实战演练 10 圆锥曲线中的定点、定值、定直线问题
①定点问题
②定值问题
③定直线问题
一、定点问题
定点问题是比较常见出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系
等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
【一般策略】
①引进参数.一般是点的坐标、直线的斜率、直线的夹角等.
②列出关系式.根据题设条件，表示出对应的动态直线或曲线方程.
③探究直线过定点.一般化成点斜式 或者直线系方程
二、定值问题
在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这
类问题统称为定值问题．这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．
【一般策略】
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量
的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值
【常用结论】
结论1 过圆锥曲线上的任意一点P（x，y）作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A，B，则直线AB必过一
0 0
定点（等轴双曲线除外）.
结论2 过圆锥曲线的准线上任意一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB必过焦
点.
结论3 过圆锥曲线外一点P作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A，B，则直线AB已知且必过定点.
结论4 过圆锥曲线上的任意一点P（x，y）作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A，B两点，则k 为
0 0 AB
定值.
x2 y2
结论5 设点A，B是椭圆 + =1（a>b>0）上关于原点对称的两点，点P是该椭圆上不同于A，B两点
a2 b2b2
的任意一点，直线PA，PB的斜率分别是k，k，则k·k=-
1 2 1 2 a2
三、定直线问题
定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求
轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法.
【一般策略】
①联立方程消去参；
②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标；
③将横纵坐标分别用参数表示，再消参；
④设点，对方程变形解得定直线.
解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点 在某定直线．
目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种
情况：
（1） ，即动点恒过直线 ．
（2） ，即动点恒过直线 ．
（3） ，即动点恒过直线 ．
①定点问题
一、解答题
1．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C： （ ）的焦点为F，过点 且斜率为1的直线
经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点
M时，满足 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在；
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得 ，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点 且斜率为1的直线方程为 ，即 ，令 ，则 ，
∴点F的坐标为(1,0)，∴ ，∴ ．抛物线C的方程为 ．
（2）由（1）得抛物线C： ，假设存在定点 ，
设直线AB的方程为 （ ），A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴
，
∴ 或 （舍去），
当 时，点M的坐标为 ，满足 ， ，
∴存在定点 ．
2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知椭圆C： 的左，右焦点分别为 ， ，
过 的直线与椭圆C交于M，N两点，且 的周长为8， 的最大面积为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设 ，是否存在x轴上的定点P，使得 的内心在x轴上，若存在，求出点P的坐标，若不存在，
请说明理由．
【答案】(1) 或
(2)存在，
【分析】（1）根据题意列出方程组，求出 即可得解；
（2）由题意可将原问题转换为 ，设直线 的方程为： ， ，联立椭圆方程 ，结合韦达定理可求得 的值即可.
【详解】（1）∵ 的周长为8， 的最大面积为 ，
∴ ，解得 ， 或 ， ．
∴椭圆C的方程为 或等 ．
（2）
由（1）及 易知F (1,0)，
2
不妨设直线MN的方程为： ， ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，得 ．
则 ， ，
若 的内心在x轴上，则 ，
∴ ，即 ，即 ，
可得 ．
则 ，得 ，即 ．
当直线MN垂直于x轴，即 时，显然点 也是符合题意的点．
故在x轴上存在定点 ，使得 的内心在x轴上.
3．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线 的焦点与椭圆 的上顶点重合，点
是直线 上任意一点，过点 作抛物线的两条切线，切点分别为 ．
(1)求抛物线 的方程．(2)证明直线 过定点，并且求出定点坐标．
【答案】(1) ；
(2)证明见解析， .
【分析】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程；
（2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线应用同构或待定系数法求解即可.
【详解】（1）由题意椭圆 的上顶点为 ，
，∴ ，∴ ．
（2）法一（同构法）．
设点M(x ,y )，N(x ,y )， ．
1 1 2 2
由 ，∴直线 的斜率为 ，∴
即
同理可得
∵点 ，代入 得
∵点 ，代入 得
∴点 、 都满足关系
∴ ①
又点 ，∴ ，代入①得
故直线 恒过定点(1,4)．法二（配极原则）．
设定点为 ，由题目可知点 所在直线是点 对应的极线，∴由配极原则可得
即
对比 的系数可得
∴直线 恒过定点(1,4)．
4．（2025·广东·一模）设 两点的坐标分别为 . 直线 相交于点 ，且它们的
斜率之积是 . 设点 的轨迹方程为 .
