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实战演练 08 立体几何二面角的问题
①定义法
②三垂线定理
③向量法
④折叠背景下的二面角问题
⑤二面角中的探索性、开放性问题
一、二面角定义
1、二面角的定义
①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.
②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个
半平面叫做二面角的面.
2、二面角的表示
①棱为AB，面分别为 ， 的二面角记作二面角 -AB- ，如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角
-l- ，如图(1).
②若在 ， 内分别取不在棱上的点P，Q，这个二面角可记作二面角P-AB-Q，如果棱记作l，那么这
个二面角记作二面角P-l-Q，如图(2).
3、二面角的平面角
①自然语言
在二面角α-l-β的棱l 上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线 OA 和
OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.
②图形语言③符号语言
∠AOB叫做二面角α-l-β的平面角.
4、二面角大小的度量
①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面
角是直角的二面角叫做直二面角.
②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是 ；当二面角的两个半平面合成一个平面时，
规定二面角的大小是 .所以二面角的平面角 的范围是 .
二、三垂线法
1、方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜
足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角
2、具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂
足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。
三、射影面积法
β S
1、方法：已知平面 内一个多边形的面积为S，它在平面α 内的射影图形的面积为
射影
，
S
平面α 和平面 β 所成的二面角的大小为 θ ，则 COSθ= 射影 .
S
这个方法对于无棱二面角的求解很简便。
2、以多边形为三角形为例证明，其它情形可自证。A
'
A α
B D C
证明：如图，平面
β
内的△ABC在平面α的射影为△
A'BC
，作
AD⊥BC
于D，连结AD.
∵AA' ⊥α 于A'
，
D∈α
，
∴AD 在α 内的射影为A'D .
∵AD⊥BC,BC⊂α
又 ，
∴A'D⊥BC
（三垂线定理的逆定理）.
∴∠ADA'
为二面角α —BC—
β
的平面角.
1 1
S= BC⋅AD,S' = BC⋅A'D
设△ABC和△
A'BC
的面积分别为S和
S' ，∠ADA' =θ
，则
2 2
.
1
BC⋅A'D
A'D 2 S'
∴cosθ= = =
AD 1 S
BC⋅AD
2
.
2.点在平面内射影位置的确定
立体几何中经常遇到由一个点向一个平面作垂线的问题，垂线的位置由这个点在平面内的射影位置来确
定，因此确定这个点的射影位置是解题的关键.一般来说，可以直接过这个点作平面的垂线，然后通过证明
或计算说明垂足的位置，也可以借助以下一些常见结论进行确定.
(1)如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面内的射影在这个角的平分线上.
(2)经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线与这个角的两边的夹角相等，那么该斜线在平面
内的射影是这个角的平分线所在直线.
四、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若 于A， 于B，平面PAB交 于E，则∠AEB为二面角 的平面角，
∠AEB+∠APB=180°.
若 分别为面 ， 的法向量①
② 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则 ；
若二面角为顿二面角（取负），则 ；
①定义法
一、解答题
1．（23-24高一下·甘肃白银·期末）如图，四棱锥 的底面 是直角梯形， 底面 ，
， ，且 ， .
(1)证明：平面 平面 .
(2)求二面角 的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）只需根据线面垂直的判定定理证明 平面 ，进一步结合面面垂直的判定定理即可得
证；
（2）首先说明 是二面角 的平面角，进一步结合解三角形知识即可求解.
【详解】（1）由于底面 是直角梯形且 ，所以由 得 ，
因为 底面 ， 平面 ，所以 ，
而 ， 平面 ，所以 平面 .
又因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知 平面 ， 平面 ，所以 ，
又因为 ，所以 是二面角 的平面角.由 得 ，
而 ，即 ，
所以在梯形 中，由 可得 ，
所以在直角 中， ，而 ，
所以 ，即二面角 的大小为 .
2．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）如图，正方体 的棱长为2.
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面平行的判定定理即可得证；
（2）设 ，首先证明 即为二面角 的平面角，再由解三角形的知识求解即可得
答案.
