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3.6 三角函数的专题综合运用（精练）（基础版）
题组一 正余弦定理的实际应用
1．（2022·全国·模拟预测）如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点
到墙面的距离为 ，某目标点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点
观察点 的仰角 的大小，若 ，则 的最大值是（ ）.（仰角 为
直线 与平面 所成的角）
A． B． C． D．
2．（2022·河南驻马店）如图，已知两座灯塔 和 与海洋观察站 的距离都等于 ，灯塔 在观察站
的北偏东 ，灯塔 在观察站 的南偏东 ，则灯塔 与灯塔 的距离为（ ）A． B． C． D．
3．（2022·北京·101中学模拟预测）岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，
是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，
下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)
重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古
有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线 ，如图，测得
， ， 米，则岳阳楼的高度 约为( ， )（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
4．（2022·青海西宁·一模（理））某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的
两边长分别为32m和68m，它们的夹角是 .已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费
用为（ ）
A． 元 B． 元 C． 元 D． 元
5．（2022·河南·模拟预测（理））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已
被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
（ ）A．30米 B． 米 C．35米 D． 米
6．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与
工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如
图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度 （ 与地面垂直），在赛道一侧
找到一座建筑物 ，测得 的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物 之间的地
面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数
据估算得 约为60米，则 的高h约为（ ）米
（参考数据： ， ， ）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
7．（2022·全国·高三开学考试（理））如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高AB，某人
先在塔的正西方点C处测得塔项的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 到达点D处，在
D处测得塔项的仰角为 ，则铁塔AB的高度是（ ）A．50 B．30 C．25 D．15
8．（2022·河南·模拟预测（文））蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），
为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已
被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的
A，B两点，测得 米， ， ， ，则蜚英塔的高度 是
_______米．
9．（2022·广西南宁·一模（理））2021年9月17日，搭载着3名英航天员的神舟十二号载人飞船返回舱
成功着陆于东风着陆场，标志着神舟十二号返回任务取得圆满成功.假设返回舱D是垂直下落于点C，某时
刻地面上点 观测点观测到点D的仰角分别为 ，若 间距离为10千米（其中向量 与 同
向），试估算该时刻返回舱距离地面的距离 约为___________千米（结果保留整数，参考数据：
）.
10．（2022·四川省叙永第一中学校模拟预测（文））海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球
留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得 ， ， ，
，则 两点的距离为______ .
11．（2022·广西广西）从某建筑物的正南方向的 处测得该建筑物的顶部 的仰角是 ，从该建筑物的
北偏东 的 处测得该建筑物的顶部 的仰角是 ， ， 之间的距离是35米，则该建筑物的高为
______米.
12．（2022·内蒙古赤峰）如图，某中学校园中央有一座钟楼，某学生为了测量钟楼高AB，该学生先在钟
楼的正西方点C处测得钟楼顶部的仰角为45°，然后从点C处沿南偏东30°方向前进60 到达点D处，在
D处测得钟楼顶部的仰角为30°，则钟楼AB的高度是___________ .
题组二 正余弦定理的几何应用
1．（2022·山东·潍坊一中模拟预测）如图，在梯形ABCD中， ，点E在边CD上， ，
， ．
(1)求BE，CE；(2)若 ，求 ．
2．（2022·湖北·模拟预测）如图，在平面四边形 中，对角线 平分 ， 的内角A，B，
C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求B；
(2)若 ， 的面积为2，求
3．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．
①O为 的内心；②O为 的外心．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
(1)求A；
(2)若 ，________，求 的面积．
4．（2022·安徽合肥·二模）在 中，内角 ， ， 所对边的长分别为 ， ， ，满足______．
从① 是 ， 的等差中项，② 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中
并作答．
(1)求 的大小；
(2)若 是 的角平分线，且 ， ，求 的面积．
5．（2022·陕西渭南·二模（理））如图，在 中，角 ，D为边AC上一点，且 ，
，
求：(1) 的值；
(2)边 的长.
