文档文本内容
平面向量运算与数量积
考点1
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专题02 平面向量、数列
4 大考点概览
考点01 平面向量运算与数量积
考点02 平面向量的应用
考点03 数列
考点04 数列的应用
一、单选题
1．（2026·安徽淮南·一模）已知椭圆
:
的右焦点为
，上顶点为
，直线
交
于另一点
．若
，则
的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量关系得到点
坐标，代入椭圆方程化简求解即可.
【详解】椭圆右焦点为
，上顶点为
，设
.
由
得
，
所以
，
，即
.
代入椭圆方程得
，整理得
，即
.
又
，所以
.
故选：C.
2．（2026·安徽宿州·一模）已知向量
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量
为（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为
，且
，由投影向量的定义，向量
在
上的投影向量为：
.
故选：A.
3．（2026·安徽黄山·一模）已知
，
在
上的投影向量是
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】B
【分析】根据投影向量计算公式得
，再平方后展开代入计算即可.
【详解】由题意得
在
上的投影向量为
，
则
，则
，
则
.
故选：B.
4．（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子
从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分
别为
，设此时粒子
相对粒子
的位移为，则在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
2
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得
，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即
可求解.
【详解】由向量
，可得粒子
相对粒子
的位移为
，
可得
且
，
所以在
上的投影向量为
.
故选：B.
5．（2026·安徽淮南·一模）在平面直角坐标系中，四边形
为平行四边形，若向量
，则向量
在向量
上的投影向量的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量的加法求得
，然后利用投影向量的公式求得结果.
【详解】
，
∴
.
故选：A.
二、多选题
6．（2026·安徽合肥·一模）设
为坐标原点，抛物线
的焦点为
，过
的直线交
于
两点，
在第一象限，过
作直线
的垂线，垂足分别为
，则（）
3
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A．
B．若
，则
C．若
，则直线
的斜率为
D．
的面积最小值为
【答案】ABD
【分析】通过设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理、抛物线定义及代数运算，逐一验证各
选项的正确性，即可得出结果.
【详解】设直线
的方程为
，与抛物线
联立：
，
，设
，
，
由韦达定理得
，
.
因为
是
到准线
的垂足，所以
.
向量
，
.
对于选项A，因为
，且
，
所以
，所以
，故A 正确.
对于选项B：
是
到准线
的垂足，所以
，
，
.
若
，则有
所以
，
4
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又因为
，代入上式可得：
，解得：
，则
.
因此
点坐标为
，所以
，B 正确.
对于选项C：
由
得：
，即：
，
联立：
，消
可得：则
，
所以
，即
，代入化简可得：
即
解得
（
均舍去），即
.
直线
过焦点
，所以
，因此C 错误.
对于选项D：
，
，
所以
由
得
，又
，
，
所以
，则
，所以
将
和
代入面积公式：
令
，则
，代入得：
5
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令
，解得
（舍去
），即
.
此时
，
，所以
因此，
的面积最小值为
，D 正确.
故选：ABD
三、填空题
7．（2026·安徽宿州·一模）在
中，
分别是边
边的中点，若
，则
的面积是______.
【答案】
【分析】根据三角形重心的几何性质、向量的数量积公式和三角形的面积公式即可求解.
【详解】如图，设
的三条中线
交于点
，则点
为
的重心，
由重心的几何性质有
，
，
，
在
中，
，所以
，
即
，解得
，所以
，
所以
；
所以
，即
的面积是
.
故答案为：
.
6
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8．（2026·安徽安庆·一模）已知
的面积为
，
，
，则
___________．
【答案】
【分析】过
作
交
于点
，分别表示出
，再由三角形的面积先求出
的值，
根据向量数量积的定义将条件所给的等式变形化简，即可求出
.
【详解】
如图所示，过
作
交
于点
.
则有
，
，
.
因为
的面积为
，
，
所以
，解得
.
所以
.
解得
，即
.
9．（2026·安徽合肥·一模）已知直线
与
轴、
轴分别交于点
，点
在曲线
7
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上，点
在上，点
满足
，则
的最小值为_____．
【答案】
【分析】平移直线与曲线相切，求得曲线上的点到直线的最小距离，进而可求得
到直线的距
离的最小值，取
的中点为
，进而可求
的最小值.