(1)求 ;
(2)不经过点 的直线 与曲线 相交于 、 两点，且直线 与直线 的斜率之积是 ，求证：直线
恒过定点.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点 的坐标为 ，然后表示出直线 的斜率，再由它们的斜率之积是 ，列
方程化简可得点 的轨迹方程；
（2）设 ，当直线 斜率不存在时，求得直线 为 0，当直线 斜率存在时，设直线，由 得 ，将直线方程代入椭圆方程化简利用根与系
数的关系，代入上式化简可得 ，从而可求得直线恒过的定点.
【详解】（1）设点 的坐标为 ，因为点 的坐标是 ，
所以直线 的斜率 ，
同理，直线 的斜率 ，
由已知，有 ，
化简，得点 的轨迹方程为 ，
即点 的轨迹是除去 两点的椭圆.
（2）证明：设
①当直线 斜率不存在时，可知 ，
且有 ，
解得 ，此时直线 为 0，
②当直线 斜率存在时，设直线 ，则此时有：
联立直线方程与椭圆方程 ，
消去 可得： ，
根据韦达定理可得： ， ，
所以 ，
所以 ，所以
所以 ，则 或 ，
当 时，则直线 恒过 点与题意不符，舍去，
故 ，直线 恒过原点 ，
结合①，②可知，直线 恒过原点 ，原命题得证.
【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中直线过定点问
题，解题的关键是设出直线方程代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系结合已知条件求解，考查计算能
力，属于较难题.
5．（24-25高三上·广东·开学考试）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，且
，过 作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ，延长 交另一条渐近线于点 ，且 ．
(1)求 的方程；
(2)如图，过 作直线 （ 不与 轴重合）与曲线 的两支交于 两点，直线 与 的另一个
交点分别为 ，求证：直线 经过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用焦距，结合题干条件与渐近线构成的几何关系，列方程组求出 ，得到双曲线方程；
（2）设 ，利用点斜式方程分别写出直线 的方程，和双曲线联立后，得到 的坐标，然后得到直线 的方程，即可求解.
【详解】（1）渐近线 ，渐近线 ．
设 为坐标原点，由题意，不妨设 在 上， 在 上， 是线段 的中垂线，
所以 ．由对称性， ，
所以 ，从而 ．
，在Rt 中， ，
解得 ．
所以 ，故C的方程为 ．
（2）设 ，设直线 ．
可得直线 ．
联立
得 ，则 ，又 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，同理 ．
则
直线 ，
令 ，得 ，所以直线 过定点 ．
【点睛】方法点睛：直线过定点问题，需将待考察的直线和圆锥曲线联立，利用 韦达定理的表
达式，将直线方程进行化简整理后进行求解.
6．（2024高三·全国·专题练习）长为3的线段 的两个端点 分别在 轴上移动，点 在直线 上
且满足 ．
(1)求点 的轨迹方程．
(2)记点 的轨迹为曲线 ，过点 任作直线 交曲线 于 两点，过 作斜率为 的直线 交曲
线 于另一点 ．求证：直线 与直线 的交点为定点（ 为坐标原点），并求出该定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析， ．
【分析】（1）利用 ，确定 ， ， 坐标之间的关系，由 ，即可求点P的轨迹方程；
（2）当 的斜率不存在时，直线 与曲线C相切，不合题意；当 斜率存在时，设直线 的方程与椭圆方程
联立，确定 、 的方程，联立 ，结合韦达定理，即可证得结论．【详解】（1）设 ，由 得 ，即 ，
又由 ，整理得 ．
（2）当 的斜率不存在时，直线 与曲线 相切，不合题意；
当 斜率存在时，设直线 的方程为 ，即 ，与椭圆方程联立，
消去 可得 ，
设 ，则 ，
又 的方程为 ，
与曲线 的方程联立可得： ，
， ， ，
直线 的方程为 ，
易得 ，联立可得，则 ，
，
又
，
，从而 ，则 ，
所以直线 与直线 交于定点 .