【详解】（1）在正方体 ， 且 ，
∴ 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ,
∴ 平面 .
（2）∵在正方形ABCD中，设 ，连接 ，
∴ ， ，
∵ 中， ，∴ 为等腰三角形，∴ ，∴ 即为二面角 的平面角，
∵在 中， ，
∴ ，即二面角 的正弦值为 .
3．（23-24高一下·内蒙古兴安盟·期末）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平
面 ，且 .
(1)求直线 与平面 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知可证得 平面 ，所以 为直线 与平面 所成的角，然后在
中求解即可；
（2）连接 交 于点 ，过点 作 于点 ，连接 ，则可得 是二面角 的
平面角，然后在 中求解即可.
【详解】（1）在正方形 中，有 ，
因为 平面 面 ，所以 ，
又因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，
所以 为直线 与平面 所成的角，
在 中， ，在 中， ，
，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 ；
（2）连接 交 于点 ，
在正方形 中，有 ，
因为 平面 ，所以 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
在 中，过点 作 于点 ，连接 ，
因为 平面 平面 ，
所以 平面 ，所以 ，
则 是二面角 的平面角，
在 中， ，
则 ，同理可求得 ，
在 中， ，
，
因为 ，所以 ，
则二面角 的大小为 .
4．（23-24高一下·湖南株洲·期末）如图，在三棱柱 中， ， ，
在底面 的射影为 的中点， 为 的中点.(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) .
【分析】（1）设 为 的中点，由线面垂直得到 ，由三线合一得到 ，从而得到线面垂
直，证明出四边形 为平行四边形，得到 ，证明出结论；
（2）作出辅助线，证明出 为二面角 的平面角，结合（1）得到 ，求出各边长，
利用余弦定理求出 的余弦值，进而得到线面角的正弦值.
【详解】（1）设 为 的中点，由题意得 平面 ，
∵ 平面 ，
，
， 为 的中点，
，
∵ ， 平面 ，
故 平面 ，
由 ， 分别为 ， 的中点，得 且 ，
从而 ，
四边形 为平行四边形，
故 ，
又 平面 ，
平面 ；（2）作 ，且 ，连结 ，
由 ， ，得 ，
由 ， ，得 ≌ ，由 ，得 ，
因此 为二面角 的平面角，
由（1）得 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由 ， ， ，得 ，
故 ，
由余弦定理得， ，
所以 .
5．（23-24高一下·广西北海·期末）如图，在三棱锥 中， 是等边三角形，
分别为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证 平面 ，从而得 ，接着进一步可证 平面 ，再根据面面垂
直判定定理即可得证.
（2）过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ，接着证明 平面
即可得到 为二面角 的平面角，根据已知条件求出 的余弦值即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
又 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以
因为 是等边三角形， 是 的中点，所以 ，
又 ， 、 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）因为 平面 平面 ，所以平面 平面 ，
在 中，过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，
连接 ，如图所示，
因为平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，所以 为二面角 的平面角，
在 中， ，
又 平面 平面 ，所以 ，在 中， ，
又 ，
所以 ，解得 ，
因为 平面 平面 ，所以 ，又 ，
在 中， ，
所以 ，即二面角 的平面角的余弦值为 .
【点睛】方法点睛：作二面角的平面角常用方法有
（1）定义法：在棱上取点，过该点分别在二面角两半平面内引出两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的
角即为二面角的平面角.
（2）垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，交线所成的角即为二面角的平面角.
②三垂线定理
一、解答题
1．（23-24高一下·广西南宁·期末）如图，在三棱锥 中， 平面PAB，E，F分别为BC，PC
的中点，且 ， ， ．
(1)证明： ；
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）先根据勾股定理逆定理证得 ，再根据 ，即可证出.
（2）取 的中点 ，过 作 交 于 ，连接 ，由几何关系证明 为二面
角 的平面角，再由勾股定理和等面积求出 即可求出结果.
【详解】（1） 分别为 的中点，
平面 ，
平面 ，
平面 ， 平面 ， .
