初中数学,用心学就真没啥难度

周三晚上默写公式，他写下 (a+b)(a-b)=a²-b²，一个符号都没错。

家长顺手把那个减号往前挪了一格，写成 (a-b)(a+b)，问他这个式子等不等于 a²-b²。

他盯着看了七八秒，说了句“应该是 b²-a² 吧”。

公式背得一字不差，减号挪一格就认不出来了。他记住的只是这个公式长什么样，它从哪儿来的，他没想过。

今天是开学第三周的周六。这学期真正学进去的内容还只有薄薄一小块，几节课的量，现在回过头一个一个问“这东西是怎么来的”，问得完。

再过两个月，新章节压上来三四个，想回头就只能挑着回了。

他记住的是样子，不是来路

初中三年要背的公式定理，满打满算也就那么些条。孩子之间的差别，常常不在记了几条，而在记的是哪一头。

记结论的人，脑子里存的是一张照片：等号左边长这样，右边长这样。照片能应付原样出现的题，可字母一换、位置一挪、题目倒过来问，照片就对不上号了。

他不是忘了，是认不出来。

记推导的人存的是一段路，式子长什么样不要紧，要紧的是从左边怎么走到右边，所以忘了也没关系，他能再走一遍。

这两样最早常被当成同一件事处理，一律归到不用心上，盯了半年，公式一变形还是认不出来。不用心记不住，用心了也可能只记住样子。

数学上管 (a+b)(a-b)=a²-b² 这类式子叫恒等式，说人话就是：不管往里面塞什么，它都成立，塞数字成立，塞字母成立，塞一整个括号也成立。

而只记住样子的孩子，这个好处一点也享受不到。

一个公式，两条路都能走到

就拿刚才那个公式做演示。第一条路是算的。

(a+b)(a-b) 一项一项乘开：a 乘 a 得 a²，a 乘 -b 得 -ab，b 乘 a 得 ab，b 乘 -b 得 -b²。

中间那两项，一个 -ab 一个 ab，加起来是零，抵消掉了，剩下的正好是 a²-b²。

这个公式的来路，就是中间两项抵消这一件事。知道了这一件事，减号挪到哪儿都不用慌。

(a-b)(a+b) 乘开来，中间照样是一正一负两个 ab，照样抵消，结果照样是 a²-b²。

第二条路是画的。画一个边长为 a 的正方形，从右上角挖掉一个边长为 b 的小正方形，剩下一个拐角形状，面积就是 a²-b²。

把这个拐角横着剪一刀，分成上下两块：下面那块宽 a、高 a-b，上面那块宽 a-b、高 b。

把上面那块转个身，接到下面那块的右边，两块正好拼成一个新的长方形，长是 a+b，宽是 a-b。

剪开又拼上，面积一点没多也没少。所以 a²-b² 就是 (a+b)(a-b)。

同一个公式，一条路用算的，一条路用画的，走到的是同一个地方。这两条路，孩子只要亲手走过一条，这个公式就成了他自己见过的东西。

概念：名字里通常就写着它的用处

下面是三个动作，家长在家就能问。第一个动作，碰上概念，问它是拿来干什么的。

初中数学的概念，名字起得很实在，多半把用处直接写在名字里了。垂直平分线，拆开就是垂直加平分，垂直于一条线段，并且从中间把它分成两半。

它是拿来干什么的？拿来找那些到两个端点距离相等的点。

再往前推一步：三角形三条边的垂直平分线交在同一个点上，这个点到三个顶点的距离都一样，所以以它为圆心，能画出一个正好经过三个顶点的圆。

这个圆叫外接圆，圆心就叫外心。

外心这两个字，孩子背的时候常常只是个代号。可只要他自己从“到两点距离相等”推到“能画个圆过三个顶点”，这个名字就再也混不掉了。

答不上来去哪儿找？课本上这个词第一次出现的那一节，定义下面紧跟着的往往就是它拿来干什么。

公式：问一句它是怎么来的

第二个动作，碰上公式，问它是怎么来的。

