文档文本内容
平面向量运算与数量积
考点1
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专题02 平面向量、数列
4 大考点概览
考点01 平面向量运算与数量积
考点02 平面向量的应用
考点03 数列
考点04 数列的应用
一、单选题
1．（2026·安徽池州·二模）已知向量
，
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
在
上的投影向量为
2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形
为平行四边形，
，
为
与
的交
点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，所以
1
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因为
，所以
，所以
3．（2026·安徽淮南·二模）已知向量
，
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
【答案】D
【详解】因为向量
，所以
，
又
，
与
的夹角为
，
所以
，
所以
，所以
.
4．（2026·安徽滁州·二模）若向量
，
为单位向量，且
，则
与
夹
角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据向量数量积的运算性质、向量的模的计算、向量夹角的计算及三角函数的平方关系求
解即可.
【详解】已知
，则
，又
为单位向量，所以
.
2
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由
可得，
，即
，
所以
.
，
.
设
与
夹角为
，
则
.
故
.
5．（2026·安徽安庆·二模）已知向量
，且
，则向量
夹角的余弦
值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】已知
，根据模长平方公式：
，
，
再由
，移项得
，
两边平方：
，
代入展开式：
，
整理得：
，因为模长非负，故
，
再次对
两边平方得：
，
3
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展开化简得：
，即
，得
，
结合
，舍去负值，得
.
故选:C
二、填空题
6．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
，
满足
，
，则
与
的夹角为
________.
【答案】
【分析】借助数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得.
【详解】由
，则
，
即
，则
.
7．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量
满足
，则
___________．
【答案】
【详解】
，
，
设
，
则
，
4
平面向量的应用
考点2
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．
一、单选题
1．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形
，
为直角顶点，
，
，
，
，若
，
到直线
的距离分别为
和
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线
的直线方程为
，利用向量的线性
运算可求得
，求得
的中点
的轨迹方程，进而可得
，进而求得
的最大值.
【详解】以
为坐标原点，
所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系，
因为三角形
为等腰直角三角形，且
，所以
，
所以直线
的直线方程为
，
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
，解得
.
因为
，
，所以
的轨迹方程为
和
.
记
的中点为
，则
，
所以
，
5
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所以
，所以
的轨迹方程为
.
过
分别向直线
作垂线
，垂足分别为
，
则
，又因为
，所以
为直角梯形，
又
，
为
的中点，所以
.
则
的最大值即为
的最大值，
又
到直线
的距离为
，
所以
的最大值为
，所以
的最大值即为
.
2．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳
，
的一端分别固定在A，B 处，同样的细
绳
下端系着一个秤盘，且
，绳子
受力的大小为40 N，
受力的大小为30 N，则
绳子
受力的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
6
数列
考点3
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【详解】设
，
，
三根绳子所受的力分别为
，则
，
因为
的合力
，所以
，
如图，在平行四边形
中，
，
因为
，所以
，
所以绳子
受力的大小为
.
一、单选题
1．（2026·安徽合肥·二模）记
为数列
的前
项和，已知
，
，则
（ ）
A．18
B．54
C．81
D．162
【答案】B
【分析】借助
与
关系计算可得
，则可由等比数列定义求出数列
的通项公式，即
可得
.
【详解】当
时，
，则
，
故
，又
，故数列
是以
为首项，为公比的等比数列，
即
，故
.
2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知数列
是各项均为正数的等比数列，
是其前
项和，且
7
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，则
（ ）
A．3
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】利用等比数列的通项公式求出公比，即可得.
【详解】由题设，若数列的公比为
，且
，
由
，
可得
，则
（负值舍），
即数列为常数列，
则
.
3．（2026·安徽安庆·二模）已知等比数列
，其公比
，则
的最小值为
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式化简
为
，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意知等比数列
，其公比
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
的最小值为
.
8
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二、多选题
4．（2026·安徽马鞍山·二模）数列
的前
项和为
，且
，
，则（ ）
A．数列
是等差数列
B．数列
是等比数列
C．
D．数列
的前
项和等于
【答案】ABD
【分析】根据
与
之间的关系分析可得
，即可判断A；进而可得
，
，即可判断BC；整理可得
，利用裂项相消法运算求解，即可
判断D.
【详解】对于A，由数列
满足
，
当
时，
，所以
，
可得
，
因为
，可得
，所以
，
则
，所以
，所以
，
所以数列
是以首项为
，公差
的等差数列，所以A 正确；
对于B，由A 项可得
，所以
，
当
时，
，
9
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当
时，
，适合上式，所以
，
又由
，可得
，
所以数列
是以
为首项，公比为
的等比数列，所以B 正确；
对于C，由B 项知：数列
的通项公式为
，所以C 错误；
对于D，由
，
可得
的前
项和为：
，所以D 正确.
5．（2026·安徽淮北·二模）已知
为等差数列
的前
项和，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】A 选项，因为
是等差数列，且
，
，所以
，
，
所以
，所以A 选项正确；
B 选项，由A 选项解析得：
，
，则
，所以B 选项
错误；
C 选项，
，所以
，
，则
，所以
C 选项正确；
10
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D 选项，因为
，所以
是以首项为
，公比为4 的等比数列，所以
，所以D 选项正确.
