文档文本内容
空间几何体的体积与表面积
考点1
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专题04 空间向量与立体几何
3 大考点概览
考点01 空间几何体的体积与表面积
考点02 外接球与内切球
考点03 空间向量与点线面的位置关系
一、单选题
1．（2026·安徽滁州·二模）如图，在棱长为2 的正方体
中，点
分别在线段
和
上，下面结论中不正确的是（ ）
A．四面体
的体积为
B．存在点
，使
为等边三角形
C．过点
三点的正方体截面一定是平行四边形
D．有且仅有一条直线
与
垂直
【答案】D
【分析】A 选项，根据锥体体积公式进行求解；B 选项，设
，
，需满足
与
的夹角等于
，建立空间直角坐标系，由夹角公式得
，令
，
结合零点存在性定理可得B 正确；C 选项，画出截面图形，得到C 正确；D 选项，举出例子，得到
不止一条直线
与
垂直.
1
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【详解】A 选项，点
在线段
上，故点
到直线
的距离
，
故
，
又点
在线段
上，故点
到平面
的距离
，
故四面体
的体积为
，故A 正确；
B 选项，假设存在点
，使
为等边三角形，故
，
由勾股定理可得
，
所以
，故只需
与
的夹角等于
即可，
以
为坐标原点，
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
设
，
，则
，
故
，
则
，
整理可得
，两边平方得
，
即
，令
，
显然
在
上单调递增，
其中
，
，
故由零点存在性定理可得
，使得
，
2
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所以假设成立，故存在点
，使
为等边三角形，B 正确；
C 选项，在平面
中，过点
作
，
分别交
于点
，连接
，
由于平面
平面
，故
，故四边形
为平行四边形，
当
分别在线段
和
运动时，均满足四边形
为平行四边形，
故过点
三点的正方体截面一定是平行四边形，C 正确；
D 选项，当
分别与
重合时，
⊥
，
又
为等边三角形，所以当
为
的中点，
与
重合时，
⊥
，
故不止一条直线
与
垂直，D 错误.
2．（2026·安徽淮南·二模）已知圆台的上、下底面的半径大小分别为2 与4，其母线与下底面所成
角的余弦值为
，则该圆台体积的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先由圆台的母线与底面所成的角求出圆台的高，再由圆台的体积公式求体积即可.
3
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【详解】如图，设圆台上底面圆心为
，下底面圆心为
，梯形
为圆台的轴截面，高为，
过
作
于
，
即为母线与下底面所成角，则
.
因为圆台的上、下底面半径分别为2 和4，所以
，
由
，所以
，所以
，即
，
由圆台的体积公式为
.
3．（2026·安徽安庆·二模）三棱锥的底面为边长为1 的等边三角形，三个侧面三角形中至少有两
个为等腰直角三角形，则该三棱锥的体积不可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】（1）
是等边三角形，且
，如下图所示，
由于
，
平面
，所以
平面
，
因为
，
，所以
，
所以
，则
.
4
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（2）
是等边三角形，且
，如下图所示，
由于
，
平面
，所以
平面
，
所以
.
（3）
是等边三角形，且
，如下图所示，
取
的中点
，连接
，则
，
，
所以
，所以
，所以
，
所以
，
，
平面
，
所以
平面
.所以
.
5
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二、多选题
4．（2026·安徽滁州·二模）正方体
的棱长为2，点
在平面
内（含边界），
且点
到点
的距离与到平面
的距离相等，点
为线段
中点，则（ ）
A．三棱锥
的体积为定值
B．恰有两个点
，使得直线
平面
C．
的最小值为
D．若
与平面
所成角的正弦值为
，则
到平面
的距离为
【答案】ACD
【分析】对于A：根据等体积法计算即可；对于B：建立空间直角坐标系，根据点
到点
的距离
与到平面
的距离相等得到点
的轨迹方程
，结合线面平行的向量求法得到
，联立求解即可；对于C：求出
的解析式，结合换元法及二次函数最值求解即可；
对于D：根据线面角的向量求法得到
，与点
的轨迹方程联立求解即可.
