文档文本内容
解三角形单元检测卷
考试时间120 分钟，满分150 分
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5 毫米的
黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“贴条形码
区”．
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡
皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡的
对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无
效．
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回．
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项符合题目要求．
1.
在
中，角A，B，C 所对应的边分别为a，b，c，若
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】正弦定理解三角形
【分析】利用正弦定理可求解.
【详解】由正弦定理可得
．
故选：C
2.
在
中，已知
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．1
【答案】A
【知识点】余弦定理解三角形
【分析】利用余弦定理直接计算求解即可.
【详解】在
中，由余弦定理可得
，
所以
，即
，
解得
或
（舍去），
故选：A
3.
已知
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，若
，
，
，
则
的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角形面积公式及其应用
【分析】由
可求出
，然后再根据面积公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
.
故选：A
4.
已知
的内角
的对边分别为
，且满足
的三角形有两个，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合三角形有两解的条件列式求解.
【详解】在
中，
，由
有两解，得
，
即
，解得
，
所以
的取值范围为
.
故选：D
5.
“
年度十大最美桥梁”评选结果在广州揭晓，由甘肃公交建集团投资建设的
线清傅公路桑园子黄河大桥凭借卓越的工程品质、独特的美学设计与突出的创新价值，
获“全国最美桥梁提名奖”，为本次评选中西北地区唯一入选的桥梁.数学兴趣小组想要测
量桑园子黄河大桥北塔的高度，但不能直接测量，现采用以下方案：假定大桥北塔
垂
直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内观测员两次仰望塔顶
的仰角分别为
，
（如图），设乘客眼睛离地面的距离为
，
.若
在同一水平高度，且
，
，
在同一竖直平面内，则北塔
高为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】高度测量问题
【分析】设
，则
，
，利用
的长即可求出
的值，
进而求得
.
【详解】由题知，设
，
则
，
，
所以
，
解得
.
所以
.
故选：B
6.
在
中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，已知
，若b，a，
c 成等比数列，则
是（ ）
A．直角三角形
B．等边三角形
C．等腰直角三角形
D．钝角三角形
【答案】B
【知识点】等比中项的应用、正、余弦定理判定三角形形状、余弦定理解三角形、正弦定
理解三角形
【分析】根据诱导公式和正弦定理可求得
，再结合等比中项性质和余弦定理可得
，进而判断三角形形状即可.
【详解】∵
，
∴
.
由正弦定理可得
，因为
，所以
，
，
即得
，又因为
，所以
.
由b，a，c 成等比数列，可知
，则由余弦定理可知
，解得
，所以
是等边三角形，
故选：B.
7.
在
中，
，当
时，
的最小值为2．若
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】C
【知识点】平面向量共线定理的推论、向量加法的法则、余弦定理解三角形
【分析】由平面向量的加法法则得
的最小值为点
到
的距离，从而得到
为等腰直角三角形，再根据
得到点
在线段
上，所以
的最大值即为
的长，在
中，利用余弦定理即可得到答案.
【详解】如图所示，作
，
在
中，由平面向量的加法法则得
的最小值为点
到
的距离，即
，
又
，所以
，
为等腰直角三角形，
又因为
，
，
，
，
所以点
在线段
上，所以
的最大值即为
的长，
在
中，
，由
知
，
，即
，
所以
的最大值为
.
故选：C.
8.
已知
为锐角
的外心，角
的对边分别为
，且
，
，
则
面积的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、求三角形面积的最值或范围
【分析】利用向量的运算法则和数量积的几何意义可得
，结合余弦定理计算求得
的取值范围，最后由三角形的面积公式可求得结果.
【详解】如图，分别作
的中点
，连接
，由题
，
因为
，所以
，
即
，则
，
因为
，所以
，即
；
因为
为锐角三角形，即
，所以
；
所以
，即
，解得
，所以
；
，即
，解得
，
所以
，所以
，所以
，
所以
面积
，
又
，所以
；
所以由
得
.
