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专题 03 三角函数与解三角形
3大考点概览
考点01三角函数
考点02三角恒等变换
考点03解三角形
考点1 三角函数
一、单选题
1．（2026·安徽宿州·一模）已知函数 ，当 时， 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为 ，然后再利用正弦函
数的基本性质可求出函数 的最小值.
【详解】由 ，
根据二倍角公式得 ，
当 时，所以 ，结合正弦函数图像可知，
时， 的最小值为 ,
最大值为 ，故 ，
因此 ，所以 的最小值为 .
故选：B.2．（2026·安徽合肥·一模）已知函数 为偶函数，则 的最小值
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性定义确定函数 的奇偶性，进而得到函数 的
奇偶性，再借助余弦型函数的奇偶性求出参数值.
【详解】函数 的定义域为 ，令函数 ，
，即函数 是奇函数，
而函数 是偶函数，则函数 是奇函数，
因此 ，解得 ，又 ，
所以当 时， 取得最小值 .
故选：C
3．（2026·安徽黄山·一模）函数 的图象向左平移 后关于 轴对称，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出平移后的解析式 ，再根据余弦函数的对称性即可得到
，解出即可.
【详解】 向左平移 后解析式为 ，
若其图象关于 轴对称，则 ，则 ，又因为 ，则当 时， 取得最小值，为 .
故选：C.
4．（2026·安徽淮南·一模）已知 ，若 （ 为自然
对数的底数），则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
【分析】由三角函数诱导公式得到 ，构造函数 ，
由其单调性得到 ，代入 ，进而可求解.
【详解】由 ，可得 ，
即 ，
因为 ，则 ，
令 ，则 ，
因为 在 单调递增， 在 单调递减，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 ，
令 ，
当 时， 得到最小值 ，所以 ，所以 的最大值为 ，即 的最小值为 ，
所以 取得最小值3.
故选：B
二、多选题
5．（2026·安徽安庆·一模）已知函数 的最小正周期为 ，则 图象的
对称中心的坐标可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【分析】先根据周期得出 ，再应用正切函数的对称中心计算求解.
【详解】由题意可得 ，解得 （负值舍去），则 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，故 、 都是 图象的对称中心，故B、
D正确；
令 ，解得 ，由 不符，故 不是 图象的对称中心，
令 ，解得 ，由 不符，故 不是 图象的对称中心，故A、C 错误.
6．（2026·安徽合肥·一模）已知函数 ．若存在不相等的实数 ，使得
，则下列说法中正确的有（ ）
A．B．若 的最小值为 ，则
C．若 ，则 的取值范围为
D．若 ，且 的最大值为 ，则 的取值范围为
【答案】ACD
【分析】A根据函数值域可求；B根据周期计算；C求出 ，结合正弦函数的性
质可求；D求出 的最大值，结合正弦函数的性质可求.
【详解】因为 ，所以 ，
因为存在不相等的实数 ，使得 ，
所以存在不相等的实数 ，使得 ，故A正确；
若 的最小值为 ，则 ，得 ，故B错误；
若 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，故C正确；
因为 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，
则 ，得 ，故D正确.
故选：ACD
7．（2026·安徽马鞍山·一模）已知函数列 ，则（ ）A． 在区间 上单调递减
B． 的图象关于直线 对称
C． 的最小值为
D． 的最大值为1
【答案】ACD
【分析】利用辅助角公式及正弦函数性质判断A；利用轴对称的定义判断B；确定函数 的周
期，利用导数求出周期长的区间上的最值判断CD.
【详解】对于A， ，当 时， ，
函数 在区间 上单调递减，A正确；
对于B， ，
， ，
的图象关于直线 不对称，B错误；
对于CD， ， ，
，因此函数 是以 为周期的周期函数，
求导得 ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，当 时， ，，由 的周期性得 在R上的最大值为1，
最小值为 ，因此 ， ，CD正确.
故选：ACD
8．（2026·安徽黄山·一模） 是 的最大内角，且 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． 可能为锐角三角形 B． 的最大值为
C． 面积的最小值为 D． 的最小值为2
【答案】BD
【分析】对于A，由 ，利用三角恒等变换化简可得 ，
结合 是 的最大内角分析可得 ，进而判断即可；对于B，由 ，可得
，结合角 的范围求解判断即可；对于C，结合 ，
求解判断即可；对于D，由 ，可得 ，进而根据基
本不等式求解判断即可.
【详解】对于A，由
，
则 ，
即 ，所以 ，
则 ，
即 ，由于 是 的最大内角，
则 ，所以 ，则 ，即 ，
故 为直角三角形，故A错误；
对于B，由于 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
所以 ，
则 时， 取得最大值为 ，故B正确；
对于C，由于 ， ，
则 面积为 ，故C错误；
对于D，由于 ，则 ，即 ，
又 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
则 的最小值为2.
