文档文本内容
空间几何体的体积与表面积
考点1
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专题04 空间向量与立体几何
3 大考点概览
考点01 空间几何体的体积与表面积
考点02 外接球与内切球
考点03 空间向量与点线面的位置关系
一、单选题
1．（2026·安徽宿州·一模）一个底面直径为16cm，高为60cm 的圆柱形水槽中装有高度为40cm 的
水，现向其中放入一个直径为8cm 的铁球和一个底面直径和高均为8cm 的圆锥形铁块，当铁球和
圆锥形铁块都完全浸没入水中时，水槽中的水面高度达到（ ）
A．42cm
B．44cm
C．48cm
D．50cm
【答案】A
【分析】易知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度.
【详解】根据题意可知铁球的体积和圆锥形铁块的体积之和等于上升部分水的体积，
利用体积之和除以圆柱形水槽的底面积即得水面上升的高度，
即
，故水槽中水面的高度达到了42cm.
故选：A
二、多选题
2．（2026·安徽淮北·一模）已知正四棱锥
，
为棱
上的动点．则
（ ）
A．平面
平面
B．存在
使得
为直角三角形
C．当
为
中点时，
平面
D．若
，球
与四棱锥的所有棱都相切，则球
的表面积为
【答案】ACD
【分析】对于A，连接
，设
交于点
，连接
，先证明
，
，
可得
平面
，进而结合面面垂直的判定定理判断即可；对于B，先假设
为直角三角
1
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形，可得
，进而得到
，再结合
即可判断；对于C，当
为
中点时，
连接
，可证明
，进而判断即可；对于D，当
时，分析可得
到
的距离与
到
的距离均为1，可得球
的球心位于点
，半径为1，进而求解判断即可.
【详解】对于A，连接
，设
交于点
，连接
，如下图：
在正四棱锥
中，
，
平面
，
因为
平面
，所以
，
又
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以平面
平面
，故A 正确；
对于B，在正四棱锥
中，
若
为直角三角形，则
，
，
由
，得
，即
，
而在正方形
中，
，由于
，则
，矛盾，
所以不存在
使得
为直角三角形，故B 错误；
对于C，当
为
中点时，连接
，
由于在正方形
中，
为
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，故C 正确；
对于D，当
时，
，而
，则
，
在等腰直角
中，
到
的距离为
，
而
到
的距离也为1，则球
的球心位于点
，半径为1，
2
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则球
的表面积为
，故D 正确.
故选：ACD
三、填空题
3．（2026·安徽马鞍山·一模）已知一个球的体积和表面积的数值相等，若该球的内接圆柱的高与
其底面直径相等，则此圆柱的侧面积为__________.
【答案】
【分析】由球的体积与表面积相等求出球的半径，再由题意求出球的内接圆柱的底面圆半径与高，
即可得解.
【详解】设球的半径为
，则球的体积为：
，球的表面积为：
，
因为球的体积与其表面积的数值相等，所以
，
解得
，
设圆柱底面半径为，作球的内接圆柱的轴截面图，如图，
由题意可知
，解得
，
所以圆柱的侧面积为
.
故答案为：
4．（2026·安徽合肥·一模）已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为
，若该圆台
上下底面的圆周均在同一个球的球面上，则此球的表面积为_____．
【答案】
【分析】设圆台的上下底面圆心分别为
，球心为
，设
，由球的性质可列方程，求出
3
外接球与内切球
考点2
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半径后再由球的表面积公式即可得解.
【详解】设圆台的上下底面圆心分别为
，球心为
，
在上下底面圆周上分别取点为
，连接
，如图，
因为圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为
，
所以
，
，
设
，则
，所以
，
所以
，解得
，所以该球的半径
，
所以该球的表面积
.
故答案为：
.
一、多选题
1．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直棱柱
中，
，
是
中点，则下列结论正确的是（ ）
4
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A．
B．
四点共面
C．直棱柱
不存在外接球D．棱
的中点在平面
内
【答案】ABC
【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A；利用向量法得
，
即可利用基本事实的推论判断B；确定直角梯形是否有外接圆判断C；结合空间向量线性坐标运算，
利用共面定理判断D.