【详解】当直线平移到与曲线
相切于点
，
此时切点
是曲线上的点到直线的距离最小的点，
由
，得
，
因为直线的斜率为，所以令
，整理得
，
解得
（舍去）或
，又
，故此时切点
，
且此时
到直线
的距离为
，
又
，故此时
到直线的距离为
，
取
的中点为
，
时，
的长取得最小值
，如图所示：
由直线
，可得
，
所以
，所以
，
又
,
故
最小时，
的最小值，且最小值为
.
故答案为：
.
8
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10．（2026·安徽芜湖·一模）已知向量
，若
，则实数
_______________.
【答案】6
【分析】由
以及数量积的坐标运算即可求解.
【详解】若
，则
，则
，
故答案为：
.
四、解答题
11．（2026·安徽宿州·一模）对任意平面向量
，把
绕其起点沿逆时针方向旋转
角得
到向量
，叫做把点
绕点
沿逆时针方向旋转
角得到点
.
(1)已知平面内点
，点
，把点
绕点
沿逆时针方向旋转
后得到点
，求
点
的坐标；
(2)若曲线
上的每一点绕原点逆时针旋转
后得到曲线
.
（i）求曲线
的方程；
（ii）已知点
在曲线
上按逆时针排列，
且有
，求直线
斜率的取
值范围.
【答案】(1)
(2)（i）
；（ii）
【分析】（1）根据题目给的旋转角定义可得答案；
9
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（2）（i）利用轨迹方程求法里的坐标转移法，以及题目给的旋转定义可得答案；（ii）方法一：
利用题目给的旋转的定义，点
的坐标用点
表示出来，代入到曲线
中，运算可得答案；方法
二：设直线，分别求出
的弦长，利用
，列方程，可得答案.
【详解】（1）
，设
，则
，
由于逆时针旋转
，根据公式有
，
解得
，即
.
（2）（i）在曲线
上任取点
，则有
，
因为绕原点旋转
，设旋转后得到点
，
必有
，
故
，即曲线
的方程为
.
（ii）方法一：（旋转设点法）设
，
利用向量坐标旋转公式，易得
，
则直线DE 斜率
，设点
，则点
为
，点
为
.
因为点E，F 在曲线
上，所以
，
即
，两式相加有
，
即
，
10
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解得
.
方法二：（常规设线法）设点
，直线
的斜率为
，
则直线
的方程为
，
联立
可得
，
化简求解得
，
同理设直线
的方程为
，可解得
，
由弦长公式可得
因为
故
，
化简得
，平方有
，
解得
或者
.
由于点
三点按逆时针排列，
不妨设点
在第三象限，即
，则有如下三种关系：
①当
时有
，如图1 所示，
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必有
或
，
解得
或者
，即
；
②当
时有
，如图2 所示，
必有
或
，
解得
或者
，即
；
③当
时解得
或者
，
显然不满足（注：
时可以理解为弦长无限长意义下的相等，与题意不符），
综上，弦
所在的直线的斜率k 的取值范围是
.
12．（2026·安徽淮北·一模）在
中，
分别为内角
所对的边，满足：
.
(1)求角
；
(2)若
，求内角平分线
的长．
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）利用正弦定理进行角化边，利用余弦定理求出
．
（2）利用向量的数量积求出的值，设
的长为
，则
，利用三角形的面积
公式得到
的等式，解出
的值，即为
的长．
【详解】（1）由
．
故
，而
，得
．
12
平面向量的应用
考点2
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（2）由
，
设
的长为
，由
．
即
的长为
．
一、多选题
1．（2026·安徽淮北·一模）将平面向量
绕起点逆时针旋转
角得到的向量记为
，已知向量
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】对于选项A，B，需要根据向量旋转的定义判断等式是否成立；对于选项C，要根据已知
条件逐步计算出
，再与右边式子进行比较；对于选项 D，需要找出
的规律，进而求出
.
【详解】对于选项A， 向量绕起点逆时针旋转
角的变换是线性变换，
对应复数乘法中的旋转因子
，两次旋转
角相当于旋转
角，
即
，故选项A 正确；
对于选项B，旋转矩阵是线性变换，满足可加性，设
，
，
则
，
则
，
，
，
13
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，
即
，故选项B 正确；
对于选项C，
，
，
，
，
故选项C 错误；
对于选项D，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
14
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故
是周期为的数列，
，又
，
，故选项D 正确.
故选：ABD.
二、填空题
2．（2026·安徽淮北·一模）已知点
是
的外心，直线
与线段
交于点
．若
，则
__________．
【答案】
/
【分析】易知
，所以
为等腰三角形，所以连接
，延长交
于点
，则
为
的中点. 根据
三点共线，及
三点共线，求得
.设
，结
合勾股定理列出相应的方程，求解得的值，进而得到
的值.
