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专题02 三角函数与解三角形、函数与导数
一、三角函数
1．（2025·湖北·一模）函数
的最小值为 .
【答案】
【分析】根据
和
分类讨论，作出函数
图像即可求解.
【详解】当
时，即
时，
，
1
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当
时，即
时，
，
所以
，
作出函数
图像：
所以函数
的最小值为
，当
时.
故答案为：
.
2．（2025·湖北鄂州·一模）将函数
向右平移
个单位后，所得的函数
为奇函
数，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简函数
的解析式，利用三角函数图象变换可得出
的解析式，利用正
弦型函数的奇偶性可求得
的表达式，即可求得正数
的最小值.
【详解】因为
，
将该函数的图象向右平移
个单位后，所得的函数
为奇函数，
则
，且有
，则
，
因为
，故当
时，
取最小值
.
2
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故选：C.
3．（2025·湖北武汉·一模）（多选）已知函数
的部分图象如图所示，其中
，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
在
上单调递减
D．
在
上有6 个零点
【答案】AD
【详解】由
坐标可得周期；由图象可知对称轴为
，故利用对称性和周期性可得
；
将
的图象向后延拓即可判断C D 选项.
【分析】依题意得，
，则
，故A 正确；
由图可知对称轴为
，则
，
又
，则
，故
，故B 错误；
3
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延长
的图象如图所示，观察可知，
在
上先减后增，故C 错误；
在
上有6 个零点，故D 正确.
故选：AD.
4．（2025·湖北·一模）（多选）如图，函数
的图象与
轴的其中
两个交点为
，
，与
轴交于点
，
为线段
的中点，
，
，
，则
（ ）
A．
的图象不关于直线
对称
B．
的最小正周期为
C．
的图像关于原点对称
D．
在
单调递减
【答案】ACD
4
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【分析】先写出关键点坐标，得到方程，后根据
构造方程组解出
，得到解析式，最后按
照正弦型三角函数特征，结合对称性，周期性，奇偶性和单调性逐个验证即可.
【详解】由题可
，
，
，则
，
有
，
，
，
把
代入上式，得
，解得
（负值舍去），
，
，由
，解得
，
解得
，
，
对A，
，故A 正确；
对B：
的最小正周期为
，故B 错误；
对C：
，
为奇函数，故C 正确；
对D：当
时，
，
在
单调递减，为奇函数，故D 正确.
故选：ACD.
二、三角恒等变换
5．（2025·湖北·一模）已知
，则
（ ）
5
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用二倍角的余弦公式可求得结果.
【详解】因为
，则
.
故选：A.
6．（2025·湖北·一模）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】A
【分析】根据正弦、余弦、正切二倍角公式，将
齐次化即可得出答案.
【详解】由题
，
得
，
则
或
，
因为
，所以
，
.
故选：A
三、解三角形
7．（2025·湖北武汉·一模）已知在
中，角
，
，
所对的边分别为
，
，，其中
6
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，若
，则
外接圆的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得
，进而可外接圆半径与面积.
【详解】由正弦定理得，
，
解得
，故
，
则
，
故所求外接圆的面积为
，
故选：B.
8．（2025·湖北·一模）在
中，
的角平分线交
边于
点.
(1)证明：
.
(2)若
，且
的面积为
，求
的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先设
，
，得到
，
，再利用正弦定理证明即
可.
（2）设
，所以
，设
，根据
的面积为
，得到
，
，再利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）如图所示：
7
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设
，
，则
，
.
在
和
中分别运用正弦定理，得
，
，
所以
，即
，
又因为
，故
，即
.
（2）设
，所以
，设
.
由
，可得
.
所以
.
因为
，所以
，所以
，
又
，所以
.
又
，所以
，
所以
，
所以
.
9．（2025·湖北·一模）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求证：A，B，C 成等差数列；
(2)若
，
，线段AC 延长线上的一点D 满足
，求BD 的长.
【答案】(1)证明见解析
(2)
.
【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得答案；
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（2）结合（1）可得
，在
和
中分别用正弦定理推出
，再利用等面积法，即
可求出答案.
【详解】（1）由
及正弦定理得
，
整理得
，由余弦定理得
，
因为
，所以
，
又
，所以
，则
，
所以A，B，C 成等差数列．
（2）由（1）可知：
及
，
，
得
，即
，解得
，
在
中，由正弦定理得
，
在
中，由正弦定理得
，
由
得
，
所以
，即
，所以
，
设
的面积为
，
则
，
即
，又
，解得
，
所以BD 的长为
.
9
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10．（2025·湖北鄂州·一模）在
中，角
、
、
对边分别为
、
、，且
.
(1)若
，求
；
(2)若
，
，求
的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式结合三角恒等变换可得出关于
的二次方程，求出
的值，结合角
的
取值范围可得出角
的值，进而可得出角
的值；
（2）由二倍角的正弦定理结合正弦定理可得出
，结合余弦定理可求得
的
值，利用同角三角函数的基本关系可求出
的值，再利用三角形的面积公式可求得结果.
