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第四篇 数量关系与资料分析
数学运算 理论讲练3
学习任务：
1. 课程内容：行程问题、几何问题
2. 授课时长：2.5 小时
3. 对应讲义：第251 ～257 页
4. 重点内容：
（1）掌握行程问题的基础公式与火车过桥、流水行船的计算公式
（2）掌握直线和环形上的相遇、追及的计算公式，用图示来理解复杂的运动
过程
（3）掌握几何问题的基本公式及其运用
（4）掌握相似三角形、勾股定理等相关知识
第四节
行程问题
一、普通行程
1. 基础公式
路程= 速度× 时间
2. 火车过桥
（1）火车完全通过桥：s= 桥长+ 车长
（2）火车完全在桥上：s= 桥长- 车长
3. 流水行船
（1）v 顺=v 船+v 水
（2）v 逆=v 船-v 水
【例1】（2023 公务员）某公路隧道长1500 米，一辆公共汽车匀速从隧道通过，
测得公共汽车从开始进入隧道到车身完全驶出隧道用时151 秒，整辆公共汽车完全在
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第一部分 理论讲练讲义
隧道里的时间为149 秒，则公共汽车的车身长度和行驶速度分别为（ ）。
A. 8 米；5 米/ 秒
B. 10 米；10 米/ 秒
C. 10 米；15 米/ 秒
D. 12 米；20 米/ 秒
【例2】（2023 四川）甲驾驶一艘小船在河中匀速行驶，已知顺水行驶120 千米，
用时6 小时；在同样的水流速度下，逆水行驶80 千米用时8 小时。则甲驾驶这艘小
船在静止水面上行驶150 千米需要（ ）小时。
A. 10
B. 9
C. 8
D. 12
二、相对行程
1. 直线相遇、追及
（1）直线相遇：s
v
t
和
和
=
× 遇
（2）直线追及：s
v
t
差
差
追
=
×
2. 环形相遇、追及
（1）环形相遇：s
n
v
t
和
和
=
圈长度=
× 遇
（2）环形追及：s
n
v
t
差
差
追
=
圈长度=
×
3. 直线两端出发，多次相遇
s
n
s
v
t
和
和
=（2
-1）
=
× 遇
【例1】（2023 福建）甲、乙两人分别同时从相距18km 的A、B 两地相向匀速而
行，乙的步行速度为4km/h，甲携带一个遥控小汽车，在自己出发的同时将小汽车放
在地面上与自己同向匀速行驶，小汽车的行驶速度为10km/h，遇到乙后立即掉头向
甲的方向行驶，遇到甲后又立即掉头向乙的方向行驶，如此在甲、乙之间往返行驶直
到甲、乙两人相遇。已知两人相遇时小汽车行驶的路程共计20km，则甲的步行速度
为（ ）km/h。
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
【例2】（2022 联考）某特警部队训练警犬时发现“可疑人员”张某以6m/s 的速
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第四篇 数量关系与资料分析
度由A 处跑向人质所在的C 处，与此同时警犬以8m/s 的速度从B 处跑向人质所在的
C 处，人质也同时以4m/s 的速度跑向B 处，A、C、B 在一条直线上，为确保警犬不
晚于张某与人质相遇，问BC 的距离最多是AC 距离的多少倍？（ ）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
【例3】（2023 内蒙古）老张和小张在周长为400 米的运动场上跑步，小张的
跑步速度快于老张，当两人在同一起点同时同向出发，则每隔8 分钟相遇一次；当
两人在同一起点同时反向出发，则每隔2 分钟相遇一次，老张在该运动场跑一圈需要
（ ）分钟。
A. 5.33
B. 5.36
C. 5.42
D. 5.45
【例4】（2021 河南）在一个长90 米的泳池中，甲、乙两人分别从泳池的两端同
时相向出发，游到另一端立即返回。已知甲每秒游3 米，乙每秒游2 米，则10 分钟
后，两人共相遇（ ）。
A. 13 次
B. 14 次
C. 16 次
D. 17 次
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第一部分 理论讲练讲义
第五节
几何问题
一、公式运用类
1. 周长
正方形周长=4a 长方形周长=2（a+b） 圆形周长=2πR
