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重难点培优02 累加、累乘、构造、递推法求数列通项公式
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01 知识重构・重难梳理固根基..........................................................................................................1
02 题型精研・技巧通法提能力..........................................................................................................3
题型一 累加法（★★★★★）....................................................................................................................3
题型二 累乘法（★★★★★）....................................................................................................................4
题型三 加减常数构造（★★★★★）........................................................................................................5
题型四 加减f(n)构造（★★★★★）.....................................................................................................6
题型五 倒数构造（★★★★★）................................................................................................................6
题型六 其他形式构造（★★★★）............................................................................................................7
题型七 递推法
：
Ⅰ
an与Sn的关系（★★★★★）....................................................................................7
题型八 递推法
：其他形式（
Ⅱ
★★★★）................................................................................................8
03 实战检测・分层突破验成效..........................................................................................................9
检测
组 重难知识巩固
Ⅰ
................................................................................................................................9
检测
组 创新能力提升
Ⅱ
..............................................................................................................................10
一、累加法
形如
型的递推数列（其中
是关于的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相加，可得：
大题注意检验n=1 时满足条件.
二、累乘法
形如
型的递推数列（其中
是关于的函数）可构造：
将上述
个式子两边分别相乘，可得：
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解．
三、构造数列法
1、形如
（其中
均为常数且
）型的递推式：
（1）若
时，数列{
}为等差数列；
（2）若
时，数列{
}为等比数列；
（3）若
且
时，数列{
}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有
如下两种：
法一：设
，展开移项整理得
，与题设
比较系数（待定
系数法）得
，即
构成
以
为首项，以
为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
（*）法二：由
得
两式相减并整理得
即
构成以
为首项，以
为公比的等比数列．求出
的通项再用累加法便可求出
2、形如
型的递推式：
（1）当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理
可得
法二：当
的公差为时，由递推式得：
，
两式相减得：
，令
得：
，再用（*）便可求出
（2）当
为指数函数类型（即等比数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定的值，转化成以
为首项，以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理可
得
法二：递推公式为
（其中p，q 均为常数）或
（其中p，q， r 均为常数）
时，要先在原递推公式两边同时除以
，得：
，引入辅助数列
（其中
），
得：
再转化用（*）便可求出．
3、形如
（
为常数且
）的递推式：两边同除于
，转化为
形式，
化归为
型求出
的表达式，再求
；
4、还有形如
的递推式，也可采用取倒数方法转化成
形式，化归为
型求出
的表达式，再求
．
5、形如
型的递推式：用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系数得
，可解得
，于是
是公比为的等比
数列，这样就化归为
型．
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，可用
归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
题型
一
累加法
【技巧通法·提分快招】
适用题型：递推关系为an+1−an=f (n),其中f (n)是可求和的函数(如多项式、指数函数、分式等)
通过逐项作差并累加消去中间项：
1、写出差式: an−an
1
−=f (n
1
−),an
1
−−an
2
−=f (n
2
−), …,a2−a1=f (1)
2、累加得: an−a1=∑
k=1
n
1
−
f (k)
3.、解得: an=a1+∑
k=1
n
1
−
f (k)
1．（25-26 高三上·四川成都·开学考试）已知数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．数列
满足：
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知
，
，则通项公式
.
4．（2024·四川德阳·模拟预测）已知数列
满足
，且对任意
，有
，则
.
5．在数列
中，
，
，求数列
的通项公式.
题型二 累乘法
【技巧通法·提分快招】
适用题型：递推关系为 an+1
an
=f (n) ,其中 f (n) 是可求积的函数(如分式、阶乘相关式等)
通过逐项作比并累乘消去中间项：
1. 写出比式: an
an
1
−
=f (n
1
−),an
1
−
an
2
−
=f (n
2
−), …,a2
a1
=f (1)
2. 累乘得: an
a1
=∏
k=1
n
1
−
f (k)
3. 解得: an=a1⋅∏
k=1
n
1
−
f (k)
1．已知数列
的项满足
，而
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·河南·期中）在数列
中，
，
，
，则
（ ）
A．
B．15
C．
D．10
3．（2024·西藏·模拟预测）已知数列
对任意
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·海南省直辖县级单位·月考）已知数列
满足
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．数列
中，
，当
时，
，则数列
的通项公式为 .
6．已知数列
的前
项和为
且满足
，则数列
的通项公式为 ．
7．已知数列
各项均为正数，且首项为1，
，则
．
8．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中提出了一阶等差数列的问题，即
一个数列
本身不是等差数列，但从数列
中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列
，
则称数列
为一阶等差数列．类比一阶等差数列的定义，我们亦可定义一阶等比数列．设数列
：
1，1，2，8，64，
是一阶等比数列，则
…
；
．
题型三 加
数构造
减常
【技巧通法·提分快招】
适用题型：递推式为an+1=pan+q ( p≠1 , p,q 为常数),目标是构造等比数列
构造方法
1、设 an+1+x=p(an+x) ,展开后与原式对比,得：
q= (p
1
−)x⇒x=q
p
1
−
2、新数列 {an+x} 是首项为 a1+x、公比为p的等比数列,
故:an+x=(a1+x)p
n
1
−⇒an=(a1+q
p
1
−)p
n
1
−−q
p
1
−
扩展形式：若递推式为 an+1=pan+q
n (p≠q) ,两边同除以 q
n+1 ,令 bn=an
q
n ,转化为 bn+1=p
q bn+1
q ,再
用待定系数法
1．已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若数列
的首项
，且满足
，则数列
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·模拟预测）设
为数列
的前
项和，若
，则
（ ）
A．520
B．521
C．1033
D．1034
题型四 加减f(n)构造
【技巧通法·提分快招】
形如
型的递推式：
当
为一次函数类型（即等差数列）时：
法一：设
，通过待定系数法确定
的值，转化成以
为首项，
以
为公比的等比数列
，再利用等比数列的通项公式求出
的通项整理
可得
法二：当
的公差为时，由递推式得：
，
两式相减得：
，令
得：
，再用常规思路便可求出
1．已知在数列
中，
，
，则通项
．
2．已知数列
满足
，则其前
项和
．
3．在数列
中，已知
，且
，则该数列的通项公式为 .