【详解】（1）因为
，
，
则
，
由
可得
，即
，
，
因为
，则
，解得
，故
，则
.
（2）因为
，所以
.
所以由正弦定理得：
，
由余弦定理知
，解得
.
因为
，故
.
10
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四、导数的计算
11．（2025·湖北·一模）下列求导运算正确的是（ ）
A．
(a 为常数)
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项.
【详解】A：因为a 为常数，所以
，故A 错误；
B：
，故B 正确；
C：
，故C 错误；
D：
，故D 错误.
故选：B
五、函数与基本不等式结合求最值
12．（2025·湖北·一模）已知实数
满足
，则
的最小值是（ ）
A．5
B．9
C．13
D．18
【答案】B
【分析】根据对数的运算法则，求得
，且
，利用
，结合基本不等
式，即可求解.
【详解】由
，可得
，所以
，
即
，且
，
11
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则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为.
故选：B.
13．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
，若
，
，
，均有
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分析函数
为奇函数，由已知不等式可得出
，构造函数
，可知函数
在区间
上为增函数，则
在区间
上恒成立，结合参
变量分离法与基本不等式可求得实数
的最大值.
【详解】因为函数
的定义域为
，则
，
若
，
，
，均有
，
则
，可得
，
令
，则
，
由题意可知
，
，
，
所以，函数
在区间
上为增函数，
所以，
在
上为增函数，则
在
上为增函数，
12
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由基本不等式可得
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
，
所以，
的最大值为
.
故选：D.
六、利用函数性质解不等式
14．（2025·湖北·一模）已知函数
则
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可.
【详解】当
时，
，
，
；
当
时，
，
，
；
且当
时，
，
所以
为奇函数，
易知
为
上的递减函数，
则
，
所以原不等式的解集为
.
故选：A
七、求参数范围
15．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
在
上单调递减，则a 的取值范围为
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.
【答案】
【分析】求出函数
的导数，利用给定的单调性列出恒成立的不等式求解.
【详解】函数
，求导得
，
依题意，
，而当
时，
，
则
，所以a 的取值范围为
.
故答案为：
16．（2025·湖北·一模）已知函数
的定义域为
，若
存在零点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用指数与对数的运算性质将
变形为
，构造函数
得
，由
的单调性即可求解.
【详解】由题意得
，令
，则
.
令
，因为函数
在
上单调递增，
单调递增，
所以
，可化为
，即
.
令
，则
，
14
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当
时，
，
在
单调递增，当
时，
在
单调递减，
又
，当
时，
，所以
，解得
.
故选：C
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
八、利用函数性质比较函数值大小关系
17．（2025·湖北·一模）已知奇函数
在
上是增函数，
.若
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先利用奇函数
的性质及单调性推出
在
上的单调性，再判断
的奇偶性，然
后比较
，
，的大小关系，最后根据
的单调性得出
，
，的大小关系.
【详解】已知奇函数
在
上是增函数，根据奇函数性质，
，所以当
时，
.
又因为
在
上是增函数，所以
.对于
，
.
所以当
时，
，这就表明
在区间
内单调递增.
对于
，在
上，
.因为
是奇函数，即
，
所以
，所以
是偶函数.
15
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根据对数函数性质，
在
上单调递增，因为
，
，且
，所以
.
又根据指数函数性质，
在
上单调递增，因为
，
，且
，所以
.
因为
是偶函数，所以
.
由
在
内单调递增，且
，可得
，即
.
故选：C.
18．（2025·山东济南·一模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】令
，求导分析单调性可得A 错误；令
求导分析单调性可
得B 错误；令
，由诱导公式和两角和的正弦展开式可得C 错误；
令
，求导后放缩得单调性后可得D 正确.
【详解】对于A，令
，则
，
所以
在
上单调递减，即
，
所以
，故A 错误；
对于B，令
，
，则
，
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所以
在
上单调递增，即
，故B 错误；
对于C，因为
，令
时，
，
，
因为
，所以
，故C 错误；
对于D，令
，
，则
，
由三角函数线可得当
时，
，所以
，
所以
，
所以
在
上单调递增，
，
，
即
，故D 正确.
故选：D
九、函数多选题
19．（2025·湖北鄂州·一模）（多选）下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转
后得到的曲线仍为一个
函数的图象的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
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【分析】函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针方向旋转，再根据函
数的定义，即可求解.
【详解】利用运动是相对的，函数的图象绕坐标原点逆时针方向旋转，可以看作坐标轴绕坐标原点顺时针
方向旋转，
根据函数的定义，对于定义域内的每一个自变量x，都有唯一确定的
与之对应，
逆时针旋转
后得到的曲线，如果仍为一个函数的图象，则曲线与任意一条垂直于x 轴的直线最多只有一
个交点，
所以函数
的图象与任一斜率为1 的直线
都最多只有一个交点，
结合函数图象可知，
对于A，
的图象与直线
都只有一个交点，故A 正确；
对于B，
的图象与直线
有两个交点
，故B 错误；
对于C，
，
，
，
所以
的图象，在点
处的切线方程为
，
的图象与直线
都最多只有一个交点，故C 正确；
对于D，
的图象与直线
都只有一个交点，故D 正确.
