高中数学核心解题技巧120讲(第22讲)

第二十二讲数形结合解解析几何问题

解析几何的本质是用代数方法研究几何问题，基本思想就是数形结合.利用数形结合思想可以进行直线与圆、圆 与圆的位置关系的讨论、直线与圆锥曲线位置关系的讨论，诸如解析几何中的对称问题，定点、定值问题，最值与范围 问题以及轨迹探求都离不开数形结合思想方法的应用.

解题策略：判断直线与圆的位置关系一般有两种方法，一是代数法，将直线方程与圆方程联立并将方程组转化为一元二次方程。根据方程解的判别式即可讨论直线与圆的位置关系二是几何法，由圆心到直线的距离与圆的半径比较大小，即可判断出直线与圆的位置关系。但是这两种方法适用于整圆的情况，若方程所表示的图形并非整圆，则应当结合具体图形利用数形结合的思想求解.

解题策略:二次曲线与二次曲线的交点问题不同于直线与二次曲线位置关系的探讨，仅有判别式法是不够的,这是因为二次曲线是有范围限制并且一般情况下具有对称性，要结合起来一起讨论,由于我们研究的是曲线与曲线之间的位置关系，图形未必能把细微处的走向描述清楚，必须与代数运算结合起来，正如华罗庚先生所言，“数缺形时少直观，形少数时难入微”.

例3设椭圆的中心在坐标原点.长轴在x轴上，离心率

,已知点

到这个椭圆上的点的最远距离是√7,求椭圆方程，并求椭圆上到点P  的距离为√7的点的坐标.

解题策略：本题实质是点P  到椭圆上的点的距离的最大值为√7,求椭圆上符合此条件的点.解题时要心中有图，由于点P  在y  轴上，而y轴又是椭圆的一条对称轴，符合条件的点通常一定会成对出现.所以本题所求的点有两个，由于已知椭圆的离心率，只能求出一个参数用另一个参数表示。若设椭圆上一动点坐标为(x,y),     得到的距离公式中必定含有一个参数，求最大值势必需要讨论。若设椭圆上一动点为参数式，既保留一个参数又引进一个新参数，也不易求解。如果能抓住图形的对称性，设以P点为圆心的圆与椭圆相切，结合判别式等于零，参数值可确定，符合条件的两个点的坐标也可轻松求得，这就是数形结合解题的好处.

                   (2)设x、y 为实数，若2x²+2y²—xy=4,           求 3x²+4y²       的最大值.

解题策略：第(1)问，求函数的最大值，但是所给函数解析式结构复杂，无法用常规方法解.如果把解析式中被开方数变形，很容易联想到距离公式，原问题转化为某曲线上的动点与两定点的距离之差，则函数的最值问题立即转化为解析几何问题；同样，第(2)问，在一定的条件下求代数式的最大值，若通过消元转化为构造函数求最值显然困难重重，  连消元都无法轻易办到，下一步无从谈起，应联想到方程2x²+2y²—xy=4         对应的曲线是旋转后的圆锥曲线，挖掘代数式所反映的几何意义是解决此题的首选。当然，如果用代数法，通过巧妙变形也可达到解题目的，但解题的技巧性强，本小题的解法二可供读者赏析.

领悟三转化与变换的思想

在解某些数学问题时，如果直接求解较为困难，则可以通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换.或者说换一个角度看问题，寻找新的解题途径，这就是数学思想领悟三：转化与变换的思想，是使问题顺利解决的一种解题策略，转化是将数学命题由一种形式向另一种形式的转换过程，变换是集合到它自身的一种特殊对应，所谓变换思想，就是运用“变换”观点处理数学对象的一种思维倾向、转化与变换是把待解决的问题归结为一类已经解决或比较容易解决的问题，一般总是把较为陌生或较为复杂的问题转化归纳为所熟悉的规范性问题来解决，其操作原则是熟悉化或简单化.

一个数学问题，我们可以把它看作一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，而且是多种多样的，解题模式也是可以变化的，这就要求解题者进行动态思维，去寻找有利问题解决的变换途径和方法.

高中数学中常用的转化策略有：一般与特殊的转化、繁与简的转化、局部与整体的转化、正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、空间问题与平面问题的转化、复数与实数的转化、命题的等价转化、不同数学语言的转化、不同数学知识之间的转化等.纵观中学数学中的主要变换除了代数变换、几何变换、线性变换外还有解析式的恒等变换 (解析式的值恒定),方程、不等式的同解变换(解集不变)等.

实质上，数学思想与数学方法的核心是转化与变换，函数与方程的思想就内在而言是函数与方程、不等式之间的相互转化，数形结合是数与形的相互转化、“配合作战”,数学教育家G.波利亚指出：“掌握数学意味着什么呢?这就是 善于解题，不仅善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和有发明创造的题”“问题解决是数学教育的中心任务”,根据G.波利亚的解题理论，解题首先要弄清问题，也就是正确地全面地理解原始问题的含义，分清问题中的“已知”与“所求”,领悟问题的条件所提供的信息，并将这些信息进行分析与编码，如果题目没有现成的解题模式可循，就需要探求解题策略，转化与变换就是较高层次的解题方法，如通过构造方程或方程组进行转化，等与不等的相互转化，整体与局部的相互转化，高维与低维的相互转化，根据量的变与不变实施转化……不论是哪一个方面的转化，必须借助于等价变换来实施.转化与变换的思想方法包含三个基本要素：

①把什么东西转换，即转换的对象；

②转换到何处去，即转换的目标；

③如何转换，即转换的方法.

转化与变换必须遵循的五条原则：

(1)熟悉化原则：将陌生问题转化为熟悉的问题.

(2)简单化原则：将复杂的问题转化为简单的问题.

(3)和谐化原则：转换问题的条件或结论使其表面形式更加符合数与形内部和谐统一的形式，或者转换命题，将 其推演有利于运用某种数学方法或者符合人们的思维规律.

(4)直观化原则：比较抽象的问题转换为比较直观的问题.

(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应从反面去探求或证明，集合思想中的“补集法”是正难则反的 体现，也是一个转化.