故选：A.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求．全部选对的得6 分，选对但不全的得部分分，有选错的
得0 分．
9.
设
的内角
的对边分别为
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
一定是锐角三角形
B．若
，则
一定是钝角三角形
C．若
，则
一定是等边三角形
D．若
，则
一定是等腰三角形
【答案】BCD
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角
形形状
【分析】利用正弦定理、余弦定理边角互化逐项判断即可.
【详解】A，由余弦定理
可得
为锐角，
但
角度不确定，
可为钝角三角形或直角三角形，A 错误；
B，由余弦定理
可得到
为钝角，故
一定是钝角三角形，B 正
确；
C，因为
，由正弦定理可得
，即
，
又
均为
的内角，所以
，
一定为等边三角形，C 正确；
D，因为
，由正弦定理可得
，即
，
所以
，又
均为
的内角，所以
，即
一定为等
腰三角形，D 正确；
故选：BCD
10. 已知
的内角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，若
，
且
的外接圆半径为1，
的面积等于
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦
定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用
【分析】对于A，根据正弦定理边角互化得
，整理即可判断；
对于B，根据面积关系得
判断；对于C，根据
得
，
且
，再根据
求解判断；对于D，先求得
，再结合诱导公式与和差角公式求解判断.
【详解】因为
，
外接圆半径为1，
所以
，整理得：
，故A 选项正确；
因为
的面积等于
所以
，即
，故B 选项错误；
所以由
得
，且
，
所以
，
因为
，
所以
，故C 选项正确；
因为
，
，所以
所以
，即
因为
，，
所以
，故D 选项正确.
故选：ACD
11.
在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，D 是AC 的中点，则（ ）
A．
B．
的面积为
C．
D．
【答案】ACD
【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、平
面向量共线定理的推论
【分析】对于A，由
及
，再结合正弦定理可化简式子得
，即求出角B 的大小；对于B，结合
及正弦定理可解得
，
再根据三角形正弦定理面积公式即可求解；对于C，根据余弦定理及基本不等式即可求解
b 的范围；对于D，结合
及基本不等式即可判断．
【详解】对于A，已知
，所以
，
也即
，
所以可得
，又
，故
，故A 正确；
对于B，
，
又由正弦定理
，
，可得
，
所以
，
又
，所以
，
所以
，也即
，又
，
解得
，所以
，故B 错误；
对于C，因为
，
，所以
，
又
，当且仅当
时取等号，
故
，也即
，故C 正确；
对于D，D 是AC 中点，所以
，
因为
，所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
，故D 正确．
故选：ACD．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12. 在
中，
的角平分线
交
于点
，且
，则
.
【答案】1
【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角形面积公式及其应用
【分析】先作垂线
交
于
，再应用面积公式计算结合边角关系及勾股定理
计算求解.
【详解】设
，则
，过
作垂线
交
于
.
依题意有
，所以
，即
.
在
中有
，所以
.
在
中，
，即
，
化简可得，
，即
，
解得
(舍负).
又
，所以
.
故答案为：1.
13. 已知
分别为
三个内角
的对边，若
，则
.
【答案】
/
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用
【分析】由正弦定理可得
，再利用
化简可得
，再结合两角差的正弦公式求解即可．
【详解】
，
，
由正弦定理得
，
，
，
，
又
，
，
，即
，
，
，
又
，
，
，即
.
故答案为：
.
14. 在锐角
中，内角
，
，
所对的边分别为
，
，，
，则
的最大值是 .
【答案】0
【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、基本不等式求和的最小
值
【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式化简
得
，然后利用
两角和的正切公式得
，令
，
则
，进而利用基本不等式求解最大值即可.
【详解】因为
，由正弦定理得
，
因为
，所以
，则
，
又因为
，所以
，
即
，
由于
是锐角三角形，
，
，等式两边同时除以
，
得到
，即
，
因为
，所以
，则
，
所以
，
由
，可得
，令
，
由
是锐角三角形知
，
，
，
，
则
，
根据基本不等式得2-
，当且仅当
时等号成立，
即
的最大值为0.