一元二次方程的求根公式，很多孩子背得极熟，根号底下 b²-4ac 那一坨闭着眼睛都写得出来，可问他那一坨是从哪儿冒出来的，多半答不上来。

它是配方配出来的。把方程整理一下，两边凑成一个完全平方的形式，再开方，压在根号底下的就是 b²-4ac。

这一路走下来，另一件事顺带也通了：根号底下不能是负的。所以 b²-4ac 大于零有两个不相等的根，等于零两个根重在一起，小于零就没有实数根。

判别式和求根公式本来就是同一段推导里掉出来的两半，不用另外背。

背下来是两条要记的东西，推下来是一件事。

答不上来去哪儿找？公式前面那半页。课本不会直接扔一个公式过来，前面那段就是它的来路，只是孩子做题时习惯翻过去了。

定理前面那半句，才是要紧的

第三个动作，碰上定理，问它得先有什么才能用。

定理几乎都是两截，前一截是前提，后一截是结论。孩子背的时候，常常从第二截开始背。

勾股定理，完整的说法是在直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。孩子嘴里剩下的往往只有 a²+b²=c²。

于是卷子上出现一个看着挺像直角的三角形，他就敢往上套；那个 c 明明不是斜边，他也照套不误。前提那半句一丢，整条定理就变成了一句随处可用的口诀。

所以问定理只需要一句：这条要能用，得先有什么？答得出前提，他用的时候才不至于到处乱套。

三个动作问下来，家长手里会多出一件东西，同时也会撞上一堵墙：孩子说这一段课上没细讲，而家长自己也推不出来。

去年冬天后台收到过一条长留言，一个初三男生的妈妈写的，说的是二次函数那一章的事。

顶点坐标的公式他背得一字不差，代数字进去算得又快又准，可题目一给出带括号的那种写法，让他直接说顶点在哪儿，他非得先把括号展开、整理成一般式、再套一遍公式，

一道题绕出两倍的步骤，考试时间根本不够。

后来她去芒果同学找了个数学一对一老师，老师给了他三个带括号的式子，让他按老办法一个个展开着算，算出来的顶点横坐标抄在式子右边，再把括号里那个数原样抄在下面。

抄到第二个他自己顿住了，上下两个数每回都只差一个正负号。老师让他说说这是为什么，他说不上来。

那节课后面就讲了这一件事：括号里那一项是个平方，等于零的那一刻它整个没了，剩下的那个数就是纵坐标，顶点的两个坐标明摆在式子上。

往后他拿到带括号的式子不再展开了，直接读括号。初三上学期期中考试，数学从90分出头考到 106 分。

前后上了七八节，上一次课付一次费用，试几节就是几节的钱。

什么时候这套办法不管用

边界得说清楚，不然上面那些就成了一句好听的空话。

追来路的前提，是孩子手上的基础还连着。

要是他现在连去括号该不该变号、两个负数相乘得什么号都还在错，问他公式怎么来的，问不动，他连结论本身都还没站稳，那得先把这一块补回来。

另一种情况是欠得太久。初一欠下的一整章，指望靠几次追问补回来不现实，那得另外挪时间单独补。

还有一句得摊开说：能追到来路，不等于每个孩子花的时间一样，有的推一遍就记住了，有的要推三四遍。

这套办法换掉的是记混、记错、一变形就认不出这一类难，换不掉读不懂题、时间不够那一类。

你看，标题里那句没啥难度，是带着条件的。条件就是前面没有断，而且肯在每一个新公式上多花那五分钟。

那天那个减号，他后来自己想明白了。乘开来中间还是一正一负，抵消掉，结果一样。他把式子重写了一遍，在旁边补了一行小字：中间两个抵消。

明天是周日。从这周学过的东西里挑一个公式，问一句它是怎么来的，就够了。

把公式里的那个减号挪个位置，再问一遍，你家孩子多久能答上来？