6
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【详解】对于A：正方体
中，平面
平面
，
又点
在平面
内（含边界），所以点
到平面
的距离
为定值.
又点
为线段
中点，所以
，则
.
故
，为定值，故A 正确.
对于B：以
为原点，以
，
，
为
，
，
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
，
，
因为点
为线段
中点，所以
.
设
，
则
，
点
到平面
的距离为
，
所以
，整理得
，即点
的轨迹方程为
.
7
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设平面
的法向量为
，
，
，
则
，即
，令
，则
，
，所以
.
且
.
若直线
平面
，则
，所以
，即
.
联立
，整理得
，解得
或
.
因为
，所以
.
故只有1 个点
，使得直线
平面
，故B 错误；
对于C：由选项B 可知，
，
，则
.
又
，
，所以
.
又
，所以
.
令
，则
.
令
，则
，则
，
当
，即
时，
取最大值1，
此时
取最小值
，
取最小值
，故
的最小值为
，C 正确.
对于D：已知平面
的一个法向量为
，
.
8
外接球与内切球
考点2
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因为
与平面
所成角的正弦值为
，
则
，整理得
，
联立
，整理得
，即
，
解得
或
（舍去），
故
到平面
的距离为
，D 正确.
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·二模）已知圆柱的轴截面是周长为24 的矩形，其上下底面的圆周都在同一球
面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用
二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积.
【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则
，即有
，
圆柱的侧面积
，
故当且仅当
、
时，取最大，
此时圆柱的外接球半径为
，
则该球的体积
.
2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知三棱锥
中，棱
，
，
两两垂直，且长度都为
．以为球心，4 为半径的球与三棱锥的表面相交所得到的曲线长度为（ ）
9
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A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对于每个相交面，利用点到面的距离公式，结合球的半径，求出交线圆弧的半径；再通过
几何关系确定圆心角，最后将所有相交得到的曲线长度相加，得到总长度.
【详解】面
是过的平面，截球所得截面圆的圆心为，半径为
,
顶点
都在球内（
），
在球外（
），
因此
和
各有一个交点，交线为两点间的圆弧,
上交点
满足
，得
，
又
（
中
），因此圆弧圆心角
，弧长
，
同理，面
与
对称，弧长
，
是等边三角形，
、
各有一个交点，圆心角为
，
弧长：
，
到面
的距离
，截面圆半径
，截面圆心为
，
弧长：
，
.
二、多选题
3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，五面体
中，
，
，
，
，
，点P 为线段
上的动点，则下列结论正确的是（ ）.
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A．
B．平面
平面
C．平面
截该几何体所得截面面积的最小值为
D．三棱锥
外接球的表面积为
【答案】ABD
【分析】对于A，利用线面平行的性质判断即可；对于B，利用线面垂直证明面面垂直；对于C，
分析出当
，
之间的距离最小时，梯形
的面积最小，再计算面积的最小值；对于D，
建立空间直角坐标系根据外接球性质计算半径后求表面积.
【详解】对于A，因为
，
平面
，
平面
，
所以
平面
，
又
平面
，平面
平面
，
所以
，又
，
所以四边形
为平行四边形，则
，正确.
对于B，因为
，
，
故四边形
为等腰梯形.
如图，过点F 作
，垂足为O，连接
，
又
，
，所以
，
又
，所以
.
取
的中点Q，连接
，
因为
，
，
所以
，
，
，
又
，
所以四边形
为矩形，
11
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所以
，
又
，所以
，
故
，又
，
，
所以
平面
，
又
平面
，所以平面
平面
，故正确.
对于C，如图，设截面
与棱
交于点M，连接
，
，因为
，
平面
，
平面
，所以
平面
，又平面
平面
，
所以
，
又
，所以
，
所以截面
是梯形.因为四边形
为平行四边形，
所以
.又
，
所以当
，
之间的距离最小时，梯形
的面积最小.