（2）
根据题意，取 的中点 ，过 作 交 于 ，连接 ，
因为 为 中点， 为 的中点，则 ，且 ，
又 平面 ，
平面 ，
平面 ，而 平面 ， ，
又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
平面 ， ，即 为二面角 的平面角，
所以在 中， ，则 ，
由等面积可得 ，
所以 ，则 ，
即二面角 的余弦值为 .
2．（22-23高一下·湖北武汉·期末）如图，在三棱柱 中，面 为正方形，面 为菱形， ，平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理即可得证.
（2）过 作 于 ，过 作 于 ，连接 ，利用线面垂直的性质定理得出 为二
面角 的平面角，在 中直接求解即可.
【详解】（1）由菱形 可得 ，
平面 平面 ，平面 平面 ，
又正方形 中 ，
平面 ，又 平面 ， ，
， 平面 ， 平面 .
（2）过 作 于 ，则 平面 .
过 作 于 ，连接 ，
因 平面 ，则 ，
又 平面 ， ，故 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
故 为二面角 的平面角，
在 中，设 ， ， ，
， ， ， .
即二面角 的余弦值为 .3．（23-24高一下·四川凉山·期末）如图，四棱锥 的底面是边长为3的菱形， ，
.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连结 ，先证明 平面 ，进而证明平面 平面 ；
（2）过点 作 交 于点 ，即可证明 平面 ，过点 作 交 于点 ，连
接 ，即可证明 平面 ，从而得到 即为二面角 的平面角，再由锐角三角函数
计算可得.
【详解】（1）设 ，连接 ，因为底面 为菱形，
所以 为 的中点， ，
又 ，所以 ，
平面 ， ，
所以 平面 .又 平面 ，
所以平面 平面 .
（2）在平面 中过点 作 交 于点 ，因为 平面 ，又 平面 ，
所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
过点 作 交 于点 ，连接 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 即为二面角 的平面角，
在 中，
因为 ，所以 ，
因为 所以 ，
在 中， ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 ，
所以二面角 的正切值为 .
③向量法
一、解答题
1．（2024·广西·模拟预测）在长方体 中，点E，F分别在 ， 上，且 ，
．(1)求证：平面 平面AEF；
(2)当 ， ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；
（2）应用空间向量法求二面角余弦值.
【详解】（1） 为长方体 平面
平面 ∴
又 ，且 ， 平面 ，
平面
平面AEF
平面 平面
（2）依题意，建立以D为原点，以DA，DC， 分别为x，y，z轴的空直角坐标系，
则 ，
则
设平面 的法向量为 ．则 ，即令 ，则 ． ．
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ，所以平面 的法向量为 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 ，
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
2．（23-24高三上·广东江门·开学考试）如图，四棱锥 的底面是边长为2的菱形， 为等边
三角形， .
(1)证明： ；
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得线线垂直，即可求证线面垂直，进而可求解线线垂直，
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式即可求解.
【详解】（1）取 的中点 ，连接
为等腰三角形， .
， .
， 平面
平面 ， 平面 ，
所以 .
（2） ，
.以 为原点， 为 轴， 为 轴， 为2轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
.
设平面 的法向量⃗n=(x,y,z)， ，
令
平面 的法向量为 .
，
设平面 与平面 的夹角为 ，则 ，
平面 与平面 的夹角的余弦值为 .
3．（2024·河南·二模）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形，侧面 为等边三角形， 为
的中点，且 .
(1)证明： ；
(2)若 ，求二面角 的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取 中点为 中点为 ，连接 ，则可证得四边形 是平行四边形，
得 ，而 ，可得 ，再由 为等边三角形， ，从而可证得 平面 ，得 ，再结合 证得 为等边三角形，进而可证得结论；
（2）以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.
【详解】（1）证明：取 中点为 中点为 ，连接 ，
因为 为 的中点，所以 ，且 ，
因为 ，所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 为等边三角形， 为 的中点，所以
因为 平面 平面
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
所以 为等腰三角形，又 ，所以 为等边三角形，
所以 .
