．（2024·山东青岛·一模）已知O 为坐标原点，点W 为
：
和
的公共点，
，
与直线
相切，记动点M 的轨迹为C．
(1)求C 的方程；
(2)若
，直线
与C 交于点A，B，直线
与C 交于点
，
，点A，
在
第一象限，记直线
与
的交点为G，直线
与
的交点为H，线段AB 的中点为E．
①证明：G，E，H 三点共线；
②若
，过点H 作的平行线，分别交线段
，
于点
，
，求四边形
面积的最
大值．
【解析】（1）设
，
与直线
的切点为N，则
，
所以
化简得
，所以C 的方程为：
；
（2）①设线段
的中点为
，
因为
，所以可设
，
，
又因为
，
所以G，E，F 三点共线，同理，H，E，F 三点共线，
所以G，E，H 三点共线．
②设
，
，
，
，AB 中点为E，
中点为F，
将
代入
得：
，所以
，
，
所以
，
同理
，
，
（
均在定直线
上）
因为
，所以△EAT 与△EAH 面积相等，
与△EBH 面积相等；
所以四边形
的面积等于四边形GAHB 的面积，
设
，
，
直线
，即
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整理得：直线
，又因为
，所以
，
同理，直线
，
，所以
所以
所以四边形GAHB 面积
，
当且仅当
，即
，即
时取等号，
所以四边形
面积的最大值为16．
例6．（2024·高三·河南·阶段练习）已知
是抛物线
上任意一点，且
到
的焦点
的
最短距离为
.直线与
交于
两点，与抛物线
交于
两点，
其中点
在第一象限，点
在第四象限.
(1)求抛物线
的方程.
(2)证明：
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(3)设
的面积分别为
，其中
为坐标原点，若
，求
.
【解析】（1）设
，易知
，准线方程为
，所以
.
当
时，
取得最小值
，由
，解得
.所以抛物线
的方程为
.
（2）设直线与
轴交于点
，因为直线的斜率显然不为0，
所以设直线的方程为
，
联立
，消去
得
，
所以
，所以
，
同理可得
，所以
.
（3）因为
，所以
，即
.
因为
，所以
，即
，
所以
，由（2）知
，所以
，
故
，所以
，即
，
化简得
，解得
或
，
若
，则
，这与
矛盾，所以
，
所以
.
例7．（2024·陕西西安·一模）已知椭圆
的短轴长等于焦距，且过点
(1)求椭圆
的方程；
(2)
为直线
上一动点，记椭圆
的上下顶点为
，直线
分别交椭圆
于点
，当
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与
的面积之比为
时，求直线
的斜率.
【解析】（1）由题意可得
，解得
，
所以椭圆的方程为
.
（2）
因为
，
设
，
则直线
的方程的方程为
，
联立
，消去
可得
，
，
解得
，代入直线方程可得
，故
，
直线
的方程为
，由
，消去
可得
，
，
解得
，故
，
设
与
的面积分别为
，则
，
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因为
，且
三点共线，
三点共线，结合距离公式化简可得
，
由
，化简解得
，
当
时，
，
的斜率为
，
当
时，
，
的斜率为
，
综上，直线
的斜率.
例8．（2024·云南昆明·模拟预测）已知椭圆
的左右焦点分别为
，点
在椭圆
上，且
在第一象限内，满足
.
(1)求
的平分线所在的直线的方程；
(2)在椭圆
上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线
与椭圆
有共同的焦点，且双曲线
与椭圆
相交于
，若四边形
的面
积最大时，求双曲线
的标准方程.
【解析】（1）设
的平分线与
轴交于点
，
由
，则
，由
，有
，故
，
故
，则
，解得
，故
，
由角平分线的性质可得
，所以
，
解得
，故
，则有
，
即直线的方程为
；
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（2）假设存在两点
关于直线对称，则
，所以
，
设直线
的方程为
，联立
，
得
，则
，
即
，
所以
的中点坐标为
，因为
的中点在直线
，
所以
，所以
，所以
的中点坐标为
，
与点
重合，矛盾，所以不存在满足题设条件相异的两点；
（3）由题意知，
，
设与椭圆
共焦点的双曲线
的标准方程为
，
设它们的一个交点坐标为
，它们的交点为顶点的四边形面积记，
所以
，
当且仅当
取得等号，因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以双曲线
的标准方程为
.
