高中数学解析几何题型剖析-2

破题点：B、C、D 三点共线（都在 l 上）——这是被很多人忽略的隐藏条件。由 BE ∥ AC 得 △DBE ∽ △DCA。

(Ⅰ) 关键步骤：

1. BE ∥ AC ⇒ △DBE ∽ △DCA ⇒ |BE|/|CA| = |DE|/|DA| = |DB|/|DC|
2. |CA| = |DA| = r = 4 ⇒ |BE| = |DE|
3. ∴ |EA| + |EB| = (|DA| − |DE|) + |BE| = 4 − |DE| + |DE| = 4（定值）
4. 4 > |AB| = 2 ⇒ E 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆：2a = 4，c = 1，b² = 3 ⇒ x²/4 + y²/3 = 1（y ≠ 0）

(Ⅱ) 关键步骤：四边形 MPNQ 的两条对角线 MN 与 PQ 垂直且交于 B，故 S = ½·|MN|·|PQ|。

1. 设 l 的倾斜角为 θ。|MN|：把 (x, y) = (1 + t·cosθ, t·sinθ) 代入椭圆，得 (3+sin²θ)t² + 6t·cosθ − 9 = 0⇒ |MN| = |t₁−t₂| = 6√(cos²θ + 3 + sin²θ)/(3+sin²θ) = 12/(3+sin²θ)
2. |PQ|：圆心 A 到"过 B 且垂直于 l 的直线"的距离 d = 2|cosθ| ⇒ |PQ| = 2√(16 − 4cos²θ) = 4√(4 − cos²θ)
3. S = ½ · 12/(3+sin²θ) · 4√(4−cos²θ)，令 u = cos²θ，sin²θ = 1−u：S = 24√(4−u)/(4−u) = 24/√(4−u)，u ∈ [0, 1)
4. S 随 u 递增 ⇒ S ∈ [12, 8√3)。u = 0（l ⊥ x 轴）取 12；u → 1（l → x 轴，但题设 l 不与 x 轴重合，故开区间）趋近 8√3。

答案：(Ⅰ) 定值 4，轨迹 x²/4+y²/3 = 1（y ≠ 0）；(Ⅱ) S ∈ [12, 8√3)。

破题点：P₃、P₄ 关于 y 轴对称 ⇒ 要么都在、要么都不在；"恰有三点"⇒ P₃、P₄ 必在，再由 P₁、P₂ 的对称性排除 P₁。

(1) 关键步骤：P₃(−1, √3/2) 与 P₄(1, √3/2) 关于 y 轴对称，且椭圆关于 y 轴对称 ⇒ 二者同进同出。若 P₁(1,1) 在 C 上，则 1/a² + 1/b² = 1；但 P₄ 在 C 上给出 1/a² + 3/(4b²) = 1，两式矛盾（1/b² ≠ 3/(4b²)）⇒ P₁ 不在。⇒ P₂(0,1) 在 C 上 ⇒ b² = 1；代入 P₄：1/a² + 3/4 = 1 ⇒ a² = 4 ⇒ C: x²/4 + y² = 1

(2) 关键步骤：设 l: y = kx + m (m ≠ 1)。联立 x²/4 + (kx+m)² = 1 ⇒ (¼+k²)x² + 2kmx + m²−1 = 0

k₁+k₂ = (y₁−1)/x₁ + (y₂−1)/x₂ = (kx₁+m−1)/x₁ + (kx₂+m−1)/x₂ = 2k + (m−1)(x₁+x₂)/(x₁x₂)

必须补验：l ⊥ x 轴时 l: x = t，由 k_P₂A+k_P₂B = −1 会推出不符合题设，故可排除（这一步不能省）。

答案：(1) x²/4 + y² = 1；(2) 定点 (2, −1)。

破题点：∠OMA = ∠OMB ⇔ k_MA + k_MB = 0（倾斜角互补）。注意 M(2, 0) 恰好是 a²/c = 2/1 = 2——这不是巧合，而是焦点弦的一条通用性质。

(1) l ⊥ x 轴 ⇒ l: x = 1 ⇒ A(1, √2/2)、B(1, −√2/2)。AM 过 (2,0) 与 (1, √2/2)，斜率 = −√2/2。⇒ AM: √2·x + 2y − 2√2 = 0 或 √2·x − 2y − 2√2 = 0

(2) 关键步骤：设 l: x = ty + 1（这样一步避开斜率不存在的讨论）。联立 3(ty+1)²/... ：

k_MA + k_MB = y₁/(x₁−2) + y₂/(x₂−2) = y₁/(ty₁−1) + y₂/(ty₂−1)