题型五
数构造
倒
【技巧通法·提分快招】
适用题型：递推式为 an+1=pan
qan+r ( q≠0 , r≠0 ),分母含an的一次式
关键步骤
1、两边取倒数: 1
an+1
=qan+r
pan
=q
p +r
p ∙1
an
2、令bn=1
an
,转化为一阶线性递推: bn+1=r
p bn+q
p
用待定系数法求bn后,回代得an=1
bn
特殊情况：若r=0 ,则an+1=p
q an,直接为等比数列,无需取倒数
1．已知数列
满足
,
则
（ ）
A．2024
B．2025
C．
D．
2．已知数列
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知数列
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型六
式构造
其他形
【技巧通法·提分快招】
适用于形如
型的递推式
用待定系数法，化为特殊数列
的形式求解．方法为：设
，比较系数得
，可解得
，于是
是公比为
的等比数列，这样就化归为
型．
1．（2024·广东茂名·一模）已知
为正项数列
的前
项的乘积，且
，则
（ ）
A．16
B．32
C．64
D．128
2．（2025·四川成都·二模）已知正项等差数列
满足
，则
（ ）
A．4050
B．2025
C．4048
D．2024
3．已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
4．在数列
中，
，且对任意的
，都有
，求数列
的通项公式；
5．已知数列
中，
，求
．
题型七 递推法Ⅰ：an与Sn的关系
【技巧通法·提分快招】
若已知数列的前n 项和
n
S 与
的关系，
求数列
的通项
可用公式
构造两式作差求解．
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是一分为二，即分段式；另一种是合二为一，即
“
”
“
”
和
合为
一个表达，（要先分
和
两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）．
1．设数列
的前
项和为
．若
，
，则
（ ）
A．61
B．121
C．125
D．364
2．（25-26 高三上·广东肇庆·开学考试）已知数列
的前
项和为
，
，且
，
则
（ ）
A．1012
B．2024
C．
D．2025
3．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）记数列
的前n 项和为
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知数列
的前
项和为
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知数列
的前n 项和
，则通项公式
= ．
6．（2025·山东济南·二模）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
7．已知等比数列
的前
项和
（
是常数），则
的值为 ．
题型八 递推法
式
Ⅱ：其他形
1．已知数列
满足
，则
．
2．（2025·四川广安·模拟预测）已知数列
满足
，且数列
的前
项
和为
，则
.
3．已知数列
满足
，
．若
，则
．
检测
重难知识
固
Ⅰ组
巩
1．已知数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列
满足
，且
，则
的通项公式为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．若数列
满足
，
，则
（ ）
A．512
B．511
C．255
D．256
4．已知
为数列
的前
项和，若
，
，则
的值为（ ）
A．23
B．24
C．25
D．26
5．在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．100
6．（2024·福建·模拟预测）设数列
的前
项和为
，若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．4
D．
8．已知数列
满足
，且
，若
，则
（ ）
A．253
B．506
C．1012
D．2024
9．已知数列
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．设数列
的前
项和为
，若
，且
的等差中项为
），则
（ ）
A．4
B．8
C．10
D．12
11．（2025·江苏南京·二模）（多选题）已知数列
中，
，
，
，其前
项
和为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（24-25 高三下·重庆北碚·月考）数列
的前
项和
，则数列
的通项公式是 .
13．已知数列
中，
，
，则其前
项和
．
14．在数列
中，
，则
.
15．数列
满足
，
，则
．
16．（2025·四川德阳·二模）数列
中，满足
，
，则
．
17．若数列
满足
，则
.
18．已知数列
的前
项和为
，且
，则
.
19．（2024·山东青岛·模拟预测）已知数列
的前
项和为
，且满足
，则
.
20．已知数列
满足
，
，
，求
的通项公式．
检测
能力提
Ⅱ组
创新
升
1．在数列
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．已知数列
满足
，
，数列
是公比为2 的等比数列，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知递增数列
的首项
，其前
项和为
，且满足
，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·江苏苏州·三模）已知数列
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·海南·模拟预测）已知首项为2 数列
的前
项和为
，且
．若
，
则
的最小值为 ．
6．已知数列
满足
，
，且数列
的前
项和为
，若
的最大值为
，则实数
的最大值是 .
7．已知首项为1 的数列
满足
，则数列
的前n 项和
．
8．已知对任意正整数n 都有
，则
.
9．（1）已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
（2）已知数列
满足
，求数列
的通项公式.