【详解】在直棱柱
中，
平面
，
又
，则直线
两两垂直，
以点
为原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，
则
，
，
对于A，因为
，
5
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所以
，
所以
，所以
，A 正确；
对于B，
，即
，又
直线
，
因此
，即
四点共面，B 正确；
对于C，在梯形
中，
，
则
为锐角，
，因此
，
所以梯形
无外接圆，则直棱柱
没有外接球，C 正确；
对于D，棱
的中点
，
，
假设棱
的中点M 在平面
内，
则有
，即
，该方程组无解，
所以棱
的中点不在平面
内，D 错误.
故选：ABC
二、解答题
2．（2026·安徽宿州·一模）已知四棱锥
的底面ABCD 是平行四边形，
平面ABCD.
6
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(1)若平面PAD 与平面PBC 的交线为，证明：
；
(2)若平面
平面PDC.
（i）求平面PAD 与平面PBC 夹角的余弦值；
（ii）判断四棱锥
是否存在内切球，若存在，求出内切球半径；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）不存在，理由见解析
【分析】（1）首先证明
平面PAD，利用线面平行的性质即可证明结论；
（2）（i）以点A 为坐标原点，
所在的方向为
轴，
所在的方向为
轴，
所在的方向为
轴建立坐标系，分别求出平面PAD 与平面PBC 的法向量，利用向量夹角公式求解即可；
（ii）假设四棱锥
存在内切球，内切球的半径为，根据棱锥内切球半径公式求得
，且求出
，计算球心
到平面PBC 的距离
与半径
比较即可得到结论.
【详解】（1）因为底面ABCD 是平行四边形，故
平面PAD，可得
平面
PAD，
又因为
平面PBC，平面
平面
，所以
.
（2）在平面PAD 内过点
作
于点
，
因为平面
平面PDC，所以
平面PDC，故
，
又因为
，又因为
，
所以
平面PAD，有
.所以平行四边形ABCD 为长方形.
7
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如图所示，以点A 为坐标原点，
所在的方向为
轴，
所在的方向为
轴，
所在的方向为
轴建立坐标系.
则有
，
.取平面PAD 的法向量为
，
设平面PBC 的法向量为
，
则有
，代入得
，取
，
设平面PAD 与平面PBC 所成角为
，则
.
（3）易知
，
假设四棱锥
存在内切球，内切球的半径为，
则有
，解得
，
设内切球球心为
，根据图形特征，必有
，
，
则球心
到平面PBC 的距离
，与内切球与平面PBC 相切矛盾.
故四棱锥
不存在内切球.
8
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3．（2026·安徽黄山·一模）如图，在直角梯形
中，
，
，
，
为
中点，将
沿
折起，使
到
处．
(1)求证：
平面
；
(2)若平面
平面
，
，
，
，且二面角
的正弦值为
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求四棱锥
外接球的表面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)（Ⅰ）
（Ⅱ）
【分析】（1）根据线面平行的判定定理判定即可.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关向量，结合二面角的向量求法，即可求出
值；判断外接球
球心位置，设出球心坐标，列方程求解，进而得到外接球半径，求出表面积.
【详解】（1）因为
，
，
，所以四边形
为矩形，
连接
交
于点
，连接
，则点
为
中点，
又
为
中点，所以
是
中位线，所以
，
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）（Ⅰ）因为
，
平面
，平面
平面
且交于
．
所以
平面
，而
平面
，所以
，
又
，
9
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故以
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系如图．
则
，
，
，
，
，
，
设
，则
，
又
，
所以
，即
，所以
，
则
，
，
设平面
的法向量为
.
则
，即
，令
，则
，
，
所以
.
又
，
，
，
平面
，
所以
平面
，
所以
即为平面
的一个法向量.
设二面角
的平面角为
，则
，
所以
，
10
空间向量与点线面的位置关系
考点3
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即
，
解得
或
（舍去，因为
），故：
．
（Ⅱ）所求外接球球心
在过点
垂直于平面
的垂线上，则
.
设
，又
，则
，
，
所以
，
即
，整理得
，解得
，
所以
，所以
，
故
．
一、单选题
1．（2026·安徽淮北·一模）已知直线
和平面
，下列表述正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】D
【分析】利用线面平行和垂直的判定定理和面面平行和垂直的判定定理即可求解.
【详解】由
，条件中缺少
，故A 错误；
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由
，条件中缺少
，故B 错误；
由
，条件中缺少
，故C 错误；
由
，故D 正确；
故选：D.