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例9．（2024·云南贵州·二模）已知椭圆
的方程
，右焦点为
，且离心率为
(1)求椭圆
的方程；
(2)设
是椭圆
的左、右顶点，过
的直线交
于
两点（其中
点在
轴上方），求
与
的面积之比的取值范围.
【解析】（1）设椭圆焦距为
，
由题意可得
，
故椭圆方程为
（2）当斜率不存在时，易知
；
②当斜率存在时，设
，
,
，
,
，
由
，得
，显然
，
所以
，
，
因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，
又
，
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设
，则
，
，解得
且
，
所以
，
综上可得
的取值范围为
．
【过关测试】
1．（2024·山东烟台·一模）已知双曲线
经过点
，离心率为
，直线过点
且与双曲线
交于两点
（异于点
）.
(1)求证：直线
与直线
的斜率之积为定值.并求出该定值；
(2)过点
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，记
的面积分别为
，求
的
最大值.
【解析】（1）令双曲线半焦距为c，依题意，
，
由
，解得
，
则双曲线
的方程为
，显然直线不垂直于y 轴，设直线的方程为
，
由
消去
得，
，
，
设
，则
，
直线
的斜率分别为
，
所以
.
（2）设直线
的方程为
，则直线
的方程为
，
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由
，得点
的纵坐标
，
用
替换上式中的
得点
的纵坐标
，
则
而
，当且仅当
时取等号，
因此
，所以
的最大值为
.
2．（2024·河南·一模）在平面直角坐标系
中，已知直线
与抛物线
相切．
(1)求
的值；
(2)已知点
在抛物线
上，
分别位于第一象限和第四象限，且
，过
分别作直线
的垂线，垂足分别为
，求四边形
面积的最小值．
【解析】（1）
因为直线
与抛物线
相切，
所以方程组
有唯一解，所以
有唯一解，
所以
，且
，解得
．
（2）设直线
的方程为
，
，
因为点
在抛物线
上，
分别位于第一象限和第四象限，
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联立方程
，消去x 得
，
则
，可得
，
因为
，即
，
整理得
，
即
，解得
，
可知直线
的方程为
，可知
，
，符合题意，
则四边形
的面积为
．
令
，
所以
，
因为
，则
，且
与
在
上单调递增，
可知
在
上单调递增，
当且仅当
，即
时，
，
所以四边形
面积的最小值为
．
3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线
：
（
，
）的右顶点
，斜率为1 的直线交
于
、
两点，且
中点
.
(1)求双曲线
的方程；
(2)证明：
为直角三角形；
(3)若过曲线
上一点
作直线与两条渐近线相交，交点为
，
，且分别在第一象限和第四象限，若
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，
，求
面积的取值范围.
【解析】（1）设
，
，则
，
，
，
两点在双曲线
上，
，由①－②得
，
即
，
，
，即
，
，
又
，
，
双曲线
的方程为：
；
（2）由已知可得，直线
的方程为：
，即
，
联立
，
，
则
，
，
，
，
为直角三角形；
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（3）由题意可知，若直线
有斜率则斜率不为0，
故设直线
方程为：
，
设
，
，
，
，
，
，
点
在双曲线
上，
，
，
③，
又
，
，
，
④，
联立
，
，
⑤，
⑥，
，
分别在第一象限和第四象限，
，
，
由④式得：
，
⑦，
将⑤⑥代入⑦得：
，
，
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令
，
，
由对勾函数性质可得
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
.
4．（2024·云南红河·二模）已知抛物线
的焦点到准线的距离为，
为坐标原点，
是
上异于
的不同的两点，且满足
，点
为
外接圆的圆心.
(1)求动点
的轨迹方程；
(2)当
外接圆的面积最小时，求
两点的坐标.
【解析】（1）由题意可知，
，故
.
设
，
，
，因为
，
为
外接圆的圆心，
所以
为线段
的中点，设
，则
，即
①，
点
在抛物线
上，所以
，将①式代入整理得
，
显然点
不满足题意，所以动点
的轨迹方程为
.
（2）显然
斜率存在且不为，设
，由
知
，
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故设
，
联立
得
，化简得
（舍）或
，所以
，
联立
得
，
，
，
故
，
令
，则
或
，故
.
所以
，
（当且仅当
即
时，等号成立），故
的最小值为
，
所以
外接圆的面积为
.
所以
时，
外接圆的面积取得最小值
.
此时，
，
或
，
.