显然，
，
之间的最小距离等于直线
到平面
的距离，
也就是点O 到平面
的距离.
过点O 作
，垂足为H，
由B 知
，
，又
，
所以
平面
，则
平面
，
所以
，又
，
，
所以
平面
.所以点O 到平面
的距离等于
，
在
中，
.
所以截面面积的最小值为
，故错误.
对于D，由B 可知
，故由正弦定理可得，
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外接圆的半径
.
因为
，
所以
外接圆的圆心
在
上，且
.
如上图，以点O 为坐标原点，分别以
，
，
所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
.
易知三棱锥
外接球的球心T 在过点
且与底面
垂直的直线上，
故可设T 的坐标为
，
因为A，F 均在球T 的球面上，
所以
，
得
，
所以三棱锥
外接球的半径
，
故三棱锥
外接球的表面积为
，故正确.
4．（2026·安徽淮北·二模）设正六棱锥
的侧面与底面所成的角为
，则（ ）
A．若
，则
的侧棱与底面所成角的余弦值为
B．若
的高为，
，则其内切球半径为
C．若
的高为，
，则其外接球半径为
D．若
的体积为定值，则其表面积最小时
【答案】ABD
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【分析】对于A 选项，可得
（正六边形半径等于边长），侧棱
，再由
求解即可；对于B 选项，内切球心在高
上，半径
等于球心到侧面的距离，设
六棱锥底面面积为
，侧面面积为
，由棱锥体积为
以及
求解即可；对于C 选
项，外接球心在高
上，设球心为
，半径为
，由
为直角三角形求解即可；对于D 选
项，列出正六棱锥表面积表达式，求解即可.
【详解】正六棱锥如图所示，顶点为
，
设正六棱锥底面正六边形的边长为
，底面中心为
，顶点为
，高
，
底面正六边形的边心距（中心到边的距离）：
，
侧面等腰三角形的斜高（顶点到底边的距离）：
，
侧面与底面所成二面角
满足：
当
时可解得
，
对于A 选项，侧棱与底面所成角为侧棱
与底面的夹角，即
，如图，
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其中
（正六边形半径等于边长），侧棱
，
，因为
，则
，故A 正确；
对于B 选项，内切球心在高
上，半径
等于球心到侧面的距离，设六棱锥底面面积为
，侧面
面积为
，则棱锥体积为
，
表面积：
，由
可得
，
代入可得，
，又因为
，所以
，
故B 正确；
对于C 选项，外接球心在高
上，设球心为
，半径为
，则
，
，
，在
中：
，即
，
代入
，可得
，即
，故C 错误；
对于D 选项，设体积
为定值，底面边长为
，高为，底面边心距为
，所以
，
底面积
，体积
，
侧面与底面成角为
，斜高为
，侧面积
，
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总表面积为
，将
，即
，
代入可得
，
因为
为定值，只需要研究
，令
，则
，
则
，则
，
因为
，则
等价于
，即
，解得
，故
D 正确.
5．（2026·安徽池州·二模）如图，在棱长为1 的正方体
中，
，
过点B，E，F 的平面截该正方体所得的截面记为S，若三棱锥
的外接球球心
，则
（ ）
A．
B．S 为五边形
C．S 的面积为
D．S 分正方体所得两部分中，较小部分与较大部分
的体积比为
【答案】AC
【分析】以
为原点，建立空间直角坐标系，求得
，
和
，求得平面
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的法向量为
，结合
，列出方程，求得
，可判定A 正确；得到
截面的形状为等腰梯形
，可判定B 不正确；结合梯形的面积公式，求得截面的面积，可判定
C 正确；结合棱台的体积公式，结合正方体的体积，可判定D 不正确.