二、多选题
2．（2026·安徽淮南·一模）已知正三棱柱
的外接球球心为
，
，点
满足
，
．则下列结论正确的是（ ）
A．球
的表面积为
B．当
时，
的取值范围为
C．当
时，不存在点
，使得
平面
D．当
时，设点
在直线
上运动，则线段
长度的最小值为
【答案】ABD
【分析】作
的中点
，连接
，以
为原点，分别以
为
轴
建立空间直角坐标系，结合图形可知正三棱柱
的外接球球心
在上下底面的重心连线
的中点上，计算出半径
即可求解A 选项；
将平面
与平面
沿
展开使其共面，易知当
三点共线时，
最短，当
点
与
重合时，
最长，结合展开的图形分别计算出长度即可求解B 选项；
依题意求出向量
的坐标，然后由
可得
的值，检验
的值是否符合
即可判
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断C 选项；
根据题意可知
三点共线，由此可得
的最小值为点
到平面
的距离，利用点到平面
的距离的向量公式即可判断D 选项.
【详解】如图，分别作
的中点
，连接
；分别作
的中点
，
连接
；分别作
靠近
的三等分点
，连接
交
于
；则
两
两相互垂直，建立如图空间直角坐标系，则
，
；
所以
，
，
；
对于A，因为
，所以
即为正三棱柱
的外
接球球心，半径为
，所以球
的表面积为
，所以A 正确；
对于B，如图，分别作
的中点
，连接
，则
，
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当
时，点
在
上，将平面
与平面
沿
展开使其共面，则
当
三点共线时，
最短，最小值为
；
当点
与
重合时，
最长，最大值为
；
所以当
时，
的取值范围为
，所以B 正确；
对于C，如图，作
的中点
，连接
，则
，
当
时，点
在
上，连接
，则
，
所以
；
由
，得
，即
，即
，解得
，
符合题意，即点
与点
重合时，
；
又
平面
，所以
平面
；所以C 不正确；
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对于D，如图，连接
，则
，
，
当
时，
，此时
三点共线，所以
的最小值为点
到平面
的距离；
设平面
的一个法向量为
，则
，即
，化简得
，取
，则
，所以
；
所以点
到平面
的距离为
，即线段
长度的最小值为
，
所以D 正确.
故选：ABD.
三、解答题
3．（2026·安徽淮南·一模）如图，在三棱锥
中，点
分别是
的中点，平面
平面
．
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(1)判断直线与直线
的位置关系，并给出证明；
(2)若平面
平面
，
，
是直线上的一点，直
线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长度．
【答案】(1)
，证明见解析
(2)
或
．
【分析】（1）由中位线得到线线平行，即可得线面平行，由线面平行的性质得到线线平行；
（2）由等腰三角形及面面垂直得到空间内三条两两垂直直线，建立空间直角坐标系，由边长得到
点坐标及向量坐标，由向量的数量积求得面
的一个法向量，设
，由向量的数量积表
示出线面角的正弦值，即可求得线段
的长度．
【详解】（1）
．
证明：因为点
分别是
的中点，所以
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为平面
平面
，
平面
，所以
．
（2）因为
，点
为
的中点，所以
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
因为
平面
，所以
，又
所以以
为原点，分别以
为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为
，所以
，又
，
16
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则
．
，
设平面
的法向量为
，
则
，不妨设
，解得
．
由（1）可知
，设
，
得
，所以
．
设直线
与平面
所成角为
，
则
，
得
或
，
所以线段
的长度为
或
．
4．（2026·安徽合肥·一模）如图，直三棱柱
的所有棱长都等于2，点
，
分别是线
段
，
上的动点（异于端点），且
．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求平面
与平面
夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
．
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【分析】（1）在棱
上分别取点
，使
，利用相似得出四边形
是平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可求证；
（2）在
中利用余弦定理求出
，再以
为坐标原点建系，利用坐标计算面面角即
可.