【详解】因为点
是
的外心，所以过
作
的垂线，交
于点
，则
为
的中点.
由题可知，
，所以
，所以
.
因为
，所以
.所以
为等腰三角形.
连接
，延长交
于点
，则
为
的中点.
设
，则
.
由
，得
；
所以
；
由
，
，
得
.
15
数列
考点3
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所以
，解得
.
设
，则
，
，所以
，
.
由
，得
，所以
，所以
.
所以
.
一、单选题
1．（2026·安徽马鞍山·一模）已知数列
满足：
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用归纳递推法，结合对数函数性质可得
，利用不等式性质判断AC；构造函数并
利用导数确定单调性判断CD.
【详解】数列
中，
，函数
是增函数，且当
时，
，
则
，…，
，因此
，AC 错误；
16
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，令函数
，求导得
，
函数
在
上单调递减，则
，而
，则
，
因此
，所以
，B 错误，D 正确.
故选：D
2．（2026·安徽芜湖·一模）等差数列
的前
项和为
，满足
，则公差
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】利用等差数列的通项公式和性质求解即可.
【详解】因为数列
是等差数列，满足
，
所以
，解得
，
所以由
，即
，解得
，
故选：C
3．（2026·安徽淮北·一模）记
为数列
的前
项和．若
，当
时，
，则常数的值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】B
【分析】利用等比数列的求和公式求出
，利用极限的定义求出常数的值.
【详解】设
，则
是以
为首项，公比
的等比数列，
为数列
的前
项和，
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，
，
，当
时，
，
，
.
故选：B.
二、填空题
4．（2026·安徽合肥·一模）已知等差数列
满足
，则
的通项公式为
_____．
【答案】
【分析】先列出等差数列
的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式．
【详解】已知
是等差数列，设公差为
，则
，
，
，解得
，
．
故答案为：
．
5．（2026·安徽淮南·一模）已知等差数列
的前
项和为
，
，
，则
__________．
【答案】1100
【分析】根据等差数列的通项公式及前
项和公式求解即可.
【详解】设等差数列
的首项为
，公差为
，
18
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则
，
，
联立解得
，
，
所以
，
，
所以
.
故答案为：1100.
三、解答题
6．（2026·安徽安庆·一模）设
为数列
的前n 项和，已知
，且
．
(1)求数列
的通项公式：
(2)设数列
满足
，证明：
，并求
的最大项．
【答案】(1)
(2)证明见解析，最大项为
【分析】（1）根据题设，结合
与
的关系可得
，
，进而得到数列
是以1
为首项，1 为公差的等差数列，进而求解即可；
（2）先得到
，结合极限的定义求证即可，再根据数列的单调性求解最大项．
【详解】（1）由
，得
，
当
时，
，
则
，
即
，则
，
所以数列
是以1 为首项，1 为公差的等差数列，
19
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则
.
（2）由（1）知，
，
则
，所以
.
由于数列
为递减数列，则
时，
取得最大值
，即
的最大项为
.
7．（2026·安徽宿州·一模）已知各项均不为零的数列
，且满足
.
(1)若
是公比为
的等比数列，求数列
的前
项和
；
(2)若
是公差为2 的等差数列，记数列
前
项和为
，证明：
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先应用已知转化为
得出等比数列，再应用等比数列的求和公式计算求
解；
（2）先应用累乘法求出通项公式
，再应用裂项相消法计算证明.
【详解】（1）由数列
各项均不为零，且
，所以
，
因为
是公比为
的等比数列，所以
，
因为
，所以数列
是首项为1，公比为3 的等比数列，
20
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所以
；
（2）证明：因为
，且
是公差为2 的等差数列，所以
，
即
，
当
，且
时，
，
所以
，因为
，所以
，
所以
，
所以
，
因为
，所以
.
8．（2026·安徽黄山·一模）已知
是正项数列
的前
项和，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)若
为函数
的导函数，记
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用前
项和与通项关系式，可化简得到
，从而可利用等差数列
通项公式即可求解；
（2）利用导数，代入通项公式化简，再利用裂项法求和即可.
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【详解】（1）当
时，
，因为正项数列
，所以
，
由
，得
，
两式相减得
，即
，
因为
，所以
，
故
是一个以1 为公差的等差数列，
即
．
（2）由题意
，则
，
所以
，
即
．
9．（2026·安徽淮北·一模）已知数列
满足
．
(1)设
，求证：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用等比数列的定义证明.