6．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第一中学校一模（文））已知 ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、
c，且 ． △
(1)求B；
(2)若 ABC的面积为 ，角B的平分线交AC于D，且 ，求b．
△
7．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 的面积为
．(1)求 ；
(2)若 ， 的角平分线 与边 相交于点 ，延长 至点 ，使得 ，求 ．
8．（2022·江西·二模（理））如图，在四边形 中， ， ， ，
．
(1)求 ；
(2)求 ．9．（2022·安徽滁州·二模（理））已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
．
在① ；② ；③ ．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的
横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
(1)求 的面积S；
(2)求角A的平分线 的长．
10．（2022·重庆·二模）已知 的外心为 ， 为线段 上的两点，且 恰为 中点.
(1)证明：
(2)若 ， ，求 的最大值.题组三 三角函数与正余弦定理
1．（2022·江西·临川一中模拟预测（文））已知向量 ， ， .
(1)求函数 的最小正周期；
(2)在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ， ，求 的面积的最大值.
2．（2022·北京石景山·一模）已知函数 只能同时满足下列三个条件中的
两个：
①函数 的最大值为2；
②函数 的图象可由 的图象平移得到；
③函数 图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ．
(1)请写出这两个条件的序号，说明理由，并求出 的解析式；
(2)在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，求 面积的最大值．
3．（2022·四川雅安·二模）已知向量 ， ，设函数 ．
(1)求函数 的单调递增区间；
(2)设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且______，求 的取值范围．
从下面三个条件中任选一个，补充在上面的问题中作答．① ；② ；③ ， ， 成等比数列．注：如果选择多个条
件分别解答，按第一解答计分．
4．（2022·陕西宝鸡·二模（理））函数 图像过点 ，且相邻对称
轴间的距离为 ．
(1)求 的值；
(2)已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若 ，且 ，求 面积的最大值．
题组四 最值问题
1．（2022·河南·模拟预测（理））在 ABC中，角 所对的边分别为 ，已知
△
.(1)求 的大小；
(2) 的面积等于 ，D为BC边的中点，当中线AD长最短时，求AB边长.
2．（2022·新疆石河子一中模拟预测（理））已知 .
(1)求 的最小正周期和单调减区间；
(2)在△ 中， ，D为BC中点， ，求△ 面积的最大值.
3．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．
(1)求角A的大小；(2)若 ，求△ABC周长的最大值．
4．（2022·甘肃·二模（文））如图，在圆内接四边形ABCD中， ，且
依次成等差数列.
(1)求边AC的长；
(2)求四边形ABCD周长的最大值.
5．（2022·湖南益阳·一模）在① ；② ；③
，这三个条作中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 的中线 长度的最小值.
6．（2022·江苏无锡·模拟预测）在 中，内角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，已知
．
(1)求 ；
(2)若 ， 是 外的一点，且 ， ，则当 为多少时，平面四边形 的面积
最大，并求 的最大值．
7．（2022·山西·一模（理））如图，圆内接四边形 中， ， ， .(1)求 ；
(2)求 面积的最大值.
8．（2022·江苏·金陵中学二模）已知四边形 ，A，B，C，D四点共圆， ， ，
．
(1)若 ，求 的长；
(2)求四边形 周长的最大值．9．（2022·全国·模拟预测（理））在 中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=2，且
．
(1)求角B的大小；
(2)若 是锐角三角形，求 面积的取值范围．
10．（2022·江西）在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，
补充在下面问题中，并作答．在 中，内角 所对的边分别为 ，且_．
(1)求B的大小；
(2)若 ，求 的最大值．
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11．（2022·江苏南通·模拟预测）在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B； △
(2)若M是AC的中点，且 ，在下面两个问题中选择一个进行解答．
①求 ABM面积的最大值；
②求△BM的最大值．
（注：如果求解了两个问题，则按照第一个问题解答给分）
12．（2022·辽宁·一模）在平面五边形ABCDE中，已知 ， ， ， ，
，
(1)当 时，求DC；
(2)当五边形ABCDE的面积 时，求BC的取值范围．