5．（2024·河南郑州·二模）已知椭圆E：
过点
，且焦距为
.
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)过点
作两条互相垂直的弦AB，CD，设弦AB，CD 的中点分别为M，N.
①证明：直线MN 必过定点；
②若弦AB，CD 的斜率均存在，求
面积的最大值.
【解析】（1）依题意有
，
，解得
，
所以椭圆的方程为
.
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（2）①设
：
，
，
，则
：
，
联立
，故
，
，
，
故
，由
代替m，得
，
当
，即
时，
：
，过点
.
当
，即
时，
，
：
，
令
，
，直线MN 恒过点
.
当
，经验证直线MN 过点
.
综上，直线MN 恒过点
.
②
，
令
，
，
∵
在
上单调递减，
∴
，当且仅当
，
时取等号.
故
面积的最大值为
.
6．（2024·河南南阳·一模）在椭圆(双曲线)中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的
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圆心是椭圆(双曲线)的中心，半径等于椭圆(双曲线)长半轴(实半轴)与短半轴(虚半轴)平方和(差)的算术平方
根，则这个圆叫蒙日圆.已知椭圆
的蒙日圆的面积为
，该椭圆的上顶点和下顶点
分别为
，且
，设过点
的直线与椭圆
交于
两点（不与
两点重合）且直线
.
(1)证明：
，
的交点
在直线
上;
(2)求直线
围成的三角形面积的最小值.
【解析】（1）根据题意，蒙日圆的半径为
，所以
.
因为
，可知
，则
，
所以椭圆
的标准方程为
，
因为直线过点
，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线
，
联立方程
，消去
可得
，
由根与系数的关系可得：
因为
，可得直线
，直线
，
所以
即
，解得
，
所以直线
的交点
在直线
上.
（2）设直线
与直线
的交点分别为
，
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则由（1）可知：直线
，直线
.
联立方程
和
，
解得
因为
，
又因为点
到直线
的距离
，
可得
，只需求
的最小值.
由弦长公式可得
令
，则
.
可得
，
当且仅当
，即
时等号成立.
即
的最小值为
，可得
面积的最小值为
.
故直线
围成的三角形面积的最小值为
.
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7．（2024·山东济南·一模）已知双曲线C：
的左右顶点分别为
，
，过点
的直线与
双曲线C 的右支交于M，N 两点.
(1)若直线的斜率k 存在，求k 的取值范围；
(2)记直线
，
的斜率分别为
，
，求
的值；
(3)设G 为直线
与直线
的交点，
，
的面积分别为
，
，求
的最小值.
【解析】（1）
设
，
，直线的方程为
，
联立方程组
，整理得
，
因为直线与双曲线的右支交于
两点，
可得
，解得
，
又由直线的斜率为
，可得
的取值范围是
.
（2）由双曲线
，可得
，
，
由（1）可得
，
，则
.
所以
.
（3）由（2）可知
，
所以直线
与直线
的方程分别为
和
，
联立两直线方程可得交点
的横坐标为
，
26
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于是
，
故
的最小值为，当且仅当
时取等号成立.
8．（2024·山西·模拟预测）已知
为椭圆
的右焦点，过点
且斜率为
的直线与椭圆
交于
点
，
，
且
．
(1)求
的取值范围；
(2)过点
作直线
与椭圆
交于点
，
，直线
的倾斜角比直线
的倾斜角大
，求四边形
面积的最大值．
【解析】（1）设
，
，易知
，
联立
消去
，得
．
，
，
，
．
又
，
.
（2）如图：
27
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解法一：设直线
的倾斜角为
，则
．
由（1）知
．
直线
的倾斜角为
，
同理可知
．
，
．
令
，则
．
，
当
时，
取最大值
．
解法二：依题意，
，直线
的倾斜角比直线
的倾斜角大
，
直线
的斜率存在．
不妨设直线
的方程：
，且
，
．
由（1）同理得
，
28
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则
又
，
，
令
，
，
，
解方程
，得
．
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
当
时，
．
，
时，
，
，
．
9．（2024·江苏南通·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆Γ：
的离心率为
，
直线l 与Γ 相切，与圆O：
相交于A，B 两点.当l 垂直于x 轴时，
.
(1)求Γ 的方程；
(2)对于给定的点集M，N，若M 中的每个点在N 中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，
则记此最大值为
.