【详解】（1）在棱
上分别取点
，使
．
则
．
因为
，
，所以
．
又
，所以
．
由
，得
，
所以四边形
是平行四边形．所以
．
又
平面
，
平面
，所以
平面
．
（2）由（1）知
，令
，则
，
在
中利用余弦定理得
，
即
，解得
．
所以点
分别是
中点．所以点
分别是
中点．
以
为坐标原点，
所在直线为
轴，垂直于平面
的直线为
轴建立如图所示的空间
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直角坐标系，
则
．
所以
．
设
为平面
的法向量，
则
，即
，可取
．
设
为平面
的法向量，
则
，即
，可取
．
设平面
与平面
夹角为
，则
．
故平面
与平面
夹角的余弦值为
．
5．（2026·安徽芜湖·一模）如图，空间六面体
中四边形
与四边形
为共腰的梯形.
(1)求证：四边形
与四边形
中至少有一个是梯形；
(2)在空间直角坐标系中，
分别与
同向共线.
①若该六面体为正四棱台且
，求平面
与平面
的夹角；
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②若四个侧面均为腰长为2 的等腰梯形，
，求点
到平面
的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)①
；②
【分析】（1）利用线面平行和面面平行的性质可得
，
，假设四边形
与四
边形
均不是梯形可得出
平面
，进而得
，与条件矛盾，即可证明；
（2）①求出平面
与平面
的法向量，利用面面角的坐标公式求解即可；②延长直线
交于点
，过点
作
交
，
于
，
交
于
，可
得正四棱锥
，求出点
到下底面
的距离
等体积法即可求解.
【详解】（1）因为四边形
与四边形
为共腰的梯形，所以
，
由于
平面
，
平面
，所以
平面
，
同理可得
平面
，
又因为
，
平面
，
所以平面
平面
，
因为平面
平面
，平面
平面
，
所以
，同理得
，
下面使用反证法：
如果四边形
与四边形
均不是梯形，那必都是平行四边形，
20
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则
，
因为
平面
，
平面
，所以
平面
，
又平面
平面
，所以
，
这与四边形
为梯形矛盾，
所以原命题成立，即四边形
与四边形
中至少有一个是梯形.
（2）
，
①当该六面体为正四棱台时，
，
，由
解得
，
当
时，
，
设平面
的法向量
，平面
的法向量
，
则
，解得平面
的一个法向量
，
，解得平面
的一个法向量
，
所以
，
所以平面
与平面
的夹角为
，
同理可得：当
时，所以平面
与平面
的夹角为
，
综上：平面
与平面
的夹角为
.
（另法：因为
，
，
21
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，
所以平面
与平面
的夹角为
）
②设
，
，
则
，
，则
，
由四边形
是等腰梯形知
，同理
，所以
，
同理
，
又因为
，因此四边形
为矩形，
延长直线
交于点
，
过点
作
交
，
于
，
交
于
，
由
，得
，
，所以
，
如下图，可得到正四棱锥
，
又由
，所以
，又
，
，
所以
，
，
点
到底面
的距离为
，点
到下底面
的距离为
.
设点
到平面
的距离为
因为
，
,
，
22
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即
，解得
，
点
到平面
的距离为
.
6．（2026·安徽淮北·一模）如图，在四棱锥
中，
平面
，
分别为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)设
平面
．
（i）求实数
的值；
（ii）求二面角
的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)（i）
；（ii）
．
【分析】（1）证明：利用空间向量法求解，求出
，求出
即
，由
平面
知
，利用线面垂直的判定定理得到
平面
．
（2）（i）求出
，求出平面
的一个法向量
，得到
，从而得到
平面
23
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，利用线面平行的性质定理得到
，设
，求出
，利用
求出
的
值；
（ii）由（i）求出
，分别求出平面
和平面
的一个法向量
，利用向量的
数量积求出
．设二面角
的平面角为
，利用同角关系式求出
，
从而得到二面角
的正弦值．
【详解】（1）证明：以
为原点，以
、
、
的正方向分别为
轴、
轴、
轴的正方向，
建立如图的空间直角坐标系，则：
，即
．
又
平面
知
，由
，则
平面
．
（2）（i）
，平面
的一个法向量为
，显然
，
故
平面
，而
平面
平面
，于是
，
设
；
（ii）由（i）
，
设平面
的一个法向量分别为
，
则：
，
取
，则
，即
．
设平面
的一个法向量分别为
，
24
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，
取
．则
，即
，
．
设二面角
的平面角为
，则
，
，
，
，
，
，
即二面角
的正弦值为
．
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