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方
程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
7．（23-24高二下·陕西延安·期末）已知双曲线 经过点 ．
(1)求 的离心率；
(2)设直线 经过 的右焦点，且与 交于不同的两点 ，点N关于x轴的对称点为点
P，证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由两点坐标代入待定系数 求出双曲线方程，进而得离心率；
（2）设点 的坐标，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理表示出 ， ，坐标表示直线
的方程，由对称性知直线若过定点必在 轴上，直线方程中令 ，代入韦达定理化简可得横坐标为
定值即得证.
【详解】（1）由双曲线 经过点 ，
则有 ，解得 ，
即双曲线的标准方程为 ，则 ，
所以离心率 ，
故 的离心率为 ；
（2）由（1）知 的右焦点为 ，直线 ，
设M(x ,y )，N(x ,y )，由点N关于x轴的对称点为点P，则 ，
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联立 ，得 ，
由题可知 ，即 ，
且 ，则 ，
则直线 的直线方程为 ，
由对称性可知，直线 若过定点，则必在 轴上，
令 ，得
当 ，且 时，
，
所以直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的一般解法
（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关
系，找到定点，或以曲线上的点为参数，设点 ，利用点在曲线 ＝0上，即 消参.
（2）特殊到一般法：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，再
加以证明.
8．（2024·云南·模拟预测）抛物线 的图象经过点 ，焦点为 ，过点 且倾斜角
为 的直线 与抛物线 交于点 ， ，如图．
(1)求抛物线 的标准方程；(2)当 时，求弦|AB)的长；
(3)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．证明：直线 过定点．
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由曲线 图象经过点 ，可得 ，则得抛物线 的标准方程；
（2）写出 的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得 ，则 ；
（3）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，和抛物线方程联立，
消元后，由韦达定理可得 ， ．直线 的方程为 ，和抛物线方程联立，消元
后，由韦达定理可得 ，同理可得 ，由 ，可得 ，则直线
的方程为 ，由对称性知，定点在 轴上，令 ，可得 ，则的直线 过定点
．
【详解】（1）曲线 图象经过点 ，所以 ，所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，当 时， ,所以 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
由 ，所以弦 ．
（3）由（1）知 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
， ， ， ，
联立 得 ， ，
因此 ， ．
设直线 的方程为 ，联立 得 ，则 ，因此 ， ，得 ，
同理可得 ，
所以 ．
因此直线 的方程为 ，
由对称性知，定点在 轴上，
令 得，
，
所以，直线 过定点 ．
【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：
(1)“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
(2)“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，
再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
(3)求证直线过定点 ，常利用直线的点斜式方程 或截距式 来证明.
9．（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）已知双曲线 的焦点为 ，且过点
．
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 作斜率分别为 的直线 ，直线 交双曲线 于 两点，直线 交双曲线 于 两点，
点 分别是 的中点，若 ，试判断直线 是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，
请说明理由．
【答案】(1)
(2)过定点，
【分析】（1）由题意可得 ， ，再结合 求出 ，从而可求得双曲线的方程；
（2）直线 的方程为 ，设 ，将直线方程代入双曲线方程化简，利用根与系数的关系结合中点坐标公式表示出点 的坐标，同理表示出点 的坐标，由 得 ，
表示出 ，从而可表示出直线 的方程，化简可得答案.
【详解】（1）由题意知 ，
解得 ，
所以双曲线 的方程是 ；
（2）直线 的方程为 ，设 ．
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
同理可得 ，
因为 ，所以 ，即 ，
当 且 时， ，
所以直线 的方程为 ，
，
，，
，
所以 ，
所以直线 过定点 ；
当 或 时，直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
综上，直线 过定点 ．
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线中直线过
定点问题，解题的关键是将直线方程代入双曲线方程化简，结合根与系数的关系的中点坐标公式表示出
的坐标，考查计算能力，属于较难题.
②定值问题
一、解答题
1．（2024·山东济南·三模）如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x(2)证明见解析，8
【分析】（1）根据准线过点 即可求出p，进而可知抛物线标准方程；
（2）假设直线 的方程，与抛物线联立，进而可以得到 与其中垂线的交点坐标，进而可以表示出中
垂线方程，进而求点 的坐标，再求 即可.
【详解】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设 ，直线AB的斜率为
则直线方程为
将此式代入 ，得 ，
故
设 的中垂线为直线m，设直线m与 的交点为
则
故直线m的方程为
令 得点P的横坐标为
故
∴ 为定值8
2．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若
的离心率 ，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两点，试问是否存
在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)
(2)存在， 为定值 ．
【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程；
（2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值.