故选：ACD.
20．（2025·湖北武汉·一模）（多选）已知函数
，若函数
为偶函数，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
的图象关于直线
对称
B．
C．
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D．
【答案】BCD
【分析】A 选项，举出例子
，画出
的图象，得到其不关于直线
对称；BD
选项，
为奇函数，得到
，BD 正确；C 选项，二次求导，
结合三次函数图象特征得到
，则
，又
，故
【详解】A 选项，令
，则
，满足
为偶函数，
但
的图象如下，不关于直线
对称，A 错误；
BD 选项，
为偶函数，故
为奇函数，
即
，即
，
故
，故点
为曲线
的对称中心，
故
，则
，故B，D 正确；
C 选项，由题意得
，令
，则
，
由于曲线
的对称中心为
，结合三次函数的图象特征可知，
，则
，又
，故
，故C 正确.
故选：BCD.
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十、导数解答题
21．（2025·湖北鄂州·一模）已知函数
有两个零点.
(1)求
的值；
(2)证明：当
时，
.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数分析函数
的单调性与极值，根据函数
有两个零点，可得出关于实数
的
等式，结合
即可求得
的值；
（2）分
、
两种情况讨论，在
时，结合不等式的性质验证即可；在
时，设
，满足
，则原不等式等价于
，令
，利用导数分析
函数
的单调性，即证
，通过构造函数
证明即可.
【详解】（1）因为
，
则
，
由于
，当
或
时，
；当
时，
.
所以，函数
的增区间为
、
，减区间为
，
因为函数
有两个零点，则
或
，
解得
或
（舍），故
.
（2）当
时，
，
结合函数单调性知，当
时，
，
，
，
此时不等式成立.
20
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下面证明
时的情况，设
，满足
，
则原不等式等价于
.
考虑到三次函数图象极值点附近的非对称性：
令
，
则
，故
在
上单调递减，
.
，
故只需证
，令
，
当
时，
，故
在
上单调递减.
所以
，故原不等式得证.
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式
（或
）转化为证明
（或
），进而构造辅助函数
；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
22．（2025·湖北·一模）已知
，函数
，
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若
存在零点.
（i）当
时，求
的取值范围；
（ii）求证：
.
【答案】(1)答案见解析；
(2)（i）
；（ii）证明见解析.
21
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【分析】（1）直接求导得
，再分
和
讨论即可；
（i）转化得
有解，再设
，求导后再对
分类讨论，最后利用隐零点法即可得到其
范围；
（ⅱ）分析得
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，再等价转化为证明
，再设新函数并多次求导即可证明.
【详解】（1）
时，
，
当
时，
，函数
单调递增，既无极大值也无极小值.
当
时，
，
，函数
单调递减，
，
，函数
单调递增，
函数
的极小值是
，无极大值.
（2）（ⅰ）当
时，因为函数
存在零点，故
有解，
若
，此时无解，所以
，
有解，
，
①若
单调递增，
此时不存在零点；
②若
，令
，
，
，
由零点存在定理可知存在
，
所以
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，解得
，故
.
（ⅱ）因为函数
存在零点，所以
有解
，其中
，
若
，则
，该式不成立，故
.
22
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故
，考虑直线
，
表示原点与直线
上的动点
之间的距离，
，所以
，
时，要证
，只需证
，
即证
.
令
，则
，
令
，
，故
在
上为增函数，故
.
即
在
上为增函数，
故
，故
，即
成立.
23．（2025·湖北武汉·一模）已知函数
的导函数为
，若
在区间
上单调递增，则称
为区间
上的凹函数；若
在区间
上单调递减，则称
为区间
上的凸函数.已知函数
.
(1)若
在
上为凹函数，求实数
的取值范围；
(2)已知
，且
在
上存在零点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
，依题意知，
对任意的
恒成立，利用分离参数法求解即可；
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（2）分
和
两种情况讨论，求出函数的单调区间及极值，进而可得出答案.
【详解】（1）
，
则
，
依题意知，
对任意的
恒成立，则
恒成立，
令
，
则
，
故
在
上单调递增，故
，
则实数
的取值范围为
；
（2）依题意得，
，
若
，当
时，
，
所以
在
上无零点，舍去；
若
，则
，令
，
则
，则
在
上单调递减，且
，
①若
，即
，此时
，
则存在
，使得
，即
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
当
时，
，
令
，解得
，
24
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因为
，且
，
所以存在唯一的
，使得
，满足条件；
②若
，即
，此时
在
上单调递减，
又
，所以
，不合题意，舍去，
综上所述，实数
的取值范围为
.
25