故选：BD
三、填空题9．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数 ，关于 的方程
有6个不同的实数根，则 的取值范围为_______________.
【答案】
【分析】问题化为 上 有4个不同实根，且 有2个不同实根，
结合正弦函数的图象得 ，即可得.
【详解】 共有6个不同的实根，
由 ，则 有4个不同实根，且 有2个不同实根，
根据正弦函数的图象知 ，可得 .
故答案为：
四、解答题
10．（2026·安徽淮南·一模）已知函数 的最大值为1， 为
常数．
(1)求函数 在 上的单调递增区间；
(2)求使 成立的 的取值集合．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得 ，利用最大值为1求出 ，进而
求 在 的单调增区间即可求解；
（2）由 得 ，利用三角函数的性质解不等式即可求解.
【详解】（1）函数
，
因为 的最大值为1，
所以 ，解得 ，所以 ．
令 ，
解得： ，
又因为 ，则取交集 ，所以 在 的单调递增区间为 ；
（2）因为 ，即 ，可得： ．
所以 ．
解得：综上： 成立的 的取值集合是 ．
考点2 三角恒等变换
一、多选题
1．（2026·安徽淮南·一模）在 中， ， 在线段 上，且
．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理进行边角转化，可得 ，可判断A正确；结合 ，
可得 .利用诱导公式可得 ，由此可求 ，判断B；由诱导公式及两角和
的正弦公式求得 ，根据正弦定理求出 ，由 及角平分线定理得 ，
由此求得 ，判断C； 中，由余弦定理求得 ，判断D.
【详解】由正弦定理 ，得 ，所以 ，所以A正确；
因为 ，所以 .
由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 .所以 .所以B错误；
由 ，得 .
所以 .
所以 .
由正弦定理 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 .所以C正确；
中，由余弦定理得：
.
所以 .所以D正确.
故选：ACD.
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知直线 与单位圆 （ 为坐标原点）交于 两点，
下列说法正确的有（ ）A． 的最大值为2
B．当直线 过点 时， 的最小值为
C．当 时， 中点的轨迹方程为
D．当原点 到直线 的距离为 时， 的最大值为
【答案】ABD
【分析】由题意圆 ，圆心为原点，半径为1，利用圆的性质判断A、B、C，根据原点
到直线 的距离为 ，得到 并设 ，利用向量法及 、
确定 纵坐标的 表示，再由三角恒等变换、正弦函数的性质求最大值判断D.
【详解】由题设，圆 ，圆心为原点，半径为1，
所以，当直线 过原点时所得 最大，为2，A对，
显然点 在圆 内，若直线 过该点，
则该点与点 所在直线与直线 垂直时， 最小，为 ，B对，
由 ，则其中点与圆心 的距离 ，
所以 中点的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，则方程为 ，C错，
若原点 到直线 的距离为 ，即 中点 在圆 上，且 ，设 ，则 ，与 垂直的一个单位向量为 ，
而 ，则 ，又 ，
所以 ，而 关于 对称，则
，
所以 ， ，则 且
，
所以 时， 最大值为 ，D对.
故选：ABD
二、填空题
3．（2026·安徽合肥·一模）在 中，角 的对边分别是 ，若
，则 __________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得 ，再由正弦定理可得 ，即可得解.
【详解】因为 ，由正弦定理，可得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又由正弦定理，可得 ，即 ，
因为 ，所以 ．
考点3 解三角形
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）位于某海域 处的甲船获悉，在其正东方向相距 的 处有一
艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西 ，且与甲船相
距 的 处的乙船.那么 的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解.
【详解】如图，在 中， ，
由余弦定理，得 ，
由正弦定理得 .
故选：A
2．（2026·安徽芜湖·一模）正四棱锥 的底面边长为4，且所有顶点都在半径为3的同一
球面上,则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ）A． 或 B． 或 C． D．
【答案】A
【分析】设外接球球心为 ，底面中心为 ，外接球半径 ，利用 求出
进而得到侧棱长，根据异面直线的概念可知 即为异面直线 与 所成角的平面角，在
中利用余弦定理求解即可.
【详解】设外接球球心为 ，底面中心为 ，外接球半径 ，
因为底面边长为4，所以 ，
易知球心 在线段 上，则 ，解得 或 ，
当 时，又 ，解得 ，
因为 ，所以 即为异面直线 与 所成角的平面角，
在 中，由余弦定理可得 ，解得 ，
当 时，又 ，解得 ，
因为 ，所以 即为异面直线 与 所成角的平面角，
在 中，由余弦定理可得 ，解得 ，
故选：A
3．（2026·安徽淮北·一模）已知过点 的直线与圆 交于 两点．若 的面积
为8，则点 的坐标可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形的面积得到 是等腰直角三角形，进而求出圆心到直线 的距离，与选
项中的点到圆心距离进行比较即可.