6．（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列
的公比为
，前
项和为
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
B．
C．
，
，
成等比数列
D．若
，则
【答案】BC
【详解】对于A，当
时，
无意义，A 错误；
对于B，
，B 正确；
对于C，若
，则
，
，
，
因为
，所以
，
，
成公比为的等比数列；
若
，则
，
，
，
所以
，所以
，
，
成公比为
的等比数列，C 正确；
对于D，当
时，
,对于任意的
都满足
，
11
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但
不一定成立，D 错误.
7．（2026·安徽安庆·二模）已知等差数列
的公差为
，其前
项和为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【详解】由
，得
或
，
即
或
，显然
，故B 正确；
则
，故A 正确；
对于C，当
时，有
，
此时
，等差数列
为递增数列，则
，故C 错误；
对于D，当
时，有
，
解得
，则
，故D 正确.
三、填空题
8．（2026·安徽淮北·二模）已知数列
满足：
，
，则
_____________.
【答案】2
12
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【详解】由
，
，所以
，
，
，即
，所以数列
是以为周期的周期数列，
所以
.
9．（2026·安徽滁州·二模）已知数列
的通项公式是
，去掉数列
中的
后余下的项构成新的数列
，则数列
的前
项和
________．
【答案】
【分析】由题意知数列
是等差数列，先求出数列
的前
项和为
，再结合题
意减去
的前
项和为
即可得答案.
【详解】因为数列
的通项公式是
，
所以
，即数列
是等差数列，
所以数列
的前
项和为
，
因为
，依然为等差数列，
所以
的前
项和为
，
所以数列
的前
项和
.
四、解答题
10．（2026·安徽安庆·二模）设数列
的前
项和为
，且
，若
，记数列
的前
项和为
.
13
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(1)求
的通项公式；
(2)求
；
(3)记集合
，若
的子集个数为8，求
的取值范
围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）借助
与
的关系及等比数列定义计算即可得；
（2）借助裂项相消法计算即可得；
（3）借助等比数列求和公式计算可得关于
的不等式
有个正整数解，构造数列
，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解.
【详解】（1）当
时，
，则
，
即
，当
时，
，即
，
又
，则有
，故
对任意
恒成立，
故数列
是以为首项，为公比的等比数列，故
；
（2）
，
故
14
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；
（3）
，
则
，
由
的子集个数为8，则
中有个元素，
故关于
的不等式
有个正整数解，
令
，则
，
，
则数列
在
时单调递增，在
时单调递减，
即
，
又
，
当
时，
，
故
的三个正整数解为
、
、
，
故
，又
，
，
故
.
11．（2026·安徽池州·二模）已知
是单调递增数列，记
为数列
的前n 项和，且
15
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．
(1)证明：
是等差数列；
(2)令
，求
．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用
与
的关系，结合递增数列的特点，根据等差数列的定义可证；
（2）分别求出数列
的通项公式，利用错位相减求和法求得
的结果.
【详解】（1）令
，得
，所以
；
由题意得
，
所以当
时，
，即
，
所以
或
所以
或
.
因为数列
是单调递增数列，所以当
时，
，
所以
，
所以
，
，即
是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）知
，所以
.
令
16
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则
①
两边同乘以2，得
②
②-①，得
所以
.
12．（2026·安徽淮南·二模）已知递增数列
满足
，
.
(1)证明：
为等差数列，并求
.
(2)记
，数列
的前
项和为
，求
.
【答案】(1)
.
(2)
.
【分析】（1）将已知等式整理为关于相邻两项差的方程, 再结合数列递增确定公差, 从而求出通项
公式.
（2）由（1）得出通项后, 写出所求数列的通项, 再将其裂项, 利用裂项相消求和.
【详解】（1）由题意, 有
.
移项整理, 得
.
所以
.
因为数列
为递增数列, 所以
.
故
.
17
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所以数列
是首项为 , 公差为
的等差数列, 从而
.
（2）由(1)知
,所以
.
于是
.
又因为
,
所以
.
故
.
从而
.
.
13．（2026·安徽合肥·二模）已知数列
是等差数列，且
．
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，数列
的前
项和为
，证明：
．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列通项公式和前
项和公式求解；
（2）根据等比数列的性质求出
，进而得出
的表达式，再利用指数函数的单调性证明结论．
【详解】（1）设等差数列
的首项为
，公差为
，已知
，
18
数列的应用
考点4
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，
．
（2）已知
，则
是首项
，公比
的等比数列，
，
，
令
，
，
当
时，
，
，
，函数单调递减，
，
，命题得证．
一、单选题
1．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法
是：取第一个正方形
各边的四等分点
，
，
，
作第二个正方形，再取正方形
各边的四等分点
，
，
，
作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图
案，如图所示.设正方形
边长为
，后续各正方形边长依次为
.若
，则
等于（ ）
19
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A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意判断
为等比数列，求出通项公式，代入求解即可.