答案：(1) √2·x ± 2y − 2√2 = 0；(2) 证明见上，∠OMA = ∠OMB 成立。

破题点：抛物线 y² = 3x ⇒ 2p = 3 ⇒ p = 3/2，焦点 F(3/4, 0)，焦半径 |AF| = x₁ + 3/4。第 (2) 问用 消 y 留 x 还是 消 x 留 y？因为条件 向量AP = 3向量PB 且 P 在 x 轴上（y_P = 0），留 y 会极其简单。

(1) |AF|+|BF| = x₁+x₂+3/2 = 4 ⇒ x₁+x₂ = 5/2。设 l: y = (3/2)x + t，联立得 (9/4)x² + (3t−3)x + t² = 0 ⇒ x₁+x₂ = 4(1−t)/3 = 5/2 ⇒ t = −7/8。⇒ l: y = (3/2)x − 7/8，即 12x − 8y − 7 = 0

(2) 改写直线为 x = (2/3)(y − t)，联立 y² = 3x 得 y² − 2y + 2t = 0 ⇒ y₁+y₂ = 2，y₁y₂ = 2t。向量AP = 3向量PB 且 y_P = 0 ⇒ −y₁ = 3y₂ ⇒ 结合 y₁+y₂ = 2 得 y₂ = −1、y₁ = 3 ⇒ y₁y₂ = −3 = 2t ⇒ t = −3/2。x₁ = 9/3 = 3，x₂ = 1/3 ⇒ |AB| = √((8/3)² + 4²) = √(64/9 + 144/9) = 4√13/3

破题点：向量AG·向量GB = 8 是"向量包装的代数条件"。A(−a,0)、B(a,0)、G(0,b) ⇒ 向量AG = (a, b)，向量GB = (a, −b) ⇒ 点积 = a² − b² = 8。这里 8 恰好等于 c²，很干净。

(1) 由 P 在直线 x = 6 上且该直线应在椭圆外，配合 a² − b² = 8，取 b = 1 得 a² = 9 ⇒ E: x²/9 + y² = 1（此时 x = 6 = 2a，符合"动直线在椭圆外"的设置）

(2) 关键步骤：设 P(6, t)。由 M1 定点的通用结论（见 §1 末的必背结论）：A(−a,0)、B(a,0)，P 在 x = m 上 ⇒ CD 恒过 (a²/m, 0) = (9/6, 0) = (3/2, 0)。

完整代数验证（考试要写）：

取 t = 1：C(12/5, 3/5)、D(0, −1)，直线 CD: y = (2/3)x − 1，与 x 轴交于 (3/2, 0)；取 t = 2：C(15/13, 12/13)、D(9/5, −4/5)，直线 CD 斜率 −8/3，同样过 (3/2, 0)。⇒ 定点为 (3/2, 0)。

破题点：(1) 注意是 |MF₁| − |MF₂| = 2 而不是差的绝对值 ⇒ 轨迹只是右支，必须写 x ≥ 1，这是最高频的扣分点。(2) 用参数 t 表达距离：设过 T(1/2, n) 的直线方向为 (1, k)，点 = (1/2 + t, n + kt)，则 |TA| = |t₁|√(1+k²)。这样 |TA|·|TB| 就变成 |t₁t₂|(1+k²)，完全不需要求坐标。

(1) 2a = 2 ⇒ a = 1，c = √17 ⇒ b² = 17 − 1 = 16 ⇒ C: x² − y²/16 = 1 (x ≥ 1)

(2) 关键步骤：把 (1/2 + t, n + kt) 代入 C：

两条直线都要与右支交于两点 ⇒ t₁、t₂ 同号且 x = 1/2 + t ≥ 1 ⇒ t₁t₂ > 0 ⇒ 16 − k² < 0 ⇒ |k| > 4 ⇒ |16−k²| = k²−16。

答案：(1) x² − y²/16 = 1 (x ≥ 1)；(2) 斜率之和为 0。

破题点：注意双曲线写成 x²/a² − y²/(a²−1)，只有一个参数 a——把 A(2,1) 代入就能唯一确定，这是命题人刻意简化的设计。

(1) 4/a² − 1/(a²−1) = 1，令 u = a²：4(u−1) − u = u(u−1) ⇒ u² − 4u + 4 = 0 ⇒ u = 2 ⇒ C: x²/2 − y² = 1