（2）设 ，因为 ，所以 ，
因为 和 均为等边三角形， 为 的中点，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以以 为原点，以 所在的直线分别为 轴建立空间直角坐标系如图所示
则 ，
所以
设平面 ，平面 的法向量分别为 ，
则 ，令 ，则 ，
由 ，令 ，则 ，
所以 ，
设二面角 为 ，则 ，
所以二面角 的正弦值为 .4．（2024·四川乐山·三模）如图，平行六面体 中，底面 是边长为2的菱形，且
， 与平面 所成的角为 与 交于 ．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先根据线面垂直得出面面垂直，再应用面面垂直性质定理得出线面垂直；
（2）根据线面垂直建系，应用空间向量法求出二面角的余弦，最后应用同角三角函数关系得出正弦.
【详解】（1）
连结 ，
底面 是边长为2的菱形， ．
，
．
点 为线段 中点， ．
为菱形， 平面 ， 平面又 平面 ， 平面 平面 ，
在平面 上的射影为 ，
为直线 与平面 所成的角，即 ．
在 中， ，
．
则 ．
又 平面 平面 ，
平面 ．
（2）由（1）知 平面 ，建立如图所示的空间直角坐标系
则 ，
则
设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，
则 即 取 ，则 ．
即 取 则 ．
设二面角 大小为 ，
则 ．
，
二面角 的正弦值为 ．
5．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）如图，四棱锥 中， 底面 ， ，， ， .
(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）借助线面垂直的性质可得线线垂直，结合线面垂直的判定定理即可得证；
（2）可建立适当的空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，结合空间向量夹角公式计算即
可得.
【详解】（1） 底面 平面 ，
， ，
又 平面 ，
平面 ；
（2）令 ，取 的中点 ，由 ， ，则 ，
又 ，故三角形 是正三角形，
，
又 底面 平面 ，
在 中， ，所以 ，
以A为坐标原点， 所在直线为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ，设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，故 ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，即 ，
所以 ，
即二面角 的余弦值为 .
6．（2024·内蒙古赤峰·二模）如图, 在三棱台 中, 和 都为等边三角形, 且边长
分别为2和4， G 为线段 AC的中点, H为线段 BC上的点, 平面
.
(1)求证: 点 H为线段BC的中点;
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据线面平行性质定理得出线线平行即可得证；
（2）空间向量法求二面角余弦值.
【详解】（1）连接 ，设 连接 ，三棱台 ，则 ，又
∴四边形 为平行四边形，则
又 平面 ， 平面 ，平面 平面
∴ ，
∵四边形 是正方形， 是 的中点，
∴点 是 的中点.
（2）
且都在面 ，则 面 ，
又 为等边三角形，则 ，又（1） 知 ，则 面 ，
建立如图所示的坐标系 ，则
设平面 的法向量 ，
则 ，令 解得 ，
设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，解得 ，
设二面角 的平面角为 ，，
又因为 为锐角，所以 .
④折叠背景下的二面角问题
一、解答题
1．（23-24高三上·福建福州·期中）在图1中， ， ， 为等边三角形，O为AC
边的中点，E在BC边上，且 ，沿AC将 进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，
连接FO，FB，FE， ．
(1)证明： 平面ABC．
(2)求二面角 的余弦值．
【答案】(1)证明见解析.
(2) .
【分析】（1）用勾股定理逆定理证明 后由线面垂直的判定定理得证线面垂直；
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角.
【详解】（1）由题意 ，
又 ， ， ，而 ，
所以 ，所以 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）分别以 为 轴建立空间直角坐标系，如图，则 ， ， ，
，
设平面 的一个法向量是 ，则 ，取 ，则 ，即 ，
显然 是平面 的一个法向量，
，
所以二面角 的余弦值为 .
2．（2024·江西南昌·三模）如图1，四边形 为菱形， ， ， 分别为 ， 的中点，
如图2．将 沿 向上折叠，使得平面 平面 ，将 沿 向上折叠．使得平面
平面 ，连接 .