【详解】对于A，以
为原点，以
所在直线分别为
轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，可得
，
因为
，所以点
为
中点，可得
，
又因为
，设
，可得
，
所以
，可得
，解得
，所以
，
由三棱锥
的外接球即为
为棱的长方体的外接球，
因为
，可得对应长方体的对角线长为
，
所以
的外接球的半径为
，
可得球心
为长方体的对角线的中点，所以
，
设平面
的法向量为
，
由
，令
，则
，所以
，
因为
，所以向量
与平面
的法向量为
垂直，则
，
即
，解得
，所以A 正确；
对于B，当
时，可得
，此时点
为
的中点，
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因为点
为
中点，可得
，
在正方体
中，可得
，所以
，
此时过点
的平面截正方体的截面为等腰梯形
，所以B 不正确；
因为正方体
的棱长为，可得
，
设等腰梯形
的高为，
则
，
所以等腰梯形
的面积为
，所以C 正确；
对于D，因为正方体
的棱长为，可得其体积为
，
又因为
分别为
的中点，
根据棱台的定义，可得多面体
为三棱台，
且
，高
，
可得三棱台
体积为
，
所以较大部分的体积为
，
所以较小部分与较大部分的体积比为
，所以D 错误.
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三、填空题
6．（2026·安徽合肥·二模）如图，点
均在球
的表面上，
，
，平面
平面
，则球
的体积为___________．
【答案】
/
【分析】根据面面垂直的性质、线面垂直的判定定理和性质、勾股定理的逆定理、平行线的性质建
立空间直角坐标系，结合球的性质，利用空间两点间距离公式、球的体积公式进行求解即可.
【详解】取
的中点为
，
因为
，所以
，
又因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
因为
，
，
所以
，因此
，
因为
平面
，
平面
，
所以
，因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以
，
，
.
在平面
内，过
作
，交
于点
，
所以
，
19
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所以可以建立如图所示的空间直角坐标系，
于是有
，
设
，显然有
，
所以有
，
所以球
的半径为
，
所以球
的体积为
.
四、解答题
7．（2026·安徽淮南·二模）如图，在直四棱柱
中，
，
.
20
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(1)证明：
平面
；
(2)动点
满足
，且点
，
，
，
在同一球面上，设该球面的球心
为
，半径为
.
（i）求
的取值范围；
（ii）当
最大时，求平面
与平面
的夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据直四棱柱性质利用线面垂直判定定理证明可得
平面
；
（2）（i）建立空间直角坐标系，利用
可求出球心
以及点
的坐标表示，利用
可得取值范围
；
（ii）易知当
最大时
,求出平面
与平面
的法向量，求出两法向量夹角余弦值的
绝对值即可.
【详解】（1）因为在直四棱柱
中，
平面
，
又
平面
，所以
，
因为
，所以
，
在
中，
，
，满足
，
所以
，
21
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又
，
平面
，
所以
平面
；
（2）（i）因为在直四棱柱中，
，
所以四边形
为平行四边形，四边形
为正方形，
所以
平面
，
因此
两两垂直，以点
为坐标原点，分别以
所在直线为
轴，建立空
间直角坐标系，如下图所示：
根据题意可得
；
取
的中点
，
的中点为
；
因为球
经过点
，
，
，且
为等腰直角三角形，
所以球心
在直线
上，
设
，
则
，
又
，
22
空间向量与点线面的位置关系
考点3
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点
在球
上，所以
，
可得
，故
；
因为
，所以
，
；
所以
，即
；
因此该球的半径
的取值范围为
；
（ii）当球的半径
最大时，
，
，
所以
，
，即点
与点
重合；
此时
，
设平面
的一个法向量为
，
则有
，令
，可得
，
所以
，
即平面
的一个法向量为
，
因为
平面
，可得平面
的一个法向量为
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角的余弦值为
.
一、多选题
1．（2026·安徽安庆·二模）在棱长为1 的正方体
中，点
是正方形
内（含
23
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边界）一动点，若点
到平面
的距离为
，则（ ）
A．点
的轨迹长度等于
B．
平面
C．直线
与平面
所成角的正弦值的最大值为
D．异面直线
与
，所成角的余弦值的最小值为
【答案】ACD
【详解】构建空间直角坐标系，分别以
所在直线为
轴，
轴，
轴，
则可得
，
因为点
在平面
（含边界）一动点，则可设点
，设
为点
到平面
的距离.