【详解】（1）设双曲线 的半焦距为c(c>0)，
由题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 ．
（2）
假设存在常数 满足条件，由（1）知 ，
设直线 ，
联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
所以 ， ，
．
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 两点在 轴同侧，所以 ．
此时 ，即 ，所以 ．
设 ，将 代入抛物线方程 ，得 ，则 ，
所以
．
所以 ．
故当 时， 为定值 ，所以，当 时， 为定值 ．
3．（23-24高三下·江西·阶段练习）在直角坐标系xOy中，点 到直线 的距离等于点 到原点 的
距离，记动点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)点A，B，C，D在 上，A，B是关于 轴对称的两点，点 位于第一象限，点 位于第三象限，直线
AC与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，且B，H，D三点共线，证明：直线CD与直线AC的斜
率之比为定值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直接法，求轨迹方程；
（2）首先设点 ，并表示直线 的方程，并由已知条件求得点 的坐标，并
利用方程联立表示 的坐标，并利用坐标表示斜率，即可求解.
【详解】（1）设 ，则 ，
两边平方，化简得 ，
故 的方程为 .
（2）证明:设点 的方程为 ，则 ，因为 ，所以
从而直线BD的方程为
联立 可得 ，所以 ，则 ，所以
联立 可得 ，所以 ，则 ，所以
.
所以直线CD的斜率为 .
所以直线 与直线 的斜率之比为 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是设出点 的坐标，并找到坐标 的关系，从而求得斜
率的关系.
4．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 是 上在第一象限
内的点，且直线 的倾斜角为 ，点 到 的距离为 ．
(1)求 的方程；
(2)设直线 与 交于 两点， 是线段 上一点（异于 两点）， 是 上一点，且 轴．
若平行四边形 的三个顶点 均在 上， 与 交于点 ，证明： 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据抛物线定义得到 ，再根据条件得到 ，代入抛物线方程得到方程
，即可求出结果；
（2）设直线 的方程为 ，N(x ,y )，根据条件得到 ，从而有直线
2 2的方程为 ，得到直线 过点 ，又由题设知 的中点坐标为 ，得
到 为 的中点，即可解决问题.
【详解】（1）根据抛物线的定义，得 ，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，
又 ，所以 ，代入 ，得 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ，
故 的方程为 ．
（2）设 ，显然， 与 轴不平行，
设直线 的方程为 ，N(x ,y )，
2 2
联立 得 ，则 ，且 ，
因为四边形 为平行四边形，所以 ，
即 ，所以 ，得到 ，
又 ，即 ，
由点 在 上，得 ，解得 ，
所以直线 的方程为 ，即 ，
所以直线 过点 ，
又将 代入 ，得 ，所以 的中点坐标为 ，即 为 的中点，
所以 ，故 为定值．5．（23-24高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C： （ ，
）的左、右焦点分别为 、 ， 是双曲线C上一点，且 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方
程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜
率均存在且分别为 、 ，求证： 为定值.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）代入 得到 ，由 得到 ，联立即可得解；
（2）由 在直线上，且 为中点，解出 值即可；
（3）设出直线 的方程，联立直线 与曲线 的方程得到 ，结合题意解出 即可.
【详解】（1）因为 是双曲线C上一点，所以 ，
由 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
即 ，联立解得： ，
所以双曲线的方程为： .
（2）由（1）知：双曲线的渐近线方程为 ，由图象可知直线 的斜率存在并大于1，
不妨设 ， ，由 的方程为： ，
将 代入得： ，同理 ，由 为 中点，则 ，
所以 ，解得 ，
所以直线l的方程为 .
（3）设A(x ,y ),B(x ,y )，点 与点 关于原点对称，所以 ，
1 1 2 2
设直线 的方程为 ，
由 ，得 ，
由 可知 或 ，
则 ，
所以
，
由题意知： ，
所以 ，
所以 为定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
6．（24-25高三上·海南·开学考试）已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆过点
.(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点， 是椭圆 上位于直线 两侧的动点，且直线 的斜率为 .
①求四边形 的面积的最大值；
②设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，判断 的值是否为常数，并说明理由.