（ⅰ）若M，N 分别为线段AB 与圆O 上任意一点，P 为圆O 上一点，当
的面积最大时，求
；
（ⅱ）若
，
均存在，记两者中的较大者为
.已知
，
，
均
存在，证明：
.
【解析】（1）
29
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因为当垂直于
轴时，
，而直线
与Γ 相切，则
，解得
，
又椭圆
的离心率为
，则椭圆
的半焦距
，
，
所以
的方程为
.
（2）（i）当的斜率存在时，设的方程为：
，
由
消去
得：
，
由直线与椭圆
相切，得
，整理得
，
于是圆心
到直线的距离
，
则
的面积为
，
设
，求导得
，
当
时，
，函数
单调递增，当
时，
，函数
单调递减，
因此当
时，
取得最大值，此时
，
当的斜率不存在时，由（1）知，
，
由
，得
，则
.
对于线段
上任意点
，连接
并延长与圆
交于点
，则
是圆上与
最近的点，
当
为线段
的中点时，
取得最大值
，所以
.
（ii）因为
均存在，
设点
，且
，
设
是集合
中到
的最近点，根据对称性，不妨设
，
30
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令点
到集合
的最近点为
，点
到集合
的最近点为
，
因为
是集合
中所有点到集合
最近点距离的最大值，则
，
因为
是集合
中所有点到集合
最近点距离的最大值，则
，
因此
，
而在坐标平面中，
，又点
是集合
中到点
的最近点，则
，
所以
.
10．（2024·河北邯郸·三模）已知椭圆
经过
，
两点．
(1)求
的方程；
(2)若圆
的两条相互垂直的切线
均不与坐标轴垂直，且直线
分别与
相交于点A，C 和
B，D，求四边形
面积的最小值．
【解析】（1）因为
过点
，
，
所以
解得
故
的方程为
．
（2）由题知
的斜率存在且不为0．
设
．
因为与圆
相切，所以
，得
．
联立与
的方程，可得
，
设
，
，则
，
．
所以
，
将
代入，可得
．
用
替换
，可得
．
31
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四边形
的面积
．
令
，则
，可得
，
再令
，
，则
，可得
，
即四边形
面积的最小值为
．
11．（2024·广东深圳·模拟预测）在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右焦点分别为
、
，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，
，点A 关于y 轴的对称点为点B．
(1)求A 点坐标；
(2)在x 轴上任取一点P，直线
与直线
相交于点Q，求
的最大值；
(3)设点M 在椭圆E 上，记
与
的面积分别为
，
，若
，求点M 的坐标．
【解析】（1）
由椭圆
的左，右焦点分别为
，
，
设
，因为
，可得
，
整理得
，
又因为
，联立方程组
，解得
，
，
所以点
点坐标为
.
（2）设P 点坐标为
，则可得Q 点坐标为
，
由
，
当
时，
取最大值，最大值为.
（3）点
的坐标为
，点
的坐标为
，
32
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则点O 到线段
的距离
，
若
，则点M 到线段
的距离应为
，
故M 点的纵坐标为
或
，代入椭圆
方程
，
解得M 点的横坐标为
或
，
故M 点的坐标为
或
.
12．（2024·安徽芜湖·二模）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W：
的离心率为，已
知椭圆长轴长是短轴长的2 倍，且椭圆W 过点
．
(1)求椭圆W 的方程；
(2)已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．
【解析】（1）由题意知
，解得
，
由长轴长是短轴长的2 倍，则
，
所以椭圆
的方程为
.
（2）当直线
斜率存在，这
的方程为
，
，
因为
，故可设
方程为
，
由
，得
，
则
，
，
，
所以
，
33
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同理
，
因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
时，平行四边形
取得最大值为4.
当直线
的斜率不存在时，此时平行四边形
为矩形，设
，易得
，
又因为
，所以
，当且仅当
时取等.
综上所述：平行四边形
的面积的最大值为4.
13．（2024·上海·二模）在
中，已知
，
，设
分别是
的重心、垂心、外
心，且存在
使
.
(1)求点
的轨迹
的方程；
(2)求
的外心
的纵坐标
的取值范围；
(3)设直线
与
的另一个交点为
，记
与
的面积分别为
，是否存在实数
使
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）
设
，则
的重心
.
，
，则
，
为垂心，故
因为存在
使
，故
，所以
，
，
而
，由垂心定义得
，即
，整理得
，
所以点
的轨迹
的方程为
.