【详解】圆的半径 .
，
所以 ， ，所以 是等腰直角三角形，
此时弦 的长度为 ，
.
选项A： ，不符合条件.
选项B： ，不符合条件.
选项C： ，不符合条件.
选项D： ，符合条件.
故选：D.
二、多选题
4．（2026·安徽淮南·一模）在 中， ， 在线段 上，且
．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】由正弦定理进行边角转化，可得 ，可判断A正确；结合 ，可得 .利用诱导公式可得 ，由此可求 ，判断B；由诱导公式及两角和
的正弦公式求得 ，根据正弦定理求出 ，由 及角平分线定理得 ，
由此求得 ，判断C； 中，由余弦定理求得 ，判断D.
【详解】由正弦定理 ，得 ，所以 ，所以A正确；
因为 ，所以 .
由 ，得 ，即 .
因为 ，所以 ，所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，所以 .
所以 ，所以 .
所以 .所以B错误；
由 ，得 .
所以 .
所以 .由正弦定理 ，得 .
因为 ，所以 ，所以 .
所以 .所以C正确；
中，由余弦定理得：
.
所以 .所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题
5．（2026·安徽合肥·一模）在 中，角 的对边分别是 ，若
，则 __________．
【答案】2
【分析】借助正弦定理将边化为角后，利用三角形内角和及两角和的正弦公式可得 ，
再由正弦定理可得 ，即可得解.
【详解】因为 ，由正弦定理，可得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
所以 ，又由正弦定理，可得 ，即 ，因为 ，所以 ．
6．（2026·安徽安庆·一模）已知 的面积为 ， ，
，则 ___________．
【答案】
【分析】过 作 交 于点 ，分别表示出 ，再由三角形的面积先求出 的值，
根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出 .
【详解】
如图所示，过 作 交 于点 .
则有 ，
， .
因为 的面积为 ， ，
所以 ，解得 .
所以
.
解得 ，即 .四、解答题
7．（2026·安徽安庆·一模）如图，在平面四边形 中， ， ．
(1)证明： ；
(2)已知 ， 的外接圆半径为 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用正弦定理可证明结论.
（2）设 ，利用正弦定理，结合三角形的面积公式，用 表示出 的面积，再利用
导数求 面积的取值范围.
【详解】（1）在 中， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，且 ，
所以 .
（2）在 中，设
， .
所以 或 ， ，
所有由三角形内角和可得 .
所以设 ， ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增,
所以 .
所以 面积的取值范围为 .
8．（2026·安徽马鞍山·一模）如图，四棱锥 中，
， .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）利用等腰梯形的性质及余弦定理分别求出 ，再利用勾股定理的逆定理及线面
垂直的判定、面面垂直的判定推理得证.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，再利用面面角的向量法求解.
【详解】（1）因为在四棱锥 中， ，
所以四边形 为等腰梯形， ，则 ，所以 ，则由余弦定理得 ，
在 中， ，于是 ，
因此 ，又 ，即 ，
而 平面 ，
则 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）在平面 内过 作 ，由（1）得直线 两两垂直，
以 为原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ，
，
设平面 与平面 的法向量分别为 ，
则 ，令 ，得 ，
，令 ，得 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 .9．（2026·安徽合肥·一模）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)求内角 的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2) ．
【分析】（1）先由题意结合诱导公式得到 ，再由余弦定理角化边即可求证；
（2）由（1）结合余弦定理和基本不等式求出 的最小值即可由余弦函数性质得解.
【详解】（1）证明：因为 ，
所以由题得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，所以 ．
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 即 时等号成立，
所以 的最小值为 ， ，
所以内角 的最大值为 ．
10．（2026·安徽芜湖·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，满足
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长.【答案】(1) ；
(2) .
【分析】（1）由正弦边角关系及三角形内角的性质化简条件得 ，即可求；
（2）由余弦定理及已知得 ，进而即得.
【详解】（1）由 及正弦边角关系得 ，
而 ，整理得 ，
因为 ，所以 ；
（2）由余弦定理 ，得 ，
进而得 ，得 ，
所以 的周长为 .
11．（2026·安徽淮北·一模）在 中， 分别为内角 所对的边，满足：
.
(1)求角 ；
(2)若 ，求内角平分线 的长．
【答案】(1)
(2) ．
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出 ．
（2）利用向量的数量积求出 的值，设 的长为 ，则 ，利用三角形的面积
公式得到 的等式，解出 的值，即为 的长．【详解】（1）由 ．
故 ，而 ，得 ．
（2）由 ，
设 的长为 ，由 ．
即 的长为 ．