对于A，根据题意可设平面
的方程为
，
则有
，解之可得
，令
，则可得
，
所以平面
的方程为
，
再根据点到平面的距离公式可求出
，
24
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而
，所以可求出
，
当
时，
，当
时，
，而
，即点
为一条线段，
由点
的轨迹长度为
，故A 正确；
对于B，因为
，
，所以可知
平面
，所以
同理可证
，
是平面
法向量，
，
根据
平面
，则有
，可求出
，
而由A 可知
，
有矛盾，故可判断B 错误；
对于C，法（一）直线
与平面
所成角为
，则
，
而
为点
到平面
的距离，
根据两点之间距离公式可求出
，
，要使
最大，则只需
最小即可，
当
时，
取最小值为
，所以
，
法（二）点
为
中点，点
为
中点，根据图形可知当点
位于线段
中点时，
线段
最短，
，
25
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此时直线
与平面
所成角最大，故所成角的正弦的最大值为
，故C 正确；
对于D，法（一）设直线
与
所成角度为
，而
根据异面直线所成角的余弦公式可知
，
由C 选项可知
，
所以
，
令
，化简后可得
，
令
，
，
则
，
所以
在
上大于
，所以
为单调递增，
则
，则
，
所以
最小值为
，
法（二）平移
到
根据图形可知当点
位于点
时，
26
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异面直线
与
所成角最大，其余弦值最小，最小值为
，故D 正确.
二、解答题
2．（2026·安徽合肥·二模）如图，在面积为
的梯形
中，
，
，
为
的中点.将
沿
翻折至
.
(1)证明：
；
(2)当
时，求平面
与平面
夹角的余弦值；
(3)当
时，求四棱锥
体积的最大值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接
，由菱形性质可得
，即可得
；
（2）借助梯形面积可得
的面积，从而可求出
，再以
为坐标原点，建立适当空间直角坐
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标系，可求出平面
与平面
的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解；
（3）过
作
，垂足为
，利用线面垂直判定定理可得
平面
，即
为四
棱锥
的高，再设
，
，可得
，则可用
表示出
，
再构造相应函数，利用导数求出
最大值即可得解.
【详解】（1）连接
，由
为
中点，则
，又
，
则四边形
为菱形，设
，则
为
中点，
则
，故
；
（2）当
时，
是边长为
的等边三角形，
又因为梯形
的面积为
，所以
的面积为
，
所以
，所以
，
以
为坐标原点，以
，
分别为
，
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
，
，
，
所以
，
，
，
28
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设
为平面
的法向量，则
，
即
，令
，则
，所以
，
设
为平面
的法向量，则
，
即
，令
，则
，
，所以
，
所以
，
因此，平面
与平面
夹角的余弦值为
；
（3）过
作
，垂足为
，
因为四边形
为菱形，所以
，即
，
又
是平面
内的两条相交直线，
所以
平面
，因为
平面
，所以
，
又因为
，
、
平面
，所以
平面
，
设
，
，则
，
，
根据
的面积为
，得
，即
，
29
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要使三棱锥
的体积最大，则
最大，
因为
，
所以
，
，其中
，
令
，记
，
，
令
，
，或
（舍），
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
所以
，即
，
所以三棱锥
的体积最大值为
，
因此，四棱锥
体积的最大值为
.
3．（2026·安徽滁州·二模）如图，在直四棱柱
中，下底面
为平行四边形，
，
，
，
分别是上、下底面所在平面内两点，点
在棱
上，
且点
是以
为圆心的圆弧
上的动点，点
是半圆弧
上的动点（不包括端点）．
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(1)若点
在
上，证明：
平面
；
(2)设三棱锥
的外接球的半径为
，求
的取值范围．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接
，通过证明平面
平面
，即可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标表示求解即可.
