培优专练+三年真题 01 集合与常用逻辑用语
【考点一】集合基本运算 【考点四】充分必要条件
【考点二】集合含参问题 【考点五】全称与存在量词
【考点三】集合新定义
【题型一】集合基本运算
1．（2026·江苏南京·模拟预测）已知集合A={x||x|<1}，B={x|0≤x≤2}，则A∪B=（ ）
A．{x|-1<x<2} B．{x|-1<x≤2}
C．{x|0≤x<1} D．{x|0≤x≤2}
2．（2026·湖北十堰·模拟预测）已知全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={x∈N*|x2<10}，则∁ A=（ ）
U
A．{4,5,6} B．{5,6} C．{1,2,3} D．{3,4,5,6}
3.（2026·广东佛山·一模）已知集合A={x|-1<x≤1}，B={x|0<x<2}，则A∩B=（ ）
A．{x|0<x≤1} B．{x|-1<x<2}
C．{x|0<x<1} D．{x|-1<x<0}
4.（2026·上海·三模）已知全集U=R，集合A={1,3,5,7}，B={x∣x≥2}，则A∩∁ B=________．
U
5．（2026·江苏南通·模拟预测）A={1,2}，B∩∁ A={3}，则A∪B=______．
R
6．（2026·河南濮阳·一模）已知全集U=A∪B={x∈N* ∣-1<x<10},A∩(∁ B)={1,3,5,7}，则B=
U
__________.
7.（多选）（2026·山东济南·模拟预测）已知U为全集，集合M，N是U的子集，若M∩U=N，则（ ）
A．M≠∅ B．M≠N
C．∁ (M∩N)= ∁ N D．N⊆M
U U
8．（多选）（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集U={-2,-1,0,2,3,4}，集合M={-1,0,2}，N=¿，且N⊆U，则
（ ）A．a<0 B．3∉(M∪N)
C．M∩N中元素个数为2 D．(∁ M)∩N≠∅
U
【题型二】集合含参问题
1．（2026·安徽合肥·二模）已知集合A=¿，若2∉A，则a的取值范围是（ ）
A．(-2,2] B．[-2,2] C．(-2,2) D．[-2,2)
2．（2026·云南·三模）已知集合A={a2,a},B={1,3}，若A∩B={1}，则a=（ ）
A．1 B．3 C．-1 D．±1
3．（2026·江西·模拟预测）已知集合A={x∣x2+mx+9=0}，若{n}⊆A⊆{9,n}，则mn=（ ）
A．10或18 B．-10或-18 C．18 D．-18
4.（2026·上海·模拟预测）已知集合A={1,2,k2}，B={0,3}，若A∩B={3}，则实数k=__________．
5．（2025·安徽合肥·一模）已知集合A={x∣-2≤x≤1},B={x∣m-1≤x<m+1}，若A∩B=B，则实数m的取值
范围为__________.
6．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知集合A={1,7,|a|}，集合B={1,a+6}，若A∪B=A，则实数a=__________.
7.（2025·江西·模拟预测）（多选）已知集合A=¿，B={2,3}，下列结论正确的是（ ）
A．若a=0，则A=R B．若a=0，则A=∅
C．若B⊆A，则a≤2 D．若B⊆A，则a可以取3
【题型三】集合新定义
1．（2026·河南开封·二模）定义集合A-B=¿且x∉B}，已知集合A={1,a}，B={2,b}，若A-B={1}，则下列一
定成立的是（ ）
A．a=2 B．b≠1 C．A∩B={2} D．B-A={2}
2．（2025·北京·模拟预测）集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B ,B ,⋯,B (n∈N*).记b为集合
1 2 n i
B (i=1,2,3,⋯,n)中的最大元素，则b +b +b +⋯+b =（ ）
i 1 2 3 10
A．10 B．40 C．45 D．50
3.（2025·安徽芜湖·二模）已知有限集合A={a ,a ,a ,⋯,a }，定义集合B=¿中的元素的个数为集合A的“容量”，
1 2 3 n记为|A|.若集合A=¿，且|A|=4047，则正整数n的值是_________.
4.