（2）利用等比数列的通项公式和累加法求解.
【详解】（1）由
得：
，
即
，故
为等比数列；
22
数列的应用
考点4
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（2）
，由（1）得
．即
，
于是
．
一、单选题
1．（2026·安徽安庆·一模）A 系列纸张是生活中最常用规格的纸，A 系列纸张命名规则：①一张
型号纸张沿着两条长边中点连线裁剪分开后得到两张
型号纸张；②一张
型号的纸张
面积是1 平方米；③所有
型号的纸的长宽比相等．现从
到
，每种型号的纸各取一张，则
所有纸张的周长之和为（ ）（单位：米）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由裁剪规则和长宽比建立
的递推关系，证明
为等比数列，再求通项、求和，
最后计算周长总和即可.
【详解】设
纸的宽和长分别为
，
则
，
.
因为
，又
，所以
，解得
又
，所以
，
.
根据题意，
，
，又
，即
，
所以
，则
，
23
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所以
是首项为
，公比为
的等比数列，通项公式为
，
同理，
，
是首项为
，公比为
的等比数列.
因此
，
，
故所有纸张的周长之和为
.
二、多选题
2．（2026·安徽芜湖·一模）已知函数
且为常数，
是函数
大于
0 的零点，其构成数列
，下列说法正确的有（ ）
A．函数
有且只有一个零点
B．若函数
在区间
内均存在零点，则
C．若
，则数列
为递增数列
D．存在实数
，使得数列
为常数列
【答案】ACD
【分析】利用导数判断函数的单调性即可说明A，由单调性可得
，即可求出
的范围判
断B，当
时可得
，推导出
，再利用函数
的单调性判断
C，设
（常数），则对任意
，
恒成立，解出即可判断D.
【详解】选项A：因为
，所以
恒成立，
24
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所以
在
上单调递增，
又
时
，
时
，
所以函数
有且只有一个零点，A 说法正确；
选项B：当
时，
恒成立，所以
在
上单调递增，
又
，
所以若函数
在区间
内均存在零点，只需满足
即可，
所以
对任意
成立即可，
易知函数
在
上单调递减，所以
，
所以
，B 说法错误；
选项C：当
时，因为
在
上单调递增，
，
，
所以
，
当
时
，
由于
是函数
在
的零点，所以
，
所以
，则
，数列
为递增数列，C 说法正确；
选项D：若存在实数
，使得数列
为常数列，设
（常数），
则对任意
，
恒成立，解得
或
，
当
时，代入
得
解得
，
当
时，代入得
，因
故舍去，
所以当
时，数列
为常数列，
，D 说法正确；
25
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故选：ACD
3．（2026·安徽宿州·一模）已知
是各项均为正数的等差数列，且公差
，
是各项均为
正数的等比数列，且公比
，若项数均为
项（
），下列说法正确的有（ ）
A．数据
的平均数是
B．数据
的平均数是
C．若
，则数据
的中位数大于数据
的中位数
D．若
，则数据
的平均数大于数据
的平均数
【答案】ACD
【分析】求出数据
的平均数可判断A 选项：举例可判断B 选项；求出
、
的中位数可判断C 选项；求出
、
的
平均数可判断D 选项.
【详解】对于A 选项,设
的前
项和为
，
所以数据
的平均数是
，故A 选项正确：
对于B 选项，当
时，取
为2，4，8，
平均数为
，故B 选项错误；
对于C 选项，
的中位数是
，
的中位数
是
，故C 选项正确；
对于D 选项，数列
的前
项和为
，
所以数列
的前
项和的平均数为
，
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数列
是各项均为正数，且公比
的等比数列，
所以
，
所以
的前
项和
，
所以数列
的前
项和的平均数小于
，
由C 选项知，
，所以数列
的前
项和的平均数
比
的前
项和的平均数大，D 选项正确.
故选：ACD.