【详解】（1）如图，作出符合题意的图形，连接
，
，
，
是等边三角形，
是
的中点，又
是
的中点，
，且
，
四边形
是平行四边形，
，又
平面
，
平面
，
平面
，又
，
且
平面
，
平面
，
平面
，
又
，
平面
，
平面
平面
，
又
平面
，
平面
．
31
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（2）如图，以
为原点建立空间直角坐标系，
则
，
，
，
中点坐标为
，
可设球心
，
在以
为圆心、1 为半径的圆弧上，
，
．
则
，
，
由
，
化简得
，
，
，
故
，
，
．
4．（2026·安徽淮北·二模）如图，在三棱锥
中，
为正三角形，
是棱
的中点，
，
，
．
(1)证明：
；
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(2)点
满足
，且
平面
（i）求
的值；
（ⅱ）求平面
与平面
所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）利用几何性质求出PD、CD 的长，利用勾股定理可得
，再结合线面垂直的
性质即可证明
；
（2）以
为原点，建立空间直角坐标系，（i）根据
求出E 点的坐标，再求出平面PAE
的法向量，结合
平面
即可求出
的值；（ii）进一步求出PBC 的法向量，利用空间向量
法即可求解．
【详解】（1）已知
，
，
由勾股定理得
，
又
是AB 中点，且由题意得
为等腰直角三角形，故
，且
，
在正
中，
是AB 中点，故
，且
，
在
中，有
，故
，
又
，且
平面PAB，故
平面PAB，
又
平面PAB，因此
．
（2）（i）由（1）可知，PD、CD、AB 三者之间两两互相垂直，
所以以
为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示，
由题意及（1）可得
，
，
，
，
，
33
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所以
，
，
，
由
，得
，又
，
，
设平面PAE 的法向量为
，则
可得
，
解得
（*），因为
平面PAE，所以
，
即
，联立（*）可解得
．
（ii）由前述可知
，所以对于平面PAE 的法向量为
，
有
，令
，则
，
设平面PBC 的法向量为
，又
，
则
，可得
，令
，则
，
所以两平面夹角的余弦值
．
5．（2026·安徽马鞍山·二模）如图，圆锥
的底面半径为1，高为2，
是
的直径，点
在
上，且
．
(1)求点
到平面
的距离；
(2)点
在线段
上，二面角
的大小为
，求直线
与圆锥底面所成角的正弦值．
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【答案】(1)
(2)
【分析】（1）法1，利用三棱锥等体积
，计算得解；法2，建立空间直角坐标系，
利用向量法求解；
（2）法1，取
中点
，可得二面角
的平面角为
，进而求得
，得解；法
2，利用向量法求得平面
和平面
的法向量，进而求得点
的坐标，计算得解.
【详解】（1）方法－：因为
为直径，所以
，
由
，得
，
，所以
，
所以
，
在
中，
，
，所以
，
设点
到平面
的距离为
，由
，得
.
方法二：取弧
的中点
，连接
，则
，
以
为坐标原点，
方向为
轴方向如图建立空间直角坐标系，
则
，
，
设平面
的法向量为
，
，令
，得
，
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则点
到平面
的距离为
.
（2）方法一：取
中点
，连接
、
，则
，
又
平面
，则
，
，故
面
，故
，
所以二面角
的平面角为
，即
，
在等边
中，
，
为等腰直角三角形得
，
在
中，
，故所求线面角
，
.
方法二：设
，
设平面
的法向量
，
，令
，得
，
底面
的法向量
，则
，得
，
即
，
，
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设直线
与底面所成角为
，则
.
6．（2026·安徽安庆·二模）如图，在斜三棱柱
中，
，侧面
为矩形，
在底面
内的射影为
．
(1)求证：
；
(2)若
，
与底面
所成角的余弦值为
，求平面
与平面
的夹角
的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由射影得
平面
，再结合三角形性质和线面垂直判定定理得出
.