设 l: y = kx + m，P(x₁,y₁)、Q(x₂,y₂)。联立得 (1−2k²)x² − 4mkx − 2m² − 2 = 0 ⇒

代入韦达并乘以 (1−2k²)，除以 4，化简得：1 − k(2k+1) − m(k+1) = 0 ⇒ (k+1)(m + 2k − 1) = 0

(2) k = −1 ⇒ l: y = −x + m，联立 x²/2 − y² = 1 得 x² − 4mx + 2m² + 2 = 0，Δ = 8m² − 8 > 0 ⇒ m² > 1。由 k_AP + k_AQ = 0 设 k_AP = −k_AQ = k₀ ⇒ tan∠PAQ = 2|k₀|/|1 − k₀²| = 2√2 ⇒ k₀² = 2 或 1/2，再由 m² > 1 与点在支上筛选，最终 S_△PAQ = 16√2/9。

破题点（极漂亮）："到 x 轴的距离 = 到点 (0, 1/2) 的距离"就是抛物线的定义——焦点 (0, 1/2)、准线 y = 0。直接写方程，不用平方化简。

(1) 设 P(x, y)：|y| = √(x² + (y − 1/2)²) ⇒ y² = x² + y² − y + 1/4 ⇒ y = x² + 1/4（即 x² = y − 1/4，焦点 (0, 1/2)、准线 y = 0）

(2) 完整推导（本题最值）：设直角顶点为 B，A、C 在 E 上。设 A(a, a²+1/4)、B(b, b²+1/4)、C(c, c²+1/4)。

由 a − b = s − 2b、c − b = t − 2b，且 t = −1/s ⇒ √(1+t²) = √(1+s²)/|s|：

令 p = 2b（自由变量），X = s − p、Y = 1/s + p，则 X + Y = s + 1/s = K（定值）。对固定的 s，最小化 |X| + |Y|/|s|（s.t. X+Y = K）：

但两个等号成立条件分别是：前者 X = K（即 Y = 0 ⇒ 1/s + 2b = 0 ⇒ C 与 B 重合）；后者 X = 0（⇒ A 与 B 重合）。都导致矩形退化！

答案：(1) y = x² + 1/4；(2) 周长 > 3√3。

破题点：A(0, 3) 在 y 轴上 ⇒ 直接得 b = 3（因为椭圆短轴端点 (0, ±b) 是 y 轴上仅有的椭圆点）。第 (2) 问是"面积已知反求直线"——先算定线段 |AP| 和它在直线 AP 上的高。

(1) 9/b² = 1 ⇒ b² = 9；P(3, 3/2) 代入：9/a² + (9/4)/9 = 1 ⇒ 9/a² = 3/4 ⇒ a² = 12。e = √(1 − 9/12) = 1/2；C: x²/12 + y²/9 = 1，即 3x² + 4y² = 36。

(2) 关键步骤：|AP| = √(3² + (3/2 − 3)²) = √(9 + 9/4) = 3√5/2。直线 AP：斜率 = (3/2 − 3)/3 = −1/2 ⇒ x + 2y − 6 = 0。

由柯西不等式，(x+2y)² ≤ (3x²+4y²)(1/3 + 1) = 36·4/3 = 48 ⇒ |x+2y| ≤ 4√3 ≈ 6.93 ⇒ x+2y = 18 无解，只取 x + 2y = −6。

联立 3x² + 4y² = 36 与 x = −6 − 2y ⇒ 3(6+2y)² + 4y² = 36 ⇒ 16y² + 72y + 72 = 0 ⇒ 2y² + 9y + 9 = 0 ⇒ y = −3/2 或 −3。⇒ B(−3, −3/2) 或 B(0, −3)。

破题点：(2)(i) 用向量共线 + 定比分点一步写出 R：R = A + t(P − A)，其中 t = |AR|/|AP| = 3/|AP|²。(2)(ii) 的题眼是"斜率 3 倍"条件把 P 约束到一个定圆上（隐形圆），于是 |PM| 最大 = |P 到圆心距离| + 半径。

(1) A(0, −b)、B(a, 0)，|AB| = √(a²+b²) = √10；e = c/a = 2√2/3 ⇒ c² = 8a²/9，b² = a² − c² = a²/9。⇒ a² + a²/9 = 10 ⇒ a² = 9，b² = 1 ⇒ C: x²/9 + y² = 1，A(0, −1)。

(2)(i) |AP|² = m² + (n+1)²。R = A + t(P−A)，t = 3/|AP|²：

(2)(ii) k_OP = n/m，k_OR = y_R/x_R。代入 k_OR = 3k_OP：

⇒ P 落在以 Q(0, −4) 为圆心、3√2 为半径的圆上（这就是隐形圆）。|PM| 最大值 = |PQ|_max + 3√2，其中 |PQ| 最大即椭圆上点 M 到 Q(0, −4) 的最大距离。

答案：(1) x²/9 + y² = 1；(2)(i) R( 3m/(m²+(n+1)²), (n+2−m²−n²)/(m²+(n+1)²) )；(ii) 3(√3+√2)。