三、解答题
4．（2026·安徽马鞍山·一模）若数列
满足
（
为常数），则称数列
为等比
和数列，
为公比和，已知数列
是以5 为公比和的等比和数列，且
，记
．
(1)求证：数列
是周期数列，并指出其周期；
(2)求
的值．
【答案】(1)证明见解析，周期为2
(2)6
【分析】（1）根据题干所给条件可得
，再据此推出
的关系即可；
（2）根据
，可直接求解．
【详解】（1）由
及
可得
，
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由此可得递推关系
，所以
，
可得
，即数列
是周期数列，周期为2．
（2）
，
，
由（1）知，
周期为 2，所以
，
所以
．
5．（2026·安徽合肥·一模）已知一副不含大小王的52 张扑克牌，共包含4 种花色（黑桃、红桃、
方片、梅花），每种花色各有13 张牌，牌点大小排序从大到小依次为A、K、Q、J、10、9、8、
7、6、5、4、3、2，其中A 可参与组成顺子或金花A23、QKA，且满足JQK<A23<QKA．现从该副
扑克牌中随机抽取3 张，定义如下牌型：
豹子：三张牌的牌点完全相同，例如：AAA、KKK、222；
顺金：花色相同且牌点构成顺子，例如：黑桃QKA、红桃JQK、方片A23；
金花：花色相同但牌点不构成顺子，例如：黑桃JKA、红桃78Q、方片A24；
顺子：牌点构成顺子但花色不全相同，例如：黑桃5 红桃6 方片7；
对子：恰好有两张牌的牌点相同，第三张牌的牌点与前两张不同，例如：223、334；
散牌：不构成上述任何一种牌型的3 张牌组合.
请回答下列问题：
(1)在一次游戏中，记事件
为“抽到的三张牌牌点构成顺子”，事件
为“抽到的牌型为顺金”，
求
；
(2)已知该游戏各牌型的大小规则为：豹子>顺金>金花>顺子>对子>散牌，且不按照花色区分大小.
请从概率的角度，分析该游戏的规则是否合理、公平（结果精确到小数点后四位）；
(3)玩家初始持有
次抽牌机会
，每消耗1 次抽牌机会，就从52 张扑克牌中随机抽取3 张，
观察牌型；若抽到顺金，则游戏获胜，立即终止；若抽到顺子但非顺金，则将当前剩余的抽牌机会
数翻倍；若抽到非连续的牌型，则剩余抽牌机会数保持为消耗1 次后的数量；若剩余抽牌机会数为
0，则游戏失败，立即终止.设单次抽牌抽到顺子的概率为
，初始持有
次抽牌机会时，玩
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家最终获胜的概率为
.试证明：
（i）证明：数列
是严格递增数列；
（ii）证明：对任意
，都有
.
【答案】(1)
(2)规则不合理、不公平
(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）利用条件概率公式计算；
（2）求出各牌型的概率，与规则的牌型大小顺序比较判断；
（3）（i）找出数列
的递推关系，利用数学归纳法证明；（ii）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）顺子的牌点组合共12 种（A23、234、…、JQK、QKA），每种牌点组合对应
种花色组合，故
.
顺金要求花色相同且牌点为顺子，共
种，故
.
由条件概率公式，
.
（2）分别计算各牌型的概率：
，
，
，
，
，
.
概率从小到大排序：
，与规则的牌型大小顺序不一致：
顺金比豹子更稀有，却被规定为更小的牌型；
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顺子比金花更稀有，却被规定为更小的牌型.
因此，该游戏规则不符合“稀有度与牌型大小正相关”的公平性原则，规则不合理、不公平.
（3）首先明确核心概率：抽到顺金的概率：
，
抽到顺子但非顺金的概率：
，抽到非顺子的概率：
，
初始1 次机会，抽1 次后剩余机会为0，仅抽到顺金可获胜，
故
.
初始2 次机会，抽1 次后剩余1 次机会，递推得：
代入
，整理得：
，即
.
（i）用数学归纳法证明：
（一）归纳奠基：
时，
，
因
，
，
，故
.
（二）归纳推理：假设对任意
，都有
，即数列前
项严格递增.
对任意
，递推公式为：
，
因此
，
由归纳假设，
，
，且系数均为正，故
.
由数学归纳法，对任意
，
，即数列
严格递增.
（ii）令
，
，不等式转化为证明
，
.
将
代入原递推公式，化简得：
，边界条件
.
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令
，求导得：
，故
在
上严格递减，
因此对任意
.
下面用数学归纳法证明
：
（一）归纳奠基：当
时，
，成立；
（二）归纳推理：假设对任意
，
.
对
，由递推公式和归纳假设：
，
只需证明
，两边除以
得：
，
代入
，右边化简为
，
左边减右边得：
（因
），
故不等式成立，即
.
由数学归纳法，对任意
，即
，移项得：
，得证.
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