【答案】(1) ；
(2)① ；②是，0
【分析】（1）设椭圆 的方程为 ，由题意得 ，再结合 可求
出 ，从而可求出椭圆方程；
（2）①求出 ，设直线 的方程为 ，设点 ，将直线方程代入
椭圆方程化简利用根与系数的关系，再由 是椭圆C上位于直线PQ两侧，求出 的范围，然后表示出
四边形 的面积，化简可求出其最大值；②表示出直线 的斜率 和直线 的斜率 ，然后结合前
面的式子化简 可得答案.
【详解】（1）设椭圆 的方程为 .
由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为 ；
（2）①当 时， ，解得 ，
所以点 的坐标为 ，则 ，
设直线 的方程为 ，设点 ，联立 ，整理得： ，由 ，可得 .
由韦达定理知： ，
又 是椭圆C上位于直线PQ两侧，则
，解得
四边形 的面积
故当 时， ；
②由题意知，直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
则
.
.
所以 的值为常数0.
【点睛】关键点点睛：本题第（2）问解题的关键是设出直线 的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系
数的关系，然后结合已知条件求解，考查计算能力，属于较难题.
7．（23-24高二上·北京·期末）已知椭圆 过点 ，且 ．
(1)求椭圆ω的方程；
(2)设O为原点，过点 的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别
与y轴交于M，N两点．求证 为定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由题可得 ，进而得出 ，即可得出椭圆方程；
（2）先考虑直线斜率不存在时，可得 ，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，
得出韦达定理，得出直线 的方程，可表示出 坐标，同理表示出 的坐标，进而利用韦达定理可求出.
【详解】（1）因为椭圆 过点 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以椭圆 的方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，直线 的方程为 .
不妨设此时 ， ，
所以直线 的方程为 ，即 .
直线 的方程为 ，即 .
所以 .
当直线 斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 ，得 .
依题意， .
设 ， ，则 ， .
又直线 的方程为 ，
令 ，得点 的纵坐标为 ，即 ，同理 .
所以
.
综上， 为定值，定值为 .【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（1）得出直线方程，设交点为A(x ,y )，B(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（3）写出韦达定理；
（4）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（5）代入韦达定理求解.
8．（22-23高二下·江西·期中）在平面直角坐标系 中，动圆 与圆 内切，且与圆
外切，记动圆圆心 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知点 ， ，过 的直线交曲线 于A， 两点， 交曲线 于 ， 交曲线 于 ，
记直线 ， 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.
【答案】(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）设动圆 的半径为 ，分析可得 ，利用椭圆的定义可求得轨迹
的方程；
（2）根据条件可得直线AM和BM的方程，与椭圆C方程联立，利用韦达定理法结合斜率公式计算即得.
【详解】（1）由题意可知：圆 的圆心为 ，半径为 ；圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为 ，则 ，可知圆 内含于圆 ，
设动圆 的半径为 ，
若动圆 与圆 内切，且与圆 外切，则 ，可得 ，
所以动圆 的圆心的轨迹 是以 、 为焦点的椭圆，
设其方程为 ，其中 ， ，
则 ， ，
所以轨迹 的方程为 .
（2）设 ，
则有 ，
则直线AM的方程为： ，直线AB的方程为 ，则 ，
联立方程 ，
解得： ，
又点A(x ,y ) 在椭圆C上，
1 1
，
代入上式化简得： ，；
同理可得： ，
所以 ，
即 ， 为定值.
【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤
（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；
（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）
无关；也可令系数等于零，得出定值；
（3）得出结论．
9．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，且过A(−2,0)，
两点．
(1)求C的方程；
(2)设P，M，N三点在C的右支上， ， ，证明：
（ⅰ）存在常数 ，满足 ；
（ⅱ）△MNP的面积为定值．
【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）设C的方程为 ，其中 ．由C过A，B两点，代入解得 ， 即可.
（2）（ⅰ）设P(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，其中 ， ，i＝0，1，2．因为
0 0 1 1 2 2
，所以直线BM的斜率为 ，方程为 ．
联立 结合韦达定理得到 ， ．
同理 ， ．再结合向量运算即可解决.
