高中物理|非常规图像别硬背,求导看穿斜率变化

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应用示例

题目

（26-27 高三阶段检测）一名跳伞运动员从悬停的直升机上跳下，过一段时间开启降落伞后以大小为  的加速度做匀减速直线运动，落地时速度刚好减为零，不计空气阻力，重力加速度为 。以直升机的悬停点为坐标原点，竖直向下为正方向，下列运动员跳伞过程中速度  和下落高度  的关系图像可能正确的是（　　）

情景分析

运动过程示意图

第一阶段：自由落体运动

末状态：

第二阶段：匀减速直线运动

整理得：

求导法

思路一：显函数求导

第一阶段：

整理得：

求导：

 函数图像斜率：

锁定选项 A 或 C

第二阶段：

求导：

 函数图像斜率：

注意与第一阶段相反，斜率绝对值随  减小而增大，曲线越走越陡。

选：A

思路二：隐函数求导

对  两边同时对  求导：

得：

与思路一结果一样。

结合第二阶段运动分析得答案：A

常规方法：函数图像法

方法一

第一阶段：

第二阶段：

结合图像选：A

方法二：变换坐标轴

变换：

开口向上的抛物线

A 选项变换

参考答案

BD．跳伞运动员做匀加速直线运动，根据匀变速直线运动速度位移关系有 

解得 

则初始时图像开口向右，故 BD 错误；

AC．然后运动员做匀减速直线运动，可逆向看成匀加速直线运动，同理有 

可见 ，故 A 正确，C 错误。

故选 A。

总结

图像问题，本质是函数问题。把  与  的关系式写出来，用导数看斜率：第一阶段  随  增大而减小，第二阶段  随  减小而变陡。显函数、隐函数两条路径殊途同归。求导法并不神秘，只是给图像装上了一个可计算的“斜率”。

以后再遇非常规图像，先写函数关系，再问斜率如何变化，往往比背图更快。