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第一章 集合与常用逻辑用语、不等式（综合训练）
参考答案
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
B
B
A
C
D
B
C
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9
10
11
BC
BD
ABD
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．
13．
14．
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
【解析】（1）由正弦定理
，得
，
.
若
，因为
，
，
若
，
在
单调递增，故
；
若
，则
，
，
因此
，即
，得
，充分性成立，
反之，若
，由余弦定理得
，
，
，
，
，
；
，即
；
，
，
在
上单调递减，
.
综上所述，“
”是“
”的充要条件.（5 分）
（2）
，
，即
.
又
，
，即
，
；
，
，
，
，即
；
当
时，
，
此时
，
.
令
，
；
则
；
令
，得
，即
或
；
，
，即
；
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
取得最大值，即
.
的最大值为
.（13 分）
16．（15 分）
【解析】（1）不等式
，
即
，解得
，
；（6 分）
（2）不等式
，
即
，解得
，
所以集合
，
又因为“
”是 “
”的必要不充分条件，
集合
是集合
的真子集，
，解得
，
则实数
的取值范围是
．（15 分）
17．（15 分）
【解析】（1）集合
，
若存在
，使得
，只需集合
在
内有解，
即
大于
在
内的最小值，
因为
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
内的最小值为
，
所以
，解得
，
所以
的范围为
；（6 分）
（2）由
得，
，
，
因为“
”是“
”的充分不必要条件，
所以
是
的真子集，
分类讨论如下：
当
，即
时，
，不符题意；
当
，即
时，
，
此时
(等号不同时成立)，解得，
时，满足
是
的真子集；
当
，即
时，
，
此时
(等号不同时成立)，解得，
时，满足
是
的真子集，
综上，
或
时，满足“
”是“
”的充分不必要条件．（15 分）
18．（17 分）
【解析】（1）依题意
，
，
解得
；（6 分）
（2）由
，可得
，
整理得
，又因为
，
所以不等式等价为
，
又
，
①当
时，
，
∴
，
∴
或
；
②当
时，
，
∴
；
③当
时，
∴
，
∴
或
；
综上所述：当
时，不等式解集为
或
；
当
时，不等式的解集为
当
时，不等式的解集为
或
（17 分）
19．（17 分）
【解析】（1）
，
．（4 分）
（2）（i）方案一：设
是
中“逆对数”为1 的一个排列，
且这两个数为
，
若去掉
中最大的数后仍有一个逆对数的排列，则位于
，
之间或最后；
若去掉后逆对数为0，则可能位于除最后的所有位置，
；
方案二：对
按
所在位置分类：
若
在末位，则当
的逆对数为1 时，
的逆对数为1；
若
不在末位，设
，
，则当
的逆对数为1 时，
前面和后面的数都从小到大排列，共
个，逆对数个数
，
综上，
．（9 分）
（ii）设
是
中“逆对数”为2 的一个排列，且
，
，
若去掉
中最大的数后仍有两个逆对数的排列，则位于
，
或
，
之间或最后：
若去掉后逆对数为1，且为
，则可能位于除最后与
，
之间的所有位置，
，
由（i）知
，
又
，则
，
是首项为2，公比为2 的等比数列，
，
，
，
，
又
，则
，
是首项为3，公比为3 的等比数列，
，
．（17 分）