（ⅱ）结合前面结论，运用点到直线距离公式，三角形面积公式可解.【详解】（1）设C的方程为 ，其中 ．
由C过A，B两点，故 ， ，解得 ， ．
因此C的方程为 ．
（2）（ⅰ）设P(x ,y )，M(x ,y )，N(x ,y )，其中 ， ，i＝0，1，2．
0 0 1 1 2 2
因为 ，所以直线BM的斜率为 ，方程为 ．
由 ，得 ，
所以 ，
．
因此 ．
同理可得直线AN的斜率为 ，直线AN的方程为 ．
由 ，得 ，
所以 ，，
因此
．
则 ，即存在 ，满足 ．
（ⅱ）由（ⅰ），直线MN的方程为 ，
所以点P到直线MN的距离 ．
而 ，
所以 的面积 为定值．
【点睛】难点点睛：本题属于中难题，考查直线与双曲线．本题第（1）小问设问基础，但需要注意所设
方程的形式；第（2）（ⅰ）小问在题干条件翻译上未设置较多障碍，但是对4个坐标分量的求解非常考验
学生的代数基本功和计算能力，区分度较大．
③定直线问题
一、解答题
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的左､右顶点分别是 ，直线 与 交于
两点（不与 重合），设直线 的斜率分别为 ，且 .
(1)判断直线 是否过 轴上的定点.若过，求出该定点；若不过，请说明理由.
(2)若 分别在第一和第四象限内，证明：直线 与 的交点 在定直线上.
【答案】(1)过定点 .
(2)证明过程见解析
【分析】（1）根据题意设出直线 的方程，联立直线与双曲线的方程，得出韦达定理的等式，再通过斜率
之间的关系即可得出 ，即可得出定点坐标.
（2）根据题意得出两条直线方程，再联立化简得到关于 的等式，从而得到定直线方程.
【详解】（1）由题意可知 ，设直线 的方程为 .由 消去 ，可得 ，
则 ， ，即 ，
.
因为
，
所以 ，
故直线 的方程为 ，恒过点 .
（2）由题可知，直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
因为
，
所以 ，故点 在定直线 上.
2．（2024高三·全国·专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为 的上、
下顶点， 为坐标原点，直线 与 交于不同的两点 ， ．
(1)设点 为线段 的中点，证明：直线 与直线 的斜率之积为定值；
(2)若 ，证明：直线 与直线 的交点 在定直线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【分析】（1）设M(x ,y )，N(x ,y )，由中点坐标公式和斜率公式，结合点差法证明定值.
1 1 2 2
（2）由题意求出椭圆方程，与直线方程联立，韦达定理表示根与系数的关系，联立直线 与直线 的
方程，化简可求得交点在定直线上．
【详解】（1）设M(x ,y )，N(x ,y )，则 ．
1 1 2 2
由 两式相减得 ，即 ．
所以 ．
（2）解法一：
由 解得 所以椭圆 的方程为 ．
将直线的方程 代入椭圆 的方程 ，化简整理得 ．①
由 ，解得 ．
由韦达定理，得 ， ．②
设 ， ，
则直线 的方程为 ，③
直线 的方程为 ，④
由③④两式解得，
即 ，所以直线 与直线 的交点 在定直线 上．
解法二：
设直线 （即直线 ）与直线 （ 轴）的交点为 ，直线 与直线 的交点为 ，
则点 ， ， 构成椭圆 的自极三点形，点 一定在点 对应的极线 上，其方程为
，即 ，
就是说直线 与直线 的交点 在定直线 上．
【点睛】方法点睛：
解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根
与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，
不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能
力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．
3．（2024高三下·河南·专题练习）动点 与定点 的距离和它到定直线 的距离的比是
2，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)过 的直线 与 交于 两点，且 ，若点 满足 ，证明：点 在一
条定直线上.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意列等式，然后化简即可得到 的方程；
（2）分斜率为0和不为0两种情况考虑，当直线 的斜率为0时得到 ，当直线 的斜率不为0时，
联立直线和双曲线方程，结合韦达定理和 得到点 在定直线 上，又 也在直线
上，即可证明点 在一条定直线上.
【详解】（1）由题意知 ，所以 ，所以 ，
化简得， 的方程为 .
（2）
依题意，设 ，
①当直线 的斜率为0时，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，从而 ，
则 ，即 ，解得 ，即 .
②当直线 的斜率不为0时，设 的方程为 ，
由 消去 ，得 ，
则 且 ，
因为 ，所以 ，
消去 ，得 ，
所以 ，
从而 ，
又 也在直线 上.综上，点 在直线 上.