（2026·山东德州·模拟预测）已知A，B，C为集合M={1,2,⋅⋅⋅,n}(n∈N*)的非空子集，满足：
①A∩B=A∩C=B∩C=∅，A∪B∪C=M；
②{x∈M|x=3k,k∈N*}⊆A，B中元素均为奇数，C中元素均为偶数；
③A，B，C中所有元素的和分别记为S ，S ，S ，且S =S =S ．则正整数n的最小值为________．
1 2 3 1 2 3
5.（2025·湖南邵阳·模拟预测）（多选）给定实数集A，定义集合M¿，若M是非空集合，则称集合M中最小的元素
为集合A的上确界，记作supA.以下说法正确的是（ ）
A．若数集A中有2025个元素，则supA一定存在
B．若数集A中没有最大值，则supA不存在
C．若数集A，B有上确界，则数集{a+b∣a∈A,b∈B}一定也有上确界，为supA+supB
D．若数集A，B有上确界，则数集{ab∣a∈A,b∈B}一定也有上确界，为supAsupB
6.（2025·山东临沂·二模）对集合A, B，定义集合A△B=¿，记|X|为有限集合X的元素个数．
(1)若A={1, 2}, B={2, 3, 4}，求A△B；
(2)给定集合S={1, 2, 3, 4}的子集M，求集合¿的元素个数；
(3)设A, B, C为有限集合，证明：|A△C|≤|A△B|+|B△C|．
【题型四】充分必要条件
1．（2026·山东烟台·模拟预测）“x>1”是“|x+1|>2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2026·陕西西安·模拟预测）“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2026·天津·二模）设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026·山东济南·模拟预测）记无穷等比数列{a }的前n项和为S ，若a >0，则“存在正数M，使得对任意正整数
n n 1
n，都有S <M”是“公比0<q<1”的（ ）
n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2026·湖北武汉·模拟预测）现有一个迷宫如图所示，小球Ω从B，C，D三个口中的一个口滚动进入后，该口封
闭，小球最终将从另一个口滚动出来，则“小球Ω从B口滚动进入”是“小球Ω从D口滚动出来”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知p:“x2-(2m+3)x+m2+3m>0”是q：“x2-x-6≤0”成立的必要不充分条
件，则实数m的取值范围为（ ）
A．¿ B．(-∞,-5)∪(3,+∞)
C．(-5,3) D．[-5,3]2x+1
7.（2026·云南怒江·模拟预测）已知m>0，使得不等式 ≤1成立的一个充分不必要条件是-2≤x≤4，则m的取
x-m
值范围是__________.
8．（2025·安徽·一模）（多选）若a,b∈R，则“a3<b3”的充分不必要条件是（ ）
A．a<b B．❑√b-a>1
1 1
C．a2<b2 D．0< <
b a
9．（2025·四川成都·模拟预测）（多选）将元素个数为非负整数的集合称为有限集，|S|表示有限集S中的元素个数.
设A，B都为有限集，则（ ）
A．A∩B=∅的充要条件是|A∪B|=|A|+|B| B．A⊆B的必要条件是|A|≤|B|
C．A⊆B的充分条件是|A|≤|B| D．A=B的充要条件是|A|=|B|
2x-2
10.（2025·河南信阳·模拟预测）已知集合A={x| <1}，集合B={x|x2+x+a-a2<0}．
x+1
(1)若存在x ∈A，使得B≠ϕ，求a的取值范围;
0
(2)若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
【题型五】全称与存在量词
1
1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知命题p：∃x∈R，x2+2x+2=0，q：∀x>0，x+ ≥2，则下列命题为真的
x
是（ ）
A．p∧q B．p∧¬q C．¬p∧q D．¬p∧¬q
2．（2026·陕西安康·模拟预测）已知命题p：∃x∈Z，2x<x2，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p：∃x∈Z，2x≥x2 B．假，¬p：∃x∈Z，2x>x2C．真，¬p：∀x∈Z，2x≥x2 D．假，¬p：∀x∈Z，2x≥x2
3．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知命题p:∀x∈R,x2+2x+2>0，则命题p的真假以及否定分别为（ ）
A．真，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0 B．真，¬p:∃x∈R,x2+2x+2≤0
C．假，¬p:∀x∈R,x2+2x+2≤0 D．假，¬p:∃x∈R,x2+2x+2≤0
16
4．（2026·湖南长沙·三模）命题“∀x∈[3,+∞)，x+ >8”的否定为（ ）
x
16 16
A．∃x∉[3,+∞)，x+ >8 B．∃x∈[3,+∞)，x+ ≤8