弧长= 360°
n°×2πR
2. 面积
正方形面积=a
2 长方形面积=ab 三角形面积= ah
2
圆形面积=πR
2 扇形面积= 360°
n°×πR 2
梯形面积= 1
2
×（
+ ）×
a
b
h 菱形面积= 对角线乘积
2
3. 表面积
正方体表面积=6a
2 长方体表面积= 2（ab+bc+ac）
圆柱体表面积=2πR
2+2πRh 球体表面积=4πR
2
4. 体积
正方体体积=a
3 长方体体积= abc
柱体体积= Sh 锥体体积= 3
1×Sh 球体体积= 3
4×πR 3
【例1】（2023 广东）小李有一张长16cm、宽12cm 的长方形纸板，要制成底面
积为60cm
2 的无盖纸盒，需裁掉四个完全相等的小正方形（如图中阴影部分所示），
则每个小正方形的周长为（ ）cm。
12cm
60cm
2
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第四篇 数量关系与资料分析
A. 20
B. 16
C. 12
D. 8
【例2】（2022 联考）某兴趣小组进行科学实验。在一个长方体的容器中注入5 厘
米深的液体，已知这个长方体容器长45 厘米、宽35 厘米、高15 厘米。现将长方体
容器内的液体全部倒入一个圆柱体容器内，已知圆柱体底圆半径为20 厘米，则圆柱
体容器内的液体高度约为多少厘米？（ ）
A. 5.2
B. 6.3
C. 7.1
D. 8.0
【例3】（2022 公务员）有一个花坛的形状是一个直角扇形，由三个半径分别为1、
2、3 米的圆弧构成，现用两条线段将此扇形圆心角平均分割成三部分（如图）。设计
者在阴影部分和空白部分分别种上不同的花卉，那么阴影部分花卉的种植面积为多少
平方米？（ ）
A
O
B
A. π
3
B. π
2
C. π
D. 2π
二、结论技巧类
1. 底（高）相等的三角形，面积之比等于高（底）之比
2. 勾股定理： a
b
c
2
2
2
+
=
3. 相似三角形：对应边长之比为相似比，面积之比为相似比的平方，体积之比为
相似比的立方
4. 最短路径：两点之间，线段最短
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第一部分 理论讲练讲义
【例1】（2023 公务员）为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角
形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所示），三角形DEF 是中央工厂区，已
知BD ∶DE ∶EC=1 ∶2 ∶3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积是中央工
厂区面积的（ ）。
A
B
C
D
E
F
A. 7 倍
B. 6 倍
C. 5 倍
D. 4 倍
【例2】（2021 联考）甲、乙两地直线距离为60 千米，张某从甲地出发向乙地方
向匀速骑车行进，1 小时后左拐90° 并保持原速度继续行进，又过了1 小时后，张某
拐向乙地方向，保持原速又骑行了2 小时到达乙地。问张某的速度在以下哪个范围
内？（ ）（2
1.414
≈
，3
1.732
≈
）
A. 不到21 千米/ 小时
B. 21 ～23 千米/ 小时之间
C. 23 ～25 千米/ 小时之间
D. 超过25 千米/ 小时
【例3】（2024 联考）一条东西向的河流宽50 米，如下图所示，甲划船从北岸的
A 点出发，直线航行130 米后到达南岸的B 点，然后向左转向90 度继续直线行驶，
到达河流北岸的C 点，问A、C 两点的距离在以下哪个范围内？（ ）
A
C
B
A. 不到150 米
B. 150 ～160 米之间
C. 160 ～170 米之间
D. 超过170 米
【例4】（2024 江苏）有一个圆柱形的木桩，圆的直径为6
π米，木桩的高为4 米
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第四篇 数量关系与资料分析
（如图）。现有一只蚂蚁从B 点沿着木桩表面爬到A 点，蚂蚁爬行的最短距离是（ ）。
A
B
A. 10 米
B. 16+ 36
π2 米
C. 2 13米
D. 5 米
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