34
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（2）
由外心的定义知点
在
轴上，则
，
的中点
，
，
所以
，整理得
.
与
的方程为
联立，得
.
因为
，所以
.
（3）由对称性，不妨设点
在第一象限，设
，
，直线
：
，
联立方程
得
，
，整理得
；
，又
，所以
.
由条件知
，
，
，所以
三点共线且所在直线平行于
轴，
由
，
知
，
所以
.
令
，解得
（
舍去）.
又点
在直线
：
上，所以
，
35
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即
，所以
.又
，联立得
，所以
.
又
，所以
，即
，所以
.
所以，当点
在第一、四象限时，
；当点
在第二、三象限时，
.
故存在实数
使
.
14．（2024·高二·浙江·阶段练习）已知离心率为
的双曲线
：
过椭圆
：
的左，右顶点A，B.
(1)求双曲线
的方程；
(2)
是双曲线
上一点，直线AP，BP 与椭圆
分别交于D，E，设直线DE 与x 轴
交于
，且
，记
与
的外接圆的面积分别为
，
，求
的取
值范围.
【解析】（1）由题意得：
，解得
，
所以双曲线
的方程为
.
（2）方法一：设直线AP：
，
，
则
，消y 得：
，
得：
，
又因为
在双曲线上，满足
，即
，
所以
，即
.
36
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同理设直线BP：
，
，可得
，所以
.
因为
，所以
，因为
，所以
.
把
代入双曲线方程得
，解得
，则点
.
设
与
的外接圆的半径分别为
，
，
由正弦定理得
，
，
因为
，所以
.
则
.
因为
，所以
，所以
.
方法二：设直线DE：
，
，
，
则
，消x 得：
，
所以
，
，得
，
因为P，A，D 三点共线，则
，
因为P，B，E 三点共线，则
，两式相除得
，
而
.
因为
，所以
.
因为
，所以
，得
，
把
代入双曲线方程得
，解得
，则点
.
37
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设
与
的外接圆的半径分别为
，
，
由正弦定理得
，
，
因为
，所以
，
则
，
因为
，所以
，所以
.
15．（2024·福建莆田·二模）已知椭圆
的离心率为
，且
上的点到右焦点的距
离的最大值为
．
(1)求椭圆
的方程；
(2)已知
为坐标原点，对于
内任一点
，直线
交
于
两点，点
在
上，且满足
，
求四边形
面积的最大值．
【解析】（1）由题意可得
，
所以
，
所以椭圆
的方程是
；
（2）设点
到直线
的距离为
，
因为
，所以点
到直线
的距离是点
到直线
的距离的2 倍，
所以四边形
的面积为
，
当直线
垂直于
轴时，
，点
到直线
的距离的最大值为2，
此时
，
38
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当直线
不垂直于
轴时，可设直线
的方程为
，
代入椭圆方程
，整理并化简得
，即
，
所以
，
设过点
与直线
平行的直线的方程为
，
代入椭圆方程
，整理并化简得
，
由
，
所以
，
所以
，等号成立当且仅当
且
，
综上所述，四边形
面积的最大值为3.
16 ．（2024· 河南· 三模）已知
是椭圆C ：
上的动点，过原点O 向圆M ：
引两条切线，分别与椭圆C 交于P，Q 两点（如图所示），记直线OP，OQ 的斜率
依次为
，
，且
．
(1)求圆M 的半径r；
(2)求证：
为定值；
(3)求四边形OPMQ 的面积的最大值．
【解析】（1）
39
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如图，由题意，切线OP，OQ 的方程分别为
，
，则有
，
，
故
，
是方程
，即方程
的两根．
若
，则圆M 与y 轴相切，直线OQ 的斜率不存在，矛盾；
于是
，化简得
，解得
．
（2）设
，
，依题意，
，代入
可得
，解得
，
于是
；同理
.
所以
，
即
为定值7.
（3）
，当且仅当
时等号成立．
综上所述，四边形OPMQ 面积的最大值为
．
17．（2024·山东临沂·一模）动圆
与圆
和圆
都内切，记动圆圆心
的轨迹为
.
(1)求
的方程；
40
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(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为
，则曲线上一点
处的切线方程为：
，试运用该性质解决以
下问题：点
为直线
上一点（
不在
轴上），过点
作
的两条切线
，切点分别为
.
（i）证明：直线
过定点；
（ii）点
关于
轴的对称点为
，连接
交
轴于点
，设
的面积分别为
，求
的最大值.