故答案为：0
四、解答题：本题共5 小题，共77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤．
15. 设
的内角
所对应的边分别是
，且
．
(1)求角
的值．
(2)
，
，求
的面积．
【答案】(1)
；
(2)
【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、
余弦定理解三角形
【分析】（1）由正弦定理得到
，再由三角恒等变换
化简得
，即可求得
；
（2）由题给关系求得
，
，再由正弦定理得
，再由三角形面积公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
所以由正弦定理得
，
所以
，
即
，
由
可得
，所以
，
所以
；
（2）因为
，
，所以
，所以
，
所以
，
，
由正弦定理得
，即
，所以
，
所以
.
16. 在
中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c，若
，
．
(1)求a；
(2)若
的面积为
，求AB 边上的高CD．
【答案】(1)4；
(2)
.
【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、
余弦定理解三角形
【分析】（1）由
，可得
，
，然后由正弦定理结合
可得答案；
（2）由
面积为
，可得
，由余弦定理可得
，再结合
面积为
可得答案.
【详解】（1）根据
，可知
，
，
因为
，即
，
所以
，即
；
（2）
，解得
，
则
，解得
，
，
．
17. 已知
的外接圆半径为 1，
为其外心，角
的对边分别为
、
(1)若
，求 ；
(2)若
为锐角三角形，且
，求
周长
的最大值.
【答案】(1)2
(2)
【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范
围、数量积的运算律
【分析】（1）利用正弦定理解三角形可得答案；
（2）由
，利用正弦定理把边换成角，然后两边同乘以
，化简，可得
的角度，再利用正弦定理把周长表示成关于角
的函数，利用三角函
数最值的求法可得答案.
【详解】（1）由正弦定理有
，
所以有
，由余弦定理
得，
，解得
.
（2）
，
则有
，
两边同乘
则化简有：
，
所以
，
所以
，所以
，所以
，
，
则有：
，
则有
，其中
．
其中仅当
时取等，所以周长的最大值为
．
18. 如图，在四边形
中，O 为对角线
的交点，
，
，
，
且
．
(1)求
的长.
(2)设
若
且
，求
的长．
【答案】(1)
；
(2)
.
【知识点】几何图形中的计算、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形、二倍角的余弦公
式
【分析】（1）在
与
中，根据余弦定理结合题设条件列式求解即得
的长；
（2）由
+
=
，
得到
，代入
求得
；在
与
中，由正弦定理得
，得到
，进而得
的长.
【详解】（1）设
,
,
，
，
在
与
中，
，且
，
由余弦定理得
，
所以
，
化简，得
，即
.
（2）
+
=
，
∴
，
在
中，
，
∴
，
，
由
，得
，
即
，
，
解得
或
（舍去），
所以
，则
，
,
在
与
中，由正弦定理得
，
,
结合（1）
，则
，即
，所以
.
19. 如图，在平面四边形
中，
，
为线段
上一点，且
，
.
(1)若
，求
；
(2)记
，
，
，
（ i ） 证明：
；
（ii） 求
的值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形
【分析】（1）在
中，由余弦定理可得
，再在
中，由正弦定理可得解；
（2）（i）由三角形内角和为
，及诱导公式可知
，再在
与
中分别用余弦定理可得
，再在
及
中用余弦定理可得
与
，即可得证；（ii）根据两角和与差的余弦公式化简可得解.
【详解】（1）在
中，由
，且
，
可得
，
，
由余弦定理可得
，
即
，即
，
又
，所以
，
即
，
所以在
中，
由正弦定理可知
，
即
，即
；
（2）（i）在
中，易知
，
则
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知
，
又在
中，
由余弦定理可知
，
则
，化简可得
，
即
，
所以
，
在
中，由余弦定理可知
，
在
中，
，
则由余弦定理可知
，
所以
，
即
成立；
（ii）由（i）可得
，
即
，
又
，
则
，
整理可得
，
即
，
，
又在
中可知
，
所以
，
则
.