(1)求证： ， ， ， 四点共面：
(2)求平面 与平面 所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用线面垂直的性质得到 ，结合中位线定理得到 ，最后证明四点共面即可.
（2）找到对应二面角的平面角，放入三角形中，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ，取 ， 的中点分别为 ， ，连接 ， ， ，
由题意知 ， 都是等边三角形，
所以 ， ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
所以 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，所以
所以 ，所以 ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，
因为 ， 的中点分别为 ， ，
所以 ，
所以 ，所以 ， ， ， 四点共面；
（2）连接 ， ，且延长 交于点 ，由题意知 ， ，
所以 ，同理 ，
所以 就是二面角 的平面角，
设 ，则 ， ， ，
所以 ，同理 ，所以 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 .
3．（2022·全国·模拟预测）如图1，在边长为 的等边 中， 是 边上的高， ， 分别是
和 边的中点，现将 沿 翻折使得平面 平面 ，如图2.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意，得到 ，结合线面平行的判定定理，即可证得 平面 ；
（2）先证得 平面 ，得到 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面
和 的一个法向量 和 ，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）证明：在 中，因为 分别是 和 边的中点，可得 ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：边长为4的等边 中， 是 边上的高，即 ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因为 平面 ，所以 ，
以 为坐标原点，以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ， ， ， ，
可得 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，取 ，可得 ，所以 ，
因为 平面 ，可得平面 的法向量为 ，
所以 ，
则二面角 的余弦值为 .
4．（22-23高一下·江西宜春·期末）如图（1），六边形 是由等腰梯形 和直角梯形
拼接而成，且 ， ，沿 进行翻折，得到的图形
如图（2）所示，且 .
(1)求证： 平面 .
(2)求二面角 的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题意可证明 ， ，然后证明 平面ADEF即可；
（2）根据垂直关系可得 就是二面角 的平面角，进而可得结果.
【详解】（1）在等腰梯形ADEF中，作 于M，则 ，可得 ，
连接AC，则 ，
因为 ，可得 ，
由 ，可得 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）可知 平面ADEF，且 平面 ，可得 ，
且 ， ，CE,CD⊂平面 ，可得 平面 ，
且 平面 ，可得 ，
又 ，可知 就是二面角 的平面角，
在 ，可得 ，
所以二面角 的余弦值为 .
5．（23-24高三上·河北·期末）如图1，已知正三角形 边长为4，其中 ，现沿着
翻折，将点 翻折到点 处，使得平面 平面 为 中点，如图2.
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)【分析】（1）设O为BC的中点，结合图形翻折的性质推出 平面 ，建立空间直角坐标系，求
得相关线段长，即可求出相关点坐标，利用空间角的向量求法，即可求得异面直线 与 所成角的余
弦值；
（2）求出平面 与平面 的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案.
【详解】（1）取 的中点为 的中点为 ，连接 与 ，
正三角形 中， ，
所以 ，则四边形 为等腰梯形，
故 ；
由翻折性质可得 ， ,
则 ≌ ， 是 的中点，
，
平面 平面 ，平面 平面 平面 ，
平面 平面 ，
以点 为坐标原点以 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，
正 的边长为 ，
则 为正三角形，边长为3，则 ，
，连接 ，
在 中，由勾股定理得 ，
，
则 ，
，异面直线所成角的取值范围为 ，
异面直线 与 所成角的余弦值为 .
（2）由（1）得 ，
，
，
易得平面 的一个法向量为 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，即 ，令 ，则 ，
，
平面 与平面 夹角的余弦值为 .
6．（23-24高三上·广东汕头·期末）如图，在边长为4的正三角形 中， 、 分别为边 、 的
中点，将 沿 翻折至 ，得四棱锥 ，设 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)【分析】（1）取 的中点Q，可得四边形 为平行四边形，则 ，再由直线与平面平行的判
定定理证明即可；
（2）利用面面垂直的性质定理可得 平面 ，从而建立空间直角坐标系，求出面 与平面
的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.