x x
16 16
C．∃x∉[3,+∞)，x+ ≤8 D．∃x∈[3,+∞)，x+ <8
x x
5．（2025·河北石家庄·三模）若命题p：∀x>0，x2-7x+6≤0，则命题p的否定为________________．
6．（2026·江苏扬州·模拟预测）若“∃x∈(0,π),sin2x-msinx<0”是假命题，则m的取值范围为__________．
1
7．（2025·山西晋城·模拟预测）已知命题p:∀x>2， +2x>m-1恒成立是真命题，则实数m的取值范围是
x-2
________．
8.（2026·河南南阳·模拟预测）（多选题）下列结论正确的有（ ）
A．∀x∈R，x2+4>2x
B．“∃x∈R，|x-1|+1<0”是假命题
C．“有理数的平方是有理数”是存在量词命题
D．“∀x∈R，x+4x4≥0”的否定是“∀x∉R，x+4x4<0”
一、单选题
1．（2025·天津·高考真题）设x∈R，则“x=0”是“sin2x=0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2026·天津·高考真题）设x∈R，则“x>0”是“x2+3x>0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x>0，x3=x，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．¬p和q都是真命题
C．p和¬q都是真命题 D．¬p和¬q都是真命题
4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合A={1,2,3,4,5,9},B=¿，则∁ (A∩B)=（ ）
A
A．{1,4,9} B．{3,4,9} C．{1,2,3} D．{2,3,5}
5．（2025·北京·高考真题）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意M∈R，存在x ∈D，
0
使得|f (x )|>M”的（ ）
0
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2026·北京·高考真题）{a }，{b }是无穷数列，则“存在常数M，使a ≤M≤b (n=1,2,3,⋯)”是“
n n n n
a ≤b (n=1,2,3,⋯)”的（ ）
n n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量⃗a=(x+1,x),⃗b=(x,2)，则（ ）
A．“x=-3”是“⃗a⊥⃗b”的必要条件 B．“x=1+❑√3”是“⃗a//⃗b”的必要条件
C．“x=0”是“⃗a⊥⃗b”的充分条件 D．“x=-1+❑√3”是“⃗a//⃗b”的充分条件
{ 7π 5π 5π} { ❑√3 1 }
8．（2026·全国一卷·高考真题）已知集合A= sin ,cos ,tan ，B= - ,- ,1 ，则A∩B=
6 3 4 2 2
（ ）
{ ❑√3 1} { ❑√3 } { 1 } { ❑√3 1 }
A． - ,- B． - ,1 C． - ,1 D． - ,- ,1
2 2 2 2 2 29．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数z ，ω ，如果满足“z-ω∈R ”或“z-ω∈R ”，那么就称z 和
ω 伴随.则当z 和ω 伴随，则ω-i 和z+i 伴随的充要条件是（ ）.
A．Reω+Rez=0 B．Reω-Rez=0
C．Imω+Imz=0 D．Imω-Imz=0
10．（2024·上海·高考真题）定义一个集合Ω，集合中的元素是空间内的点集，任取P ,P ,P ∈Ω，存在不全为0
1 2 3
的实数λ ,λ ,λ ，使得λ ⃗OP +λ ⃗OP +λ ⃗OP =0⃗．已知(1,0,0)∈Ω，则(0,0,1)∉Ω的充分条件是（ ）
1 2 3 1 1 2 2 3 3
A．(0,0,0)∈Ω B．(-1,0,0)∈Ω
C．(0,1,0)∈Ω D．(0,0,-1)∈Ω
二、填空题
11．（2026·上海·高考真题）已知集合A={2,4}，B={2,3,m}，若A⊆B，则m=____________.
三、解答题
12．（2025·北京·高考真题）已知集合A={1,2,3,4,5,6,7,8},M={(x,y)∣x∈A,y∈A}，从M中选取n个不同的
元素组成一个序列：(x ,y ),(x ,y ),…,(x ,y )，其中(x ,y )称为该序列的第i项(i=1,2,…,n)，若该序列的相邻
1 1 2 2 n n i i
项(x ,y ),(x ,y )满足：¿或¿，则称该序列为K列．
i i i+1 i+1
(1)对于第1项为(3,3)的K列，写出它的第2项．
(2)设Γ为K列，且Γ中的项(x ,y )(i=1,2,…,n)满足：当i为奇数时，x∈{1,2,7,8}：当i为偶数时，
i i i
x∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
i
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