【点睛】方法点睛：求解动点在定直线上的方法：
（1）先猜后证：现根据特殊情况猜想，然后证明；
（2）参数法：用题目中参数表示动点的横纵坐标，然后消参，即可得到直线方程.
4．（2024·河北保定·二模）已知抛物线 的焦点为 ，过 作互相垂直的直线 ，分别
与 交于 和 两点（A，D在第一象限），当直线 的倾斜角等于 时，四边形 的面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)设直线AD与BE交于点Q，证明：点 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析.
【分析】（1）由抛物线的对称性知 ，由四边形的面积求出 ，又 的方程为 ，
联立直线与抛物线方程，利用韦达定理及焦点弦公式求出 ，即可得解；
（2）设直线 的方程为y=k(x−1) ，则直线 的方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出直线 、 的方程，联立解得 ，即可得证.
【详解】（1）当直线 的倾斜角等于 时，直线 的倾斜角等于 ，
直线 的方程为 ，由抛物线的对称性知 ，
所以 ，得 ．
联立方程组 ，消去 得 ．
设 两点的横坐标分别为 ，则 ， ．
又 ，所以 ，所以 的方程为 ．
（2）由（1）知F(1,0)，依题意，可设直线 的方程为y=k(x−1) ，
则直线 的方程为 ．
联立方程组 消去 得 ，显然 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ．
1 1 2 2设 ，同理可得 ，
所以 ，同理可得 ．
直线 的方程为 ，
即 ．
同理，直线 的方程为
．
两直线方程联立得 ，解得 ，
即直线 与 的交点 在定直线 上．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )、(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
5．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知椭圆C： 的右顶点为 ，离心率为 ，过
点 的直线l与C交于M，N两点．
(1)若C的上顶点为B，直线BM，BN的斜率分别为 ， ，求 的值；
(2)过点M且垂直于x轴的直线交直线AN于点Q，证明：线段MQ的中点在定直线上．
【答案】(1)-3
(2)证明见解析【分析】（1）根据离心率和 ，待定系数法求出 ， ， ，得到椭圆方程，设直线l的
方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积， ，代入两根之和，两根
之积，求出 的值；
（2）设线段MQ的中点为 ，又M(x ,y )，故 ，根据三点共线，得到 ，计
1 1
算出 ，故 ，得到线段MQ的中点在定直线
上.
【详解】（1）由题意知 ，
解得 ， ， ，
所以C的方程为 ，
显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为： ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，得 ，
由方程 的判别式 ，可得 ，
所以 ， ，
易得 ，所以 ， ，
所以
，
（2）证明：设线段MQ的中点为 ，又M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2所以 ， ，即 ，又A，N，Q三点共线，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
又
所以
，
所以 ，即线段MQ的中点在定直线 上．
【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
6．（2024·湖南长沙·三模）已知抛物线 ，过点 的直线 与 交于不同的两点 .
当直线 的倾斜角为 时， .
(1)求 的方程；
(2)在线段 上取异于点 的点 ，且满足 ，试问是否存在一条定直线，使得点 恒在这条
定直线上？若存在，求出该直线；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)点 恒在直线 上.
【分析】（1）先求直线 的方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及两点距离公式，求弦
的长即可；
（2）设直线 方程，再与抛物线联立组成方程组，利用韦达定理及相似三角形求解即可.
【详解】（1）设A(x ,y ),B(x ,y ).
1 1 2 2
若直线 的倾斜角为 ，则直线 的方程为 .
联立 得 ，
则 ，
且 ，
所以 .
因为 ，所以 ，故 的方程为 .
（2）存在，定直线为 .
由题意知直线 的斜率存在，
设直线 的方程为 ， .
联立 得 .
由 ，得 且 ，
.
不妨设 ，则 ，
过点 向 轴作垂线，垂足分别为点 ，如图所示，
则 ， .
因为 ，所以 ，
整理得 ，所以 .
代入直线 的方程得 .因为 ，所以点 恒在直线 上.
7．（2024·河北衡水·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为 是 上
一点，且点 到点 的距离之和为 .
(1)求 的方程；
(2)斜率为 的直线 与 交于 两点，则 的外心是否在一条定直线上？若在，求出该直线的方程；
若不在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）由已知可得 ，求解即可；
（2）设直线 的方程为 ，联立方程组可得 ，且 ， ，可
求得 ，设直线 的方程为 ，即 ，与椭圆联立方程组可得
，求得 的垂直平分线方程，同理可求 的垂直平分线方程，可求得 的
外心在定直线上.