【详解】由题意可知，
，易知
，所以
.
又
，所以数列
是以1 为首项，
为公比的等比数列，
所以
，故
.
二、多选题
2．（2026·安徽池州·二模）在数列
中，存在
（
，
），使得对任
意
，都有
，下列说法正确的有（ ）
A．若A：1，2，则
B．N 可能是奇数
C．若A 为等差数列，当
，
时，则
的最大值为2
D．若A 为正项等比数列，当
时，则N 的最大值为6
【答案】ACD
20
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【分析】通过分析
的斜率变化规律，得出仅当项数
为偶数时
存在区间使
为常数，再结合等差、等比数列的性质逐一验证选项.
【详解】令
，由题意知，当
时，恒有
，
所以函数
在区间
上是常数函数，所以
不为常数列，将数列从小到大排序后，
的斜率每过一个项增加2，仅当斜率为0 时，
为常数，
此时满足
（
为
左侧的项数），即
（
必为偶数），
且
落在第
项和第
项之间.
A：
，对任意
，
，
显然
，选项A 正确：
B：由前分析可知，
必为偶数，选项B 错误；
C：不妨设等差数列
单调递增，则公差
，由
得：当
时，
，
所以
，且
，所以
，由
得
，选项C 正
确；
D：不妨设正项等比数列
单调递增，则公比
，记数列
的前
项和为
，由
是偶数，
可令
．所以，当
时，
，且
，
所以，
，
由等比数列求和公式，得
，
当
时，
，
，令
，设
，
则
恒成立，所以
在
单调递增，
21
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所以函数
，
在
上单调递增，所以
，
由
，
得
，解得
，即
，
所以
（当且仅当
，
时，取＂
＂），选项D 正确．
3．（2026·安徽合肥·二模）已知函数
的定义域为
，对
都有
，记
，则下列说法正确的是（ ）
A．数列
是等差数列
B．当
时，
C．当
时，
D．
【答案】BCD
【分析】令
，可求出
，再令
，可得
，可判断A 正误；对
于B，由
可判断选项正误；对于C，通过放缩完成判断；对于D，利用
，结合裂项相消法可得答案.
【详解】令
，得
，解得
，
22
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令
，得
，显然
，则
，
因此数列
是首项为1，公差为1 的等差数列，即
，
则
，所以
，数列
不是等差数列，A 错误；
当
时，
，
因为
，则
，B 正确；
当
时，
，
故C 正确；
由题
，下证
，即证
，
由基本不等式这显然成立，则
，
对于任意
成立，当且仅当
取等号.
故
，
则
，故D 正确.
23
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三、解答题
4．（2026·安徽合肥·二模）“二分法”是一种常用的检索方法.
为正整数且数
，为
了寻找
，我们可以把
与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到
.检索的过程分为
取数和比较两个步骤.①取数：
是集合
中的整数，若
为偶数，取
；若
为奇数，取
.②比较：比较
与
的大小关系.若
，则
停止检索：若
，则
，
，继续检索：若
，则
，
，继
续检索，下一次检索区间范围更新为
，其中
，
.对于正整数
，从集合
中任取一个数
，按上述检索过程找到数
经历的比较次数为
，记
.
(1)请完成表1 和表2.
表1：
时，
不同取值所经历的比较次数
1
2
3
4
5
6
7
比较次数
2
3
1
3
3
表2：当
时，
不同取值所经历的比较次数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
比
较
次
数
4
3
4
2
3
4
1
4
3
4
2
4
3
4
(2)求
、
，并求出
；
(3)证明：
，
.
参考数据：
.
【答案】(1)答案见解析
(2)
，
24
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(3)证明见解析
【分析】（1）根据定义，对每个数进行考查，即可列出表格；
（2）考虑随机变量
的可能取值，研究对应值的概率，结合期望算法即可求出
；
（3）结合第（2）问，可设
，则
，利用
换元，构造函数
，
，利用导数研究函数的单调性，即可证得结论成立.
【详解】（1）通过实际操作可以发现：当
时
的取值与其比较次数如下表：
1
2
3
4
5
6
7
比较次
数
3
2
3
1
3
2
3
当
时
的取值与其比较次数如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
11
12
13
14
15
16
比较次数
4
3
4
2
4
3
4
1
4
3
4
2
4
3
4
5
（2）由（1）知
可取、
、，
于是
，
可取、
、、
、.
于是
.
可取
，当
时，所有可能取到的数的个数记为
，
则
，
，
25
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所以
，因此
，于是
令
，
，
上述两个等式作差得
，
整理可得
，所以
.
（3）根据（2）的分析，容易知道当
时，
可取
.
对于任意的
，设
，
，
则
.
要证：
，
即证：
，
即证：
.
设
，
，
只要证：
.
因为
，
设
，
则
，
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所以
在
上单调递减，又
，
所以
在
上单调递减，又
，
故存在
使得
，所以
在
上单调递增，
上单调递减，
容易验证
，
，现只需证
.
因为
，所以
，
，
故
，也即
.
27