【解析】（1）设动圆
的半径为，由题意得圆
和圆
的半径分别为
，
，
因为
与
，
都内切，
所以
，
，
所以
，
又
，
，故
，
所以点
的轨迹是以
，
为焦点的椭圆，
设
的方程为：
，
则
，
，所以
，
故
的方程为：
.
（2）（i）证明：设
，
，
，
由题意中的性质可得，切线
方程为
，
切线
方程为
，
因为两条切线都经过点
，所以
，
，
故直线
的方程为：
，显然当
时，
，
故直线
经过定点
.
（ii）设直线
的方程为：
，
联立
，整理得
，
41
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由韦达定理得
，
又
，所以直线
的方程为
，
令
得，
，
所以直线
经过定点
，又
，
所以
，
所以
，当且仅当
时，即
时取等号.
18．（2024·高三·浙江·开学考试）如图，已知椭圆
，双曲线
是
的右
顶点，过
作直线分别交
和
于点
，过
作直线
分别交
和
于点
，设
的斜率分别为
.
(1)若直线
过椭圆
的右焦点，求
的值；
42
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(2)若
，求四边形
面积的最小值.
【解析】（1）椭圆
，右焦点为
，右顶点
为
，
设
的斜率分别为
.设
，
则
，
因为直线
方程过椭圆
的右焦点，
所以直线
方程为
，
直线
方程与椭圆方程联立，得：
，
所以
.
（2）设
，直线
方程分别为
，
联立
与
得
，同理
，
联立
与
得
，同理
，
所以四边形
面积为
令
，易知
，且
，则
，
令
，
，则在
内，
，
43
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，
所以关于单调递增，所以
，
当取最小值
时，
，经检验满足题意.
19．（2024·广东梅州·一模）有一种曲线画图工具如图1 所示，
是滑槽
的中点，短杆
可绕
转动，
长杆
通过
处铰链与
连接，
上的栓子
可沿滑槽
滑动，且
.当栓子
在
滑槽
内做往复运动时，带动
绕
转动，跟踪动点
的轨迹得到曲线
，跟踪动点
的轨迹得到曲
线
，以
为原点，
所在的直线为
轴建立如图2 所示的平面直角坐标系.
(1)分别求曲线
和
的方程；
(2)曲线
与
轴的交点为
，
，动直线
与曲线
相切，且与曲线
交于
，
两点，求
的面积与
的面积乘积的取值范围.
【解析】（1）因为
，所以
的轨迹是以原点为圆心，半径为1 的圆，
所以曲线
的方程为
；
设
，
由题意可知
，
所以
，
由于不恒为零，所以
，所以
，
44
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又
，代入可得
，
所以
的方程为
.
（2）
易知
，
设
，
则点
到直线
的距离
，
点
到直线
的距离
，
因为与
相切，所以
，
由
，消去
，得
，
，
，
所以
，
所以
，
由基本不等式得
，当且仅当
时取等号，
所以
，所以
的面积与
的面积乘积的取值范围为
.
20．（2024·高三·江西南昌·开学考试）已知抛物线
：
上一点
的纵坐标为3，点
到焦点距离为5.
(1)求抛物线
的方程：
45
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(2)过点
作直线交
于A，B 两点，过点A，B 分别作C 的切线与
，与
相交于点
，过点A 作直
线
垂直于，过点
作直线
垂直于
，
与
相交于点E，、
、
、
分别与
轴交于点P、Q、R、
S.记
、
、
、
的面积分别为
、
、
、
.若
，求实数
的取值范
围.
【解析】（1）设
，由题意可得
，即
，
解得
或
（舍去），所以抛物线
的方程为
.
（2）如图，
设经过
，
两点的直线方程为
：
（
，
），
与抛物线方程
联立可得
，
即
，
∴
，
.
∵
，则
，
∴
，
∴过点
作
的切线方程为
，
令
，得
，即
.
同理，过点
作
的切线
方程为
，
令
，得
，即
.
∴
.
46
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联立两直线方程
，解得
，即
，
则
到直线
的距离
.
又∵过点
作直线
垂直于，
直线
的方程为
，
令
，得
，即
.
同理，直线
的方程为
，
令
，得
，即
.
∴
.
联立两直线方程
，解得
，
整理后可得
，即
，
则
到直线
的距离
.
由上可得
，
，
，
，
∴
，得
，
故
的取值范围为
.
47
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