【详解】（1）由题意，得 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2） 的外心在定直线 0上.理由如下：由题意设直线 的方程为 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
即 ，且 .
设 的中点为 ，
则 ，
所以
，
即直线 与 的斜率互为相反数.
设直线 的方程为 ，即 .
联立 ，得 ，
则 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以线段 的垂直平分线的方程为 ，
即 ①.
直线 的方程为 ，同理可得线段 的垂直平分线的方程为
②
联立①②，得 ，
得 ，
故 的外心在定直线 上.
【点睛】方法点睛：本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是设出直线方程，设出交战坐标为
，直线方程与椭圆方程联立消元后应用根与系数关系得 ，代入运算得结论．考查
了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．
8．（2024·贵州遵义·一模）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，直线
与 的左、右两支分别交于 ， 两点，四边形 为矩形，且面积为 ．
(1)求四边形 的外接圆方程；
(2)设 ， 为 的左、右顶点，直线 过点 与 交于 ， 两点（异于 ， ），直线 与 交
于点 ，证明：点 在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意可得 ，且 ，由 求出 点，再根据矩形面积及
求出 、 、 ，即可得到双曲线方程及 、 点坐标，再求出线段的中点及线段长，最后求
出外接圆的方程；
（2）设直线 为 ，P(x ,y )，Q(x ,y )，联立消元、列出韦达定理，表示出 与 的方程，
1 1 2 2
联立求出 ，即可得证.
【详解】（1）由双曲线 的左、右焦点分别为F (−c,0)， ，
1直线 与 的左、右两支分别交于 ， 两点，且四边形 为矩形，
所以 ，且 ，
由 ，解得 或 ，
即 ，则 ，又 ， ，
解得 ， ， ，
所以双曲线 的方程为 ，
所以 ， ， ， ，
所以 的中点为 ，又 ，
所以矩形 的外接圆的方程为 .
（2）由（1）知 ， ，
依题意知直线 的斜率不为零，设直线 为 ，P(x ,y )，Q(x ,y ) ，
1 1 2 2
由 ，得 .
当 且 ，
所以 ， ，
所以 ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，联立两方程可得，所以 ，
，
所以 ，
解得 ，
故点 在定直线 上.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为(x ,y )、(x ,y )；
1 1 2 2
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算 ；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入韦达定理求解.
9．（2024·江苏苏州·模拟预测）已知点 ， ， 和动点 满足 是 ， 的
等差中项．
(1)求 点的轨迹方程；
(2)设 点的轨迹为曲线 按向量 平移后得到曲线 ，曲线 上不同的两点M，N的连线交
轴于点 ，如果 （ 为坐标原点）为锐角，求实数 的取值范围；
(3)在（2）的条件下，如果 时，曲线 在点 和 处的切线的交点为 ，求证： 在一条定直线上．
【答案】(1) ；
(2) 或 ；
(3)证明见解析.【分析】（1）根据题意，由平面向量的坐标运算，结合等差中项的定义代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由平移公式可得曲线 的方程，然后与直线 的方程联立，由平面向量的夹角公式，
代入计算，即可得到结果；
（3）根据题意，求导可得在点 处的切线方程，联立两条切线方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意可得 ， ， ，
则 ，
，
又 是 ， 的等差中项，
，
整理得点 的轨迹方程为 ．
（2）
由（1）知 ，
又 ， 平移公式为 即 ，
代入曲线 的方程得到曲线 的方程为： ，
即 ．
曲线 的方程为 ．
如图由题意可设M，N所在的直线方程为 ，
由 消去 得 ，
令M(x ,y )， ，则 ，
1 1
， ，又 为锐角， ，即 ，
，又 ，
，得 或 ．
（3）当 时，由（2）可得 ，对 求导可得 ，
抛物线 在点，
， 处的切线的斜率分别为 ，
，
在点M，N处的切线方程分别为 ， ，
由 ，解得交点 的坐标 ．
满足 即 ， 点在定直线 上．
【点睛】关键点点睛：本题主要考查了曲线的轨迹方程问题以及切线问题，难度较大，解答本题的关键在
于联立方程结合韦达定理计算以及转化为坐标运算.
