1999硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，。求证：，使得。

证明设满足，则。 泰勒展开：

若，则； 若，则，。 因此存在，。

题3（16分）积分证明

设在连续，且对任意满足的连续可微函数，有。证明：为常数。

证明令，构造

显然，且。 由题设条件：

连续，故，即（常数）。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 对任意固定，，收敛，故级数逐点收敛。

求上确界：，临界点。

发散，M判别法失效。 取，余项，余项不能一致趋于0。 因此级数在不一致收敛。 补充：在任意闭区间上一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

化简：

题6（16分）平面曲线积分

：上半圆周，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭曲线。格林公式：

上积分：，被积表达式为0，积分值为0。

题7（16分）曲面积分

：锥面，取下侧。

解答补面，取上侧，则为闭合曲面内侧。高斯公式：

柱坐标：

上侧：

1999卷特点小结

1. 题1根式黎曼和；题2最小值条件的泰勒二阶导数估计；
2. 题3变分法基础积分恒等式；
3. 题4函数项级数一致收敛判别，上确界法；
4. 题5二阶PDE变量替换；题6格林公式补直径；题7锥面+圆盘高斯公式，柱坐标三重积分。

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