【详解】（1）取 的中点Q，连接 ,
则有 ，且 ，
又 、 分别为边 、 的中点，则 ，且 ，
故 ，且 ，
则四边形 为平行四边形，则 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ．
.
（2）取 中点O， 中点G，连接 ，
在 中，易得 ，所以 ，则 ，
又平面 平面 ，且交线为 ， 平面 ，
所以 平面 ，则 两两垂直，
故以O为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
易得 ，则 ， ， ， ，
由 为 中点，故 ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，即 ，取 ，则 ，故 ，
易得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ， ，
则 ，
所以平面 与平面 夹角的正弦值为 ．
⑤二面角中的探索性问题
一、解答题
1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知四棱锥 分别为 的中点， 平面
.
(1)若 ，证明： 平面 ；
(2)若 ，二面角 的大小为 ，求 .
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得 ，且 ，即可得到 ，再由线面平行的
判定定理，即可证明；
（2）方法一：作 交 ，连接 ，由二面角的定义可得 是二面角 的平面角，
再由勾股定理代入计算，即可求解；方法二：建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角
的公式代入计算，即可求解.
【详解】（1）因为 平面 平面 ，
又 ， 且 ， ， 平面
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，
与 共面，所以 ，又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（2）法1：如图，作 交 于 ，连接 .
由 得 与 全等，
所以 ，所以 与 全等，
所以 ，且 ，
是二面角 的平面角，
，又因为 ，所以 ，
所以 ，
在 中， ，由 ，解得 ，
所以 ，所以 .
法2：如图，以 为原点， 所在直线分别为 ， 轴，
建立空间直角坐标系.则 ， ， ，
设 ，则 ，
所以 ， ， ，
设面 的法向量为 ，
由 ，令 ，可得 ，
设面 的法向量为 ，由 ，令 ，可得 .
设二面角 的大小为 ，则 ，所以 ，
.
2．（2024·广西·模拟预测）如图，在四棱锥 中， ， ，四边形 是菱
形， ， 是棱 上的动点，且 .
(1)证明： 平面 .
(2)是否存在实数 ，使得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值是 ？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在实数 ，理由见解析
【分析】
（1）由线线垂直得到线面垂直，进而得到 ，再由勾股定理逆定理得到 ，从而得到线面
垂直；
（2）作出辅助线，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，进而由二面角的余弦值得到方程，求出答
案.
【详解】（1）
因为四边形 是菱形，所以 .
因为 ， ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
因为 ，所以 ，即 .
因为 ， 平面 ，且 ，所以 平面 .
（2）
取棱 的中点 ，连接 ，因为四边形 是菱形， ，
所以 为等边三角形，故 ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ， ，故 ， ， 两两垂直，
故以 为原点，分别以 ， ， 的方向为 ， ， 轴的正方向，建立空间直角坐标系.
设 ，则A(0,0,0)， ， ， ，
故 ， ， ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
令 ，得 .
平面 的一个法向量为 ，设面 与面 所成的锐二面角为 ，
则 ，
整理得 ，解得 或 （舍去）.
故存在实数 ，使得面 与面 所成锐二面角的余弦值是 .
3．（2024·重庆·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 为等边三角
形， ，点 为棱 上的动点．(1)证明： 平面 ；
(2)当二面角 的大小为 时，求线段 的长度．
【答案】(1)证明详见解析
(2)
【分析】（1）先求得 ，再根据线面垂直的判定定理证得 平面 .
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程来求得 点的坐标，进而求得 的长度.
【详解】（1）依题意 ，所以 ，
所以 ，所以 ，则 ，
由于 平面 ， 平面 ，所以 ，
由于 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）可知 两两相互垂直，由此以 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
，设 ，
平面 的法向量为 ，
设平面FAC的法向量为 ，
则 ，
故可设 ，
依题意，二面角 的大小为 ，
所以 ，
整理得 ，
解得 或 （舍去），所以 ，
所以 .4．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知平行四边形 如图甲， ， ，沿 将
折起，使点 到达点 位置，且 ，连接 得三棱锥 ，如图乙.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，若存在，求出 的值，若不存
在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，且
【分析】
（1）推导出 ，证明出 平面 ，可得出 ， 利用线面垂直和面面垂直的判定定理
可证得结论成立；
（2）以点 为坐标原点， 、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立空间直角坐标系，设
，其中 ，利用空间向量法可得出关于 的等式，结合 求出 的值，即可得出
结论.