（2）建立空间直角坐标系，求相关向量与法向量，最后利用向量夹角公式求平面夹角余弦值.
【详解】（1）因为
在底面
内的射影为
，
所以
平面
，
又
平面
，则
，
在斜三棱柱
中，
，
，
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又因为侧面
为矩形，
所以
，因此
，
因为
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以
，结合
，得
.
（2）由（1）知
两两垂直，
以
为原点，
所在直线为
轴，
平行
轴，
所在直线为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
已知
，
设
，则
，
，
又因为
与底面
所成角的余弦值为
，
所以
，
则
，
，
，
，
在平面
中，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，
，
令
，解得
，
在平面
中，
，
，
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设平面
的一个法向量为
，
则
，
，
令
，解得
，
又因为两个平面的夹角范围为
，
所以
.
7．（2026·安徽合肥·二模）如图，在四棱锥
中，底面
为菱形，
是正三角
形，
，
为
的中点．
(1)证明：平面
平面
；
(2)求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先证明
平面
，再根据面面垂直的判定定理得出结论；
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（2）利用同一法证明
平面
，然后建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面
和
平面
的一个法向量，由法向量的夹角与二面角的关系求得结论．
【详解】（1）设
，则
在
点相互平分，
又菱形
中，
，
是正三角形，则
，
而
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
；
（2）由已知
，因为
是正三角形，所以
，
中，
，
设
，垂足为
，则
，
所以
与
重合，即
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
分别以
为
轴，过
且平行于
的直线为
建立空间直角坐标系，如图，
又
，
所以
，
，
，
,
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是
中点，则
，
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，令
，得
，
设平面
的一个法向量是
，
则
，令
，得
，
所以二面角
的正弦值为
．
8．（2026·安徽池州·二模）如图1 所示，在平面四边形ABCD 中，已知
，
，将
沿直线AC 翻折至
（如图2），使得
．
(1)证明：平面
平面ACD；
(2)点F 在线段DE 上，且二面角
的大小为60°．
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（ⅰ）若
，求
的值；
（ⅱ）求CD 与平面ACF 所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（ⅰ）
；（ⅱ）
．
【分析】（1）取
的中点
，先证明
，结合
，根据线面垂直判定定理证明
平面
，再根据面面垂直判定定理证明结论；
解法一：（ⅰ）先证明
是二面角
的平面角，根据面积公式可得
，由此可求结论；
（ⅱ）过
作
交
于
，求三棱锥
的体积，利用等体积法求点
到平面
的距离，再由线面角的几何定义求结论；
解法二：（ⅰ）建立空间直角坐标系，求平面
和平面
的法向量，利用向量夹角公式列方
程求
，
（ⅱ）求直线
的方向向量，结合向量夹角公式求结论.
【详解】（1）证明：取
的中点
，由题意知
，
，所以
，
，
三点共线，
由
得
；由
得
，
又
，故
，所以
，
又
，且
，
，
平面
，
所以
平面
，又
平面
，
所以平面
平面
；
（2）解法一：（几何法）
42
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（ⅰ）由（1）知
平面
，
平面
，
所以
，又
，平面
平面
，
所以
是二面角
的平面角，所以
，
由
得
，
所以
，
即
，即
，
由
得
，所以
；
（ⅱ）过
作
交
于
，则
平面
，
由（ⅰ）知
，
所以
，
由（ⅰ）知
，所以
，
记
到平面
的距离为，所以
，
所以
，即
，
记
与平面
所成角为
，则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
解法二：（建系法）
（ⅰ）由（1）可知如图所示建系，则
，
，
，
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由
得
，
设平面
的法向量为
，由
得
，
故
，取
，可得
，所以
，
设平面
的法向量为
，
记二面角
的大小为
，则
，
化简得
，解得
或
（舍），
（ⅱ）由（ⅰ）知
，取平面
的法向量为
，
又
，记
与平面
所成角为
，
则
，
所以
与平面
所成角的正弦值为
．
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