硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答提取：

黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，且在上最大值为。证明：，使得。

证明设，则。 泰勒展开：

若，则； 若即，则； 若$\dfrac14\dfrac1{16},(1-x_0)^2>\dfrac1{16}-16\xi\in(0,1)f''(\xi)\le -16$。

题3（16分）积分证明

设在连续，且对任意多项式，都满足。求证：。

证明取，不是多项式，但由魏尔斯特拉斯逼近定理：存在多项式列在一致收敛到。

连续，。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答

收敛，由魏尔斯特拉斯M判别法，级数在上一致收敛。

补充：逐项求导后的级数在不一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入：

题6（16分）平面曲线积分

：上半圆周，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭曲线。格林公式：

上积分：

题7（16分）曲面积分

：四面体的表面外侧。

解答高斯公式，

1997卷特点小结

1. 题1标准黎曼和；题2泰勒中值不等式；
2. 题3魏尔斯特拉斯多项式逼近定理；
3. 题4正弦级数M判别法；题5二阶PDE化简；
4. 题6格林公式补直径；题7高斯公式散度为0。