【详解】（1）证明：翻折前，因为四边形 为平行四边形， ，则 ，
因为 ，则 ， ，
由余弦定理可得 ，
所以， ，则 ，同理可证 ，
翻折后，则有 ， ，
因为 ， ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，故平面 平面 .
（2）解：因为 平面 ， ，以点 为坐标原点，
、 、 的方向分别为 、 、 轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)、P(0,0,1)、 、 ，
设 ，其中 ，
则 ， ，
设平面 的法向量为⃗m=(x,y,z)，
则 ，取 ，则 ， ，
所以， ，
易知平面 的一个法向量为 ，
则 ，整理可得 ，
因为 ，解得 ，
因此，线段 上存在点 ，使二面角 的余弦值为 ，且 .
5．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形 中， ， ，垂足为
，将 沿 翻折到 的位置，使得平面 平面 ，如图2所示.(1)设平面 与平面 的交线为 ，证明： .
(2)在线段 上是否存在一点 （点 不与端点重合），使得二面角 的余弦值为 ？若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）由面面垂直的性质得到 平面 ，即可得证；
（2）由面面垂直的性质得到 平面 ，建立空间直角坐标系，设 ，利用空间向量
法得到方程，求出 的值，即可得解.
【详解】（1）由题意可知 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，则 .
（2）由图1可知 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，
所以 ，则 两两互相垂直，
故以 为坐标原点， 的方向分别为 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系：
设 ，则 ，所以 .
设 ，则 ，从而 ，
所以 ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则 ，
令 ，得 ，
易知平面 的一个法向量为 ，
设二面角 为 ，
则 ，
即 ，整理得 ，解得 或 （舍去）.
故当 时，二面角 的余弦值为 .
6．（23-24高三下·湖南岳阳·阶段练习）已知在三棱锥 中， ， 为以AC
为斜边的等腰直角三角形．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，存在该几何体外的一点D，使得 为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面
角的正切值为 ，求AD的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2) 或 .
【分析】（1）取AC的中点O，连接OB，OP，利用等腰三角形的性质和勾股定理分别证明 和
，由线面垂直判定定理可得 平面ABC，再由面面垂直判定定理可证；
（2）以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，根据 为等边三角形确定点D的横坐标，设 ，然后求出平面BCD的法
向量，根据锐二面角的正切值求出 ，结合向量夹角公式求出点D坐标，然后可解.
【详解】（1）取AC的中点O，连接OB，OP，
∵ 为等边三角形，O为AC的中点，∴ ．
设 ，∴ ， ，
在 中 ，则 ，即 ．
又 ， 平面 ，∴ 平面ABC．
∵ 平面PAC，∴平面 平面ABC．
（2）∵ 为等边三角形，取BC的中点E，则 ，
∵ ，∴ ，∴ ，
则 ， ，则D的轨迹是以E为圆心，半径为 的圆上，且圆所在平面与BC垂直，
建立以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BA所在直线为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系
如图：
则 ，设 ，则 ，
易知平面ABC的一个法向量为 ，
设平面BCD的法向量为 ， ， ，
则 ，即 ，得 ， ，
设 ，则 ，即 ，
设平面BCD与平面ABC所成的锐二面角为 ，则 ，
因为 ， ，
所以 ，解得 ， ，即 ，
易知，点 在线段OP上，不满足题意，所以 或 ，
所以 ，或 .
【点睛】关键点点睛：第二问解题关键在于根据 为等边三角形确定点D的横坐标，进而确定点D的
轨迹，然后根据平面与平面的夹角的向量公式列方程求出点D坐标即可得解.
